2024-2025学年天津市滨海新区塘沽一中高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年天津市滨海新区塘沽一中高二（上）期中数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知直线l过点A(1,0)，B(2, 3)，则直线l的倾斜角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
2.已知圆C1：x2+y2=1和C2：x2+y2−6x+5=0，则两圆的位置关系是( )
A. 外离B. 外切C. 内含D. 内切
3.抛物线x2=ay的准线方程是y=1，则实数a的值为( )
A. −4B. 4C. 14D. −14
4.若直线mx+y+2m−1=0与直线x+my+1=0平行，则实数m的取值为( )
A. 1或−1B. −1C. 1D. 0
5.设x，y∈R，向量a=(x,1,1)，b=(1,y,1)，c=(2,−4,2)，且a⊥c，b/​/c，则|a+b|=( )．
A. 2 2B. 10C. 3D. 4
6.双曲线x2−my2=1的实轴长是虚轴长的2倍，则m=( )
A. 4B. 2C. 12D. 14
7.已知线段AB的端点B的坐标是(3,4)，端点A在圆(x−1)2+(y−2)2=4上运动，则线段AB的中点P的轨迹方程为( )
A. (x−2)2+(y−3)2=2B. (x−2)2+(y−3)2=1
C. (x−3)2+(y−4)2=1D. (x−5)2+(y−5)2=2
8.如图，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则MN=( )
A. −23a+12b+12cB. 12a−23b+12c
C. 12a+12b−12cD. 23a+23b−12c
9.已知抛物线x2=−4 5y的焦点与双曲线x2a+y24=1(a∈R)的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. y=±2xB. y=±4xC. y=±14xD. y=±12x
10.下列四个命题，其中真命题是( )
A. 点M(3,2,1)关于平面yOz对称的点的坐标是(−3,2,−1)
B. 若直线a的方向向量为a=(1,0,−1)，平面α的法向量为m=(1,1,1)，则a⊥α
C. 若AB=(1,2,−2)，AC=(−12,0,1)，则点B到直线AC的距离为2
D. 向量a=(1,0,−1)，b=(2,−1,1)，则向量b在向量a上的投影向量的坐标是(13,−16,16)
11.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F(−3,0)，M(0,4)，点P为双曲线右支上的动点，且△MPF周长的最小值为14，则双曲线的离心率为( )
A. 32B. 3C. 2D. 2 33
12.法国数学家加斯帕⋅蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的蒙日圆为C：x2+y2=32a2，过C上的动点M作Γ的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于A，B两点，则下列说法中，正确的个数为( )
①椭圆Γ的离心率为 22
②M到Γ的左焦点的距离的最小值为 6− 22a
③△MPQ面积的最大值为32a2
④若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则k1k2=−12
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
13.已知圆C过点(0,1)，(−2,3)且圆心在x轴负半轴上，则圆C的标准方程为______．
14.焦点在x轴上，右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是______．
15.已知抛物线C：y2=4x上的点P到焦点的距离为3，则点P到x轴的距离为______．
16.在四面体O−ABC中，空间的一点M满足34OM=14MA+16OB+λOC，若M、A、B、C四点共面，则λ= ______．
17.平行六面体.ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的正方形，且∠A1AD=∠A1AB=60°，AA1=3，M为A1C1，B1D1的交点，则线段BM的长为______．
18.已知圆O1：x2+y2−2 3x+a=0与圆O2：x2+(y−1)2=1相交于点A、B.①若a=2，则公共弦所在直线方程为______；②若弦长|AB|= 3，则a= ______．
19.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过F的直线交抛物线C于A，B两点，交l于点P，其中A在第一象限，且|AF|=2|BF|，则直线AB的斜率为______.，若△AOP的面积为3 2，则p= ______．
20.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，过F2作渐近线y=bax的垂线，垂足为P，若sin∠F1PO= 33，则双曲线C的离心率为______，过双曲线C上任一点Q作两渐近线的平行线QM，QN，它们和两条渐近线围成的平行四边形OMQN的面积为3 22，则双曲线C的方程为______．
三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题12分)
已知圆C：x2+y2−6x−8y+21=0，直线l过点A(1,0)．
(Ⅰ)求圆C的圆心坐标及半径长；
(Ⅱ)若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
(Ⅲ)当直线l的斜率存在且与圆C相切于点B时，求|AB|．
22.(本小题13分)
设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12，过点A(1,32)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线y=x+m与椭圆交于M，N两点．
①当m=1时，求|MN|；
②当OM⊥ON时，求m值.(O为坐标原点)．
23.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，AD⊥DC，PA=PD=PB=2 5，BC=DC=12AD=2，E为AD的中点．
(Ⅰ)求证：PE⊥平面ABCD；
(Ⅱ)求二面角A−PB−C的正弦值；
(Ⅲ)记BC的中点为M，若N在线段PE上，且直线MN与平面PAB所成的角的正弦值为 618，求线段EN的长．
24.(本小题13分)
设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，下顶点为A，上顶点为B，△FAB是等边三角形．
(Ⅰ)求椭圆的离心率；
(Ⅱ)设直线l：x=−a，过点A且斜率为k(k>0)的直线与椭圆交于点C(C异于点A)，线段AC的垂直平分线与直线l交于点P，与直线AC交于点Q，若|PQ|=74|AC|．
(ⅰ)求k的值；
(ⅱ)已知点M(−45,−45)，点N在椭圆上，若四边形AMCN为平行四边形，求椭圆的方程．
参考答案
1.B
2.B
3.A
4.B
5.C
6.A
7.B
8.A
9.A
10.C
11.A
12.D
13.(x+3)2+y2=10
14.x24+y23=1
15.2 2
16.712
17. 11
18. 3x−y−1=0 0或−4
19.2 2 2
20. 3 x23−y26=1
21.解：(Ⅰ)圆C：x2+y2−6x−8y+21=0可化为(x−3)²+(y−4)²=4，
则圆心C(3,4)，半径r=2；
(Ⅱ)当直线斜率不存在时，直线l：x=1，此时直线l与圆相切，符合题意；
当直线斜率存在时，设直线l：y=k(x−1)，即kx−y−k=0，
则圆心C(3,4)到直线l的距离d=|3k−4−k| 1+k2=2，解得k=34，则直线l：3x−4y−3=0，
综上：直线l的方程为：x=1或3x−4y−3=0；
(Ⅲ)此时直线l：3x−4y−3=0，且|AC|= (3−1)2+42=2 5，
则|AB|= |AC|2−r2= 20−4=4．
22.解：(1)由题意可知ca=121a2+94b2=1a2=b2+c2，解得a=2b= 3c=1，
所以椭圆C的方程为x24+y23=1；
(2)由题，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
①联立x24+y23=1y=x+1，化简得7x2+8x−8=0，则Δ=64−4×7×(−8)>0，
所以x1+x2=−87，x1x2=−87，
因此|MN|= 1+1 (x1+x2)2−4x1x2
= 2× (−87)2−4×(−87)
=247；
②联立x24+y23=1y=x+m，消去y得7x2+8mx+4m2−12=0，
则Δ=64m2−4×7(4m2−12)>0，解得m2