专题09 概率-【备战学考】2025年高中数学学业水平合格性考试总复习（全国通用，春季高考适用）

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1、理解样本点和有限样本空间的含义；
2、理解随机事件与样本点的关系；
3、了解随机事件的并、交与互斥的含义，能进行随机事件的并、交运算；
4、理解古典概型，能计算古典概型中的随机事件的概率；
5、理解概率的性质，掌握随机事件的概率的运算法则
6、会用频率估计概率；
7、了解两个随机事件的独立性，并结合古典概型，利用独立性计算概率。
基础知识梳理
1、概率与频率
一般地,随着试验次数的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率来估计概率.
2、古典概型
试验具有如下共同特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
3、古典概型的概率公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.
其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数．
4、概率的基本性质（性质1、性质2、性质5）
性质1：对任意的事件，都有；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，；
性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以.
5、互斥事件的概率加法公式（性质3）
性质3：如果事件与事件互斥，那么；
注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式.
6、对立事件的概率（性质4）
性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，；
7、相互独立事件
对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立(mutually independent)，简称为独立．
性质1：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立
性质2：如果事件与相互独立，则与，与，与也相互独立
则：，，
点精讲讲练
考点一：随机事件与概率
【典型例题】
例题1．（2022河北）从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2024安徽）抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数小于2”，“点数为3”．则下列结论不正确的是（ ）
A．为对立事件B．为互斥不对立事件
C．不是互斥事件D．是互斥事件
例题3．（2024北京）某公司三个部门共有100名员工，为调查他们的体育锻炼情况，通过随机抽样获得了20名员工一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）：
从三个部门抽出的员工中，各随机抽取一人，分别记为甲、乙、丙、假设所有员工的锻炼时间相互独立，给出下列三个结论：
①甲该周的锻炼时间超过8小时的概率为；
②甲、乙该周的锻炼时间一样长的概率为；
③乙该周的锻炼时间一定比丙该周的锻炼时间长．
其中所有正确结论的序号是 ．
例题4．（2023安徽）用这三个数字任意组成一个没有重复数字的三位数，则组成的三位数为偶数的概率是 ．
例题5．（2024浙江）已知是互斥事件，且，则 .
【即时演练】
1．某生物实验室有3种月季花种子，其中开红色花的种子有200颗，开粉色花的种子有150颗，开橙色花的种子有180颗.从这些种子中任意选取1颗，则这颗种子对应开花的颜色为橙色的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．已知与是互斥事件，且，，则等于（ ）
A．B．0.3C．D．
3．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷8次，得到的点数分别为，则这8个点数的中位数为4.5的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥而不对立的事件是（ ）
A．“恰有一名男生”和“全是男生”B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生”
C．“至少有一名男生”和“全是男生”D．“至少有一名男生”和“全是女生”
5．（多选）对于概率的基本性质，下列选项正确的是（ ）
A．如果事件A与事件B互斥，那么
B．如果事件A与事件B互为对立事件，那么
C．如果，则
D．
考点二：事件的相互独立性
【典型例题】
例题1．（2024湖北）已知事件与事件相互独立，且，则
（1） ；
（2） .
例题2．（2024云南）甲､乙两名同学进行投篮练习，已知甲命中的概率为0.7，乙命中的概率为0.8，且甲､乙两人投篮的结果互不影响，相互独立.甲､乙两人各投篮一次，求下列事件的概率：
(1)甲､乙两人都命中；
(2)甲､乙两人至少有一人命中.
例题3．（2024新疆）甲、乙两名同学进行投篮比赛，若甲投中的概率为0.6，乙投中的概率为0.7，求下列事件的概率.
(1)两人都投中；
(2)恰好有一人投中.
