2024-2025学年安徽省蚌埠市怀远县高二上学期期中教学质量检测数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年安徽省蚌埠市怀远县高二上学期期中教学质量检测数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x4−y2=1在y轴上的截距为( )
A. −4B. −2C. 2D. 4
2.已知圆C1：(x−1)2+y2=1，圆C2：(x−2)2+(y− 3)2=4，则C1与C2的位置关系是( )
A. 外切B. 内切C. 外离D. 相交
3.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 3，则其渐近线方程为( )
A. y=± 2xB. y=± 3xC. y=± 22xD. y=± 32x
4.如图，在四面体OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，CQ=2QB，P为线段OA的中点，则PQ等于( )
A. 12a+13b+23c
B. 12a−13b−23c
C. −12a+13b+23c
D. −12a+23b+13c
5.直线l1:ax+y−1=0，l2:(a−2)x−ay+1=0，则“a=−2”是“l1/​/l2”的( )条件
A. 必要不充分B. 充分不必要C. 充要D. 既不充分也不必要
6.若点P2,3在圆C：x2+y2+2x−2y+a=0外，则a的取值范围是( )
A. −11,+∞B. −11,2C. −8,2D. −8,+∞
7.直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=AA1，D，E分别为AC，BC的中点，则异面直线C1D与B1E所成角的余弦值为( )
A. 33B. 55C. 1010D. 3010
8.已知点A(−1,3)，B(3,1)，直线l:mx+y+2=0与线段AB有公共点，则实数m的取值范围为( )
A. (−∞,−5]∪[1,+∞)B. [−5,1]
C. (−∞,−1]∪[5,+∞)D. [−1,5]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 已知向量a=(x,0,1)，b=(2,1,−4)，若a⊥b，则x=2
B. 已知向量a=(1,0,1)，b=(−2,2,1)，则a在b上的投影向量为−13b
C. 在空间直角坐标系Oxyz中，点(1,1,1)关于y轴的对称点为(1,−1,1)
D. O为空间中任意一点，若OP=xOA+yOB+zOC，且x+y+z=1，则P，A，B，C四点共面
10.下列结论正确的是( )
A. 直线的倾斜角越大，其斜率就越大
B. 若直线ax+y−2=0与直线2x−y−4=0垂直，则a=12
C. 过点A(−1,2)，B(3,−2)的直线的倾斜角为45∘
D. 点(5,0)关于直线y=2x的对称点的坐标为(−3,4)
11.设椭圆的方程为x22+y24=1，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则( )
A. kAB⋅kOM=−1
B. 若M(1,1)，则直线l的方程为2x+y−3=0
C. 若直线l的方程为y=x+2，则M(13,43)
D. 若直线l的方程为y=x+2，则|AB|=4 23
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知F1，F2是椭圆x24+y22=1的两个焦点，点P在该椭圆上，若|PF1|−|PF2|=2则△PF1F2的面积是 ．
13.已知定点A(6,0)和圆x2+y2=16上的动点B，动点P(x,y)满足OA+OB=2OP，则点P的轨迹方程为 ．
14.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x2+y2−6x+8=0相切，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知直线x−y−1=0和直线x+2y+2=0的交点为P
(1)求过点P且与直线x−2y+1=0平行的直线方程；
(2)若点P到直线l：mx+y+m=0距离为 2，求m的值．
16.(本小题12分)
已知坐标平面内三点A(−2,−4)，B(2,0)，C(−1,1).
