重庆市开州区云枫中学教育集团2024-2025学年七年级上学期期中数学试卷

这是一份重庆市开州区云枫中学教育集团2024-2025学年七年级上学期期中数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的框涂黑．
1．（4分）下列新能源汽车的车标图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）一个三角形两边的长分别是3和5，则这个三角形第三边的长可能是（ ）
A．1B．1.5C．2D．4
3．（4分）点P（a，﹣2）与P（3，2）关于x轴对称，则a的值为（ ）
A．3B．﹣3C．2D．﹣2
4．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．x•x2＝x2B．（xy）2＝xy2C．（x2）3＝x6D．x2+x2＝x4
5．（4分）如图，过△ABC的顶点B，作AC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（4分）如图，已知AC＝BD，添加下列条件后仍不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A＝∠DB．∠ACB＝∠DBCC．AE＝DED．AB＝CD
7．（4分）如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝5cm，BD＝3cm，则点D到AB的距离为（ ）
A．5cmB．3cmC．2cmD．不能确定
8．（4分）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝7，D为BC中点，则线段AD的取值范围是（ ）
A．7＜AD＜9B．1＜AD＜4C．2＜AD＜16D．1＜AD＜8
9．（4分）如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠后恰好使得点A落到边BC上的点G处，若∠GEF＝α，则∠FGC＝（ ）
A．αB．2αC．90°﹣2αD．180°﹣2α
10．（4分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD＝CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①∠CDF＝∠BEF：②△DEF是等腰直角三角形；③四边形CDFE的面积随D，E的运动而变化；④△DEF面积的最小值为2；⑤△CDE面积的最大值为4，其中正确的结论是（ ）
A．①③⑤B．①②④C．②③④D．①②⑤
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．（4分）一个多边形的内角和等于540°，则这个多边形的边数是 ．
12．（4分）y4•y3•y2•y＝ ，（﹣x2y）2＝ ．
13．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交CB、AB于点D和E，∠B＝30°，CD＝3，则BD的长为 ．
14．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°．按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边于点D．则∠ADC的度数为 ．
15．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于 ．
16．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝60°，延长AB至点E，连接CE，若△AEC的周长为25，则△BCE的周长为 ．
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，B＝30°，CD=103，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD、AC上的动点，则EC+EF的最小值为 ．
18．（4分）若一个三位正整数m=abc（各个数位上的数字均不为0）满足a+b+c＝9，则称这个三位正整数为“吉祥数”．对于一个“吉祥数”m，将它的百位数字和个位数字交换以后得到新数n，记F（m）=m+n9．如：m＝216满足2+1+6＝9，则216为“吉祥数”，那么n＝612，所以F（216）=216+6129=92．则最小的“吉祥数”是 ；对于任意一个“吉祥数”m，若F（m）能被7整除，则满足条件的“吉祥数”m的最大值是 ．
三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，20～26题每小题8分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．（8分）（1）（﹣2x3）3•（x2）2；
（2）2（x3）2•x3﹣（3x3）3+（5x）2•x7．
20．（10分）如图，在△ABC中，点D为BC边上的中点，连接AD．
（1）尺规作图：在BC下方作射线BF，使得∠CBF＝∠C，且射线BF交AD的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，连接CE，求证：AB∥CE．（请补全下面的证明过程）
证明：∵点D为BC边上的中点，
∴DC＝DB，（ ）
在△ADC和△EDB中，
∠ACD=∠EBDDC=DB∠ADC=∠EDB，
∴△ADC≌△EDB，（ ）
∴AD＝ ，
在△ADB和△EDC中，
DB=DC∠ADB=∠EDCAD=ED，
∴△ADB≌△EDC，（ ）
∴∠ABD＝∠ECD，
∴AB∥CE（ ）．
