2024-2025学年福建省泉州市四校联盟高二上学期11月期中联考数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年福建省泉州市四校联盟高二上学期11月期中联考数学试题（含答案），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x=tan150∘的倾斜角是( )
A. 30∘B. 90∘C. 150∘D. 不存在
2.如图．空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在OA上，且满足MA=12OM，点N为BC的中点，则MN=( )
A. 12a−23b+12cB. −23a+12b+12c
C. 12a+12b−12cD. 23a+23b−12c
3.若方程x2m+3−y2m−1=1表示椭圆，则实数m的取值范围为( )
A. (−1,3)B. (−3,1)
C. (−3,−1)∪(−1,1)D. (−∞,−3)∪(1,+∞)
4.若点P−1,2在圆x2+y2−x+2y+2k=0的外部，则实数k的取值范围是( )
A. −5,+∞B. −∞,−5C. −5,58D. −5,54
5.若直线l:kx−y−2=0与曲线C: 1−(y−1)2=x−1至少有一个公共点，则实数k的取值范围是( )
A. 43,2B. 43,4
C. −2,−43∪43,2D. 43,+∞
6.下列说法正确的是( )
A. 若a⋅b<0，则是钝角;
B. 直线l方向向量a=0,1,−1，平面α的法向量n=1,−1,−1，则l⊥α;
C. 直线l经过点A2,3,1，B0,1,0，则P32,3,2到l的距离为 54
D. 若a,b,c是空间的一组基底，则a+b,b+c,c+a也是空间的一组基底
7.已知直线l过点P(2,5)，且与圆C:x2+y2−6x−4y−3=0交于A，B两点，当▵ABC面积最大时，l的方程为( )
A. x−3y+13=0B. x−3y−13=0或x−3y−17=0
C. x−y+3=0D. x−y+3=0 或x+7y−37=0
8.已知O为坐标原点，P是椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0上位于x轴上方的点，F为右焦点.延长PO、PF交椭圆E于Q、R两点，QF⊥FR，QF=4FR，则椭圆E的离心率为( )
A. 33B. 22C. 53D. 104
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直角坐标系中A−1,0，B2,0，满足PA=2PB的点P的轨迹为C，则下列结论正确的是( )
A. C上的点到直线x−y+1=0的最小距离为2 2−2
B. 若点x,y在C上，则x+ 3y的最小值是−1
C. 若点x,y在C上，则yx的最小值是−2
D. 圆x2+(y−a)2=4与C有且只有两条公切线，则a的取值范围是− 710.设F1,F2是椭圆x236+y212=1的两个焦点，P(m,n)(n≠0)是椭圆上一动点，则下列说法中正确的是( )
A. ▵PF1F2的周长为12+4 6
B. PF1⋅PF2的最大值为36
C. 满足∠F1PF2=90∘的点P有两个
D. 直线mx+ny=2与圆x2+y2=1相交
11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为2，P、Q分别是棱CC1，棱BC的中点，点M是其侧面ADD1A1上的动点(含边界)，下列结论正确的是( )
A. 沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为 13
B. 过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面面积为92
C. 当PM= 6时，点M的轨迹长度为 2π
D. 保持PM与BD1垂直时，点M的运动轨迹长度为 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知F1,F2分别为椭圆x216+y29=1的左､右焦点，P为椭圆上一点且PF1=3PF2，则∠F1PF2的大小为 ．
13.函数fx= x2−2x+17+ x2−10x+29的最小值为 ．
14.画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆C的蒙日圆，其圆方程为x2+y2=a2+b2.已知椭圆C的离心率为 63，点A，B均在椭圆C上，则点A与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为 (用含b的式子表示)，若b=1，椭圆C的蒙日圆上存在点M满足MA⊥MB，则▵AOB面积的最大值为
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60∘,EA⊥平面ABCD,EA//BF,AB=AE=2BF=2．
(1)证明：CF//平面ADE；
(2)求平面ADE与平面CEF夹角的余弦值．
16.(本小题12分)
如图，已知圆C:x2+y2+4x+4y=0，点A0,6．