例题4．（2024湖南）甲、乙两人组成“超级星队”参加猜成语活动，在每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
(1)求一轮活动甲猜对且乙没有猜对的概率；
(2)求两轮活动“超级星队”猜对3个成语的概率．
【即时演练】
1．抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），表示事件“Ⅰ号骰子出现的数字是2”，表示事件“Ⅱ号骰子出现的数字是3”，表示事件“两个点数之和是8”，表示事件“两个点数之和是9”，则（ ）
A．与相互独立
B．与相互独立
C．与相互独立
D．与相互独立
2．已知事件A，B满足，则 （ ）
A．若B⊆A，则B．若A与B互斥，则
C．若A与B相互独立，则 D．若，则C与B相互对立
3．（多选）有四个盲盒，每个盲盒内都有3个水晶崽崽，其中三个盲盒里面分别仅装有红色水晶崽崽､蓝色水晶崽崽､粉色水晶崽崽，剩下的那个盲盒里面三种颜色的水晶崽崽都有.现从中任选一个盲盒，设事件为“所选盲盒中有红色水晶崽崽”，为“所选盲盒中有蓝色水晶崽崽”，为“所选盲盒中有粉色水晶崽崽”，则（ ）
A．与不互斥B．
C．D．与相互独立
4．某同学进行投篮训练，在甲､乙､丙三个不同的位置投中的概率分别为，该同学站在三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为，则的值是 .
考点三：频率与概率
【典型例题】
例题1．（2024湖北）从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：）：
用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在之间的概率约为（ ）
A．0.1B．0.15C．0.25D．0.5
例题2．（2024湖南）抛掷硬币试验，设“正面朝上”，则下列论述正确的是（ ）
A．投掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为
B．投掷10次硬币，事件A发生的次数一定是5
C．投掷硬币20次，事件A发生的频率等于事件A发生的概率
D．投掷硬币1万次，事件A发生的频率接近0.5
例题3．（2023新疆）从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
则取到号码为奇数的频率是（ ）
A．0.53B．0.51C．0.49D．0.47
例题4．（2023宁夏）某中学为了解高二学生的体质情况，在一次体质测试中，随机抽取了10名男生的引体向上测试成绩如下：5，7，8，10，10，12，12，15，20，21
(1)求这10名同学引体向上的中位数和平均数；
(2)如果15个（含15）以上为优秀，估计该校男生引体向上的优秀率.
【即时演练】
1．工厂对某车间某一天生产的产品采用随机抽样的方法抽到一个容量为40的样本数据，分组后，各组的频数如下表：
已知样本数据在范围内的频率为0.35，则样本数据在（50，60]范围内的频率为（ ）
A．0.70B．0.50C．0.25D．0.20
2．某池塘中饲养了A､B两种不同品种的观赏鱼，假设鱼群在池塘里是均匀分布的.在池塘的东､南､西三个采样点捕捞得到如下数据（单位：尾），若在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种A约有（ ）
A．6尾B．10尾C．13尾D．17尾
3．在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为
4．抛掷一枚图钉次，出现次“钉尖朝上”，则出现“钉尖朝上”的频率是 ．
战能力训练
一、单选题
1．已知随机事件A和互斥，且，则（ ）
A．B．C．D．0.8
2．2020年1月，教有部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划），明确从2020年起强基计划取代原高校自主招生方式，如果甲､乙､两人通过强基计划的概率分别为，，那么甲､乙两人中恰有1人通过的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 123 436 730 257，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．一个袋子中有红､黄､蓝､绿四个小球，有放回地从中任取一个小球，将“三次抽取后，红色小球，黄色小球都取到”记为事件M，用随机模拟的方法估计事件M发生的概率.利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表红､黄､蓝､绿四个小球，以每三个随机数为一组，表示取小球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
由此可以估计事件M发生的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636
6947 7610 4281 1417 4698 0371 6233
2616 8045 6011 3661 9597 7424
根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（ ）
A．0.852B．0.8192C．0.8D．0.75
6．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件“出现偶数点”，事件 “出现3点或4点”，则事件A与B的关系为（ ）
A．相互独立事件B．相互互斥事件
C．即相互独立又相互互斥事件D．既不互斥又不相互独立事件
7．下命题中，说法错误的有（ ）
A．若事件两两互斥，则有
B．若事件两两独立，则有
C．事件与事件独立，则有事件与事件独立
D．事件与事件对立，则有事件与事件对立
8．习近平总书记在致首届全民阅读大会的贺信中指出：“阅读是人类获取知识､启智增慧､培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气；希望全社会都参与到阅读中来，形成爱读书､读好书､善读书的浓厚氛围.”为落实习总书记关于阅读的重要指示，复兴中学开展了“读名著､品经典”活动.现从全校学生中随机抽取了部分学生，并统计了他们的阅读时间（单位：），分组整理数据得到如图所示的频率分布直方图，据此估计该校学生阅读时间不少于的概率为（ ）
A．0.150B．0.400C．0.450D．0.850
二、多选题
9．设是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（ ）
A．若A和互斥，则A和一定相互独立
B．若事件，则
C．若A和相互独立，则A和一定不互斥
D．不一定成立
10．对于事件和事件，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若与互斥，则
B．若与互斥，则
C．若，则
D．若与相互独立，则
三、填空题
11．在和两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被4整除的概率是 .
