2024-2025学年福建省福州市连江县八年级（上）期中数学试卷 含详解

这是一份2024-2025学年福建省福州市连江县八年级（上）期中数学试卷 含详解，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）北京时间2024年8月12日，巴黎奥运会闭幕，经过激烈的角逐，中国奥运代表团实现了境外奥运历史上金牌总数的突破，让我们来找找下列奥运会运动标识中，属于轴对称图形的是（ ）
A．篮球B．射击
C．拳击D．游泳
2．（4分）下列四组小棒，能围成三角形的是（ ）
A．4，7，3B．4，7，12C．4，7，11D．4，7，4
3．（4分）下列各式中，运算结果为a6的是（ ）
A．a3•a3B．（a3）3C．a3+a3D．a12÷a2
4．（4分）如图，花瓣图案中的正六边形ABCDEF的内角和是（ ）
A．720°B．900°C．1080°D．360°
5．（4分）若图中的两个三角形全等，则依据所标数据可得（ ）
A．α＝50°B．α＝60°C．x＝18D．x＝20
6．（4分）同学们学习完“三角形全等”的知识后，数学王老师在多媒体上出示了一道试题，下面四个选项分别是四位同学的答案，其中错误的是（ ）
A．AB＝DCB．∠A＝∠DC．AC＝DBD．∠ABC＝∠DCB
7．（4分）如图，△ABC中，∠B＝60°，BA＝7，BC＝5，AD⊥BC于点D，点E在BC边上，且AE＝AC．则BE的长为（ ）
A．2.5B．3.5C．2D．3
8．（4分）如图（1），锐角△ABC中，AB＞BC＞AC，要用尺规作图的方法在AB边上找一点D，使△ACD为等腰三角形，关于图（2）中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙、丙都正确B．甲、丙正确，乙错误
C．甲、乙正确，丙错误D．只有甲正确
9．（4分）若（x+a）（x+b）＝x2﹣3x﹣45，则实数a、b的符号为（ ）
A．a、b同为正
B．a、b同为负
C．a、b异号且绝对值大的为正
D．a、b异号且绝对值大的为负
10．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝5，△BED≌△BAC，且A，B，D在同一条直线上，点P在直线BE上，连接AP，则AP+CP的最小值为（ ）
A．10B．12.5C．15D．17.5
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）计算：＝ ．
12．（4分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标是 ．
13．（4分）如图，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距 海里．
14．（4分）如图，正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则∠CAB+∠ACB＝ ．
15．（4分）如图，将两块大小完全相同的等腰直角三角板的直角边分别贴紧角∠AOB的两边，45°角的顶点与∠AOB的顶点互相重合，另外两条直角边相交于P点，做射线OP，则射线OP是∠AOB的角平分线，其中的原理利用了全等三角形的性质，那么判定△OMP≌△ONP的依据是 ．
16．（4分）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC，连接BD交AC于点E，点C关于直线BD的对称点F恰好在AD上，且AF＝DF，若△ACF的面积为3，则DF的长为 ．
三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）（2x2）3﹣2x9÷x3；
（2）（m﹣n）（m+3n）+n（m﹣n）．
18．（8分）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB．
求证：点E为AC中点．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣3，1），C（1，﹣2）．
（1）请分别画出△ABC的边AC上的中线BE和边AB上的高CF，并直接写出点E，F的坐标为E（ ），F（ ）；
（2）画出与△ABC关于直线AB对称的图形△ABD，并写出点D的坐标．
20．（8分）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF．
