2024-2025学年江苏省宿迁市高二上学期11月期中调研考试数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省宿迁市高二上学期11月期中调研考试数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线x− 3y+1=0的倾斜角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π3
2.圆x2+y2+10x+10y=0与圆(x−3)2+(y−3)2=18的位置关系为( )
A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切
3.已知点A(2,3)与点B(−1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为( )
A. 3x−y+2=0B. x+3y+2=0C. x+3y−2=0D. 3x−y−2=0
4.设a为实数，若直线ax−4y+3=0与x−2y+1=0平行，则它们之间的距离为( )
A. 510B. 55C. 2 55D. 3 510
5.已知椭圆的两个焦点分别为(0,3)，(0,−3)，点(74,−3)在该椭圆上，则该椭圆的离心率为( )
A. 12B. 23C. 34D. 45
6.椭圆C以双曲线x216−y29=1的两个焦点为长轴的端点，以双曲线的顶点为焦点，则椭圆C的方程为( )
A. x216+y29=1B. x225+y216=1C. x225+y29=1D. x216+y27=1
7.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦AB，其中点A在第一象限，若AF=4BF，则直线AB 的斜率为( )
A. 2B. 2 33C. 23D. 43
8.已知椭圆x24+y23=1的上顶点为A，过椭圆左焦点F且斜率为 33的直线交椭圆于B，C两点，则ΔABC的周长为( )
A. 10B. 8C. 6 3D. 4+2 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设m为实数，直线l:x+my−2m−1=0，点M(2,3)，N(4,−5)，则下列说法正确的有( )
A. 直线l过定点(1,2)
B. 若点M，N到直线l的距离相等，则m=23
C. 直线l与x轴一定相交
D. 若直线l不过第二象限，则−12≤m−1
B. 若m=±12，则圆和两坐标轴均相切
C. 若圆关于直线2x−y+5=0对称，则m=1
D. 无论m取任何实数，总存在一条定直线与圆相交
11.在平面直角坐标系xOy中，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，直线AO，BO分别交抛物线准线于C，D两点，则下列说法正确的有( )
A. BC//x轴B. CF⊥DF
C. 以AB为直径的圆与抛物线准线恒相交D. ΔOAB面积的最小值为12p2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设a为实数，直线l1:ax+3y−2=0，l2:x+(a−2)y+2=0，若l1⊥l2，则a的值为____________．
13.圆x2+y2=r2上有且只有2个点到直线x− 3y+2=0的距离等于1，则半径r的取值范围为________．
14.如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射关线的反向延长线经过双曲线的左焦点.设a>0，若双曲线E:x2a2−y28=1的左，右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C，D，cs∠BAC=−35，AB⊥BD，则a的值为_____________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知ΔABC的顶点B(3,1)，直线AC的方程为x−y+1=0，BC边上的中线AM所在的直线方程为2x−3y+1=0．
(1)求顶点A，C的坐标；
(2)求ΔABC的面积．
16.(本小题12分)
设a为实数，圆M的方程为x2+y2+2x−6y+a=0．
(1)若圆x2+y2=9和圆M的公共弦长为 26，求a的值；
(2)若过点(4,−1)的圆N与圆M相切，切点为(1,2)，求圆N的标准方程．
17.(本小题12分)