12．中国成功搭建了国际首个通信与智能融合的6外场试验网，并形成贯通理论、技术、标准和应用的全产业链创新环境.某科研院在研发6项目时遇到了一项技术难题，由甲、乙两个团队分别独立攻关.已知甲、乙团队攻克该项技术难题的概率分别为0.8和0.7，则该科研院攻克这项技术难题的概率为 ．
四、解答题
13．为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的生日”党史知识竞赛，并将名师生的竞赛成绩（满分分）整理成如图所示的频率直方图．
(1)求频率直方图中的值以及师生竞赛成绩的中位数
(2)从竞赛成绩在80,90，90,100的师生中，采用分层抽样的方法抽取人，再从抽取的人中随机抽取人，求人的成绩来自同一区间的概率．
14．某保险公司在2023年度给年龄在20～70岁的民众提供某种疾病的医疗保障，设计了一款针对该疾病的保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，这100个样本按年龄段，，40,50，50,60，分成了五组，其频率分布直方图如下图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表格所示．（保费：元）据统计，该公司每年为该项保险支出的各种费用为一百万元．
(1)用样本的频率分布估计总体的概率分布，判断该公司本年度是亏本还是盈利？
(2)经调查，年龄在之间的中年人对该疾病的防范意识还比较弱，为加强宣传，按分层抽样的方法从年龄在和40,50的中年人中选取6人进行教育宣讲，再从选取的6人中随机选取2人，被选中的2人免一年的保险费，求被免去的保费超过150元的概率．
15．将某中职学校高二年级某班学生的数学测试成绩（满分100分）按照，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中.

(1)求a，b的值;
(2)按照人数比例用分层抽样的方法，从成绩在内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在80,90内的概率.
16．算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具，下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位……，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位，十位，百位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的三位数能被3整除”，“表示的三位数能被5整除”.

(1)判断事件，是否相互独立；
(2)求事件，至少一个发生的概率.目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc10510" 明晰学考要求 PAGEREF _Tc10510 \h 1
\l "_Tc23716" 基础知识梳理 PAGEREF _Tc23716 \h 1
\l "_Tc30707" 点精讲讲练 PAGEREF _Tc30707 \h 2
\l "_Tc5374" 考点一：随机事件与概率 PAGEREF _Tc5374 \h 2
\l "_Tc32101" 考点二：事件的相互独立性 PAGEREF _Tc32101 \h 4
\l "_Tc8266" 考点三：频率与概率 PAGEREF _Tc8266 \h 6
实 \l "_Tc4922" 战能力训练 PAGEREF _Tc4922 \h 7
A部门
4.5 5 6 7.5 9 11 12 13
B部门
3.5 4 5.5 7 9.5 10.5 11
C部门
5 6 6.5 7 8.5
492
496
494
495
498
497
501
502
504
496
497
503
506
508
507
492
496
500
501
499
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
11
10
5
8
5
12
19
10
11
9
分组
频数
4
6
10
4
采样点
品种A
品种B
东
20
9
南
7
3
西
17
8
110
321
230
023
123
021
132
220
001
231
130
133
231
031
320
122
103
233
年龄
40,50
50,60
保费
30
60
90
120
150