21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上且BE＝BD，连接AE、DE、DC．
（1）求证：AE＝CD；
（2）若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）直接写出点A，B，C关于x轴的对称点A2，B2，C2的坐标；
（3）在x轴上找到一点P，使PB+PC的和最小．（标出点P位置，直接写出点P的坐标）
23．（10分）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求证：△CEF是等腰三角形；
（2）若AC＝6，BD＝2，求DF的长．
24．（10分）（1）如图1，△ABC是等边三角形，D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA，DB，DC之间的数量关系．
（2）如图2，△ABC是等边三角形，直线a∥AB，D为边BC上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE＝60°，求证：CD+CE＝CA．
25．（10分）如图1，等腰△ABC和等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，连接BD、CE，利用所学知识解决下列问题：
（1）若∠BAC＝∠DAE＝35°，求证：BD＝CE；
（2）连接BE，当点D在线段BE上时：
①如图2，若∠BAC＝∠DAE＝60°，则∠BEC的度数为 ，线段BD与CE之间的数量关系是 ；
②如图3，若∠BAC＝∠DAE＝90°，AM为△ADE中DE边上的高，求出∠BEC的度数以及线段AM、BE、CE之间的数量关系，并说明理由．
26．（10分）已知：平面直角坐标系中，如图1，点A（a，b），AB⊥x轴于点B，并且满足a+4+|b-4|=0．
（1）试判断△AOB的形状，并说明理由．
（2）如图2，若点C为线段AB的中点，连OC并作OD⊥OC，且OD＝OC，连AD交x轴于点E，求证：BC＝2BE．
（3）如图3，点M为点B的左边x轴负半轴上一动点，以AM为一边作∠MAN＝45°交y轴负半轴于点N，连MN，将△AMN沿直线AN翻折，点M的对应点为M′，点P是x轴上的一动点，当OM'=12AB且△PAM′的周长最小时，请直接写出S△PAM'S△PMM'的值．
2024-2025学年重庆市开州区云枫中学教育集团七年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的框涂黑．
1．（4分）下列新能源汽车的车标图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到多条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
2．（4分）一个三角形两边的长分别是3和5，则这个三角形第三边的长可能是（ ）
A．1B．1.5C．2D．4
【答案】D
【解答】解：设三角形第三边的长为x，则：
5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，
只有选项D符合题意．
故选：D．
3．（4分）点P（a，﹣2）与P（3，2）关于x轴对称，则a的值为（ ）
A．3B．﹣3C．2D．﹣2
【答案】A
【解答】解：∵点P（a，﹣2）与P（3，2）关于x轴对称，
∴a＝3．
故选：A．
4．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．x•x2＝x2B．（xy）2＝xy2C．（x2）3＝x6D．x2+x2＝x4
【答案】C
【解答】解：A、x•x2＝x3同底数幂的乘法，底数不变指数相加，故本选项错误；
B、（xy）2＝x2y2，积的乘方，等于各因式乘方的积，故本选项错误；
C、（x2）3＝x6，幂的乘方，底数不变指数相乘，故本选项正确；
D、x2+x2＝2x2，故本选项错误．
故选：C．
5．（4分）如图，过△ABC的顶点B，作AC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：AC边上的高命中两个条件：①经过点B．②垂直AC；
故选：D．
6．（4分）如图，已知AC＝BD，添加下列条件后仍不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A＝∠DB．∠ACB＝∠DBCC．AE＝DED．AB＝CD
【答案】A
【解答】解：由题可知AC＝BD，BC＝CB，
A．∠A＝∠D，属于边边角，不能证明△ABC≌△DCB，故本选项符合题意；
B．∠ACB＝∠DBC，利用SAS证明△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
C．∵AE＝DE，
∴BE＝CE，
又∵∠AEB＝∠DEC，
∴△ABE≌△DCE，
∴AB＝DC，
∴△ABC≌△DCB（SSS），故本选项不符合题意；
D．AB＝CD，利用SSS证明△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
故选：A．
7．（4分）如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝5cm，BD＝3cm，则点D到AB的距离为（ ）
A．5cmB．3cmC．2cmD．不能确定
【答案】C
【解答】解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D
∴D到AB的距离即为CD长
CD＝5﹣3＝2
故选：C．
8．（4分）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝7，D为BC中点，则线段AD的取值范围是（ ）
