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2024-2025学年甘肃省定西市高三（上）期中数学试卷（含答案）
展开这是一份2024-2025学年甘肃省定西市高三（上）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=( )
A. −4B. −6C. −8D. −10
2.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，210S30−(210+1)S20+S10=0，则公比q等于( )
A. 12B. 13C. 14D. 2
3.为了得到函数y=sin(2x+1)的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点( )
A. 向左平行移动12个单位长度B. 向右平行移动12个单位长度
C. 向左平行移动1个单位长度D. 向右平行移动1个单位长度
4.函数y=x+2csx在区间[0,π2]上的最大值是( )
A. π3+1B. π4+ 2C. π6+ 3D. π2
5.若函数f(x)=lnx+ax2−2在区间(12,2)内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,−2]B. (−18,+∞)C. (−2,−18)D. (−2,+∞)
6.设a=lg37，b=21.1，c=0.83.1，则( )
A. b
A. b
A. (−∞,12)B. (−1,12)C. (−2,2)D. (−1,2)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A. y=−1xB. y=xC. y=x2D. y=(12)x
10.下列函数，最小正周期为π的偶函数有( )
A. y=tanxB. y=|sinx|C. y=2csxD. y=sin(π2−2x)
11.−般地，若函数f(x)的定义域为[a,b]，值域为[ka,kb]，则称[a,b]为f(x)的“k倍跟随区间”；特别地，若函数f(x)的定义域为[a,b]，值域也为[a,b]，则称[a,b]为f(x)的“跟随区间”.下列结论正确的是( )
A. 若[1,b]为f(x)=x2−2x+2的跟随区间，则b=3
B. 函数f(x)=2−3x不存在跟随区间
C. 若函数f(x)=m− x+1存在跟随区间，则m∈(−14,0]
D. 二次函数f(x)=−12x2+x存在“3倍跟随区间”
12.定义运算a⊕b=a(a≥b)b(a
B. f(x)的值域为 (0,1]
C. 不等式f(x+1)
13.函数f(x)= 2sin(2x+π4)+1的图象的一个对称中心的坐标是 ．
14.已知数列{an}满足a1=1，an+1=an2an+1(n∈N∗)，则a20=______．
15.已知函数f(x)=−x2−2x+1,x≤0|lg0.5x|,x>0，若方程f(x)=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知tanx=2，
(1)求csx+sinxcsx−sinx的值．
(2)求2sin2x−sinxcsx+cs2x的值．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=−2x2+7x−3．
(1)求不等式f(x)>0的解集；
(2)当x∈(0,+∞)时，求函数y=f(x)x的最大值，以及y取得最大值时x的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=sinx，g(x)=excsx．
(Ⅰ)函数ℎ(x)=g(x)f(x)，分析ℎ(x)在(0,π)上的单调性．
(Ⅱ)若函数H(x)=g(x)−xf(x)，
(i)当x∈[−π2,0]时，求H(x)的最小值；
(ii)当x∈[π4,π2]时，求H(x)零点的个数．
20.(本小题12分)
济南新旧动能转换先行区，承载着济南从“大明湖时代”迈向“黄河时代”的梦想，肩负着山东省新旧动能转换先行先试的重任，是全国新旧动能转换的先行区．先行区将以“结构优化、质量提升”为目标，通过开放平台汇聚创新要素，坚持绿色循环保障持续发展，建设现代绿色智慧新城．2019年某智能机器人制造企业有意落户先行区，对市场进行了可行性分析，如果全年固定成本共需2000(万元)，每年生产机器人x(百个)，需另投入成本C(x)(万元)，且C(x)=10x2+200x,0
(2)该企业决定：当企业年最大利润超过2000(万元)时，才选择落户新旧动能转换先行区．请问该企业能否落户先行区，并说明理由．
21.(本小题12分)
已知数列{an}满足a1=12,an+1=λan1+anλ，n∈N∗．
(1)若λ=1．
①求数列{an}的通项公式；
②证明：对∀n∈N∗，a1a2a3+a2a3a4+…+anan+1an+2=n(n+5)12(n+2)(n+3)；