(1)求圆心在直线y=x上，经过点A，且与圆C相外切的圆N的方程；
(2)若过点A的直线m与圆C交于P,Q两点，且圆弧PQ⌢恰为圆C周长的14，求直线m的方程．
17.(本小题12分)
已知点F2(1,0)，动点Q在圆F1:x+12+y2=16上运动，线段QF2的垂直平分线交QF1于P点.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设直线l:x=my+1与点P的轨迹交于A，B两点，求▵ABF1面积的最大值．
18.(本小题12分)
如图，在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，底面▵ABC是边长为4的正三角形，侧面BCC1B1为菱形，已知∠BB1C=60∘，AB1=a．
(1)当a=2 6时，求三棱柱ABC−A1B1C1的体积；
(2)设点P为侧棱BB1上一动点，当a=6时，求直线PC1与平面ACC1A1所成角的正弦值的取值范围．
19.(本小题12分)
用测量距离的方式有3种．设Ax1,y1,Bx2,y2，定义欧几里得距离DA,B= x1−x22+y1−y22；定义曼哈顿距离MA,B=x1−x2+y1−y2，定义余弦距离eA,B=1−csA,B，其中csA,B=csOA,OB(O为坐标原点)．
(1)求满足MO,H=1的点H的轨迹所围成的图形面积；
(2)若C( 6x−x2,x−3),D(−1, 3)，求eC,D的取值范围；
(3)动点P在直线y=2x−2上，动点Q在函数y=x2图象上，求MP,Q的最小值．
参考答案
1.B
2.B
3.C
4.C
5.B
6.D
7.D
8.C
9.ABD
10.ABD
11.ABD
12.π3
13.2 13
14.2− 3b； 32
15.(1)
取AE的中点G，连接GD,GF，
因为BF//EA，且BF=12AE，则AG//BF且AG=BF，
可知四边形AGFB是平行四边形，则GF//AB，且GF=AB，
又因为ABCD是菱形，则AB//DC，且AB=DC，
可得GF//DC且GF=DC，可知四边形CFGD是平行四边形，
则CF//DG，
且CF⊄平面ADE,DG⊂平面ADE，所以CF//平面ADE
(2)
连接BD交AC于N，取CE中点P，
因为PN//AE,EA⊥平面ABCD，则PN⊥平面ABCD，且CN⊥BN，
以N为原点，NC,NB,NP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则E−1,0,2,B0, 3,0,C1,0,0,F0, 3,1,A−1,0,0,D0,− 3,0，
可得CE=−2,0,2,CF=−1, 3,1,AD=(1,− 3,0),AE=(0,0,2)，
设平面CEF的一个法向量为n1=x1,y1,z1，则n1⋅CE=−2x1+2z1=0n1⋅CF=−x1+ 3y1+z1=0,
令x1=1，则y1=0,z1=1，可得n1=1,0,1，
设平面ADE的一个法向量为n2=x2,y2,z2，则n2⋅AD=x2− 3y2=0n2⋅AE=2z2=0,
令x2= 3，则y2=1,z2=0，可得n2= 3,1,0，
设平面ADE与平面CEF的夹角为θ，
则csθ=csn1,n2=n1⋅n2n1⋅n2= 3 2×2= 64，
所以平面ADE与平面CEF夹角余弦值为 64．

16.(1)
由C:x2+y2+4x+4y=0，
化为标准方程：x+22+y+22=8．
所以圆C的圆心坐标为C−2,−2，

又圆N的圆心在直线y=x上，设圆N的圆心坐标为a,a，
又经过点A，且与圆C相外切，所以切点为O，
则有NO=NA，
即 a−02+a−62= a−02+a−02，
解得a=3，
所以圆N的圆心坐标为3,3，半径r=NO=3 2，
故圆N的方程为x−32+y−32=18．
(2)

因为圆弧PQ恰为圆C周长的14，所以CP⊥CQ．
所以点C到直线m的距离为2．
当直线m的斜率不存在时，点C到y轴的距离为2，
直线m即为y轴，所以此时直线m的方程为x=0．
当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y=kx+6，即kx−y+6=0．

所以−2k+2+6 1+k2=2，解得k=158，
所以此时直线m的方程为15x−8y+48=0．
综上，所求直线m的方程为x=0或15x−8y+48=0．

17.(1)
由题意，圆(x+1)2+y2=16的圆心为F1(−1,0)，点F2(1,0)，
线段QF2的垂直平分线交QF1于点P，所以PQ=PF2，
又由F1Q=4，所以点P满足PF1+PF2=PF1+PQ=F1Q=4>2，
由椭圆的定义知，点P轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆，其中2a=4,2c=2，
可得a=2,c=1，所以b= a2−c2= 3，
所以点P的轨迹方程为x24+y23=1．
(2)
设Ax1,y1,Bx2,y2，
则由3x2+4y2=12x=my+1，可得4+3m2y2+6my−9=0，
此时Δ=36m2+36×4+3m2=1441+m2>0y1+y2=−6m4+3m2y1⋅y2=−94+3m2,
而AB= 1+m2y1−y2= 1+m2 y1+y22−4y1y2
= 1+m2 −6m4+3m22−4×−94+3m2=121+m24+3m2，
F1−1,0到AB的距离为−1−0−1 1+m2=2 1+m2，
故▵ABF1的面积S=12×2 1+m2×121+m24+3m2=12 1+m23+3m2+1=123 1+m2+1 1+m2，
令t= 1+m2≥1，设y=3t+1t，
则由对勾函数性质知y=3t+1t在1,+∞上为增函数，
故y≥4，当t=1时取等号，
即S的最大值为3．

