还剩5页未读，
继续阅读
2024-2025学年福建省名校联盟部分中学高三（上）期中数学试卷（含答案）
展开这是一份2024-2025学年福建省名校联盟部分中学高三（上）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={−2,−1,0,1,2}，B={x|12<2x<8}，则A∩B=( )
A. {−1,0,1}B. {0,1,2}C. {1,2,3}D. {−1,0,1,2}
2.设m，n∈R，则“m3>n3”是“3m>3n”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3.若复数z满足i(z−i)=2+i，则|z|=( )
A. 2B. 2C. 5D. 10
4.若直线y=ax与曲线y=e2x相切，则a=( )
A. 2B. eC. 2eD. e2
5.已知α，β均为锐角，若sin(α+β)=13，sin(α−β)=14，则( )
A. tanαtanβ=17B. tanαtanβ=7C. tanαtanβ=17D. tanαtanβ=7
6.已知x，y均为正实数，若x+y=1，则2x−y+2xy的最小值为( )
A. 4B. 9C. 12D. 14
7.已知平面向量a，b，c，若|a|=|b|=|a−b|=|c−2a|=1，则b⋅c的最大值为( )
A. 32B. 1C. 3D. 2
8.已知函数f(x)=(x2−aex)ln(x+1)的图象经过四个象限，则a的取值范围为( )
A. (0,e)B. (0,e−1)C. (4e−2,e)D. (0,4e−2)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a10=9，S20=200，则( )
A. a1=1B. {an}是递增数列
C. 当n=4时，Sn取得最小值D. 若Sn>0，则n的最小值为11
10.已知函数f(x)=sin2x+acs2x满足f(x)≤f(π8)，则( )
A. a=1
B. 点(−9π8,0)是曲线y=f(x)的对称中心
C. f(x)在区间(π8,3π4)上单调递减
D. 若函数f(λx)(λ>0)在区间(0,π)上恰有两个极值点，则λ∈(58,98]
11.已知函数f(x)的定义域为R，满足f(x+y)=f(x)f(1−y)+f(y)f(1−x)，f(1)=1，则( )
A. f(0)=0B. f(x)=f(2−x)C. f(x)是偶函数D. k=12025f(k)=1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列{an}为等比数列，若a1=1,a2=−12，则数列{|an|}的前6项和为______．
13.已知函数f(x)=(x−a)3lnx+bx的图象关于直线x=1对称，则a+b= ______．
14.在平面四边形ABCD中，若AB=AD=1，BC=2BD，BD⊥BC，则AC的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，离心率为 22．
(1)求C的方程；
(2)已知点M(0,13)，直线l过F且与C交于A，B两点，若|MA|=|MB|，求l的方程．
16.(本小题15分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b−2csAa=2csCc．
(1)求c；
(2)若BA⋅BC=2CA⋅CB，求△ABC面积的最大值．
17.(本小题15分)
如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，点A1在底面ABC的射影为O，AB⊥AC，A1A=A1B=4，AC=3，A1O=2 3，E是A1B的中点．
(1)证明：OE//平面AA1C1C；
(2)若直线AB与平面EAC所成角的正弦值为 105，求三棱柱ABC−A1B1C1的体积．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=aex−a−lnx−1，a≥0．
(1)当a=0时，求函数F(x)=f(x)+x的最小值；
(2)若f(x)≥0，求a；
(3)证明：f(x)+|x−a|≥0．
19.(本小题17分)
若有穷数列An：a1,a2,⋯,an(n∈N∗,n≥2)满足：①a1=1；②|ak+1−ak|=qk，则称An为Eq数列．
(1)已知A4是E1数列，写出a4的所有可能值；
(2)已知An是E2数列，对任意给定的n，将an的所有可能取值从小到大排列构成一个新的数列{cm}.