求证：AD垂直平分EF．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：在AC上求作一个点D，使得点D到AB的距离等于DC．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若AD＝BD，BC＝3，求AB的长．
22．（10分）小陈网购了一批总长为（4m+20）米栅栏，准备在自己家后面的空地上围一个长比宽多2米的长方形场地养兔子，设长方形的长为a，宽为b．
（1）求a和b的长；（结果用含m的式子表示）
（2）若用这批总长相同的栅栏围成一个正方形场地，请你判断所围的正方形场地与小陈所围的长方形场地哪个面积大？并说明理由．
23．（10分）如图，平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，4），射线OM在第一象限内，分别过点A，B作AC⊥OM于点C，BD⊥OM于点D．
（1）求证：△AOC≌△BOD；
（2）若∠AOM＝60°，，求点D坐标．
24．（12分）如图，△ABC是等边三角形，过点A的直线l交BC于点D，设∠CAD＝α（0°＜α＜30°），线段AE与线段AC关于直线l对称，连接BE并延长交直线l于点G，连接EC交直线l于点F．
（1）求∠AGB的度数；
（2）求证：AG＝BG+2GF．
25．（14分）【教材呈现】如图为人教版八年级上册数学教材第P39页的部分内容．
（1）【应用发现】
小明通过以上思考得到结论：有两边和其中一边的对角分别相等（即“SSA”对应相等）的两个三角形不一定全等．同时他受此启发，展开了以下探究：
如图1，如果△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，AC＝DF，∠C+∠F＝180°（∠C＜∠F）则可证AB＝DE．
证明：在BC上取一点G，使AG＝AC．
∵AG＝AC，
∴∠C＝① ．
又∵∠C+∠F＝180°，
而∠AGC+∠AGB＝180°，
∴∠AGB＝② ．
∵AC＝DF，
∴AG＝③ ．
又∵∠B＝∠E．
∴△ABG≌△DEF（AAS）．
∴AB＝DE．
小红提出：如图2，若在EF的延长线上取一点G，使DG＝DF，也可证得结论．
请补全小明证明中①②③所缺的内容．
总结发现：两个三角形中，当一角和它所对的边对应相等，另一组对应角互补时，此时这两个三角形不全等，但可通过“割大或补小”构造全等三角形．
（2）【拓展探究】
△ABC为等腰三角形，AB＝AC，点D在AB的延长线上，点E在线段AC上，连接DE交BC于点F．
①如图3，若BD＝CE，求证：点F为DE的中点；
②若△ABC为等边三角形，点E为AC的中点，点G在BC的延长线上，且满足∠EGC＝∠ADE，请直接写出的值．
2024-2025学年福建省福州市连江县八年级（上）期中数学试卷
详细答案
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【解答】解：A，C，D选项中的字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
2．【解答】解：A、4+3＝7，4，7，3不能组成三角形，故本选项不符合题意；
B、4+7＝11＜12，4，7，12不能够组成三角形，故本选项不符合题意；
C、4+7＝11，4，7，11不能组成三角形，故本选项不符合题意；
D、4+4＝8＞7，4，7，4能组成三角形，故本选项符合题意，
故选：D．
3．【解答】解：A．a3•a3＝a6，故本选项符合题意；
B．（a3）3＝a9，故本选项不合题意；
C．a3+a3＝2a3，故本选项不合题意；
D．a12÷a2＝a10，故本选项不合题意；
故选：A．
4．【解答】解：正六边形ABCDEF的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，
故选：A．
5．【解答】解：由题意得，50°角对应的边长为10，
∴α＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴70°角对应的边长为20，
∴x＝20．
故选：D．
6．【解答】解：∵∵∠ACB＝∠DBC，BC＝CB，
A、添加的条件是：AB＝DC，无法判断△ABC≌△DCB，符合题意；
B、添加的条件是：∠A＝∠D，根据AAS可证明△ABC≌△DCB，不符合题意；
C、添加的条件是：AC＝DB，根据SAS可证明△ABC≌△DCB，不符合题意；
D、添加的条件是：∠ABC＝∠DCB，根据ASA可证明△ABC≌△DCB，不符合题意，
故选：A．