已知动点P(x,y)到点F(1,0)的距离比到直线x+3=0的距离小2，过P作圆A:x2+(y−4)2=1的一条切线，Q为切点，过P作直线l:x+1=0的垂线，垂足为B．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)当P，A，B三点共线时，求线段PQ的长；
(3)判断满足PA=PB的点P有几个，并说明理由．
18.(本小题12分)
已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为E，实轴长为4，过双曲线C的左焦点F作直线l，当直线l与x轴垂直时，直线l与双曲线C的两个交点分别为M，N，此时ΔMNE为等腰直角三角形．
(1)求双曲线C的方程；
(2)当直线l与双曲线C的渐近线平行时，求直线l与双曲线C的交点坐标；
(3)当直线l与双曲线C的左支交于A，B两点时，直线AE，BE分别交直线x+1=0于P，Q两点，在x轴上是否存在定点D，使得点D始终在以线段PQ为直径的圆上？若存在，求出D点坐标，否则，请说明理由．
19.(本小题12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点D(1, 32)，离心率为 32，左右焦点分别为F1，F2，右顶点为B．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点D的直线m与椭圆C的另外一个交点为E，当ΔDEB的面积最大时，求直线m的方程；
(3)若点M，N是直线l上不同的两点，则向量MN以及与它平行的非零向量都称为直线l的方向向量，当直线l′⊥l时，直线l′的方向向量称为直线l的法向量.设k，ℎ为实数，直线l:y=kx+ℎ的一个法向量为t，H为直线l上任一点，点T为坐标平面内的定点，我们把t⋅HT|t|称为点T在直线l上的投影数量.当l与椭圆C相切时，点F1，F2在直线l上的投影数量的乘积是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由．
参考答案
1.A
2.B
3.A
4.A
5.C
6.C
7.D
8.B
9.AC
10.ACD
11.ABD
12.32
13.(0,2)
14.3
15.解：(1)直线AC和BC边上中线均过A点，
联立方程 x−y+1=02x−3y+1=0 解得 x=−2y=−1 即 A(−2,−1)，
设 C(m,n) ，代入AC方程可得 m−n+1=0 ①，
B,C 中点 M(m+32,n+12)，
M在BC边的中线上，所以 m+3−3×n+12+1=0 ②，
联立①②解得 m=2,n=3 ，
所以C点坐标为 C(2,3)；
(2)由(1)知A，C坐标分别为A(−2,−1)，C(2,3)，
|AC|= (−2−2)2+(−1−3)2=4 2，
点 B 到直线 AC 的距离 d=3−1+1 12+(−1)2=3 2=3 22，
所以 ΔABC 的面积为 12×4 2×3 22=6．

16.解：(1)由圆 x2+y2+2x−6y+a=0 与圆 x2+y2=9 两方程相减得
两圆的公共弦所在直线方程为： 2x6ya90，
因为两圆的公共弦长为 26，
所以圆 x2+y2=9 的圆心到直线的距离为 d 32( 262)2 102，
即 da9 40 102，
所以 a=1 或 a=−19；
(2)因为圆 N 与圆 M 相切于点 (1,2)，
所以点 (1,2) 在圆 M 上所以 14212a0 即 a5，
所以圆 M ： (x1)2(y3)25 即圆心 M (1,3)，
所以圆心 M 与切点所在直线方程为： x2y50 ①
切点 (1,2) 与点 (4,1) 两点连线的中垂线所在直线方程为： xy20 ②
联立①②解得 x=3y=1 即圆 N 的圆心坐标为 (3,1)，
所以圆 N 的半径： r (31)2(12)2 5
所以圆 N 的标准方程为： (x3)2(y1)25

17.(1)由题意知：点 P(x,y) 到点 F(1,0) 的距离等于点 P(x,y) 到直线 x1 的距离．
所以 (x1)2y2x1 即： y24x，
所以点 P 的轨迹方程： y24x .(由抛物线定义也可得)
(2)因为 P,A,B 三点共线，点 A(0,4) ， PB 垂直于直线 x=−1，
所以点 P 的纵坐标为4，
又因为点 P 在抛物线 y24x 上，
所以点 P 坐标为 (4,4) ．
所以 PA=4，
所以在直角三角形 PQA 中， PQ PA2r2 4212 15 ．