(2)若λ=2，且对∀n∈N∗，有0
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且a1为a2与S2的等差中项，当n≥2时，总有2Sn+1−3Sn+Sn−1=0．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bm为{1an}在区间(0,4m−1](m∈N∗)内的个数，记数列{(−1)m⋅bm2}的前m项和为Wm，求W20．
参考答案
1.B
2.A
3.A
4.C
5.D
6.C
7.A
8.B
9.ABC
10.BD
11.BCD
12.AC
13.3π8,1
14.139
15.1；4
16.8π
17.解：(1)csx+sinxcsx−sinx=1+tanx1−tanx=1+21−2=−3
(2)2sin2x−sinxcsx+cs2x=2sin2x−sinxcsx+cs2xsin2x+cs2x=2tan2x−tanx+1tan 2x+1=75
18.解：(1)由题意得−2x2+7x−3>0，
因为方程−2x2+7x−3=0有两个不等实根x1=12，x2=3，
又因为二次函数f(x)=−2x2+7x−3的图象开口向下，
所以不等式f(x)>0的解集为{x|12
因为x>0，所以y=−2x−3x+7=7−(2x+3x)≤7−2 6，
当且仅当2x=3x，即x= 62时，等号成立．
综上所述，当且仅当x= 62时，y取得最大值为7−2 6．
19.解：(Ⅰ)ℎ(x)=excsxsinx，则ℎ′(x)=ex(sinxcsx−1)sin2x，
当x∈(0,π)时，sinxcsx−1=12sin2x−1<0，
故ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(0,π)递减；
(Ⅱ)H(x)=excsx−xsinx，
则H′(x)=excsx−exsinx−xcsx−sinx，
(i)H′(x)=(ex−x)csx−(ex+1)sinx，
当x∈[−π2,0]时，(ex−x)csx≥0，(ex+1)sinx≤0，
故H′(x)≥0，H(x)在[−π2,0]递增，
故H(x)的最小值是H(−π2)=−π2；
(ii)H′(x)=ex(csx−sinx)−sinx−xcsx，
∵x∈[π4,π2]时，csx≤sinx，sinx>0，xcsx≥0，
故H′(x)<0，函数H(x)在[π4,π2]递减，
又H(π4)= 22(eπ4−π4)>0，H(π2)=−π2<0，
故函数H(x)在[π4,π2]上有且只有1个零点．
20.解：(1)当0
所以L(x)=−10x2+400x−2000,0
所以当x=20时，L(x)max=L(20)=2000；
当x≥40时，
所以L(x)=2500−(x+10000x)≤2500−2 x⋅10000x=2500−200=2300，
当且仅当x=10000x，即x=100时，
所以L(x)max=L(100)=2300>2000．
故该企业能落户新旧动能转换先行区．
21.解：(1)①λ=1时，an+1=an1+an，a1=12，a2>0，可得an>0，
取倒数可得1an+1=1+anan=1an+1，
则{1an}是首项为2，公差均为1的等差数列，则1an=2+n−1=n+1，
则an=1n+1，n∈N∗；
②证明：由①可得an=1n+1，对k=1，2，3，…，
akak+1ak+2=1(k+1)(k+2)(k+3)=12[1(k+1)(k+2)−1(k+2)(k+3)]，
所以对∀n∈N∗，a1a2a3+a2a3a4+…+anan+1an+2
=12[(12×3−13×4)+(13×4−14×5)+…+1(n+1)(n+2)−1(n+2)(n+3)]
=12[12×3−1(n+2)(n+3)]=n(n+5)12(n+2)(n+3)；
(2)证明：λ=2时，an+1=2an1+an2，则an+1−an=an(1−an)⋅1+an1+an2，
因为0
因为an=1−an与1+an=21+an不能同时成立，
所以上式等号不能取得，
即对∀n∈N∗，an+1−an< 2+18．
22.解：(1)因为2Sn+1−2Sn−(Sn−Sn−1)=0，n≥2，n∈N∗，
所以an+1=12an，n≥2，
因为a1=1，且a1为a2与S2的等差中项，即有2a1=a2+S2，
所以2=1+2a2，可得a2=12，所以a2=12a1，
所以数列{an}是以1为首项、公比为q=12的等比数列，
所以an=12n−1；
(2)由(1)可得1an=2n−1，所以0<2n−1≤4m−1，
所以2n−1≤22(m−1)，即n≤1+2(m−1)，所以bm=2m−1；
当m为偶数时，Wm=−1+9−25+49−81+121+…−(2m−3)2+(2m−1)2，
所以Wm=8+24+40+…+8(m−1)=m2×(8+8m−8)2=2m2，
所以W20=800．
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