2024-2025学年福建省百校联考高三（上）月考数学试卷（11月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年福建省百校联考高三（上）月考数学试卷（11月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x2−2x−3≤0}，B={x|y= x−1}，则(∁RB)∩A=( )
A. [−1,1]B. [−1,1)C. [−3,1]D. [−3,1)
2.若复数z满足1−z=2i+iz，则复数z在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.若a和b是两个互不相等的正实数，则“a+b=2”是“lgab<0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知a，b是两个非零平面向量，a⊥(3b−2a)，则b在a方向上的投影向量为( )
A. aB. 12aC. 23aD. 13a
5.在平面直角坐标系中，将角α的终边顺时针旋转π4后经过点(1,−2)，则sinα=( )
A. 1010B. − 1010C. 3 1010D. −3 1010
6.定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=2x+1，若函数ℎ(x)=g2(x)−2mf(x)(m∈R)的最小值为−12，则m=( )
A. 1B. 3C. 2 2D. −2 2
7.数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为Sn,bn=|sinnπ2|⋅(1Sn−1Sn+2)，Tn为数列{bn}的前n项和，则T10=( )
A. 10221023B. 20462047C. 40944095D. 81908191
8.函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)为f(x)的导函数，满足2(f(x)+x2)=x(f′(x)+x)，f(1)=−32，则f(x)的最小值为( )
A. −eB. eC. −e2D. −e22
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数最小值为4的是( )
A. y=x2−2x+3B. y=2x+22−x
C. y=1sin2x+1cs2xD. y=2lg2a+lga4(a>1)
10.已知函数f(x)=2sin(2ωx+π6)(ω>0)，则下列说法正确的是( )
A. 当ω=1时，f(x)的最小正周期为2π
B. 函数f(x)过定点(0,1)
C. 将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度后，得到函数ℎ(x)的图象，若函数ℎ(x)是偶函数，则ω的最小值为12
D. 函数g(x)=f(x)− 3在区间[0,π]上恰有5个零点，则ω的取值范围为[94,3712)
11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是A1D1，DD1，C1D1的中点，点P为正方体表面上的一动点，则下列说法正确的是( )
A. △EFG的面积为 32
B. 三棱锥P−EFG体积的最大值为34
C. 若A1P//平面EFG，则点P的轨迹长度为6 2
D. 当点P为BC的中点时，P到直线A1C1的距离为3 22
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)=2x,x≤1x2−7x+13,x>1，则f(f(f(1)))= ______．
13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sin2A=sinC，a=2，c=1，则b= ______．
14.记数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，函数f(x)=x22+lnx−(an+2)x均存在两个极值点xn1，xn2，且满足|xn2−xn1|=(n+1)an，则Sn= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6−a3=9，S5=15．
