2024-2025学年安徽省蚌埠市A层学校高二上学期第二次联考（11月）数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年安徽省蚌埠市A层学校高二上学期第二次联考（11月）数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在以O为原点，以{i,j,k}为单位正交基底的空间直角坐标系中，已知点A(3,5,−7)，AB=(6,4,−5)，则点B的坐标为( )
A. (9,9,−12)B. (−3,1,−2)C. (3,−1,2)D. (3,5,−12)
2.将直线l1:x−y+1=0绕点(0,1)逆时针旋转90∘得到直线l2，则l2的方程是( )
A. x+y−2=0B. x+y−1=0C. 2x−y+2=0D. 2x−y+1=0
3.已知点M(2,0)，N(6,4)，则以MN为直径的圆的方程为( )
A. (x+4)2+(y−2)2=16B. (x−4)2+(y+2)2=8
C. (x−4)2+(y−2)2=16D. (x−4)2+(y−2)2=8
4.空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，OM=23OA，点N为BC的中点，则MN=( )
A. 12a−23b+12cB. −23a+12b+12c
C. 12a+12b−12cD. 23a+23b−12c
5.设直线l的方程为x−ysinθ+2=0，则直线l的倾斜角α的范围是( )
A. 0,πB. π4,π2C. [π4,3π4]D. [π4,π2)∪(π2,3π4]
6.在△ABC中，点B(−2,0)，点C(2,0)，点A满足|AB||AC|= 2，则△ABC面积的最大值为( )
A. 4 2B. 8 2C. 4 6D. 8 6
7.点F1，F2为椭圆C的两个焦点，若椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2=90∘，则椭圆C方程可以是( )
A. x225+y29=1B. x225+y216=1C. x26+y29=1D. x216+y29=1
8.已知F1、F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过点F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，记△AF1F2的内切圆I1的半径为r1，△BF1F2的内切圆I2的半径为r2，若r1r2=a2，则双曲线的离心率为( )
A. 32B. 2C. 52D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若直线l的方向向量为a=(1,−1,2)，直线m的方向向量为b=(2,1,12)，则l与m垂直
B. 已知点A(1,0,−1)，B(0,1,0)，C(−1,2,0)在平面α内，向量n=(1,u,t)是平面α的法向量，则u+t=1
C. 对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP=2OA−2OB−OC，则P，A，B，C四点共面
D. 若{a,b,c}为空间的一个基底，则{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一个基底
10.在平面直角坐标系中，如果点P的坐标(x,y)满足 x=3csθ y=1+3sinθ ，其中θ 为参数.已知直线l1:x+y−4=0与点P的轨迹交于A，B两点，直线l2:2mx+2y−3m−5=0与点P的轨迹交于C，D两点，则四边形ACBD的面积的值可以是( )
A. 9 3B. 9 2C. 6 2D. 9( 2+1)
11.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右两焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|=2c(c>0)，直线l经过左焦点F1与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的( )
A. △ABF2的周长为4a
B. 当直线AB的斜率存在时，记kAB=k(k≠0)，若AB的中点为M，O为坐标原点，则kOM⋅k=b2a2．
C. 若AF1⋅AF2=3c2，则椭圆的离心率的取值范围是[ 55,12]
D. 若|AB|的最小值为3c，则椭圆的离心率e=12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间向量a，b，c两两夹角均为60∘，其模均为1，则|a+b−2c|= ．
13.如图，已知直线l:x+y−5=0与x轴和y轴分别交于点A，B，从点P(3,0)射出的光线经直线l反射后再射到y轴上，最后经y轴反射后又回到点P，则光线所经过的路程是 ．
14.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e满足e= 5−12，则称该椭圆为“黄金椭圆”.若x210+y2m=1(10>m>0)是“黄金椭圆”，则m= ;“黄金椭圆”C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)两个焦点分别为F1(−c,0)、F2(c,0)c>0，P为椭圆C上的异于顶点的任意一点．点M是△PF1F2的内心，连接PM并延长交F1F2于N，则PMMN= ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知△ABC的三个顶点分别为A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)．
(1)求边BC所在直线的方程;
(2)求边AC的垂直平分线l的方程;
(3)求△ABC的外接圆的方程．
16.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥面ABCD，M是PD的中点．
(1)求证：平面AMB⊥平面PCD
