2024-2025学年福建省福州市福清市高一（上）期中数学试卷（含答案）

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这是一份2024-2025学年福建省福州市福清市高一（上）期中数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.命题：“∀x∈R，x2+2x+1≤0”的否定是( )
A. ∀x∈R，x2+2x+1>0B. ∀x∈R，x2+2x+1≤0
C. ∃x∈R，使得x2+2x+1>0D. ∃x∈R，使得x2+2x+1≤0
2.已知集合U={−1,0,1,2,3}，A={x|−1A. {−1,3}B. {1,2}C. {−1,0,3}D. {0,1,2}
3.不等式3x2−x−2<0的解集是( )
A. (−23,1)B. (−1,−23)
C. (−∞,−1)∪(−23,+∞)D. (−∞,−1)∪(23,+∞)
4.“a≥12”是“函数f(x)=(2a−1)x+b是R上的增函数”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.用28cm长的铁丝折成一个矩形，则该矩形面积的最大值为( )
A. 49cm2B. 196cm2C. 36cm2D. 81cm2
6.下列函数中与函数y=x相等的函数是( )
A. y=( x)2B. y= x2C. y=x2xD. y=(3x)3
7.命题“∀x∈R，x2+ax+1≥0”为真命题，则实数a的取值范围是( )
A. [−2,2]B. (−2,2)
C. (−∞,−2]∪[2,+∞)D. (−∞,−2)∪(2,+∞)
8.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若f(x)在区间(0,+∞)上单调递减，则下列关系式中成立的是( )
A. f(−1)f(2)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.图中阴影部分用集合表示正确的是( )
A. A∩BB. ∁U(A∩B)C. (∁UA)∪(∁UB)D. ∁A(A∩(∁UB))
10.若a>b>0，dA. ac>bcB. a−d>b−cC. 1d<1cD. a3>b3
11.已知a>0，函数f(x)=ax2+bx+c，若x0满足关于x的方程2ax+b=0，则下列命题为真命题的有( )
A. ∀x∈R，f(x)≤f(x0)B. ∀x∈R，f(x)≥f(x0)
C. ∃x∈R，f(x)≤f(x0)D. ∃x∈R，f(x)≥f(x0)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知013.{a,0,1}={c,1b,−1}，则a+b+c= ______．
14.已知函数f(x)=−x+3a,x>0x2−ax+1,x≤0，则f(f(0))= ______(用含a的式子表示)；若f(x)在定义域R上是减函数，则a的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合A={x|x2−3x+2=0}，B={x|ax=1}，C={x∈Z|x2−6x+5≤0}，
(1)若B⊆A，求实数a的值．
(2)请写出所有满足A⫋M⊆C的集合M．
16.(本小题15分)
已知a>0，b>0．
(1)比较a2+a与2ab−b2的大小；
(2)若a+b+3=ab，求ab的最小值．
17.(本小题15分)
已知f(x)=−x+1，g(x)=(x−1)2，x∈R，m(x)表示f(x)，g(x)的最小者，记为m(x)=min{f(x),g(x)}．
(1)请在如图所示的坐标系中作出函数m(x)的图象，并写出解析式；
(2)请判断函数m(x)的单调性，并说明单调区间及值域(无需说明理由)；
(3)若m(2−a2)>m(a)，求实数a的取值范围．
18.(本小题17分)
设f(x)=x−1x．
(1)求证：f(1x)=−f(x)；
(2)证明：f(x)为奇函数；
(3)试判断f(x)在(0,+∞)上的单调性，并说明理由．
19.(本小题17分)
若一个集合仅有2个元素，且这2个元素之和等于这2个元素之积，则称该集合为2元“完美集”.例如{3,32}就是一个2元“完美集”，这是因为3+32=3×32．
(1)请再写出一个不同于{3,32}的2元“完美集”(无需写出求解过程)；
(2)求证：对任意一个2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于4；
(3)是否存在某个2元“完美集”，其元素均为正整数？若存在，求出所有符合条件的2元“完美集”；若不存在，说明理由．
参考答案
1.C
2.A
3.A
4.B
5.A
6.D
7.A
8.D
9.AD
10.BD
11.BCD
12.14
13.0
14.3a−1 [0,13]
15.解：(1)集合A={x|x2−3x+2=0}={1,2}，
当a=0时，B=⌀，符合题意，
当a≠0时，B={1a}，
因为B⊆A，
所以1a=1或1a=2，
解得a=1或12，
综上所述，实数a的值为0或1或12；
(2)C={x∈Z|x2−6x+5≤0}={1,2,3,4,5}，
所以{1,2}⫋M⊆{1,2,3,4,5}，
所以M={1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．
16.解：因为a>0，b>0．
(1)所以a2+a−2ab+b2=(a−b)2+a>0，
所以a2+a>2ab−b2；
(2)若a+b+3=ab，则ab−3=a+b≥2 ab，当且仅当a=b=3时取等号，
所以ab≥9，
故ab的最小值为9．
17.解：(1)因为f(x)=−x+1，g(x)=(x−1)2，
由题意可得m(x)=−x+1,x≤0(x−1)2,0图象如图所示：

(2)由图象知，函数的单调递减区间为(−∞,+∞)，无单调递增区间，且值域为R；
(3)因为m(2−a2)>m(a)，
由函数在R上单调递减，所以2−a20，
解得：a>1或a<−2，
所以实数a的取值范围为{a|a>1或a<−2}．
18.(1)证明：因为f(x)=x−1x，
所以f(1x)=1x−x=−f(x)；
(2)证明：因为f(x)=x−1x，
所以f(−x)=1x−x=−f(x)，
故f(x)为奇函数；
(3)解：f(x)在(0,+∞)上的单调递增，证明如下：
任取x1>x2>0，
所以x1−x2>0，1+1x1x2>0，
则f(x1)−f(x2)=x1−x2+1x2−1x1=x1−x2+x1−x2x1x2=(x1−x2)(1+1x1x2)>0，
所以f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增．
19.解：(1){4,43}(答案不唯一，满足x+y=xy均可)；
(2)证明：由题，设2元“完美集”为{x,y}，其中x≠y，且x>0，y>0，
则x+y=xy，
由x+y≥2 xy得，xy≥2 xy，xy≥4，
因为x≠y，所以xy>4；
(3)假设{x,y}为2元“完美集”，且x，y∈N∗，x≠y，
所以x+y=xy，
则(x−1)(y−1)=1，又x，y∈N∗，
所以x−1=1y−1=1或x−1=−1y−1=−1，即x=y=2或x=y=0，这与x≠y矛盾，
故不存在满足题意的2元“完美集”．