18.(1)
如图，取BC的中点为O，
因为BCC1B1为菱形，且∠BB1C=60∘，所以▵B1BC为正三角形，
又▵ABC为正三角形且边长为4，则BC⊥AO，BC⊥B1O，
且AO=B1O=2 3，AB1=2 6，所以AO2+B1O2=AB12，
所以B1O⊥AO，
因为又BC∩AO=O，
由BC⊂平面ABC，AO⊂平面ABC，
所以B1O⊥平面ABC，
所以三棱柱ABC−A1B1C1的体积V=B1O⋅S▵ABC=2 3× 34×42=24．
(2)
在▵AOB1中，AO=B1O=2 3，AB1=6，
由余弦定理可得cs∠AOB1=2 32+2 32−622×2 3×2 3=−12，
所以∠AOB1=2π3，
由(1)BC⊥AO，BC⊥B1O，
又B1O∩AO=O，B1O⊂平面B1AO，AO⊂平面B1AO，
所以BC⊥平面AOB1，
因为BC⊂平面ABC，
所以平面AOB1⊥平面ABC，
所以在平面AOB1内作Oz⊥OA，则Oz⊥平面ABC，
以OA，OC，Oz所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示
则B1− 3,0,3，B0,−2,0，A2 3,0,0，C0,2,0，
C1− 3,4,3，A1 3,2,3，
AC=−2 3,2,0，AC1=−3 3,4,3，
设n=(x,y,z)是平面ACC1A1的一个法向量，
则n⋅AC=0n⋅AC1=0，即−2 3x+2y=0−3 3x+4y+3z=0,
取z=1得n=− 3,−3,1，
设BP=λBB10≤λ≤1，
则C1P=C1B+BP=C1B+λBB1= 3,−6,−3+λ− 3,2,3
= 31−λ,2λ−6,3λ−1，
设直线PC1与平面ACC1A1所成角为θ，
则sinθ=csC1P,n=n⋅C1Pn⋅C1P
=12 13× 16λ2−3λ+3=3 13× λ2−3λ+3，
令fλ=3 13× λ2−3λ+3=3 13× λ−322+340≤λ≤1，
则fλ在0,1单调递增，所以fλ∈ 3913,3 1313，
故直线PC1与平面ACC1A1所成角的正弦值的取值范围为 3913,3 1313．

19.(1)
设Hx,y，则x+y=1，
当x≥0,y≥0时，则x+y=1；当x≥0,y<0时，则x−y=1；
当x<0,y≥0时，则x−y=−1；当x<0,y<0时，则x+y=−1．
如图，点H的轨迹是一个边长为 2的正方形，
∴点H的轨迹所围成的图形面积为( 2)2=2．
(2)
因cs(C,D)=− 6x−x2+ 3(x−3)3×2=−16( 6x−x2− 3x+3 3)，
令 6x−x2− 3x+3 3=t，则 6x−x2= 3x−3 3+t，
即y= 6x−x2与y= 3x−3 3+t有交点，
也即半圆x2+y2−6x=0y≥0与直线y= 3x−3 3+t有交点，
下面，先计算直线与半圆相切和经过点(6,0)时的情况．
由圆心(3,0)到直线y= 3x−3 3+t的距离d=|t|2=3，解得t=±6，
由题知此时t>0，即t=6；
又由y= 3x−3 3+t，代入点(6,0)，解得t=−3 3，
由题知，要使两者有交点，需使−3 3≤t≤6，此时csC,D=−16t∈−1, 32，
因e(C,D)=1−cs(C,D)，则有e(C,D)∈[1− 32,2]；
(3)
设动点Px1,2x1−2,Qx2,x22，
则MP,Q=x1−x2+2x1−2−x22=x1−x2+2x1−(1+x222)，
因x2−1+x222=−12x2−12−12<0，所以x2<1+x222，
①当x1≥1+x222时，MP,Q=x1−x2+2x1−2−x22=3x1−x22−x2−2，
此时M(P,Q)min=3(1+x222)−x22−x2−2=12x22−x2+1，当且仅当x1=1+x222时取得；
②当x2此时M(P,Q)>−(1+x222)+x22−x2+2=12x22−x2+1；
③当x1≤x2时，MP,Q=−x1−x2−2x1−2−x22=−3x1+x22+x2+2，
此时M(P,Q)min=−3x2+x22+x2+2=x22−2x2+2，
又x22−2x2+2−(x222−x2+1)=x222−x2+1=12(x2−1)2+12>0，
所以x22−2x2+2>x222−x2+1，
综合得MP,Q≥12x22−x2+1=12(x2−1)2+12≥12，
当x2=1,x1=1+x222=32时取等号．
即MP,Q的最小值为12．