A．7＜AD＜9B．1＜AD＜4C．2＜AD＜16D．1＜AD＜8
【答案】D
【解答】解：延长AD到点E，使ED＝AD，连接BE，则AE＝2AD，
∵D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△EDB和△ADC中，
BD=CD∠EDB=∠ADCED=AD，
∴△EDB≌△ADC（SAS），
∵AB＝9，AC＝7，
∴EB＝AC＝7，
∵AB﹣EB＜AE＜AB+EB，
∴9﹣7＜2AD＜9+7，
∴1＜AD＜8，
故选：D．
9．（4分）如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠后恰好使得点A落到边BC上的点G处，若∠GEF＝α，则∠FGC＝（ ）
A．αB．2αC．90°﹣2αD．180°﹣2α
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°．
∵△EGF是△EAF沿直线EF折叠得到的，
∴∠AEF＝∠GEF＝α，∠A＝∠EGF＝90°．
在Rt△EBG中，
∵∠BEG+∠BGE＝90°，
又∵∠BGE+∠FGC＝90°，
∴∠BEG＝∠FGC．
∵∠AEF+∠FEG+∠BEG＝180°，
即a+a+∠BEG＝180°，
∴∠FGC＝∠BEG＝180°﹣2a．
故选：D．
10．（4分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD＝CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①∠CDF＝∠BEF：②△DEF是等腰直角三角形；③四边形CDFE的面积随D，E的运动而变化；④△DEF面积的最小值为2；⑤△CDE面积的最大值为4，其中正确的结论是（ ）
A．①③⑤B．①②④C．②③④D．①②⑤
【答案】B
【解答】解：连接CF，作FH⊥AC于点H，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴BC＝AC＝4，∠A＝∠B＝45°，
∵F是AB边的中点，
∴CF＝BF＝AF=12AB，CF⊥AB，∠DCF＝∠BCF=12∠ACB＝45°，
∴∠BFC＝∠AFC＝90°，∠DCF＝∠B，
∵AD＝CE，
∴CD＝AC﹣AD＝BC﹣CE＝BE，
在△DCF和△EBF中，
CD=BE∠DCF=∠BCF=BF，
∴△DCF≌△EBF（SAS），
∴∠CDF＝∠BEF，∠CFD＝∠BFE，DF＝DE，S△DCF＝S△EBF，
故①正确；
∴∠DFE＝∠CFD+∠CFE＝∠BFE+∠CFE＝∠BFC＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
故②正确；
∵S△ABC=12AC•BC=12×4×4＝8，
∴S△AFC＝S△BFC=12S△ABC＝4，
∴S四边形CDFE＝S△DCF+S△ECF＝S△EBF+S△ECF＝S△BFC＝4，
∴四边形CDFE的面积不随D，E的运动而变化，
故③错误；
∵CF＝AF，∠AFC＝90°，FH⊥AC于点H，
∴HF＝HC＝HA=12AC＝2，
∴12HF2=12×22＝2，
∵DF≥HF，S△DEF=12DF2，
∴12DF2≥12HF2，
∴S△DEF≥2，
∴S△DEF的最小值是2，
故④正确；
∵S△CDE＝S四边形CDFE﹣S△DEF＝4﹣S△DEF，
∴当S△DEF取得最小值2时，S△CDE取得最大值2，
故⑤错误，
故选：B．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．（4分）一个多边形的内角和等于540°，则这个多边形的边数是 5 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
则（n﹣2）•180°＝540°，
解得n＝5，
故答案为：5．
12．（4分）y4•y3•y2•y＝ y10 ，（﹣x2y）2＝ x4y2 ．
【答案】y10，x4y2．
【解答】解：y4•y3•y2•y＝ y4+3+2+1＝y10，
（﹣x2y）2＝x4y2．
故答案为：y10，x4y2．
13．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交CB、AB于点D和E，∠B＝30°，CD＝3，则BD的长为 6 ．
【答案】6．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DB＝DA，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
在Rt△ACD中，∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝30°，CD＝3，
∴DA＝2CD＝6，
∴BD＝AD＝6．
故答案为：6．
14．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°．按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边于点D．则∠ADC的度数为 65° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：解法一：连接EF．
∵点E、F是以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别与AB、AC的交点，
∴AF＝AE；
∴△AEF是等腰三角形；
又∵分别以点E、F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；
∴AG是线段EF的垂直平分线，
∴AG平分∠CAB，
∵∠CAB＝50°，
