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2024-2025学年安徽省新明教育高一上学期期中检测数学试卷（含答案）
展开这是一份2024-2025学年安徽省新明教育高一上学期期中检测数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合M=xx2−1=0，则( )
A. 1∉MB. −1⊆MC. {−1,1}⊆MD. {−1,1}∈M
2.已知函数fx= 3−x+ 3+x−3，其定义域为( )
A. −3,3B. −3,+∞C. −3,3D. −∞,3
3.“x=1”是“x2=x”的( )
A. 充分必要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
4.下列说法中，正确的是( )
A. 若a>b且c>d，则ac>bd
B. 若a<0，则a+1a的最小值为−2
C. 对任意的实数a和b，总有a+b2≥ ab，当且仅当a=b时等号成立
D. 对任意的实数a和b，总有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立
5.设x∈R，定义符号函数sgnx=1,x>00,x=0−1,x<0，则函数f(x)=|x|sgnx的图象大致是( )
A. B. C. D.
6.若对任意实数x，xx2+x+1≤a恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. −∞,13B. 13,+∞C. −∞,0D. 0,+∞
7.已知a>b>0，c
A. c
9.已知集合A=x|y=1 2−x,B=y|y=x2+1，则( )
A. A∪B=RB. A∩B=1,2
C. A∩B=⌀D. ∁RB∪A=−∞,2
10.下列说法正确的是( )
A. fx=xx与gx=1,&x>0−1,&x<0是同一个函数
B. 有理数集可以表示为Q=x∣x=qp,p,q∈N,p≠0
C. 函数y=x+1x的图象与y=x的图象存在关于原点对称的交点
D. “所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被3整除的整数不是奇数”
11.设函数fx的定义域为A，若对于A内任意两个值x1、x2，都有fx1+x22≥fx1+fx22，则称y=fx具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )
A. fx=1−3xB. fx=1xC. fx=−x2D. fx=x+1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数y=xα的图像过点2, 2，函数的解析式为_________．
13.已知定义域为R的偶函数fx满足：f x=x+4 x，则函数fx的解析式为 ．
14.已知0
15.(本小题12分)
已知集合A=x∣−3≤x≤5，集合B=x∣m+1≤x≤3m−1．
(1)当m=2时，求集合A∩B，A∪B；
(2)若B⊆A，求实数m的取值范围．
16.(本小题12分)
已知正实数a、b满足a+2b=4．
(1)求1a+2b的最小值；
(2)求a2+4b2+5ab的最大值．
17.(本小题12分)
若函数fx=ax2+bx+ca≠0的图象过原点且关于直线x=1对称，fx最小值为−1．
(1)求函数的fx的解析式；
(2)若存在x∈3,4，使得fx>2x+m+1成立，求实数m的取值范围．
18.(本小题12分)
我们知道，函数y=fx的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=fx为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=fx的图象关于点Pa,b成中心对称图形的充要条件是函数y=fx+a−b为奇函数.已知函数fx=x−13+3x−2．
(1)证明：函数gx=fx+1−1是奇函数，并写出函数fx的对称中心；
(2)判断(1)中函数gx的单调性(不用证明)，解关于x的不等式f−x2+f5−2x>2．
19.(本小题12分)
当两个三角形有一个公共顶点且相似时，这样的两个三角形称为“孪生”三角形，它是平面几何中的常见图形.如图，矩形ABCD中，AB=4km，BC=2km，O为对角线AC的中点，点P、Q分别从A和B两点同时出发，在边AB和BC上运动，连接PO、QO并延长分别与CD、DA交于点M、N.形成“孪生”三角形，如图阴影部分所示．
(1)当P、Q两点匀速运动，并且同时到达终点B、C时，在整个运动过程中，请猜想图中“孪生”三角形面积的大小变化情况__________.(从“①一直增大、②一直减小、③先增大后减小、④先减小后增大”中选一个作答，不要求证明)；
