河北省衡水中学2025届高三上学期期中综合素质评价数学试卷（含答案）

这是一份河北省衡水中学2025届高三上学期期中综合素质评价数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z满足iz=1−3i，则z=( )
A. 5B. 10C. 5D. 10
2.设全集U=−2,−1,0,1,2,3，集合A=−1,2,B=x∣x2−3x=0，则∁U(A∪B)=( )
A. 1,3B. 0,1,3C. −2,1D. −2,0,1
3.用平行于底面的平面截正四棱锥，截得几何体为正四棱台.已知正四棱台的上､下底面边长分别为1和2，侧棱与底面所成的角为π4，则该四棱台的体积是( )
A. 76B. 7 26C. 7 23D. 7 22
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a10=24，且a3=6，则S8=( )
A. 60B. 72C. 120D. 144
5.已知两条不同的直线l，m，两个不同的平面α，β，则下列条件能推出α//β的是( )
A. l⊂α，m⊂α，且l//β，m//βB. l⊂α，m⊂β，且l//m
C. l⊥α，m⊥β，且l//mD. l//α，m//β，且l//m
6.函数fx=ex+x−4,xa−b，则与的夹角为锐角
B. 已知，，为两两非共线向量，若a⋅b=a⋅c，则a⊥b−c
C. 在三角形ABC中，若a⋅csA=b⋅csB，则三角形ABC是等腰三角形
D. 若三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面的射影是底面三角形的外心
10.已知定义在R上的函数fx，gx，其导函数分别为f′x，g′x，f1−x=6−g′1−x，f1−x−g′1+x=6，且gx+2为奇函数，则( )
A. gx的图象关于x=1对称B. g′x+6=g′x
C. f′6=f′2D. f2021+f2023=12
11.已知△ABC中，AB⊥BC,AB=BC=2，E，F分别在线段BA，CA上，且BE=λBA，CF=λCA(λ∈(0,1)).现将△AEF沿EF折起，使二面角A−EF−C的大小为α(α∈(0,π)).以下命题正确的是( )
A. 若λ=12，α=π3，则点F到平面ABC的距离为 32
B. 存在λ使得四棱锥A−BCFE有外接球
C. 若λ=13，则三棱锥F−AEB体积的最大值为1681
D. 若α=π2，三棱锥A−BEF的外接球的半径取得最小值时，λ=23
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=1，AA1=2，D为B1B的中点，则异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为 ．
13.如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C、B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为(45,−35)，∠AOC=α，若BC=1，则 3cs2α2−sinα2csα2− 32的值为 ．
14.曲线y=lnx在Ax1,y1，Bx2,y2两点处的切线分别为l1，l2，且l1⊥l2，则x1x2= ；若l1，l2交点的横坐标为x3，则x1x3+x2x3= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC的面积为20 3，O为边BC的中点，OA=5，OA⋅OB=20．
(1)求边BC的长;
(2)求角C的正弦值．
16.(本小题15分)
如图，三棱台ABC−A1B1C1中，△ABC是正三角形，A1A⊥平面ABC，AB=2A1A=2A1C1=4，M，N分别为棱AB，B1B的中点．
(1)证明：B1B⊥平面MCN;
(2)求直线C1C与平面MCN所成的角的正弦值．
17.(本小题15分)
已知数列an和bn满足，a1=2，b1=1，an+1=2ann∈N∗，b1+12b2+13b3+⋯+1nbn=bn+1−1n∈N∗.
(1)求an与bn；
(2)记数列cn的前n项和为Tn，且cn=1bnbn+2,n为奇数−1an,n为偶数，若对n∈N∗，T2n≥k恒成立，求k的取值范围．
18.(本小题17分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD为正方形，E，F分别为PA，PC的中点，且平面PBD⊥平面BEF．
(1)证明：PA=PC；
(2)若PB= 2PD，当四棱锥P−ABCD的体积最大时，求平面PAB与平面BEF的夹角的余弦值．
19.(本小题17分)
设y=fx是定义域为D且图象连续不断的函数，若存在区间a,b⊆D和x0∈a,b，使得y=fx在a,x0上单调递增，在x0,b上单调递减，则称y=fx为“山峰函数”，x0为“峰点”，a,b称为y=fx的一个“峰值区间”．
(1)判断gx=x2+csx是否是山峰函数？若是，请指出它的一个峰值区间；若不是，请说明理由；
(2)已知m>1，ℎx=m+2x−x2−mx是山峰函数，且0,1是它的一个峰值区间，求m的取值范围；
(3)设n∈R，函数Ix=x3−2nx2+4n−4xlnx−13x3+nx2−4n−4x.设函数y=Ix是山峰函数，s,t是它的一个峰值区间，并记t−s的最大值为dn.若I23T2n，即{T2n}是递增数列，
所以{T2n}中最小值为T2=13+112−13=112，
对n∈N∗，T2n≥k恒成立，则k≤112．