∴∠CAD＝25°；
在△ADC中，∠C＝90°，∠CAD＝25°，
∴∠ADC＝65°（直角三角形中的两个锐角互余）；
解法二：根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，∵∠CAB＝50°，
∴∠CAD＝25°；
在△ADC中，∠C＝90°，∠CAD＝25°，
∴∠ADC＝65°（直角三角形中的两个锐角互余）；
故答案为：65°．
15．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于 2 ．
【答案】2．
【解答】解：∵点D是边BC的中点，△ABC的面积等于8，
∴S△ABD=12S△ABC＝4，
∵E是AB的中点，
∴S△BDE=12S△ABD=12×4=2，
故答案为：2．
16．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝60°，延长AB至点E，连接CE，若△AEC的周长为25，则△BCE的周长为 19 ．
【答案】19．
【解答】解：∵AB＝AC＝6，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AC＝6，
∵△AEC的周长为25，
∴AE+EC＝25﹣AC＝25﹣6＝19，
∴△BCE的周长＝BE+BC+CE＝BE+AB+CE＝AE+EC＝19，
故答案为：19．
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，B＝30°，CD=103，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD、AC上的动点，则EC+EF的最小值为 5 ．
【答案】5．
【解答】解：在AB上取一点F'，使AF'＝AF，连接EF'，CF'，过点C作CH⊥AB于点H，
∵AD平分∠CAB，
∴∠EAF＝∠EAF'，
又∵AE＝AE，
∴△AEF≌△AEF'（SAS），
∴EF＝EF'，
∴EC+EF＝EC+EF'≥CF'≥CH，
∴EC+EF的最小值为CH，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝30°，
∵CD=103，
∴AD＝2CD=203，
在Rt△ACD中，
由勾股定理，得AC=AD2-CD2=(203)2-(103)2=1033，
在Rt△ABC中，
AB＝2AC=2033，
由勾股定理，得BC=AB2-AC2=(2033)2-(1033)2=10，
在Rt△BCH中，
CH=12BC＝5．
故答案为：5．
18．（4分）若一个三位正整数m=abc（各个数位上的数字均不为0）满足a+b+c＝9，则称这个三位正整数为“吉祥数”．对于一个“吉祥数”m，将它的百位数字和个位数字交换以后得到新数n，记F（m）=m+n9．如：m＝216满足2+1+6＝9，则216为“吉祥数”，那么n＝612，所以F（216）=216+6129=92．则最小的“吉祥数”是 117 ；对于任意一个“吉祥数”m，若F（m）能被7整除，则满足条件的“吉祥数”m的最大值是 351 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵a+b+c＝9，各个数位上的数字均不为0，这个三位数要最小，
∴百位上是1，十位上是1，
∴个位是7，
∴最小的“吉祥数”是 117；
（2）设m＝100a+10b+c，其中a+b+c＝9，则n＝100c+10b+a，
∴F（m）=100a+10b+c+100c+10b+a9=101(a+c)+20b9=101(9-b)+20b9=909-81b9=101﹣9b，
∵a+b+c＝9，且a，b，c均不为0，
∴b＝1，2，，
当b＝1时，F（m）＝101﹣9×1＝92，不能被7整除，不合题意，
当b＝2时，F（m）＝101﹣9×2＝83，不能被7整除，不合题意，
当b＝3时，F（m）＝101﹣9×3＝74，不能被7整除，不合题意，
当b＝4时，F（m）＝101﹣9×4＝65，不能被7整除，不合题意，
当b＝5时，F（m）＝101﹣9×5＝56，能被7整除，符合题意，
∴a+c＝4，
∴a=1c=3，a=2c=2，a=3c=1，
∴m＝153或252或351，
当b＝6时，F（m）＝101﹣9×6＝47，不能被7整除，不合题意，
当b＝7时，F（m）＝101﹣9×7＝38，不能被7整除，不合题意，
∴满足条件的“吉祥数”m的最大值是315．
故答案为：117，351．
三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，20～26题每小题8分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．（8分）（1）（﹣2x3）3•（x2）2；
（2）2（x3）2•x3﹣（3x3）3+（5x）2•x7．
【答案】（1）﹣8x13；
（2）0．
【解答】解：（1）（﹣2x3）3•（x2）2
＝﹣8x9•x4
＝﹣8x13；
（2）2（x3）2•x3﹣（3x3）3+（5x）2•x7
＝2x6•x3﹣27x9+25x2•x7
＝2x9﹣27x9+25x9
＝0．
20．（10分）如图，在△ABC中，点D为BC边上的中点，连接AD．
（1）尺规作图：在BC下方作射线BF，使得∠CBF＝∠C，且射线BF交AD的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，连接CE，求证：AB∥CE．（请补全下面的证明过程）
证明：∵点D为BC边上的中点，
∴DC＝DB，（ 线段中点的定义 ）
在△ADC和△EDB中，
∠ACD=∠EBDDC=DB∠ADC=∠EDB，
∴△ADC≌△EDB，（ ASA ）
∴AD＝ ED ，
在△ADB和△EDC中，
