2024-2025学年河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”高二上学期11月期中考试数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”高二上学期11月期中考试数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知直线l的倾斜角α满足60∘<α≤135∘，则l的斜率k的取值范围是( )
A. [−1, 3)B. [− 3,1]
C. (−∞,−1]∪( 3,+∞)D. (−∞,− 3]∪(−1,+∞)
2.已知双曲线C:x29−y216=1的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为6，则|PF|=( )
A. 6或18B. 18C. 8或20D. 22
3.设方程x2k−2+y28−k=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( )
A. (2,5)B. (2,8)C. (5,8)D. (8,+∞)
4.若椭圆x23+y27=1的焦点与双曲线y22−x2m=1的焦点重合，则m的值为( )
A. 4B. −4C. −2D. 2
5.若圆O1:x2+y2+2x−3=0与圆O2:x2+y2−2y−1=0交于A，B两点，则弦|AB|长为( )
A. 2B. 2 2C. 2D. 4
6.如图，空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且为OA上靠近A点的三等分点，点N为BC中点，则MN等于( )
A. −23a+12b+12cB. 12a+12b−12cC. 23a+23b−12cD. −23a+23b−12c
7.已知动点P(x,y)满足5 (x−1)2+(y−1)2=|3x+4y−5|，则动点P轨迹是( )
A. 圆B. 椭圆C. 抛物线D. 双曲线
8.已知椭圆具有知下性质：若圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，则椭圆上一点P(x0,y0)处的切线方程为x0xa2+y0yb2=1.试运用该性质解决以下问题：若椭圆C:x29+y24=1，点A为椭圆C在第一象限内的任意一点，过点A作椭圆C的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于M，N两点，则▵OMN面积的最小值为( )
A. 3B. 6C. 9D. 18
9.已知双曲线x2a2−y2b2=1a>b>0两条渐近线的夹角为π3，则此双曲线的离心率为( )
A. 2B. 33C. 2 33D. 4 33
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.设a为实数，直线l1:ax+2y+1=0，l2:(a−2)x−(a+1)y+3=0，则( )
A. l1恒过点(−2,1)B. 若l1//l2，则a=−4或a=1
C. 若l1⊥l2，则a=−4或0D. 当a≤−1时，l2不经过第二象限
11.过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线与C相交于P(x1,y1)，Q(x2,y2)两点，直线PQ的倾斜角为θ，若|PQ|的最小值为4，则( )
A. F的坐标为(1,0)
B. 若|PQ|=8，则θ=π4
C. 若A(2,1)，则|PA|+|PF|的最小值为3
D. △OPQ面积的最小值为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=2,3,−1，b=1,2,2，则a在b上的投影向量为 ．
13.点A，B是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点，M是椭圆上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为−59，则椭圆C的离心率为 ．
14.已知圆C:x2+y2−6y+8=0，M是圆C上的任意一点，P为直线l:x−y−1=0上任意一点，点Q(−2,1)，则|PM|+|PQ|+1的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知空间中三点A(2,−1,1)，B(1,1,0)，C(4,−3,3).设a=AB，b=AC．
(1)求a−2b和|2a+b|；
(2)若2ka−b与a+kb互相垂直，求实数k的值．
16.(本小题12分)
已知圆E经过点A(0,0)，B(4,4)，且与y轴相切，直线l恒过Q(2,3)．
(1)求圆E的方程；
(2)直线l与圆E相交于M，N两点，且|MN|=4 3时，求l的方程．
17.(本小题12分)
已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 2，焦点F到渐近线的距离为1．
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)直线l:y=kx−1与双曲线E的左支交于不同两点，求实数k的取值范围．
18.(本小题12分)
已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点P4,y0y0>0在抛物线C上，且PF=5．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点Q1,−4的直线与抛物线C交于A，B两点(均与点P不重合)，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，试问k1k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
19.(本小题12分)
动点M与定点F( 2,0)的距离和它到定直线m:x=2 2的距离比是常数 22，
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)若直线l过点Q(0,−1)，且与C交于A，B两点，当|AB|最大时，求直线l的方程．
参考答案
1.C
2.B
3.A
4.D
5.B
6.A
7.C
8.B
9.C
10.BD
11.ACD
12.23,43,43
13.23
14.2 10
15.(1)
∵A(2,−1,1)，B(1,1,0)，C(4,−3,3)，a=AB，b=AC，
∴a=(−1,2,−1)，b=(2,−2,2)，
于是，a−2b=−1,2,−1−4,−4,4=−5,6,−5，
2a+b=−2,4,−2+2,−2,2=0,2,0，
2a+b= 02+22+02=2．
(2)
∵2ka−b=(−2k,4k,−2k)−(2,−2,2)=(−2k−2,4k+2,−2k−2)，
a+kb=(−1,2,−1)+(2k,−2k,2k)=(2k−1,2−2k,2k−1)，
且2ka−b与a+kb互相垂直，
∴(2ka−b)⋅(a+kb)=0，
即(−2k−2)(2k−1)+(4k+2)(2−2k)+(−2k−2)(2k−1)=0，
∴k2=12，解得：k=± 22．