18.解：(1)设AC∩BD=O，OP∩EF=Q，过点D作DH⊥BQ于H，
由平面PBD⊥平面BEF，且平面PBD∩平面BEF=BQ，DH⊂平面PBD，
故DH⊥平面BEF，由于EF⊂平面BEF，所以DH⊥EF；
因为E，F分别为PA，PC的中点，因此EF/​/AC，因此DH⊥AC，
由底面ABCD为正方形可知AC⊥BD，由于DH∩BD=D，DH,BD⊂平面PBD，
因此AC⊥平面PBD，由于PO⊂平面PBD，故AC⊥PO，
因为O为AC的中点，因此PA=PC；
(2)不妨设AB= 2，以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，过点O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(−1,0,0)，D(0,−1,0)，
由(1)可知，点P在yOz平面内，设P(0,y0,z0)，由PB2=2PD2，
即y0−12+z02=2y0+12+2z02，即y0+32+z02=8，
当P−ABCD的体积最大时，z0=2 2，
此时P(0,−3,2 2)，则E(12,−32, 2)，F(−12,−32, 2)，
则FE=(1,0,0)，BE=(12,−52, 2)，AB=(−1,1,0)．
设平面PAB的法向量为m=(a,b,c)，则m⋅AB=0m⋅BE=0，即−a+b=012a−52b+ 2c=0,
令a=1，则m=(1,1, 2)；
设平面BEF的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅FE=0n⋅BE=0，即x=012x−52y+ 2z=0,
令z=5，则n=(0,2 2,5)；
则cs=m⋅n|m|⋅|n|=7 2 4⋅ 33=7 6666，
即平面PAB与平面BEF的夹角的余弦值为：7 6666．

19.解：(1)由gx=x2+csx，求导可得g′x=2x−sinx，x∈R；
令px=2x−sinx，则有p′x=2−csx>0，所以px=g′x在R上单调递增，
又g′0=0，所以当x0，gx在0,+∞上单调递增，
所以gx=x2+csx不是山峰函数．
(2)由题意可知：函数ℎx=m+2x−x2−mx在区间0,1上先增后减，且存在峰点，
由于ℎ′x=m+2−2x−mx⋅lnm，
又当m>1时，lnm>0，则ℎ′x在0,1上单调递减，
所以ℎ′0=m+2−lnm>0ℎ′1=m−mlnm1，所以q′m=1−1m>0，则qm在1,+∞上单调递增．
所以当m>1时，qm>q1=3>0，即此时m+2−lnm>0恒成立：
由于当m>1时，不等式m−mlnm1，即m>e，
故m的取值范围是e,+∞．
(3)由题意得：I′x=3x2−4nx+4n−4lnx+x2−2nx+4n−4−x2+2nx−4n−4
=3x2−4nx+4n−4lnx．
若3x2−4nx+4n−4≥0恒成立，易知当0