(2)当P、Q两点以相同速度v=2km/ℎ匀速运动时，并且Q点到达C点后，立即从C点向B点折返运动，直至与P点第一次相遇.设运动时间为t小时，求出阴影部分面积S关于t的函数解析式．
(3)在函数y=f(x)中，如果存在n个互不相等的值x1，x2，⋯，xn满足fx1=fx2=⋯=fxn，则称x1，x2，⋯，xn是函数y=f(x)的n重等值根.试判断(2)中函数是否存在3重等值根t1，t2，t3，如果存在，求出t1+t2+t3的取值范围．
参考答案
1.C
2.C
3.B
4.D
5.C
6.B
7.B
8.A
9.ABD
10.ACD
11.AC
12.y= x
13.fx=x2+4x,x≥0x2−4x,x<0
14.1,2
15.解：(1)当m=2时，B=x3≤x≤5，
所以A∩B=x3≤x≤5,A∪B=x−3≤x≤5；
(2)若B⊆A，
当B=⌀时，m+1>3m−1，解得m<1；
当B≠⌀时，−3≤m+13m−1≤5，解得−4≤m≤2，
综上，m≤2，
即实数m的取值范围为−∞,2．
16.解：(1)由a>0,b>0,a+2b=4，得14(a+2b)=1，
所以1a+2b=14(a+2b)(1a+2b)=14(5+2ab+2ba)≥14(5+2 2ab×2ba)=94，
当且仅当2ab=2ba即a=b=43时，等号成立，
所以1a+2b的最小值为94．
(2)a2+4b2+5ab=(a+2b)2+ab=16+12a⋅2b≤16+12(a+2b2)2=18，
当且仅当a=2b即a=2b=1时，等号成立，
所以a2+4b2+5ab的最大值为18．
17.解：(1)因为函数fx=ax2+bx+ca≠0的图象关于直线x=1对称，fx最小值为−1．
则a>0，根据二次函数的顶点式可知，fx=ax−12−1，
因为函数fx的图象过原点，则f0=a−1=0，解得a=1，
所以，fx=x−12−1=x2−2x．
(2)由题意知，存在x∈3,4，使得fx>2x+m+1，即x2−2x>2x+m+1，
即m
所以，gxmax=16−16−1=−1，所以，m
18.解：(1)因为fx=x−13+3x−2，则gx=fx+1−1=x3+3x+1−2−1=x3+3x，
函数gx的定义域为R，g−x=−x3+3⋅−x=−x3−3x=−gx，
所以，函数gx=fx+1−1为奇函数，
根据题定义，函数y=f(x)的对称中心为1,1．
(2)函数gx在R上为增函数，证明如下：
任取x1、x2∈R，且x1>x2，则x1−x2>0，
则gx1−gx2=x13+x1−x23+x2=x13−x23+x1−x2
=x1−x2x12+x1x2+x22+1=x1−x2x1+x222+3x224+1>0，即gx1>gx2，
所以，函数gx在R上为增函数，
由gx=fx+1−1可得fx+1=gx+1，则fx=gx−1+1，
由f−x2+f5−2x>2可得g−x2−1+g4−2x+2>2，
即g−x2−1+g4−2x>0，即g4−2x>−g−x2−1=gx2+1，
因为 函数gx在R上为增函数，则x2+1<4−2x，即x2+2x−3<0，解得−3
19.解：(1)由题可知，设从A到B的速度为2v，则从B到C的速度为v，
设AP=2vt，则BQ=vt,BP=4−2vt,CQ=2−vt，
故PA•CQ=BP•BQ，
设BP=a,BQ=b，0≤a≤4,0≤b≤2，
则CQ=2−b,AP=4−a，
所以有4−a2−b=ab⇒a+2b=4，
由题可知，三角形PQO的面积
S1=S▵ABC−S▵PAO−S▵PBQ−S▵CQO=4−4−a2−ab2−2−b=a+2b−ab2，
因为a+2b=4，
得S1=b2−2b+2，
显然当b=1时，S1=b2−2b+2最小为1，
故当b∈0,1时，S1=b2−2b+2变小，b∈1,2时，S1=b2−2b+2变大，，
所以当P、Q两点匀速运动，并且同时到达终点B、C时，在整个运动过程中，
猜想图中“孪生”三角形面积的大小变化情况是先减小后增大．
故填④．
(2)显然当t=1时，Q点到达C，此时P为AB中点，
当t=2时，Q点第一次回到B，点P第一次到达点B，
我们分段来讨论阴影部分面积S关于t的函数解析式，
当0≤t≤1时，此时BP=4−2t,BQ=2t,CQ=2−2t,AP=2t，
此时，S=2S▵ABC−S▵PAO−S▵PBQ−S▵CQO=24−t−t4−2t−2−2t=4t2−6t+4，
当1
所以S=4t2−6t+4,0≤t≤1−4t2+10t−4,1
如图所示，当t=34时，St=4t2−6t+4,0≤t≤1，有最小值S34=74，
令St=74，解得t=34或t=5+ 24，
当t=54时，St=−4t2+10t−4,1
S1=2，
不妨令St1=St2=St3=m，
如图可知，当m∈74,94时，存在3重等值根t1，t2，t3，
不妨令t1
当2
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