16.(1)
设圆E的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2(r>0)，
由题意知a2=r2a2+b2=r2(4−a)2+(4−b)2=r2,
解得a=4，b=0，r=4，
故圆E的方程为(x−4)2+y2=16；
(2)
当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=2，此时满足MN=2 16−22=4 3，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y−3=k(x−2)，即kx−y−2k+3=0，
设圆心到直线l的距离为d，则d=|4k−2k+3| k2+1=|2k+3| k2+1，
则d2+MN22=16，解得k=−512，
则直线l的方程为5x+12y−46=0；
综上：直线l的方程为x=2或5x+12y−46=0．

17.(1)
因为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率e= 2，可得ca= 2，即c= 2a．
又因为焦点F(c,0)到渐近线bx−ay=0的距离为1，
根据点到直线距离公式d=|bc| a2+b2，而c2=a2+b2，所以d=b，则b=1．
由c2=a2+b2且c= 2a，b=1，可得( 2a)2=a2+1，解得a2=1．
所以双曲线E的标准方程为x2−y2=1．
(2)
将直线y=kx−1代入双曲线方程x2−y2=1，得到x2−(kx−1)2=1，展开可得x2−(k2x2−2kx+1)=1，整理得(1−k2)x2+2kx−2=0．
因为直线与双曲线左支交于不同两点，所以1−k2≠0Δ=(2k)2−4(1−k2)×(−2)>0x1+x2=−2k1−k2<0x1x2=−21−k2>0．
由1−k2≠0，解得k≠±1．
对于Δ=(2k)2−4(1−k2)×(−2)>0，即4k2+8(1−k2)>0，解得− 2由x1+x2=−2k1−k2<0，(结合x1x2=−21−k2>0)，所以2k<0，解得k<0．
由x1x2=−21−k2>0，解得k2>1，即k>1或k<−1．
综合以上条件，取交集得− 2则实数k的取值范围为(− 2,−1)．

18.(1)
由抛物线定义可知|PF|=x0+p2，
所以4+p2=5，则p=2，
所以抛物线C的方程为y2=4x；
(2)
由p(4,y0)(y0>0)在抛物线上，得y0=4，即P(4,4)，
显然，过点Q(1,−4)的直线斜率不为0，
故设直线AB方程为x=m(y+4)+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由x=m(y+4)+1y2=4x，得y2−4my−16m−4=0，
Δ=16m2−4(−16m−4)=16(m2+4m+1)>0，解得m> 3−2或m<− 3−2，
则y1+y2=4m，y1y2=−16m−4，
故x1+x2=m(y1+y2+8)+2=4m2+8m+2，
x1x2=(my1+4m+1)(my2+4m+1)=m2y1y2+m(4m+1)(y1+y2)+(4m+1)2
=16m2+8m+1，
又k1=y1−4x1−4，k2=y2−4x2−4，
所以k1k2=y1−4x1−4⋅y2−4x2−4=y1y2−4y1+y2+16x1x2−4x1+x2+16
=−16m−4−4×4m+1616m2+8m+1−44m2+8m+2+16=−32m+12−24m+9=43，
故k1k2为定值43．


19.(1)
设M(x,y)，得 (x− 2)2+y2|x−2 2|= 22，
整理得M的轨迹C的方程为x24+y22=1．
(2)
当直线l的斜率不存在时，方程为x=0，此时|AB|=2 2；
当直线l的斜率存在时，设方程为y=kx−1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立方程y=kx−1x24+y22=1，消y得(1+2k2)x2−4kx−2=0，
Δ=16k2+8(1+2k2)=32k2+8>0恒成立，故k∈R，
则x1+x2=4k1+2k2，x1x2=−21+2k2，
所以AB= 1+k2⋅ 4k1+2k22+81+2k2=2 2 1+k21+4k21+2k22，
法一：令t=1+2k2，t≥1，则k2=t−12，
可得AB=2 2⋅ 1+t−121+4⋅t−12t2=2 2t2+t−1t2=2 −1t2+1t+2，
当1t=12，即t=2，k=± 22时，|AB|取得最大值3；
综上所述，当|AB|最大时，所求直线l的方程为y=± 22x−1；
法二：AB=2 2⋅ 1+k21+4k21+2k22=2 2⋅ 4k4+5k2+14k4+4k2+1
=2 2⋅ 1+k24k4+4k2+1=2 2⋅ 1+14k2+4+1k2
≤2 2⋅ 1+12 4k2⋅1k2+4=3，
当且仅当4k2=1k2，即k=± 22时，等号成立，
综上所述，当|AB|最大时，所求直线l的方程为y=± 22x−1．