7．【解答】解：∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝60°，BA＝7，
∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∴BD＝AB＝×7＝3.5，
∵BC＝5，
∴CD＝BC﹣BD＝5﹣3.5＝1.5，
∴DE＝CD＝1.5，
∴BE＝BD﹣DE＝3.5﹣1.5＝2，
故选：C．
8．【解答】解：甲，根据作图过程可知：AC＝AD，所以△ACD为等腰三角形，甲的方法正确；
乙，根据线段的垂直平分线作图过程可知：CD＝AD，所以△ACD为等腰三角形，乙的方法正确；
丙，根据作一个角等于已知角的过程可知：∠ACD＝∠A，所以CD＝AD，所以△ACD为等腰三角形，丙的方法正确；
综上所述：甲、乙、丙都正确，
故选：A．
9．【解答】解：根据题意可得a+b＝﹣3，ab＝﹣45，
∴a、b异号且绝对值大的为负，
故选：D．
10．【解答】解：如图，连接PD．
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝5，
∴AB＝2BC＝10，∠CBA＝60°．
由旋转的性质可得到∠DBE＝∠CBA＝60°，BC＝BD＝5，
∴∠CBP＝∠DBP＝60°，
∵在△BCP和△BDP中，
，
∴△BCP≌△BDP（SAS）．
∴PC＝PD．
∴AP+CP＝AP+DP≥AD，
∴AP+CP有最小值为AD的长．
∴PA+CP的最小值＝AB+BD＝10+5＝15．
故选：C．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．【解答】解：原式＝（）2024×22024
＝（×2）2024
＝12024
＝1．
故答案为：1．
12．【解答】解：∵点（﹣3，2）关于x轴对称，
∴对称的点的坐标是（﹣3，﹣2）．
故答案为（﹣3，﹣2）．
13．【解答】解：由题意得∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝40海里．
故答案为：40．
14．【解答】解：如图，作AD⊥BC，交CB的延长线于D，
又∵AD＝DB，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，
∴∠CAB+∠ACB＝∠ABD＝45°．
故答案为：45°．
15．【解答】解：∵两块三角板是完全相同的等腰直角三角形，
∴OM＝ON，∠OMP＝∠ONP＝90°，
在Rt△OMP和Rt△ONP中，
，
∴Rt△OMP≌△RtONP（HL），
∴判定△OMP≌△ONP的依据是HL．
故答案为：HL．
16．【解答】解：连接BF，如图所示：

设∠ACF＝α，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∴∠BCF＝∠BCA+∠ACF＝45°+α，
∵点C关于直线BD的对称点F恰好在AD上，
∴DF＝DC，BF＝BC，
∴∠BFC＝∠BCF＝45°+α，
∴∠CBF＝180°﹣（∠BFC+∠BCF）＝90°﹣2α，
∴∠ABF＝∠ABC﹣∠CBF＝90°﹣（90°﹣2α）＝2α，
∵AB＝BC，BC＝BF，
∴AB＝BF，
∴∠BFA＝∠BAF＝（180°﹣∠ABF）＝90°﹣α，
∴∠AFC＝∠BFA+∠BFC＝90°﹣α+45°+α＝135°，
∴∠DFC＝180°﹣∠AFC＝45°，
∵DF＝DC，
∴∠DFC＝∠DCF＝45°，
∴∠FDC＝180°﹣（∠DFC+∠DCF）＝90°，
∴△DFC是等腰直角三角形，
∵AF＝DF，△ACF的面积为3，
∴△DFC的面积为3，
∴DF•DC＝3，
∴DF2＝6，
∵DF＞0，
∴DF＝．
三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【解答】解：（1）原式＝8x6﹣2x6
＝6x6；
（2）原式＝m2+3mn﹣mn﹣3n2+mn﹣n2
＝m2+3mn﹣4n2．
18．【解答】证明：∵FC∥AB，
∴∠A＝∠FCE，
在△AED和△CEF中，
，
∴△AED≌△CEF（AAS），
∴AE＝CE，
∴点E为AC中点．
19．【解答】解：（1）如图，BE，CF即为所求．
由图可得，E（﹣1，1），F（﹣3，﹣2）．
故答案为：﹣1，1；﹣3，﹣2．
（2）如图，△ABD即为所求．
由图可得，点D的坐标为（﹣7，﹣2）．
20．【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∴AD垂直平分EF．