(i)证明：当n≥3时，{cm}是等差数列；
(ii)求{cm}中所有项的和．
参考答案
1.B
2.C
3.A
4.C
5.D
6.B
7.D
8.D
9.BD
10.ABD
11.ABD
12.6332
13.−1
14.2+ 5
15.解：(1)因为椭圆C的右焦点为F(1,0)，
所以c=1，
因为椭圆的离心率为 22，
所以e=ca= 22，
解得a= 2，
则b2=a2−c2=2−1=1，
故椭圆C的方程为x22+y2=1；
(2)当直线l斜率不存在时，显然不满足条件；
当直线l斜率存在时，
设直线l的方程为y=k(x−1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=k(x−1)x22+y2=1，消去y并整理得(1+2k2)x2−4k2x+2k2−2=0，
此时Δ=8(k2+1)>0，
由韦达定理得x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2k2−21+2k2，
所以y1+y2=k(x1+x2)−2k=k⋅4k21+2k2−2k=−2k1+2k2，
所以AB的中点坐标为G(2k21+2k2,−k1+2k2)，
当k=0时，满足条件，
此时AB的中垂线为x=0；
当k≠0时，若|MA|=|MB|，
此时直线MG与直线l垂直，
因为kMG=−k1+2k2−132k21+2k2−0=−3k−1−2k26k2=−1k，
整理得2k2−3k+1=0，
解得k=1或k=12．
综上所述，直线l的方程为y=0或x−y−1=0或x−2y−1=0．
16.解：(1)b−2csAa=2csCc，
则bc−2ccsA=2acsC，
由正弦定理可得，csinB−2sinCcsA=2sinAcsC，
故csinB=2sinCcsA+2sinAcsC=2sin(A+C)=2sinB，
sinB≠0，
则c=2；
(2)BA⋅BC=2CA⋅CB，
则cacsB=2bacsC，即ccsB=2bcsC，
由正弦定理可得，sinCcsB=2sinBcsC，
故3sinCcsB=2sinBcsC+2sinCcsB=2sin(B+C)=2sinA，
由正弦定理可得，3ccsB=2a，
c=2，
则a=3csB，
所以S=12acsinB=asinB=32sin2B≤32，当B=π4时，等号成立，
故△ABC面积的最大值为32．
17.(1)证明：取AB的中点F，连接OF，A1F，
因为A1A=A1B，所以A1F⊥AB，
因为点A1在底面ABC的射影为O，即A1O⊥平面ABC，且AB⊂平面ABC，
所以A1O⊥AB，
又A1F∩A1O=A1，A1F，A1O⊂平面A1OF，
所以AB⊥平面A1OF，
因为OF⊂平面A1OF，所以AB⊥OF，
又AB⊥AC，所以OF//AC，
因为E，F分别为A1B，AB的中点，所以EF//AA1，
因为OF∩EF=F，OF，EF⊂平面OEF，AC∩AA1=A，AC，AA1⊂平面AA1C1C，
所以平面OEF//平面AA1C1C，
又OE⊂平面OEF，所以OE//平面AA1C1C.