(1)求直线AB的斜率和倾斜角;
(2)若A，B，C，D可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求点D的坐标;
(3)若E(m,n)是线段AC上一动点，求nm−2的取值范围．
17.(本小题12分)
已知圆C的圆心在直线y=2x上，且经过A−1,0，B3,0两点．
(1)求圆C的方程；
(2)直线l：mx+y−3m−1=0与圆C交于E,F两点，且EF=2 3，求实数m的值．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
(1)求证：PA//平面EDB；
(2)求证：PB⊥平面EFD；
(3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小．
19.(本小题12分)
已知P是圆C:x2+y2=12上一动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足PQ=2PM，记点M的轨迹为E．
(1)求E的方程;
(2)若A，B是E上两点，且线段AB的中点坐标为(−85,25)，求|AB|的值．
参考答案
1.B
2.D
3.A
4.D
5.C
6.B
7.D
8.C
9.AD
10.BD
11.BD
12. 2
13.(x−3)2+y2=4
14.3 24
15.解：(1)联立方程组x−y−1=0x+2y+2=0，解得x=0y=−1，所以点P(0,−1)
又所求直线与直线x−2y+1=0平行，所以所求直线的斜率为12，
则所求的直线方程为：y+1=12x，即x−2y−2=0；
(2)点P到l:mx+y+m=0的距离为d=|m⋅0+(−1)+m| m2+1= 2
解方程可得m=−1．
16.解：(1)直线AB的斜率为−4−2−2=1，
设倾斜角为α，则tanα=1，
∵0⩽α<π，
∴直线AB的倾斜角为π4．
(2)如图，
当点D在第一象限时，kAB=kCD，kAC=kBD．
设D(x,y)，则1=y−1x+1,1+4−1+2=yx−2,，
解得x=3，y=5，故点D的坐标为(3,5)．
(3)由题意得nm−2为直线BE的斜率．
当点E与点C重合时，直线BE的斜率最小，kBC=11−2=−13;
当点E与点A重合时，直线BE的斜率最大，kAB=1．
故直线BE的斜率的取值范围为[−13,1]，即nm−2的取值范围为[−13,1]．
17.解：(1)设圆心C(a,2a)，半径r=AC=BC，
则有 (a+1)2+(2a)2= (a−3)2+(2a)2，
解得a=1，∴圆心C(1,2)，半径r= (1+1)2+22=2 2，
∴圆C:(x−1)2+(y−2)2=8;
(2)由已知圆心C到直线l的距离d= r2−(EF2)2= 5，
∴d=|m+2−3m−1| m2+1= 5，
解得m=−2．
18.(1)证明：因为PD⊥底面ABCD，AD，CD⊂底面ABCD，
所以PD⊥AD，PD⊥CD，
又底面ABCD是正方形，所以AD⊥CD，
以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
设DC=1．
依题意得A1,0,0，B1,1,0，P0,0,1，E0,12,12．
所以PA=1,0,−1，DB=1,1,0，DE=0,12,12．
设平面EDB的一个法向量为m=x1,y1,z1，
则有DB⋅m=x1+y1=0,DE⋅m=12y1+12z1=0,
即x1=−y1,z1=−y1,取m=1,−1,1，则PA⋅m=0，
因为PA⊄平面EDB，因此PA/​/平面EDB．
(2)证明：依题意得PB=1,1,−1，
因为PB⋅DE=0+12−12=0，
所以PB⊥ED．
由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，EF,DE⊂平面EFD，
所以PB⊥平面EFD．
(3)解：依题意得C0,1,0，且CB=1,0,0，PC=0,1,−1．
设平面CPB的一个法向量为n=x2,y2,z2，
则CB⋅n=x2=0,PC⋅n=y2−z2=0,
即x2=0,z2=y2,，取n=0,1,1．
易知平面PBD的一个法向量为CA=1,−1,0，
所以csn,CA=n⋅CAnCA=−12．
所以平面CPB与平面PBD的夹角为π3．

19.解：(1)设M(x,y)，则P(x,2y)．
因为P在圆C上，所以x2+(2y)2=12，
故E的方程为x212+y23=1．
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1212+y123=1,x2212+y223=1,
两式相减得x12−x2212+y12−y223=0，即y1−y2x1−x2=−x1+x24(y1+y2)．
因为线段AB的中点坐标为(−85,25)，所以y1−y2x1−x2=−x1+x24(y1+y2)=1，所以直线AB的方程为y=x+2．
联立方程组y=x+2,x212+y23=1,整理得5x2+16x+4=0，则x1+x2=−165，x1x2=45，
|AB|= 1+12 (x1+x2)2−4x1x2=4 225．