21．【解答】解：（1）如图1，点D为所求作的点；
（2）由（1）得，点D到AB的距离等于DC，
∴BD平分∠ABC，即∠CBD＝∠ABD，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝∠CBD，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠ABD+∠CBD＝90°，
∴∠A＝30°，
∵BC＝3，
∴AB＝2BC＝6．
22．【解答】解：（1）根据题意，a＝b+2（米），
则2（b+2+b）＝4m+20，
∴b＝m+4，
∴a＝b+2＝m+6．
答：a的长是（m+6）米，b的长是（m+4）米．
（2）围成的正方形场地的面积大．理由如下：
围成的正方形场地的面积为（）2＝（m+5）2＝m2+10m+25（平方米）
围成的长方形场地的面积为ab＝（m+6）（m+4）＝m2+10m+24（平方米），
∵m2+10m+25＞m2+10m+24，
∴围成的正方形场地的面积大．
23．【解答】（1）证明：∵BD⊥OM，AC⊥OM，
∴∠ACO＝∠ODB＝90°，
∴∠OAC+∠AOC＝90°，
又∵∠AOC+∠BOD＝∠AOB＝90°，
∴∠OAC＝∠BOD，
∵A（4，0），B（0，4），
∴OA＝OB＝4，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（AAS）；
（2）过点D作DE⊥OB于点E，如图所示：
由（1）知：△AOC≌△BOD，
∴AC＝OD＝，
∵∠AOM＝60°，
∴∠BOM＝90°﹣∠AOM＝30°，
在Rt△ODE中，∠BOM＝30°，OD＝，
∴DE＝OD＝，
由勾股定理得：OE＝＝＝3，
∴点D的坐标是．
24．【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵线段AE与线段AC关于直线l对称，且∠CAD＝α（0°＜α＜30°），
∴∠EAD＝∠CAD＝α，AC＝AE，
∴∠BAE＝60°﹣α，AB＝AE，
∴∠AEB＝×（180°﹣∠BAE）＝60°+α，
∵∠AEB＝∠AGB+∠EAD＝∠AGB+α，
∴∠AGB+α＝60°+α，
∴∠AGB＝60°；
（2）证明：在GA上取一点H，使GH＝GC，连接CH，如图所示：
∵线段AE与线段AC关于直线l对称，
∴∠AGC＝∠AGB＝60°，AG⊥CE，
∴△GHC是等边三角形，
∴HC＝GC，∠GCH＝60°，
∴∠ACB＝∠GCH＝60°，
∴∠ACH+∠HCD＝∠HCD+∠BCG＝60°，
∴∠ACH＝∠BCG，
在△ACH和△BCG中，
，
∴△ACH≌△BCG（SAS），
∴AH＝BG，
∴AG＝AH+GH＝BG+GH，
∵△GHC是等边三角形，AG⊥CE，
∴GF＝FH，
∴GH＝2GF，
∴AG＝BG+2GF．
25．【解答】（1）证明：在BC上取一点G，使AG＝AC．
∵AG＝AC，
∴∠C＝∠AGC．
又∵∠C+∠F＝180°，
而∠AGC+∠AGB＝180°，
∴∠AGB＝∠F．
∵AC＝DF，
∴AG＝DF．
又∵∠B＝∠E．
∴△ABG≌△DEF（AAS）．
∴AB＝DE．
故答案为：①∠AGC，②∠F，③DF；
（2）证明：在BC上取一点G，使得EG＝EC，则∠EGC＝∠C，
∵BD＝EC，
∴EG＝BD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠ABC＝∠EGC，
∴180°﹣∠ABC＝180°﹣∠EGC 即∠DBF＝∠EGF，
在△DBF与△EGF中，
，
∴△DBF≌△EGF（AAS），
∴DF＝EF，
∴点F为DE的中点；
（3）解：．
依题意画出图形如图所示，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，
在AB上取点P使得EP＝EA，
∴△APE是等边三角形，
∴∠APE＝60°，AP＝AE，
∴∠DPE＝180°﹣∠APE＝120°，∠GCE＝180°﹣∠ACB＝120°，
∴∠DPE＝∠GCE，
又∵点E为AC的中点，
∴AE＝CE，
∴PE＝CE，
在△DPE与△GCE中，
，
∴△DPE≌△GCE（AAS），
∴DP＝GC，
又∵，
∴，
∴．
∵∠ACB＝∠DBC，______（添加一个条件，使结论成立），BC＝CB．
∴△ABC≌△DCB．

思考：如图，把一长一短的两根木板的一端固定在一起，摆出△ABC．固定住长木棍，转动短木板，得到△ABD，这个实验说明了什么？