(3)满足条件的点 P 有2个．
因为 PAPB ， PBPF，
所以 PAPF，
所以点 P 在线段 AF 的中垂线上，
线段 AF 的中垂线方程为： x−4y+152=0 ．
联立 y2=4xx−4y+152=0 消去 x 得 y216y300 ．
方程 Δ=(−16)2−4×30=136>0 ，即方程有两个不等实数根，
所以满足条件的点 P 有2个．

18.解：(1)由题意得 2a=4a+c=b2ac2=a2+b2 解得 a=2b=2 3 ．
所以双曲线 C 的方程为： x24−y212=1 ．
(2)因为双曲线 C 的渐近线方程为： y=± 3x，
当直线 l 与 y= 3x 平行时，直线 l 的方程为： y= 3(x+4)，
联立 x24−y212=1y= 3(x+4) ，解得 x=−52y=3 32 ．
当直线 l 与 y=− 3x 平行时，直线 l 的方程为： y=− 3(x+4)，
联立 x24−y212=1y=− 3(x+4) ，解得 x=−52y=−3 32,
所以直线 l 与双曲线 C 的交点坐标为 (−52,3 32) 或 (−52,−3 32) ．
(3)当 AB 不垂直 x 轴时，设 AB 的方程为 x=my−4，
A(x1,y1) ， B(x2,y2) ( x1≠−2,x2≠−2 )
直线 AE 的方程为： y=y1x1−2(x−2) ，当 x=−1 时， y=−3y1x1−2，
即P点坐标为 (−1,−3y1x1−2)，
直线 BE 的方程为： y=y2x2−2(x−2)，当 x=−1 时， y=−3y2x2−2，
即 Q 点坐标为 (−1,−3y2x2−2) ．
所以以 PQ 为直径的圆方程为： (x+1)2+(y+3y1x1−2)(y+3y2x2−2)=0，
当 y=0 时 (x+1)2+9y1y2(x1−2)(x2−2)=0 ．
联立 x24−y212=1x=my−4 消去 x 得 (3m2−1)y2−24my+36=0，
所以 y1+y2=24m3m2−1 ， y1y2=363m2−1 ．
(x1−2)(x2−2)=(my1−6)(my2−6)=m2y1y2−6m(y1+y2)+36= −363m2−1，
所以 (x+1)2+9y1y2(x1−2)(x2−2)=(x+1)2−9=0，
所以 x=2 或 x=−4 ．
易知，当直线 AB 垂直 x 轴时也满足，
所以 x 轴上存在定点 D(2,0) ， D(−4,0) 始终在以 PQ 为直径的圆上．

19.解：(1)由题意得
1a2+34b2=1e=ca= 32a2=b2+c2 解得 a=2b=1 ．
所以椭圆 C 的标准方程为： x24+y2=1
(2) kBD= 32−01−2=− 32 所以直线 BD 的方程为： y=− 32x+ 3
所以与直线 BD 平行的直线方程可设为： y=− 32x+n
联立 x24+y2=1y=− 32x+n 消去 y 得 x2− 3nx+n2−1=0 ，方程的 Δ=4−n2
当 Δ=4−n2=0 即 n=±2 时，直线 y=− 32x+n 与椭圆相切．
因为直线 y=− 32x+2 到直线 BD 的距离小于直线 y=− 32x−2 到直线 BD 的距离
所以 n=−2 时，该直线与椭圆相切于点 E ，此时点 E 到直线 BD 的距离最大
即△ DEB 的面积最大
此时点 E 的坐标为 (− 3,−12) ．
所以直线 m 的方程为： x−2y+ 3−1=0
(3)由(1)知 F1(− 3,0),F2( 3,0)
取直线 l 上不同的两个点 P(x1,y1) Q(x2,y2)
则直线 l 的一个方向向量为 PQ=(x2−x1,y2−y1)
对于直线 l:y=kx+ℎ 则 y1=kx1+ℎy2=kx2+ℎ
所以 k(x2−x1)−(y2−y1)=0 即向量 (x2−x1,y2−y1) 与向量 (k,−1) 垂直
所以直线 l 的一个法向量 t=(k,−1)
因为 H 为 l 上任一点
所以可以取点 H 的坐标为 (x0,kx0+ℎ)
所以 HF1=(− 3−x0,−kx0−ℎ) ， HF2=( 3−x0,−kx0−ℎ)
所以 t⋅HF1t⋅t⋅HF2t=(ℎ− 3k)(ℎ+ 3k)k2+1=ℎ2−3k2k2+1
联立 x24+y2=1y=kx+ℎ 消去 y 得 (k2+14)x2+2kℎx+ℎ2−1=0
因为直线 l 与椭圆相切
所以方程的 Δ=4k2+1−ℎ2=0 即 ℎ2=4k2+1
所以 t⋅HF1t⋅t⋅HF2t=ℎ2−3k2k2+1=1
所以点 F1 与 F2 在 l 上的投影数量之积是定值1．