2024-2025学年甘肃省天水一中高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年甘肃省天水一中高二（上）期中数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知数列 6, 10, 14,3 2, 22，…，则5 2是这个数列的( )
A. 第11项B. 第12项C. 第13项D. 第14项
2.以(0,−2)为圆心，4为半径的圆的标准方程为( )
A. x2+(y−2)2=16B. x2+(y+2)2=16
C. x2+(y+2)2=4D. x2+(y−2)2=4
3.在等比数列{an}中，且a3a9=4a4，则a8=( )
A. 16B. 8C. 4D. 2
4.已知直线x+y−1=0与2x+ny+5=0互相平行，则它们之间的距离是( )
A. 3 2B. 2C. 7 24D. 7 22
5.某数学爱好者计划近段时间做不少于100道题，若第一天做1题，以后每天做题的数量是前一天的3倍，则需要的最少天数n(n∈N∗)等于( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
6.在等比数列{an}中，a6=23，公比q= 3，则a10=( )
A. 6B. 3 3C. 12D. 8 3
7.已知直线y=kx+2与圆C：(x−3)2+(y−1)2=9相交于A，B两点，且|AB|=4 2，则k=( )
A. −512B. 0或−34C. −34D. −512或0
8.已知等差数列{an}，{bn}前n项和分别为Sn，Tn，若SnTn=n+1n+3，则a2b1+b5+a4b2+b4等于( )
A. 2B. 54C. 1D. 34
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线y=2x与x+y+a=0交于点P(1,b)，则( )
A. a=−3
B. b=2
C. 点P到直线ax+by+3=0的距离为2 1313
D. 点P到直线ax+by+3=0的距离为4 1313
10.等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a2+a5+a8是一个定值，则下列各数也是定值的是( )
A. a5B. a6C. S9D. S10
11.直线y=2x+m与曲线y= 4−x2恰有两个交点，则实数m的值可能是( )
A. 92B. 4110C. 4D. 5
12.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn+Sn+1=n2+n+1，a1=1，则( )
A. 数列{an}的奇数项成等差数列B. 数列{an}的偶数项成等差数列
C. S2n=2n2D. S2n−1=2(n−1)2
三、填空题：本题共4小题，共18分。
13.已知数列{an}满足a1=2，an+1=an+2(n∈N∗)，则a16= ______．
14.直线xcsα− 3y−2=0的斜率的取值范围是______．
15.过点(3,4)且与圆C：(x−2)2+y2=1相切的直线方程为______．
16.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an+n−4.则数列{an}的通项公式为______，nan的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知直线l1：ax−y+2=0，l2：(a+2)x−ay−2=0．
(1)若l1//l2，求实数a的值；
(2)若l1⊥l2，求实数a的值．
18.(本小题12分)
已知在等差数列{an}中，a1+a4=8，a2⋅a3=15．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn的最值．
19.(本小题12分)
已知圆C1：x2+y2+2x+2y−2=0，圆C2：x2+y2−4y−1=0．
(1)证明：圆C1与圆C2相交；
(2)若圆C1与圆C2相交于A，B两点，求|AB|．
20.(本小题12分)
已知单调递减的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1+a3=58，S3=7a3．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求满足Sn≤9991000的所有正整数n的值．
21.(本小题12分)
已知数列{an}中，a1=4，a2=10，an+2=4an+1−3an．
(1)证明：数列{an+1−an}和数列{an+1−3an}都为等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)求数列{nan}的前n项和Sn．
