2024-2025学年广东省广州市华南师大附中高二（上）期中数学试卷(含答案）

这是一份2024-2025学年广东省广州市华南师大附中高二（上）期中数学试卷(含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|−3≤x≤1}，B={x||x|≤2}，则A∩B=( )
A. {x|−2≤x≤1}B. {x|0≤x≤1}C. {x|−3≤x≤2}D. {x|1≤x≤2}
2.已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)=lg2x，则f(−4)=( )
A. 2B. −2C. 1D. −1
3.直线x− 3y+1=0的倾斜角为( )
A. 0°B. 30°C. 45°D. 60°
4.已知直线2x−my+6=0平分圆C2：(x−1)2+(y−2)2=4的周长，则m=( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
5.双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y= 3x，则C的离心率为( )
A. 2B. 3C. 2D. 4
6.若α是第二象限角，且tan(π−α)=12，则cs(π2+α)=( )
A. 32B. − 32C. 55D. − 55
7.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，M为棱AA1的中点，N为棱CC1上靠近点C的一个三等分点，若记正三棱柱ABC−A1B1C1的体积为V，则四棱锥B−AMNC的体积为( )
A. 512V
B. 518V
C. 524V
D. 536V
8.已知F是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|=3|QF|，且∠PFQ=120°，则椭圆E的离心率为( )
A. 76B. 13C. 74D. 215
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(−2,1)，b=(t,−1)，则( )
A. 若a⊥b，则t=−12B. 若a，b共线，则t=−2
C. b不可能是单位向量D. 若t=0，则|2a−b|=5
10.已知x，y为正实数，x+y=4，则( )
A. xy的最大值为4B. x+ y的最小值为2 2
C. yx+4y的最小值3D. (x2+1)(y2+1)的最小值为16
11.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积.如下图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为B1，B2，左、右顶点分别为A1，A2，OP1=32OB1，OP2=32OB2，设C的离心率为e，则( )
A. 若B1F2//P1A2，则e=23
B. 四边形F1B1F2B2的面积与C的面积之比为2eπ
C. 四边形F1B1F2B2的内切圆方程为x2+y2=a2(a2−b2)b2
D. 设椭圆外阴影部分的面积为S外，椭圆内阴影部分的面积为S内，则S外0)的一个“切立方”，求双曲线的离心率e的取值范围；
(3)已知P(x0,y0)为函数f(x)=ax2+bx(a≠0)的图像上任一点，则函数f(x)在P点处的切线方程为y−y0=(2ax0+b)(x−x0).若奇函数g(x)的定义域为R，且在x>0时g(x)=3x2−6x，设函数g(x)的图像为曲线C，试问曲线C是否存在切立方，并说明理由．
参考答案
1.A
2.B
3.B
4.B
5.C
6.D
7.B
8.C
9.AD
10.ACD
11.ABD
12.(2,1)
13.(1,2]
14.8
15.解：(1)由(b+c−a)(b+c+a)=bc，得(b+c)2−a2=bc，整理得b2+c2−a2=−bc．
根据余弦定理，得csA=b2+c2−a22bc=−12，结合A∈(0,π)，可得A=2π3．
(2)因为∠BAD=3∠CAD，∠BAD+3∠CAD=2π3，所以∠BAD=π2，∠CAD=π6．

因为在△ADC中，AC=4，AD= 3，
所以CD2=AC2+AD2−2AC⋅ADcsπ6=16+3−2×4 3× 32=7，可得CD= 7．
由正弦定理得CDsin∠CAD=ACsin∠ADC，可得sin∠ADC=AC⋅sin∠CADCD=4sinπ6 7=2 77．
所以sin∠ADB=sin(π−∠ADC)=sin∠ADC=2 77．
16.解：(1)经过点(2,1)与点(−2,−3)的直线方程为y−1−3−1=x−2−2−2，
即y=x−1，
由圆C1与y轴相切于点(0,3)可得，圆心C1在直线y=3上，
联y=3y=x−1，解得x=4y=3，
即圆心C1坐标为(4,3)，
所以圆C1的半径为 (4−0)2+(3−3)2=4，
故圆C1的方程为(x−4)2+(y−3)2=16．
(2)因为圆C1的方程为(x−4)2+(y−3)2=16，
即x2+y2−8x−6y+9=0，
圆C2：x2+y2−2x+2y−9=0，
两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为3x+4y−9=0，
圆C1的圆心到直线3x+4y−9=0的距离d=|3×4+4×3−9| 32+42=3，
所以两圆的公共弦MN的长为2 42−32=2 7．
17.(1)证明：当A1B= 2时，因为AA1=AB=1，
所以AA12+AB2=A1B2，所以AA1⊥AB，
由平面ABB1A1⊥平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC=AB，
BC⊂平面ABC，BC⊥AB，可得BC⊥平面ABB1A1，
又AA1⊂平面ABB1A1，所以AA1⊥BC，
因为AB∩BC=B，AB、BC⊂平面ABC，
所以AA1⊥平面ABC，因为AA1⊂平面ACC1A1，
所以平面ACC1A1⊥平面ABC；
(2)解：因为AA1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
所以直线A1C与平面ABC所成的角为∠A1CA，所以∠A1CA=π6，
因为AA1=AB=1，且A1B= 2，
所以A1C=2，AC= 3，故BC= 2，
作BD⊥AC交AC于D，