(1)求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；
(2)若bn=2an⋅an+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
如图所示，C，D分别为半圆锥PAB的底面半圆弧上的两个三等分点，O为AB中点，E为母线PB的中点．
(1)证明：DE//平面PAC；
(2)若△PAB为等边三角形，求平面PAB与平面PAD的夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
函数f(x)=(1−x)eax−x−1，其中a为整数．
(1)当a=1时，求函数f(x)在x=1处的切线方程；
(2)当x∈(0,+∞)时，f(x)<0恒成立，求a的最大值．
18.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsinAsinB+cs2B=1，1+3c2=2 3bcsinA．
(1)求a；
(2)求△ABC的面积；
(3)在△ABC所在的平面内有一动点D(x,y)，满足DA⋅DC=113，求 3x−3y的最小值．
19.(本小题17分)
设f′(x)为函数f(x)的导函数，若f′(x)在区间D上单调递增，则称f(x)为区间D上的凹函数，区间D称作函数f(x)的凹区间；反之，则称f(x)为区间D上的凸函数，区间D称作函数f(x)的凸区间．
(1)已知函数g(x)=lnx+12x2，求g(x)的凹、凸区间；
(2)如图所示为某个凹函数y=m(x)的图象，在图象上任取两个不同的点A(x1,m(x1))，B(x2,m(x2))，过线段AB的中点C作x轴的垂线，与函数图象和x轴分别交于D，E两点，则有|CE|>|DE|．
①将不等关系|CE|>|DE|转化为对应的不等式；
②证明：当x，y∈(0,2)时，(x+1x)(y+1y)≥(x+y2+2x+y)2恒成立．
参考答案
1.B
2.C
3.A
4.C
5.B
6.C
7.B
8.D
9.BCD
10.BC
11.ACD
12.1
13.2
14.3−2n+1−2n+2
15.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
由2a6−a3=9，S5=15，
得2a1+10d−a1−2d=a1+8d=9，且5a1+10d=15，
联立解得a1=d=1，故an=1+n−1=n；
Sn=n+n(n−1)2=n2+n2；
(2)由(1)可知an=n，且bn=2an⋅an+1，
则bn=(n+1)⋅2n，
故Tn=2×2+3×22+4×23+⋯+(n+1)⋅2n，
则2Tn=2×22+3×23+4×24+⋯+(n+1)⋅2n+1，
两式作差可得−Tn=4+22+23+⋯+2n−(n+1)⋅2n+1=4+4−2n+11−2−(n+1)⋅2n+1
=−n⋅2n+1，
∴Tn=n⋅2n+1．
16.解：(1)证明：根据C，D分别为底面半圆弧上的两个三等分点，可知CD/​/AB且CD=12AB，
如果F是PA中点，E为母线PB的中点，那么易知EF=12AB且EF/​/AB，
因此EF//CD且EF=CD，那么EFCD为平行四边形，所以CF/​/DE，
根据DE⊄面PAC，CF⊂面PAC，所以DE/​/平面PAC．

(2)作DH⊥PA，DG⊥AB，连接HG，如上图所示，
根据题意，面PAB⊥面ABDC，PO⊂面PAB，PO⊥AB，面PAB∩面ABDC=AB，
因此PO⊥面ABDC，又因为DG⊂面ABDC，所以PO⊥DG，
又因为PO∩AB=O都在面PAB内，那么DG⊥面PAB，又因为PA⊂面PAB，
因此DG⊥PA，又由于DG∩DH=D都在面DHG内，所以PA⊥面DHG，
根据GH⊂面DHG，那么PA⊥GH，并根据DH⊥PA，且DH⊂面PAD，GH⊂面PAB，
因此平面PAD与平面PAB的夹角为∠DHG或其补角，
设△PAB的边长为2，那么PA=2，根据题设易知∠BAD=30°，所以DG= 32，AD= 3，
在三角形PAD中AD上的高ℎ= 4−34= 132，那么DH=ℎ⋅ADPA= 132× 32= 394，
因此sin∠DHG=DGDH=2 1313，所以cs∠DHG=3 1313，
因此平面PAB与平面PAD的夹角余弦值为3 1313．
17.解：(1)当a=1时，函数f(x)=(1−x)ex−x−1，所以f(1)=−2，
而导函数f′(x)=−ex+(1−x)ex−1=−xex−1，那么f′(1)=−e−1，
