2024-2025学年江西省南昌十九中高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江西省南昌十九中高二（上）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知点N与点M(1,−2,3)关于x轴对称，则点N的坐标为( )
A. (1,2,−3)B. (−1,−2,3)C. (−1,−2,−3)D. (1,−2,−3)
2.已知空间直角坐标系O−xyz中有一点A(−1,−1,2)，点B是xOy平面内的直线x+y=1上的动点，则A，B两点的最短距离是
( )
A. 6B. 342C. 3D. 172
3.若圆C：(x−1)2+(y−3)2=8上存在两个点到直线l：x+y+m=0的距离为 2，则实数m的取值范围是( )
A. −6C. −2−2
4.设a，b为实数，若直线ax+by=2与圆x2+y2=1相切，则点P(a,b)与圆的位置关系( )
A. 在圆上B. 在圆外C. 在圆内D. 不能确定
5.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y=kx(k≠0)与椭圆交于A，B两点，直线AF1与椭圆交于另一点D，若直线AD与BD的斜率之积为−12，则椭圆的离心率为( )
A. 12B. 22C. 34D. 32
6.已知点A，B分别为双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两个顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则双曲线E的离心率为( )
A. 5B. 2C. 3D. 2
7.已知抛物线C：y2=2px(p>0)上的点(m,2)到原点的距离为2 2，焦点为F，准线l与x轴的交点为M，过C上一点P作PQ⊥l于Q，若∠FPQ=2π3，则|PF|=( )
A. 13B. 12C. 33D. 23
8.函数f(x)=x+1x被称为“对勾函数”，它可以由双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)旋转得到，已知直线x=0和直线y=x是函数f(x)的渐近线，则双曲线C的渐近线方程为( )
A. y=± 33xB. y=±( 2−1)xC. y=±(2− 3)xD. y=±x
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l：(2a−3)x+(1−a)y+1=0，则( )
A. 若a=1，则直线l的倾斜角为π2
B. 直线l过定点(1,2)
C. 若a=43，则直线l在x轴和y轴上的截距相等
D. 若直线l不经过第二象限，则a<1
10.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.例如：四叶草曲线C：(x2+y2)3=x2y2就是其中一种(如图).则下列结论正确的是( )
A. 曲线C关于坐标原点对称
B. 曲线C上的点到原点的最大距离为12
C. 四叶草曲线C所围的区域面积大于π4
D. 四叶草曲线C恰好经过5个整点(横、纵坐标均为整数的点)
11.在平面直角坐标系xOy中，动点P(x,y)的轨迹为曲线C，且动点P(x,y)到两个定点F1(−1,0)，F2(1,0)的距离之积等于3.则下列结论正确的是( )
A. 曲线C关于y轴对称
B. 曲线C的方程为x2+y2+1= 4x2+9
C. △F1PF2面积的最大值32
D. |OP|的取值范围为[ 2,2]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若曲线y= 4−x2与直线x−y+m=0有两个公共点，则实数m的取值范围是______．
13.已知椭圆C：x225+y216=1，则过点(3,0)且斜率为45的直线被椭圆C所截线段的长度为______．
14.设抛物线x2=4y的焦点为F，若⊙M：x2+(y−4)2=r2(r>0)与抛物线有四个不同的交点，记y轴同侧的两个交点为A，B，则|FA|⋅|FB|的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图所示，由半椭圆C1：x24+y2b2=1(y≤0,b>0)和两个半圆C2：(x+1)2+y2=1(y≥0)、C3：(x−1)2+y2=1(y≥0)组成曲线C：F(x,y)=0，其中点A1、A2依次为C1的左、右顶点，点B为C1的下顶点，点F1、F2依次为C1的左、右焦点.点F1、F2分别为曲线C2、C3的圆心．
(1)求C1的方程；
(2)若点P、Q分别在C2、C3上运动，点T(0,−1)，求|TP|+|TQ|的最大值，并求出此时点P、Q的坐标．
16.(本小题15分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y=x−1，设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y=3x+1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．
17.(本小题15分)
设F1，F2为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点A( 3,12)在椭圆C上，点A关于原点的对称点为B，四边形AF1BF2的面积为 3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过F2的直线l交椭圆C于M，N两点，求证：1|F2M|+1|F2N|为定值．
18.(本小题17分)
已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2，P是E的右支上一点，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为3．
(Ⅰ)求E的方程；
(Ⅱ)若E的左、右顶点分别为A，B，过点F2的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别即为kAM和kBN，求kAM2+23kBN的最小值．
19.(本小题17分)
