2024-2025学年福建省莆田二中高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年福建省莆田二中高二（上）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.过点(2,−1)，且一个方向向量为(−1,2)的直线方程为( )
A. x+2y=0B. 2x+y−3=0C. x−2y−4=0D. 2x−y−5=0
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a10=24，且a3=6，则S8=( )
A. 60B. 72C. 120D. 144
3.已知直线过点(1,2)，且在纵坐标上的截距为横坐标上的截距的两倍，则直线l的方程为( )
A. 2x−y=0B. 2x+y−4=0
C. 2x−y=0或x+2y−2=0D. 2x−y=0或2x+y−4=0
4.已知两点F1(−2,0)、F2(2,0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程为( )
A. x24+y23=1B. x28+y24=1C. x216+y24=1D. x216+y212=1
5.已知曲线y=1+ 4−x2与直线y=k(x−2)+4有两个相异的交点，那么实数k的取值范围是( )
A. (512,43]B. (512,34]C. [14,712)D. [16,712)
6.在等比数列{an}中，a2=2，a4a6−16a5=0，若bn=−2,n为偶数an,n为奇数，且{bn}的前n项和为Sn，则满足S2n>360的最小正整数n的值为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
7.德国数学家米勒曾提出最大视角问题：已知点A，B是∠MON的ON边上的两个定点，C是OM边上的一个动点，当C在何处时，∠ACB最大？结论是：当且仅当△ABC的外接圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大.人们称这一命题为米勒定理.在平面直角坐标系内，已知M(1,0)，N(3,0)，点P是直线l：x−y+1=0上一动点，当∠MPN最大时，点P的坐标为( )
A. (12,32)B. ( 2, 2+1)C. (1,2)D. ( 3, 3+1)
8.设m∈R，圆M：x2+y2−2x−6y=0.若动直线l1：x+my−2−m=0与圆M交于点A，C，动直线l2：mx−y−2m+1=0与圆M交于点B，D，则|AC|+|BD|的最大值是( )
A. 30 3B. 2 30C. 20 3D. 3 30
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l1：x+(a−1)y+1=0，直线l2：ax+2y+2=0，则下列结论正确的是( )
A. l1在x轴上的截距为−1B. l2过点(0,−1)且不垂直x轴
C. 若l1//l2，则a=−1或a=2D. 若l1⊥l2，则a=23
10.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an= Sn+ Sn−1(n∈N∗,n≥2)．bn=1(2n−1)(an+2)(n∈N∗)，数列{bn}的前n项和为Tn.则下列说法正确的是( )
A. Sn=n2B. 1a12+1a22+⋯+1an2m2022的m的最大值为674
11.若点P的坐标是(a,b)，圆M：x2+y2+2x−4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，Q(m,n)是圆M上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 点P在直线x−y−3=0上
B. 2m+n的取值范围是[− 5, 5]
C. 以PM为直径的圆过定点R(2,−1)
D. 若直线PA与圆M切于点A，则|PA|>4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an+1}是公比为2的等比数列.若a1=0，则S6= ______．
13.一动圆M与圆C1：(x+1)2+y2=25内切，且与圆C2：(x−1)2+y2=1外切，则动圆圆心M的轨迹方程是______．
14.已知二次函数y=x2+(2m−3)x−4−11m(m∈R)与x轴交于A，B两点，点C(1,3)，圆G过A，B，C三点，存在一条定直线l被圆G截得的弦长为定值，则该定值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知正项等差数列{an}满足：a1=1且a1，a3，2a7−1成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}为递增数列，数列{bn}满足：bn=2an,n∈N∗，求数列{an+bn}的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
已知△ABC的顶点A(1,1)，边AC上的高BH所在直线的方程为x−y+8=0，边AB上的中线CM所在直线的方程为5x−3y−10=0．
(1)求直线AC的方程及点C的坐标；
(2)求△ABC的面积．
17.(本小题15分)
圆C与直线l：4x−3y+6=0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l1：mx+y−4m−4=0，
①证明：直线l1与圆C相交；
②求直线l1被圆C截得的弦长最短时的方程．
18.(本小题17分)
若数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+2n，数列{bn}满足b1=2,bn=3bn−1+2(n≥2,n∈N∗)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{bn+1}是等比数列；
(3)设数列{cn}满足cn=an−2bn+1，其前n项和为Tn，若对任意n∈N∗，Tn+λ≥1恒成立，求实数λ的取值范围．
19.(本小题17分)
定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记|MN|的最大值为m，|MN|的最小值为n，若m=2n，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“E−F”的“钻石点”.已知圆A：(x+1)2+(y+1)2=13，P为圆A的“黄金点”
(1)求点P所在曲线的方程．
(2)已知圆B：(x−2)2+(y−2)2=1，P，Q均为圆“A−B”的“钻石点”．
(ⅰ)求直线PQ的方程．
(ⅱ)若圆H是以线段PQ为直径的圆，直线l：y=kx+13与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分∠IWJ？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.B
2.B
3.D
4.D
5.B
6.B
7.C
8.B
9.ABD
10.AB
11.AC
12.57
13.x29+y28=1
14. 13
15.解：(1)正项等差数列{an}满足a1=1，且a1，a3，2a7−1成等比数列，
设公差为d，可得a32=a1(2a7−1)，即(1+2d)2=2(1+6d)−1，
解得d=0或2，则an=1，或an=1+2(n−1)=2n−1；
(2)若数列{an}为递增数列，可得an=2n−1，bn=22n−1，
则数列{an+bn}的前n项和Tn=(1+3+...+2n−1)+(2+8+...+22n−1)=12n(1+2n−1)+2(1−4n)1−4=n2+22n+1−23．
16.解：(1)因为边AC上的高BH所在直线的方程为x−y+8=0，
所以边AC所在直线的斜率为−1，
又顶点A(1,1)，
所以边AC所在的直线方程为y−1=−(x−1)，
联立5x−3y−10=0y−1=−(x−1)，解得x=2，y=0，即C(2,0)，
综上所述，直线AC的方程为x+y−2=0，点C的坐标为(2,0)．
(2)设B点坐标为(a,b)，则M(1+a2,1+b2)，
代入中线CM所在直线的方程5x−3y−10=0，有5×1+a2−3×1+b2−10=0，即5a−3b−18=0，
又B点在直线BH上，所以a−b+8=0，
联立5a−3b−18=0a−b+8=0，解得a=21，b=29，即B(21,29)，
所以B到直线AC的距离为BH=|21+29−2| 1+1=24 2，
而A(1,1,)，C(2,0)，
所以|AC|= (2−1)2+12= 2，
所以S△ABC=12×24 2× 2=24．
17.(1)解：设与直线l：4x−3y+6=0垂直的直线方程为3x+4y+c=0，
代入A(3,6)可得：9+24+c=0，解得c=−33，
所以圆C的圆心C所在的直线方程为：3x+4y−33=0上，
设C(4a+7,3−3a)，因为|CA|=|CB|，
即 (4a+4)2+(−3−3a)2= (4a+2)2+(1−3a)2，解得a=−12，
则C(5,92)，且圆C的半径|CB|=52，
所以圆C的方程为(x−5)2+(y−92)2=254；
(2)证明：①对于直线l1：mx+y−4m−4=0，即m(x−4)+y−4=0，
令x−4=0y−4=0，解得x=4y=4，即直线l1过定点M(4,4)，
且|CM|= (5−4)2+(92−4)2= 52