因此f(x)在x=1处的切线方程为y+2=(−e−1)(x−1)，
所以(e+1)x+y+1−e=0．
(2)当x∈[1,+∞)时，(1−x)eax≤0，那么f(x)<0恒成立，
当x∈(0,1)时，根据函数f(x)<0，得(1−x)eax−x−1<0，
所以eax所以ln(x+1)−ln(1−x)−ax>0对于x∈(0,1)恒成立，
设函数g(x)=ln(x+1)−ln(1−x)−ax，x∈(0,1)，
那么导函数g′(x)=1x+1+11−x−a=21−x2−a，
当a≥3时，令导函数g′(x)<0，那么21−x2此时g(x)在(0, 1−2a)上单调递减，
所以g(x)当a≤2时，显然导函数g′(x)>0恒成立，那么g(x)在(0,1)上单调递增，
所以g(x)>g(0)=0，满足题意．
综上所述，a的最大值为2．
18.解：(1)因为2bsinAsinB+cs2B=1，
所以2bsinAsinB=1−cs2B=2sin2B，
因为sinB≠0，所以bsinA=sinB，
由正弦定理得，bsinA=asinB，
所以a=1．
(2)由余弦定理得，1=a2=b2+c2−2bccsA，
因为1+3c2=2 3bcsinA，所以b2+4c2=2 3bcsinA+2bccsA，
两边同时除以2bc，得b2c+2cb= 3sinA+csA=2sin(A+π6)，
因为2sin(A+π6)≤2，当且仅当A=π3时等号成立，
所以b2c+2cb≤2，
又b2c+2cb≥2，当且仅当b=2c时等号成立，
所以b2c+2cb=2，且b=2c，A=π3，
由余弦定理得，1=b2+c2−2bccsA=b2+c2−bc=3c2，即c2=13，
所以△ABC的面积S=12bcsinA=c2sinA= 36．
(3)由(1)(2)可知a=1，c= 33,b=2 33，所以B=π2，
以B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，

则A(0, 33),C(1,0)，
所以DA=(−x, 33−y),DC=(1−x,−y)，
所以DA⋅DC=x2−x+y2− 33y=(x−12)2+(y− 36)2−13=113，
即(x−12)2+(y− 36)2=4，
不妨设x=12+2csθy= 36+2sinθ(θ为变量)，
则 3x−3y=2 3csθ+ 32−6sinθ− 32=4 3cs(θ+π3)≥−4 3，
所以 3x−3y的最小值为−4 3．
19.解：(1)因为g(x)=lnx+12x2的定义域为(0,+∞)，g′(x)=1x+x，
设G(x)=g′(x)，则G′(x)=1−1x2=x2−1x2，
当x∈(0,1)时，G′(x)<0，当x∈(1,+∞)时，G′(x)>0，
故G(x)=g′(x)在x∈(0,1)上单调递减，在x∈(1,+∞)上单调递增，
所以g(x)=lnx+12x2的凹区间为(1,+∞)，凸区间为(0,1)；
(2)①对于凹函数y=m(x)定义域中的任意两个自变量x1，x2(x1≠x2)，
A(x1,m(x1))，B(x2,m(x2))，C(x1+x22,m(x1)+m(x2)2)，D(x1+x22,m(x1+x22))，E(x1+x22,0)，
所以|CE|=m(x1)+m(x2)2,|DE|=m(x1+x22)，
由|CE|>|DE|，有m(x1)+m(x2)2>m(x1+x22)．
②证明：对不等式(x+1x)(y+1y)≥(x+y2+2x+y)2两边取对数，
问题等价于ln(x+1x)+ln(y+1y)≥2ln(x+y2+2x+y)=2ln(x+y2+1x+y2)恒成立，
构造函数ℎ(x)=ln(x+1x)，x∈(0,2)，
即ℎ(x)+ℎ(y)≥2ln(x+y2)恒成立，
ℎ′(x)=1x+1x⋅(1−1x2)=x2−1x3+x，令Q(x)=ℎ′(x)，Q′(x)=2x(x3+x)−(x2−1)(3x2+1)(x3+x)2=−x4+4x2+1(x3+x)2，
令Q′(x)≥0，即x4−4x2−1≤0，解得0所以(0, 2+ 5]是函数ℎ(x)的凹区间，
(0,2)⊆(0, 2+ 5]，所以当x∈(0,2)时，ℎ(x)是凹函数，
由①知，ℎ(x)+ℎ(y)≥2ln(x+y2)，当x=y时，等号成立，
所以x，y∈(0,2)时，ℎ(x)+ℎ(y)≥2ln(x+y2)恒成立，
即(x+1x)(y+1y)≥(x+y2+2x+y)2恒成立．