2024-2025学年福建省福州市山海联盟校教学协作体高三（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年福建省福州市山海联盟校教学协作体高三（上）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知全集U=R，集合A={1,2,3,4,5}，B={x∈R|x≥3}，图中阴影部分所表示的集合为( )
A. {1,2}B. {4,5}
C. {1,2,3}D. {3,4,5}
2.已知复数z=21−i，则z⋅z−=( )
A. −2B. 2C. 2D. − 2
3.下列函数中，既是奇函数又是减函数的是( )
A. f(x)=x13B. f(x)=1xC. f(x)=lg12xD. f(x)=2−x−2x
4.设直线l1：(a+1)x+a2y−3=0，l2：2x+ay−2a−1=0，则“a=0”是“l1//l2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知a=lg0.33，b=20.2，c=ln2，则a，b，c的大小关系为( )
A. b>a>cB. b>c>aC. c>b>aD. c>a>b
6.已知2sin(α+2β)=sinα，则tan(α+β)tanβ=( )
A. 13B. 12C. −3D. −2
7.已知在高为1的正四棱锥P−ABCD中，AB=2，则正四棱锥P−ABCD外接球的表面积为( )
A. 9πB. 9π2C. 32π3D. 4π
8.设A1，A2，B1分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右、上顶点，O为坐标原点，D为线段OB1的中点，过A2作直线A1D的垂线，垂足为H.若H到x轴的距离为127|OD|，则椭圆C的离心率为( )
A. 24B. 33C. 22D. 36
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=2sin(2x−π6)+3，则下列说法正确的是( )
A. f(x)的值域为[1,5]
B. f(x)在(0,π2)上的递增区间为(0,π3)
C. f(x)的对称中心为(π12+kπ2,0)，k∈Z
D. f(x)在(0,56π)上的极值点个数为2
10.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，a1>0，且S13=S19，则( )
A. 公差d>0B. a16>0
C. S32=0D. n=17时，Sn最大
11.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交C的右支于点A，B，若F1A⋅F1B=F1B2=35|F1A||F1B|，则( )
A. cs∠AF1B=35
B. 双曲线的渐近线方程为y=± 63x
C. BF1⋅BF2=0
D. △AF1F2，△BF1F2面积记为S1，S2，则S1=3S2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知f(x)=ex+x2，则f(1)+f′(1)= ．
13.如图，对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的着色方法有______种.
14.已知f(x)是定义在R上的奇函数，∀x∈R，恒有f(x)+f(x+2)=0，且当x∈(0,1]时，f(x)=1+2x，则f(1)+f(2)+…+f(2024)+f(2025)= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+2bcsA−2c=0．
(Ⅰ)求B；
(Ⅱ)若b=72，点D在边BC上，AD⊥BC，且AD=2 3，求a．
16.(本小题15分)
已知动点P在抛物线x2=2y上，过点P作x轴的垂线，垂足为H，动点Q满足PQ=13PH．
(1)求动点Q的轨迹E的方程；
(2)过点M(0,1)的直线l交轨迹E于A，B两点，设直线OA，OB的斜率为k1，k2，求k1⋅k2的值．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB//DC，AB=12CD=AD=1，M为棱PC的中点．
(1)证明：BM//平面PAD；
(2)若PC= 5，PD=1，在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是2 69？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=lnx−x+a．
(1)若x>0时f(x)<0，求a的取值范围；
(2)若019.(本小题17分)
对于数列A：a1，a2，a3(ai∈N∗,i=1,2,3)，定义“T变换”：T将数列A变换成数列B：b1，b2，b3，其中bi=|ai−ai+1|(i=1,2)，且b3=|a3−a1|.这种“T变换”记作B=T(A)，继续对数列B进行“T变换”，得到数列C：c1，c2，c3，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．
(1)写出数列A：2，6，4经过5次“T变换”后得到的数列；
(2)设数列A：400，2，403经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值．
参考答案
1.A
2.B
3.D
4.C
5.B
6.C
7.A
8.B
9.AB
10.ABC
11.ACD
12.2e+3
13.48
14.3
15.解：(Ⅰ)因为a+2bcsA−2c=0，由正弦定理可得sinA+2sinBcsA=2sinC，