因为平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC=AC，
BD⊂平面ABC，所以BD⊥平面ACC1A1，
又A1C⊂平面ACC1A1，所以BD⊥A1C，
作DE⊥A1C交A1C于E，连接BE，
因为BD∩DE=D，BD、DE⊂平面BDE，所以A1C⊥平面BDE，
因为BE⊂平面BDE，所以A1C⊥BE，
所以∠BED是二面角B−A1C−A的平面角，
因为AC⋅BD=AB⋅BC，即 3BD=1× 2，所以BD= 63，
因为A1C⋅BE=A1B⋅BC，即2BE= 2× 2，所以BE=1，
所以sin∠BED=BDBE= 63，
所以二面角B−A1C−A的正弦值为 63．
18.解：(1)易知|F1F2|=2 3，
因为，△PF1F2的周长为4+2 3，
所以|PF1|+|PF2|+|F1F2|=4+2 3，
所以|PF1|+|PF2|=2a=4，
解得a=2，
则b2=a2−c2=1，
故椭圆C的标准方程为x24+y2=1；
(2)(ⅰ)证明：设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，T(4,m)，
由(1)知A(−2,0)，B(2,0)，
此时kAP=y1x1+2，kAQ=kAT=m−04−(−2)=m6，
因为kBP=kBT=y1x1−2=m2，
所以m=2y1x1−2，
则kAP⋅kAQ=y1x1+2⋅m6=y1x1+2⋅y13(x1−2)=y123(x12−4)，
因为点P在椭圆上，
所以x124+y12=1，
即y12=14(4−x12)，
所以kAP⋅kAQ=14(4−x12)3(x12−4)=−112，
则kAP⋅kAQ为定值，定值为−112；
(ⅱ)证明：联立x=ty+nx2+4y2=4，消去x并整理得(t2+4)y2+2tany+n2−4=0，
此时Δ=4t2n2−4(t2+4)(n2−4)=16(t2+4−n2)>0，
由(ⅰ)得y1+y2=−2tmt2+4，y1y2=n2−4t2+4，
又kAP⋅kAQ=−112，
所以y1x1+2⋅y2x2+2=y1y2(ty1+n+2)(ty2+n+2)=y1y2t2y1y2+t(n+2)(y1+y2)+(n+2)2
=n2−4t2+4t2⋅n2−4t2+4−2t2n(n+2)t2+4+(n+2)2=n2−44n2+16n+16=−112，
解得n=1，
此时满足Δ>0，
则直线PQ的方程为x=ty+1．
故直线PQ过定点(1,0)．
19.解：(1)
根据“切立方”的定义，结合图象可得，x=α+r，x=α−r，y=β+r，y=β−r(答案不唯一)．
(2)
由正方形A的方程为|x|+|y|=1，则|y|=−|x|+1=±x+1，
由正方形A为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个“切立方”，
则x2a2−y2b2=1|y|=±x+1，联立可得x2a2−(±x+1)2b2=1，
整理可得(1a2−1b2)x2±2b2x−1b2−1=0，
则Δ=4b4+4(1a2−1b2)(1b2+1)=0，整理得b2−a2+1=0，即c2−2a2+1=0，
则c2a2=2−1a2∈(1,2)，所以e∈(1, 2).
(3)曲线C存在切立方，理由如下：
由题意得g(x)=−3x2−6x,x0，
当x>0时，g′(x)=6x−6，
设第一个切点为(x1,3x12−6x1)(x1>0)，则g′(x1)=6x1−6，
则过该点的一条切线方程为：y−(3x12−6x1)=(6x1−6)(x−x1)，
即y=(6x1−6)x−3x12，
因为g(x)为奇函数，其图象关于原点对称，因此如果曲线C是存在切立方，则正方形也关于原点对称，故与第一条边平行的正方形的另一条边所在直线方程为：y=(6x1−6)x+3x12，
设第三个切点为(x2,−3x22−6x2)(x2