DB=DC∠ADB=∠EDCAD=ED，
∴△ADB≌△EDC，（ SAS ）
∴∠ABD＝∠ECD，
∴AB∥CE（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【答案】（1）作图见解析过程；
（2）线段中点的定义；ASA；ED；SAS；内错角相等，两直线平行．
【解答】解：（1）如图所示，即为所求；
（2）证明：∵点D为BC边上的中点，
∴DC＝DB，（线段中点的定义）
在△ADC和△EDB中，
∠ACD=∠EBDDC=DB∠ADC=∠EDB
∴△ADC≌△EDB（ASA）
∴AD＝ED，
在△ADB和△EDC中
DB=DC∠ADB=∠EDCAD=ED，
∴△ADB≌△EDC（SAS）
∴∠ABD＝∠ECD，
∴AB∥CE（内错角相等，两直线平行）．
故答案为线段中点的定义；ASA；ED；SAS；内错角相等，两直线平行．
21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上且BE＝BD，连接AE、DE、DC．
（1）求证：AE＝CD；
（2）若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】7已修改，（1）证明：在△ABE和△CBD中，
AB=CB∠ABE=∠CBD=90°BE=BD，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD；
（2）∵AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝15°，
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BCD＝∠BAE＝15°，
∴∠BDC＝90°﹣15°＝75°．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）直接写出点A，B，C关于x轴的对称点A2，B2，C2的坐标；
（3）在x轴上找到一点P，使PB+PC的和最小．（标出点P位置，直接写出点P的坐标）
【答案】（1）见解答．
（2）点A2的坐标为（2，﹣4），点B2的坐标为（1，﹣2），点C2的坐标为（5，﹣3）．
（3）画图见解答；点P的坐标为（135，0）．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）由题意得，点A2的坐标为（2，﹣4），点B2的坐标为（1，﹣2），点C2的坐标为（5，﹣3）．
（3）如图，连接B2C交x轴于点P，连接BP，
此时PB+PC＝PB2+PC＝B2C，为最小值，
则点P即为所求．
设点P的坐标为（m，0），
∵S△B2BC=S△B2BP+S△BCP，
∴12×4×4=12×4×(m-1)+12×[(m-1)+4]×3-12×2×(m-1)-12×4×1，
解得m=135，
∴点P的坐标为（135，0）．
23．（10分）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求证：△CEF是等腰三角形；
（2）若AC＝6，BD＝2，求DF的长．
【答案】（1）见详解；（2）8．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．
∵DE∥AB，
∴∠B＝EDC＝60°，∠A＝∠CED＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∵EF⊥ED，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝30°，
∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°，
∴∠F＝∠FEC＝30°，
∴CE＝CF；
∴△CEF为等腰三角形．
（2）由（1）可知∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴CE＝DC＝4．
又∵CE＝CF＝4，
∴DF＝4+4＝8．
24．（10分）（1）如图1，△ABC是等边三角形，D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA，DB，DC之间的数量关系．
（2）如图2，△ABC是等边三角形，直线a∥AB，D为边BC上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE＝60°，求证：CD+CE＝CA．
【答案】（1）DA＝DC+DB，理由见解答过程；
（2）证明见解答过程．
【解答】（1）解：DA＝DC+DB，理由如下：
如图1，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠BDC＝120°，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
又∵∠ACE+∠ACD＝180°，
∴∠ABD＝∠ACE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠ABD=∠ACEBD=CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∵∠BAC＝60°，即∠BAD+∠DAC＝60°，
∴∠DAC+∠CAE＝60°，
即∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DA＝DE＝DC+CE＝DC+DB，
即DA＝DC+DB；
（2）证明：在AC上截取CM＝CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴△CDM是等边三角形，