(2)求BM与平面PAB所成角的正弦值．
17.(本小题12分)
已知斜率为1的直线交抛物线C：y2=2px(p>0)于A，B两点，且弦AB中点的纵坐标为2．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)记点P(1,2)，过点P作两条直线PM，PN分别交抛物线C于M，N(M,N不同于点P)两点，且∠MPN的平分线与y轴垂直，求证：直线MN的斜率为定值．
18.(本小题12分)
如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，ED⊥平面ABCD，FB⊥平面ABCD，且ED=FB=1．
(1)求证：EC⊥平面ADF
(2)在线段EC上是否存在点G(不含端点)，使得平面GBD与平面ADF的夹角为45∘，若存在，指出G点的位置;若不存在，请说明理由．
19.(本小题12分)
已知点A，B是平面内不同的两点，若点P满足PAPB=λ(λ>0，且λ≠1)，则点P的轨迹是以有序点对(A,B)为“稳点”的λ−阿波罗尼斯圆．若点Q满足|QA|·|QB|=μ(μ>0)，则点Q的轨迹是以(A,B)为“稳点”的μ−卡西尼卵形线．已知在平面直角坐标系中，A(−2,0)，B(a,b)(a≠−2)．
(1)若以(A,B)为“稳点”的λ−阿波罗尼斯圆的方程为x2+y2−12x+4=0，求a，b，λ的值；
(2)在(1)的条件下，若点Q在以(A,B)为“稳点”的5−卡西尼卵形线上，求|OQ|(O为原点)的取值范围；
(3)卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若b=0，λ= 2，求证：不存在实数a，μ，使得以(A,B)为“稳点”的 2−阿波罗尼斯圆与μ−卡西尼卵形线都关于同一个点对称．
参考答案
1.A
2.B
3.D
4.B
5.C
6.B
7.A
8.B
9.BD
10.BC
11.ACD
12. 3
13.2 17
14.5 5−5； 5+12
15.解：(1)由 B(1,1),C(4,2) ，由两点式可得 BC 边所在直线的方程为 y−12−1=x−14−1 ，
即 BC 边所在直线的方程 x−3y+2=0 ；
(2)由 A(0,0),C(4,2) ，可得 AC 的中点为 D(2,1) ，
又 kAC=2−04−0=12 ，所以 AC 边的垂直平分线 l 的斜率为 −2 ，
所以由点斜式可得 AC 边的垂直平分线 l 的方程为 y−1=−2(x−2) ，即 2x+y−5=0 ．
(3)设 ▵ABC 的外接圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 ，
则 02+02+0+0+F=012+12+D+E+F=042+22+4D+2E+F=0 ，解得 F=0D=−8E=6 ，
所以 ▵ABC 的外接圆的方程为 x2+y2−8x+6y=0 ．

16.解：(1)由平面 PAD⊥ 平面 ABCD ，平面 PAD∩ 平面 ABCD=AD ，
底面ABCD是边长为2的正方形，则 CD⊥AD ， CD⊂ 平面 ABCD ，
可知 CD⊥ 面 PAD ， AM⊂ 平面 PAD ， ∴CD⊥AM ，
∵▵PAD 为正三角形， M 为中点，
可得 AM⊥PD ， PD∩CD=D,PD,CD⊂ 平面 PCD ， ∴AM⊥ 平面 PCD ，
∵AM⊂ 平面 AMB ， ∴ 平面 AMB⊥ 平面 PCD ．
(2)取AD的中点为O，连接 PO ，侧面PAD是正三角形，
则 PO⊥AD ，平面 PAD⊥ 平面 ABCD ，平面 PAD∩ 平面 ABCD=AD ，
PO⊂ 平面 PAD ，可知 PO⊥ 面 ABCD ，
设BC中点为N，连接ON，
以O为坐标原点，以 OA,ON,OP 所在直线为 x,y,z 轴，建立如图空间直角坐标系：
则 A(1,0,0) ， P(0,0, 3) ， B(1,2,0) ， M(−12,0, 32)
AB=(0,2,0) ， AP=(−1,0, 3) ， BM=(−32,−2, 32) ，
设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z) ，则 n⋅AB=2y=0n⋅AP=−x+ 3z=0 ，
取 z=1 ，则 n=( 3,0,1) ，
设BM与平面 PAB 所成角为 θ ，
则 sin θ=|cs ⟨n,BM⟩|=|n⋅BM||n||BM|= 32 (−32)2+(−2)2+(− 32)2= 2114。

17.解：(1)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB的中点(x0,y0)，则有y12=2px1，y22=2px2，
两式相减得(y1+y2)(y1−y2)=2p(x1−x2)，
∴kAB=y1−y2x1−x2=2p2y0=p2=1，
所以p=2，抛物线方程为y2=4x．
(2)设直线MN的方程为：x=my+n(由题意知直线MN的斜率一定不为0)，M(x3,y3)，N(x4,y4)，
联立方程组y2=4xx=my+n，消元得：y2−4my−4n=0，由△=16m2+16n>0得m2+n>0．
且y3+y4=4m，y3y4=−4n．
由题意知kPM+kPN=0，即y4−2x4−1+y3−2x3−1=0(∗)，
将y32=4x3，y42=4x4代入(∗)并化简得14y3y4(y3+y4)−12(y32+y42)−(y3+y4)+4=0，
由韦达定理得mn+n+2m2+m−1=0，
即(m+1)(n+2m−1)=0，当m=−1时该等式恒成立，
所以直线MN的斜率为1m=−1．
18.解：(1)以点D为原点，以DA,DC,DE所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则D0,0,0,A1,0,0,B1,1,0,C0,1,0,E0,0,1,F1,1,1，
∴EC=0,1,−1,DA=1,0,0,DF=1,1,1，
EC⋅DA=0EC⋅DF=1−1=0，故EC⊥DF，EC⊥DA，
∵DA∩DF=D，DA,DF⊂平面ADF，
∴EC⊥平面ADF；
(2)设EG=λEC(0