2024-2025学年山东省济宁市邹城市高二上学期11月期中教学质量检测数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省济宁市邹城市高二上学期11月期中教学质量检测数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知空间两点A0,1,2,B−2,3,1，则A､B两点间的距离是( )
A. 2B. 3C. 4D. 9
2.若直线l经过点A−1,0,B2,− 3，则直线l的斜率是( )
A. 3B. − 3C. 33D. − 33
3.甲、乙两人比赛下棋，下成和棋的概率是14，甲获胜的概率的是13，则乙不输的概率是( )
A. 512B. 712C. 23D. 34
4.已知直线x+y=0与圆C:x2+(y−2)2=8相交于A,B两点，则AB=( )
A. 2 6B. 4C. 6D. 2
5.已知空间三点P2,0,0,O0,0,0,A−1,1,2，则点P到直线OA的距离是( )
A. 66B. 306C. 63D. 303
6.甲、乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯，假设每个人从第2层开始在每一层离开电梯是等可能的，则甲、乙两人离开电梯的楼层数的和为9的概率是( )
A. 118B. 19C. 16D. 29
7.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，D为棱AB的中点，BC1与B1C交于点E，若AB=AA1，则B1D与A1E所成角的余弦值是( )
A. 525B. 520C. 510D. 55
8.若过直线3x+4y+12=0上一点P作圆C:x2+y2−2x=0的两条切线，切点为A,B，则PC⋅AB的最小值是( )
A. 2 3B. 4 3C. 2 2D. 4 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设直线l1:x−ay+2a=0,l2:ax+y+a=0的交点为Mx0,y0，则( )
A. l1恒过定点(0,2)B. l1⊥l2
C. x02+y02的最大值为52D. 点3,−2到直线l1的距离的最大值为5
10.某学校数学、物理两兴趣小组各有3名男生、3名女生，假设物理兴趣小组的3名女生为甲、乙、丙，现从数学、物理两兴趣小组各随机选出1名同学参加比赛.设事件M1为“从数学兴趣小组中选出的是男生”；事件M2为“从物理兴趣小组选出的是女生乙”；事件M3为“从两兴趣小组选出的都是男生”；事件M4为“从两兴趣小组中选出的是1名男生和1名女生”，则( )
A. PM1=16B. PM3=14
C. M2与M4相互独立D. M2与M4互斥
11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点P满足DP=xDA+yDC，其中x∈0,1,y∈0,1，则( )
A. 存在唯一点P，使得C1P⊥平面B1D1C
B. 存在唯一点P，使得A1P//平面B1D1C
C. 当x+y=1时，点B1到平面PA1D1的距离的最小值为 2
D. 当x2+y2=14时，三棱锥P−ACB1的体积的最小值为4−2 23
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若实数x,y满足方程x+2y−5=0，则 x2+y2的最小值为 ．
13.某商场调查500名顾客的满意度情况，得到的数据如下表：
若160≤x≤198，则满意的顾客中男性顾客不少于女性顾客的概率为 ．
14.已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1,AA1=2AD=4,O为对角线AC1的中点，过点O的直线与长方体表面交于E,F两点，M为长方体表面上的动点，则ME⋅MF的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AD=2AB=4，设AC∩BD=E．
(1)证明：B1E//平面A1C1D；
(2)求平面A1B1E与平面C1B1E夹角的余弦值．
16.(本小题12分)
在某电视民间歌手挑战赛活动中，有4位民间歌手参加比赛，由现场观众投票选出最受欢迎的歌手，各位观众须彼此独立地在选票上选2名歌手.其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另外在其他歌手中随机选1名；观众乙、丙对4位歌手没有偏爱，因此，乙、丙在4名歌手中随机选2名歌手．
(1)求观众甲选2号歌手且观众乙未选2号歌手的概率；
(2)设3号歌手得到观众甲、乙、丙的选票数之和为X，求X=2的概率．
17.(本小题12分)
已知直线l经过直线l1:x−2y+3=0,l2:x+y−3=0的交点P，且A(3,2)､B−1,−2两点到直线l的距离相等．
(1)求直线l的一般式方程；
(2)若点A､B在直线l的同侧，且Q为直线l上一个动点，求AQ+BQ的最小值．
18.(本小题12分)
如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3，沿AC将△ADC折起，点D到达点P的位置，使点P在平面ABC的射影H落在边AB上.
(1)证明：PA⊥BC；
(2)求点B到平面PAC的距离；
(3)若CM=2MP，求直线AC与平面AMB所成角的正弦值．
19.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，已知圆C经过原点和点P2,0，并且圆心在x轴上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)设P1P2为圆C的动弦，且P1P2不经过点P，记k1､k2分别为弦P1P､P2P的斜率．
(i)若k1⋅k2=−1，求▵PP1P2面积的最大值；
(ii)若k1⋅k2=3，请判断动弦P1P2是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由．
参考答案
1.B
2.D
3.C
4.A
5.D
6.C
7.B
8.D
9.ABD
10.BC
11.ACD
12. 5
13.713
14.−5,5
15.(1)
连接B1D1，设A1C1∩B1D1=F，连接FD，如图：
则B1F//ED，且B1F=ED，所以四边形B1FDE是平行四边形，
所以B1E//FD,B1E⊄平面A1C1D,FD⊂平面A1C1D
故B1E//平面A1C1D．
(2)
以D为坐标原点，DA､DC､DD1方向为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为AA1=AD=2AB=4，所以D0,0,0,B14,2,4,A14,0,4，
E2,1,0,C10,2,4，
∴A1B1=0,2,0,A1E=−2,1,−4．
设平面A1B1E的法向量n=(x,y,z)，
则A1B1⋅n=0A1E⋅n=0，即2y=0−2x+y−4z=0
令z=1，解得y=0,x=−2,∴n=−2,0,1
B1C1=−4,0,0，B1E=−2,−1,−4
设平面C1B1E的一个法向量m=x1,y1,z1，
则B1C1⋅m=0B1E⋅m=0，即−4x1=0−2x1−y1−4z1=0令z1=1，解得y1=−4,x1=0，
∴m=0,−4,1．
设平面A1B1E与平面C1B1E的夹角为α,∴csα=m⋅nm⋅n=1 5 17= 8585，
故平面A1B1E与平面C1B1E夹角的余弦值为 8585．