已知抛物线E：y2=4x的焦点为F，若△ABC的三个顶点都在抛物线E上，且满足FA+FB+FC=0，则称该三角形为“核心三角形”．
(1)设“核心三角形ABC”的一边AB所在直线的斜率为2，求直线AB的方程；
(2)已知△ABC是“核心三角形”，证明：△ABC三个顶点的横坐标都小于2．
参考答案
1.A
2.B
3.C
4.B
5.B
6.D
7.D
8.B
9.ABC
10.AB
11.ABD
12.[2,2 2)
13.415
14.(5,9)
15.解：(1)依题意，F1(−1,0)、F2(1,0)，
所以b2=4−1=3，
所以C1的方程为x24+y23=1(y≤0)；
(2)|TP|+|TQ|≤(|TF1|+|F1P|)+(|TF2|+|F2Q|)
=( 2+1)+( 2+1)
=2 2+2，
当T、F1、P三点共线，同时T、F2、Q三点共线，有(|TP|+|TQ|)max=2 2+2，
由T(0,−1)，F1(−1,0)、F2(1,0)，则此时∠OF1P=∠OF2Q=3π4，
所以xP=−1+1×cs3π4=−1− 22，yP=1×sin3π4= 22，
则P(−1− 22, 22)，同理可得Q(1+ 22, 22)．
16.解：(1)根据题意，圆心C在直线l：y=x−1上，也在直线y=3x+1上，
解得x=−1，y=−2，所以C(−1,−2)，所以圆C：(x+1)2+(y+2)2=1，
当切线斜率存在时，过点A的切线方程可设为y=kx+3，即kx−y+3=0，
则|−k+2+3| 1+k2=1⇒k=125，
所以切线方程y=125x+3，
当斜率不存在时，直线x=0也与圆相切，
综上：所求切线直线方程为y=125x+3或x=0；
(2)设点C(a,a−1)，M(x0,y0)，因为|MA|=2|MO|，则x02+(y0−3)2=4(x02+y02)，
即点M的轨迹方程为x2+(y+1)2=4，
又点M在圆C上，所以(x0−a)2+(y0−a+1)2=1，
若存在这样的点M，则x02+(y0+1)2=4与(x0−a)2+(y0−a+1)2=1有交点，
即两圆的圆心距d满足1≤d≤3，
即1≤ 2a2≤3，
解得 22≤a≤3 22或−3 22≤a≤− 22．
故a的取值范围是[ 22,3 22]∪[−3 22,− 22]．
17.解：(1)设椭圆C的焦距为2c(c>0)，四边形AF1BF2为平行四边形，其面积设为S，
则S=2c⋅12= 3，所以c= 3，
所以a2−b2=c2=3，
又3a2+14b2=1，
解得a2=4，b2=1，
所以椭圆C的方程为x24+y2=1．
(2)证明：F2( 3,0)，当直线l与x轴重合时，l的方程为y=0，
此时不妨令|F2M|=a+c=2+ 3,|F2N|=a−c=2− 3，则1|F2M|+1|F2N|=4；
当直线l与x轴不重合时，l的方程可设为x=my+ 3，
由x=my+ 3x2+4y2=4，
得(m2+4)y2+2 3my−1=0，Δ=(2 3m)2+4(m2+4)=16(m2+1)>0，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
则y1+y2=−2 3mm2+4，y1y2=−1m2+4<0，
|F2M|= (x1− 3)2+y12= (my1+ 3− 3)2+y12= 1+m2|y1|，
|F2N|= (x2− 3)2+y22= (my2+ 3− 3)2+y22= 1+m2|y2|，
1|F2M|+1|F2N|=1 1+m2(1|y1|+1|y2|)=1 1+m2⋅|y1−y2||y1y2|=1 1+m2⋅ (y1+y2)2−4y1y2|y1y2|=4，
综上所述，1|F2M|+1|F2N|为定值4．
18.解：(Ⅰ)不妨设双曲线E的半焦距为c(c>0)，
因为△PF1F2的面积为3，
所以S△PF1F2=12|PF1|⋅|PF2|=3，
解得|PF1|⋅|PF2|=6，
易知|PF1|−|PF2|=2a，
对等式两边同时平方得|PF1|2+|PF2|2−2|PF1||PF2|=4a2，
又|PF1|2+|PF2|2=4c2，
即4c2−12=4a2，
因为b2=c2−a2，
解得b2=3，
因为双曲线E的离心率为2，
所以ca=2，
解得a2=1，
则双曲线E的方程为x2−y23=1；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知F2(2,0)，A(−1,0)，B(1,0)，
因为直线MN的斜率不为0，
不妨设直线MN的方程为x=ty+2(− 33联立x=ty+2x2−y23=1，消去x并整理得(3t2−1)y2+12ty+9=0，
由韦达定理得y1+y2=−12t3t2−1，y1y2=93t2−1，
因为kAM=y1x1+1，kBN=y2x2−1，
所以kAMkBN=y1(x2−1)y2(x1+1)=y1(ty2+1)y2(ty1+3)=ty1y2+y1ty1y2+3y2=−3t3t2−1−y29t3t2−1+3y2=−13，
即kBN=−3kAM，
所以kAM2+23kBN=(kAM−1)2−1，
因为直线AM与E的右支有交点，
所以− 3故当kAM=1，kRN=−3时，kAM2+23kBN取得最小值，最小值为−1．
19.解：(1)设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，
由y12=4x1y22=4x2，两式相减，得(y1−y2)(y1+y2)=4(x1−x2)，
所以y1−y2x1−x2=4y1+y2=2，所以y1+y2=2，
由题意可知，y1+y2+y3=0，所以y3=−2，则x3=1，
由x1+x2+x3=3，所以x1+x2=2，所以，线段AB的中点(1,1)，
因此，直线AB的方程为y−1=2(x−1)，整理得2x−y−1=0，
因此，直线AB的方程2x−y−1=0；
证明：(2)由(1)可知x1+x2+x3=3，则x2+x3=3−x1，①
由．y1+y2+y3=0，y1=−(y2+y3)，
平方可得y12=y22+2y2y3+y32≤2(y22+y32)，当且仅当y2=y3时取等号，显然y2≠y3，
所以y124<2(y224+y324)，即x1<2(x2+x3)，
将①代入可得x1<2(3−x1)，解得x1<2，
所以点A的横坐标小于2．