(2)解：以A为原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，作Az//A1O为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB=2m(m>0)，OF=n(n>0)，
则A(0,0,0)，B(2m,0,0)，C(0,3,0)，O(m,n,0)，A1(m,n,2 3)，
因为E是A1B的中点，所以E(3m2,n2, 3)，
所以AE=(3m2,n2, 3)，AC=(0,3,0)，AB=(2m,0,0)，
设平面EAC的法向量为u=(x,y,z)，则u⋅AE=3m2x+n2y+ 3z=0u⋅AC=3y=0，
令x=−2，则y=0，z= 3m，所以u=(−2,0, 3m)，
因为直线AB与平面EAC所成角的正弦值为 105，
所以 105=|cs
所以AB=2m=2 2，
故三棱柱ABC−A1B1C1的体积V=A1O⋅S△ABC=A1O⋅12AB⋅AC=2 3⋅12⋅3⋅2 2=6 6．
18.解：(1)当a=0时，f(x)=−lnx−1，F(x)=f(x)+x=−lnx+x−1，x∈(0,+∞)，
F′(x)=−1x+1=x−1x，当0
所以F(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以F(x)min=F(1)=0．
(2)若f(x)≥0，则aex−a−lnx−1≥0，所以ae−a≥(lnx+1)e−x，
设m(x)=(lnx+1)e−x，x∈(0,+∞)，
所以m′(x)=1xe−x−(lnx+1)e−x=(1x−lnx−1)e−x，
令n(x)=1x−lnx−1，因为y=−lnx−1，y=1x在x∈(0,+∞)上单调递减，
所以n(x)在x∈(0,+∞)上单调递减，且n(1)=0，
所以当0
所以m(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
所以m(x)max=m(1)=e−1，即ae−a≥e−1，即a≥ea−1，
即lna≥lnea−1=a−1．
由(1)知，a−1≥lna，即a−1=lna，所以a=1．
(3)证明：①当a=0时，由(1)可得f(x)+x>0，成立；
②当a>0时，当x≥a时，f(x)+|x−a|=aex−a−lnx+x−a−1=a(ex−a−1)+(x−lnx−1)，
由(1)知，x≥lnx+1，则f(x)+|x−a|≥a(ex−a−1)≥0；
当x
则f(x)+|x−a|≥x−a+lna+1−lnx+a−x−1=lna−lnx>0．
综上所述，f(x)+|x−a|≥0．
19.解：(1)|ak+1−ak|=1，设ak+1−ak=ek，ek∈{−1,1}，
故a4=a1+a2−a1+⋯+a4−a3=1+e1+e2+e3，
因为ek=−1或ek=1，
故a4∈{−2,0,2,4}．
(2)(i)证明：|ak+1−ak|=2k，设ak+1−ak=bk2k，bk∈{−1,1}，
所以an=a1+a2−a1+⋯+an−an−1=1+b121+b222+⋯+bn−12n−1，
不妨设(aM)i，(aM)j是aM中所有可能中的任意两个，
假设(aM)i=1+bi121+⋯+biM−12M−1，(aM)j=1+bj121+⋯+bjM−12M−1，
不妨设biM−1=bjM−1，biM−2=bjM−2，bik=bjk，bik−1≠bjk−1，
所以(aM)i−(aM)j=(1+bi121+⋯+bik−12k−1)−(1+bj121+⋯+bjk−12k−1)，
不妨设bik−1=1，bjk−1=−1，
则(aM)i−(aM)j≥(1−21−⋯−2k−2+2k−1)−(1+21+⋯+2k−2−2k−1)
=(−2k−1+3+2k−1)−(2k−1−1−2k−1)=4，
即am=1+b121+b222+⋯+bm−12m−1中的2m−1种表示中，其取值互不相等，
即数列{cm}中共有2n−1项，易得c1=1−2−22−⋯−2n−1=−2n+3，
c2n−1=1+2+⋯+2n−1=2n−1，故c2n−1−c1=2n+1−4；又c2n−1−c1=c2n−1−c2n−1−1+c2n−1−1−c2n−1−2+...+c2−c1≥4+4+...+4=2n+1−4，
故{cm}中ci+1−ci=4恒成立．
故{cm}是以等差数列c1=−2n+3为首项，4为公差的等差数列；
(ii)当n=2时，{cn}只有两项，分别为−1，3，故和为2，
当n≥3，由(i)可得，因为{cm}是等差数列，共有2n−1项，
故其所有和为2n−1(c1+c2n−1)2=2n−1(−2n+3+2n−1)2=2n−1．
综上，{cm}中所有项的和为2n−1．
相关试卷
2024-2025学年福建省福州市屏东中学高三（上）期中数学试卷（含答案）：
这是一份2024-2025学年福建省福州市屏东中学高三（上）期中数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2024-2025学年福建省福州市山海联盟校教学协作体高三（上）期中数学试卷（含答案）：
这是一份2024-2025学年福建省福州市山海联盟校教学协作体高三（上）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2024-2025学年浙江省名校联盟高三（上）月考数学试卷（三）（含答案）：
这是一份2024-2025学年浙江省名校联盟高三（上）月考数学试卷（三）（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