16.(1)
设事件D表示“观众甲选2号歌手且观众乙未选2号歌手”，
观众甲选2号歌手的概率为13，观众乙未选2号歌手的概率为12，
从而PD=13×12=16，
故观众甲选2号歌手且观众乙未选3号歌手的概率为16，
(2)
设事件A，B，C分别表示“观众甲、乙、丙选3号歌手”，
由题意得：PA=13，PB=PC=12，
所以PX=2=PABC+PABC+PABC
=1−13×12×12+13×1−12×12+13×12×1−12=13
故X=2的概率为13．

17.(1)
由x−2y+3=0x+y−3=0，解得x=1y=2，所以交点P1,2
①当所求直线与直线AB平行时，直线AB的斜率为kAB=2+23+1=1，
则所求直线的方程为y−2=1⋅x−1，即x−y+1=0；
②当所求直线过AB的中点时，线段AB的中点坐标为(1,0)，
则所求直线垂直于x轴，故所求直线方程为x=1，即x−1=0；
综上所述，所求直线方程为x−y+1=0或x−1=0．
(2)
因为点A､B在直线l的同侧，所以直线l的方程为x−y+1=0，
设点A关于直线l的对称点为Cx0,y0，
则3+x02−2+y02+1=0y0−2x0−3=−1,
解得x0=1y0=4，即点C1,4，
因为AQ+BQ≥CB= (−1−1)2+(−2−4)2=2 10，
当Q､B､C三点共线时等号取到，
故AQ+BQ的 最小值为2 10．

18.(1)
由点P在平面ABC的射影H落在边AB上可得：PH⊥平面ABC，
又BC⊂平面ABC，所以PH⊥BC，
又BC⊥AB，且AB⊂平面PAB,PH⊂平面PAB,AB∩PH=H，
所以BC⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，故BC⊥PA．
(2)
作BE⊥PC，垂足为E，
由已知得：PA⊥PC且BC⊂平面PBC,PC⊂平面PBC,BC∩PC=C，
从而PA⊥平面PBC，且PA⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC，
又BE⊂平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC,BE⊥PC，
所以BE⊥平面PAC，即BE即为点B到平面PAC的距离，
在直角三角形PBC中，BC=3,PC=4，所以PB= 7,BE=3 74，
故点B到平面PAC的距离为3 74．
(3)
在直角三角形PAB中可得，PH=3 74,BH=74，以点B为坐标原点，
分别以BC,BA所在直线为x,y轴，以过点B且垂直于平面ABC的直线为z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
B0,0,0,A0,4,0,P0,74,3 74,C3,0,0因为CM=2MP，
所以CM=23CP=23−3,74,3 74=−2,76, 72，从而M1,76, 72，
易知BA=0,4,0,BM=1,76, 72，
设平面AMB的一个法向量为n=(x,y,z)，
所以BA⋅n=4y=0BM⋅n=x+76y+ 72z=0，解得：n=2 73,0,−43，
又直线AC的方向向量为a=−3,4,0，
因此可得sinθ=csn,a=n⋅ana=2 75× 289+169=3 7755
故直线AC与平面AMB所成角的正弦值为3 7755．

19.(1)
设圆C的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，
由已知可得：a2+b2=r2;(2−a)2+b2=r2;b=0.
解得：a=1,b=0,r=1，
所以圆C的标准方程为(x−1)2+y2=1
(2)
(2)(i)因为k1⋅k2=−1，所以P1P⊥P2P，
从而直线P1P2经过圆心，▵PP1P2是直角三角形，且P1P2=2，
设P1P=a,P2P=b，则a2+b2=4，
又4=a2+b2≥2ab，所以ab≤2，当且仅当a=b= 2时取等号，
所以S▵PP1P2max=12ab=1．
(ii)由已知得：直线P1P2的斜率必存在，
设直线P1P2的 方程为y=kx+m,P1x1,y1,P2x2,y2，
由y=kx+m;(x−1)2+y2=1.，消去y得：k2+1x2+2km−1x+m2=0，
Δ>0,x1+x2=−2km−1k2+1,x1x2=m2k2+1，(※)
又k1⋅k2=y1x1−2⋅y2x2−2=kx1+mkx2+mx1−2x2−2=k2x1x2+kmx1+x2+m2x1x2−2x1+x2+4=3，
即3−k2x1x2−km+6x1+x2+12−m2=0，
代入(※)得：m2+5km+6k2=0，
即m+2km+3k=0，
解得：m=−2k，或m=−3k，
当m=−2k时，此时直线P1P2的方程为y=kx−2，过定点P2,0(舍去)，．
当m=−3k时，此时直线P1P2的方程为y=kx−3，过定点3,0，
故当k1⋅k2=3，动弦P1P2过定点3,0．

不满意
一般
满意
女性
25
64
x
男性
15
36
y