在三角形中，sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB，
可得sinA=2sinAcsB，
又sinA≠0，所以csB=12，
而B∈(0,π)，
所以B=π3；
(Ⅱ)因为AD⊥BC，且AD=2 3，B=π3，在△ABD中，
可得c=AB=ADsinB=2 3 32=4，
在△ABC中，由余弦定理可得b2=a2+c2−2acsB，
即(72)2=a2+42−2a⋅4⋅12，
整理可得4a2−16a+15=0，
解得a=32或52．
经验证，符合锐角三角形的只有52．
16.解：(1)设点Q(x,y)，P(x0,y0)，则H(x0,0)，
∴PQ=(x−x0,y−y0)，PH=(0,−y0)，
∵PQ=13PH，∴x−x0=0y−y0=−13y0，∴x0=x，y0=32y
而x02=2y0，
∴x2=3y．
(2)由题意知直线l的斜率存在，设为k，直线l的方程为y=kx+1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由x2=3yy=kx+1得得x2−3kx−3=0，
∴△=9k2+12>0，x1+x2=3k，x1x2=−3
∴y1y2=1
∴k1k2=y1x1⋅y2x2=−13，
故k1⋅k2的值为−13．
17.(1)证明：取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示：

∵M为棱PC的中点，∴MN/​/CD，MN=12CD，
∵AB/​/CD，AB=12CD，∴AB/​/MN，AB=MN，
则四边形ABMN是平行四边形，得BM/​/AN，
又BM⊄平面PAD，MN⊂平面PAD，
∴BM//平面PAD；
(2)解：在线段PA上存在点Q，满足PQ=2 23，使得点Q到平面BDM的距离是2 69．
∵PC= 5，PD=1，CD=2，
∴PC2=PD2+CD2，则PD⊥DC，
∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=DC，PD⊂平面PDC，
∴PD⊥平面ABCD，
又AD，CD⊂平面ABCD，
∴PD⊥AD，PD⊥CD，又AD⊥DC，
∴以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则P(0,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)，
∵M为棱PC的中点，
∴M(0,1,12)，B(1,1,0)，
PA=(1,0,−1)，DB=(1,1,0)，DM=(0,1,12)，
假设在线段PA上存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是2 69，
设PQ=λPA，0≤λ≤1，则Q(λ,0,1−λ)，BQ=(λ−1,−1,1−λ)，
设平面平面BDM的一个法向量为n=(x,y,z)，
由n⋅DB=x+y=0n⋅DM=y+12z=0，取x=1，得n=(1,−1,2)，
∴点Q到平面BDM的距离是|BQ⋅n||n|=2−λ 6=2 69，
解得λ=23，则PQ=(23,0,−23)，可得PQ=2 23．
即在线段PA上存在点Q，满足PQ=2 23，使得点Q到平面BDM的距离是2 69．
18.解：(1)因为f(x)=lnx−x+a，函数定义域为(0,+∞)，
若lnx−x+a<0，
即a令g(x)=x−lnx，函数定义域为(0,+∞)，
可得g′(x)=1−1x=x−1x，
当0当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以当x=1时，g(x)取得极小值也是最小值，最小值g(1)=1，
则a的取值范围为(−∞,1)；
(2)证明：要证当x≥1时，f(x)+x≤(x−1)ex−a+1，
即证lnx+a≤(x−1)ex−a+1，
设ℎ(x)=lnx+a−1−(x−1)ex−a，函数定义域为[1,+∞)，
可得ℎ′(x)=1x−xex−a，
令t(x)=ℎ′(x)=1x−xex−a，函数定义域为[1,+∞)，
可得t′(x)=−1x2−(x+1)ex−a<0恒成立，
所以t(x)在[1,+∞)上单调递减，
即ℎ′(x)在[1,+∞)上单调递减，
又0所以ℎ′(1)=1−e1−a≤0，
故ℎ′(x)≤0在[1,+∞)上恒成立，
即ℎ(x)在[1,+∞)上单调递减，
又ℎ(1)=a−1≤0．
故lnx+a−1−(x−1)ex−a≤0，结论得证．
19.解：(1)依题意，5次变换后得到的数列依次为
4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2⋯
所以，数列A：2，6，4经过5次“T变换”后得到的数列为2，0，2；
(2)数列A经过一次“T变换”后得到数列B：398，401，3，
其结构为a，a+3，3．
数列B经过6次“T变换”得到的数列分别为：
3，a，a−3；a−3，3，a−6：a−6，a−9，3；3，a−12，a−9；a−15，3，a−12；a−18，a−15，3．
所以，经过6次“T变换”后得到的数列也是形如“a，a+3，3”的数列，
变化的是，除了3之外的两项均减小18．
因为398=18×22+2，
所以，数列B经过6×22=132次“T变换”后得到的数列为2，5，3．
接下来经过“T变换”后得到的数列分别为：
3，2，1；1，1，2；0，1，1；1，0，1；1，1，0；0，1，1；1，0，1，…
至此，数列和的最小值为2，以后数列循环出现，数列各项和不会更小．
所以经过1+132+3=136次“T变换”得到的数列各项和达到最小，
即k的最小值为136．