22.(本小题14分)
已知某圆的圆心在直线y=x上，且该圆过点(−2,2)，半径为2 2，直线l的方程为(m+1)x+(2m−1)y−3m=0．
(1)求此圆的标准方程；
(2)若直线l过定点A，点B，C在此圆上，且AB⊥AC，求|BC|的取值范围．
参考答案
1.B
2.B
3.C
4.C
5.B
6.A
7.B
8.D
9.ABD
10.AC
11.BC
12.ABC
13.32
14.[− 33, 33]
15.x=3或15x−8y−13=0
16.an=2n+1 25
17.解：(1)∵l1//l2，∴a=a+2a，
解得a=−1或a=2，
当a=−1时，线l1：ax−y+2=0，l2：(a+2)x−ay−2=0重合，
当a=2时，线l1：ax−y+2=0，l2：(a+2)x−ay−2=0平行．
∴a=2；
(2)∵l1⊥l2，∴根据题意可得a(a+2)+(−1)(−a)=0，解得a=−3或0，
∴a=−3或a=0．
18.解：(1)∵{an}是等差数列，
∴a2+a3=a1+a4=8，
又∵a2⋅a3=15，
∴a2，a3是方程x2−8x+15=0的两根，
∴a2=3，a3=5或a2=5，a3=3，
∴d=2，a1=1或d=−2，a1=7，
∴an=1+2(n−1)=2n−1，n∈N+或an=7−2(n−1)=−2n+9，n∈N+；
(2)当首项为1，公差为2时，
∴数列{an}的前n项和为Sn=n+n(n−1)2×2=n2，
当n=1时，(Sn)min=1，无最大值．
当首项为7，公差为−2时，
∴数列{an}的前n项和为Sn=7n+n(n−1)2×(−2)=−n2+8n，
当n=4时，(Sn)max=16，无最小值．
19.(1)证明：圆C1的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=4，圆心为(−1,−1)，半径为2，
圆C2的标准方程为x2+(y−2)2=5，圆心为(0,2)，半径为 5，
圆C1和圆C2的圆心之间的距离为 [0−(−1)]2+[2−(−1)]2= 10，
由 5−2< 10< 5+2，可知圆C1和圆C2相交；
(2)解：圆C1与圆C2作差可得直线AB的方程为2x+6y−1=0，
圆C2的圆心(0,2)到直线AB的距离为|12−1| 22+62=112 10，
可得|AB|=2 ( 5)2−(112 10)2= 79010．
20.解：(1)根据题意，设等比数列{an}的公比为q，(0又由a1+a3=58，S3=7a3，则有a1+a1q2=58a1+a1q+a1q2=7×a1q2，
解可得a1=12，q=12，
故an=a1qn−1=12n；
(2)根据题意，由(1)的结论，an=12n，则Sn=a1(1−qn)1−q=1−12n，
若Sn≤9991000，即1−12n≤9991000，变形可得2n≤1000，
又由n∈N+，则n≤9，即n可取的值为1、2、3、4、5、6、7、8、9．
21.解：(1)证明：由an+2=4an+1−3an，有an+2−an+1=3(an+1−an)，
可得数列{an+1−an}为公比为3的等比数列，
又由an+2=4an+1−3an，有an+2−3an+1=an+1−3an，
可得数列{an+1−3an}为公比为1的等比数列；
(2)由a2−a1=10−4=6，a2−3a1=10−12=−2，
有an+1−an=6×3n−1，an+1−3an=−2，
两式作差有2an=2×3n+2，
可得an=3n+1；
(3)nan=n×3n+n，
令Tn=1×3+2×32+⋯+n×3n，
有3Tn=1×32+2×33+⋯+n×3n+1，
两式作差，有−2Tn=3+32+⋯+3n−n×3n+1，
有2Tn=n×3n+1−3×(1−3n)1−3，可得Tn=14[(2n−1)×3n+1+3]，
有Sn=Tn+1+2+⋯+n=14[(2n−1)×3n+1+3]+n2+n2．
22.解：(1)因为圆心在直线y=x上，所以设圆心(a,a)，
又圆过点(−2,2)，半径为2 2，
∴ (a+2)2+(a−2)2=2 2，解得a=0，
∴圆的标准方程为x2+y2=8；
(2)由直线l的方程为(m+1)x+(2m−1)y−3m=0，可得(x+2y−3)m+(x−y)=0，
则有x+2y−3=0x−y=0，解得x=1y=1，直线过定点A(1,1)，
取线段BC中点为D(x,y)，则|BC|=2|AD|，
令原点为O，则|OB|2=|OD|2+|BD|2，即8=x2+y2+(x−1)2+(y−1)2，
化简得(x−12)2+(y−12)2=72，即D的轨迹是以(12,12)为圆心， 142为半径的圆，
A到D的轨迹的圆心的呀离为 22，则|AD|的取值范围为[ 142− 22, 142+ 22]，
∴|BC|的取值范围为[ 14− 2, 14+ 2].