∴MD＝CD＝CM，∠CMD＝∠CDM＝60°，
∴∠AMD＝120°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADE＝∠MDC，
∴∠ADM＝∠EDC，
∵直线a∥AB，
∴∠ACE＝∠BAC＝60°，
∴∠DCE＝120°＝∠AMD，
在△ADM和△EDC中，
∠ADM=∠EDCMD=CD∠AMD=∠ECD，
∴△ADM≌△EDC（ASA），
∴AM＝EC，
∴CA＝CM+AM＝CD+CE；
即CD+CE＝CA．
25．（10分）如图1，等腰△ABC和等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，连接BD、CE，利用所学知识解决下列问题：
（1）若∠BAC＝∠DAE＝35°，求证：BD＝CE；
（2）连接BE，当点D在线段BE上时：
①如图2，若∠BAC＝∠DAE＝60°，则∠BEC的度数为 60° ，线段BD与CE之间的数量关系是 BD＝CE ；
②如图3，若∠BAC＝∠DAE＝90°，AM为△ADE中DE边上的高，求出∠BEC的度数以及线段AM、BE、CE之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；
（2）①60°，BD＝CE；②∠BEC＝90°，BE＝CE+2AM，理由见解析．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝35°，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：①∵∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABC和△ADE均是等边三角形，∠BAC＝∠DAE＝∠ADE＝∠AED＝60°，
同（1）可证明△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC，
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB＝∠AEC＝180°﹣∠ADE＝120°，
∵∠AED＝60°，
∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120°﹣60°＝60°；
故答案为：60°，BD＝CE；
②∠BEC＝90°，BE＝CE+2AM，理由如下：
同（1）可证明BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠BDA＝∠CEA，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝135°，
∴∠AEC＝∠ADB＝135°，
∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝135°﹣45°＝90°，
∵AD＝AE，AM为△ADE中DE边上的高，
∴DM＝ME＝AM，
∴BE＝BD+DE＝CE+2AM．
26．（10分）已知：平面直角坐标系中，如图1，点A（a，b），AB⊥x轴于点B，并且满足a+4+|b-4|=0．
（1）试判断△AOB的形状，并说明理由．
（2）如图2，若点C为线段AB的中点，连OC并作OD⊥OC，且OD＝OC，连AD交x轴于点E，求证：BC＝2BE．
（3）如图3，点M为点B的左边x轴负半轴上一动点，以AM为一边作∠MAN＝45°交y轴负半轴于点N，连MN，将△AMN沿直线AN翻折，点M的对应点为M′，点P是x轴上的一动点，当OM'=12AB且△PAM′的周长最小时，请直接写出S△PAM'S△PMM'的值．
【答案】（1）△AOB是等腰直角三角形．理由见解答过程；
（2）证明见解答过程；
（3）87．
【解答】（1）解：△AOB是等腰直角三角形．
理由如下：∵a+4+|b-4|=0，
∴a+4＝0，b﹣4＝0，
∴a＝﹣4，b＝4，
∴点A的坐标为（﹣4，4），
∵AB⊥x轴于点B，
∴∠ABO＝90°，AB＝BO＝4，
∴△AOB是等腰直角三角形；
（2）如图2，过点D作DE⊥x轴于点E，
∴∠DEO＝∠OBC＝90°，
∵OD⊥OC，
∴∠DOC＝90°，
∴∠BOC+∠BCO＝∠BOC+∠DOE＝90°，
∴∠BCO＝∠DOE，
又∵∠DEO＝∠OBC，OD＝OC，
∴△BOC≌△DOE（AAS），
∴OE＝BC，DE＝AB，
∵点C为线段AB的中点，AB＝OB＝4，
∴OE＝BC＝2，
∴BE＝OB﹣OE＝4﹣2＝2，
设AD与x轴交于点F，
∵∠ABF＝∠DEF＝90°，∠AFB＝∠DFE，AB＝DE，
∴△ABF≌△DEF（AAS），
∴BF＝EF=12BE＝1，
又∵BC＝2，
∴BC＝2BE；
（3）如图3，作出点M'关于x轴的对称点M“，
连接AM“，交x轴于点P，
此时△PAM′的周长最小，
过点A作AG⊥y轴，连接MM'，
∴四边形ABOG为正方形，
∴OG＝AG＝AB＝4，
又∵AM'＝AM，∠ABM＝∠AGM'＝90°，
∴Rt△ABM≌Rt△AGM'（HL），
∴BM＝GM'，
∵＝2，OG＝4，
∴BM＝GM'＝2，
设直线AM“的解析式为y＝kx+b，
把点A（﹣4，4），点M''（0，﹣2）分别代入y＝kx+b，得：
-4k+b=4b=-2，
解得：k=-32b=-2，
∴直线AM“的解析式为y=-32x﹣2，
当y＝0时，x=-43，
∴点P坐标为（-43，0）
∴OP=43，BP=83，
S△PAM'＝S正方形ABOG﹣S△ABP﹣S△POM'﹣S△AGM'＝4×4-12×4×83-12×4×2-12×2×43=16-163-4-43=163，
S△PMM'=12MP×OM'=12×（2+83）×2=143，
∴S△PAM'S△PMM'=163143=87．