2024-2025学年浙江省金华市婺城区九年级（上）期中数学试卷 含详解

这是一份2024-2025学年浙江省金华市婺城区九年级（上）期中数学试卷 含详解，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列函数属于二次函数的是（ ）
A．y＝﹣3x2+1B．y＝C．y＝D．y＝2x+5
2．（3分）“足球运动员射门一次，球进了”这一事件是（ ）
A．不可能事件B．必然事件
C．随机事件D．确定事件
3．（3分）已知⊙O的半径是5cm，点A在⊙O外，则OA的长可能是（ ）
A．2cmB．4cmC．5cmD．6cm
4．（3分）两个相似三角形周长的比是2：3，则它们的面积比是（ ）
A．2：3B．3：2C．4：9D．9：4
5．（3分）抛物线y＝﹣（x﹣1）2向右平移2个单位，平移后的抛物线的表达式为（ ）
A．y＝﹣（x+1）2B．y＝﹣（x﹣3）2
C．y＝﹣（x﹣1）2+2D．y＝﹣（x﹣1）2﹣2
6．（3分）一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，则A与B不相邻而坐的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）如图，点P在△ABC的边AC上，下列条件中不能判断△ABP∽△ACB的是（ ）
A．∠ABP＝∠CB．∠APB＝∠ABCC．D．
8．（3分）如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为S1，SⅡ，SⅢ．给出以下结论：①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形；②Ⅲ中最大的内角是150°；③SⅢ＝2（S1+SⅡ）．其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
9．（3分）已知抛物线y＝4ax2+bx+a2﹣5a﹣6（a、b是常数，b＞0）为图中四个图象之一，则a的值为（ ）
A．3B．﹣2C．6D．﹣1
10．（3分）阿基米德折弦定理：如图1，AB与BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），AB＞BC，点M是的中点，MN⊥AB于点N，则点N是折弦ABC的中点，即AN＝BN+BC．如图2，半径为4的圆中有一个内接矩形ABCD，AB＞BC，点M是的中点，MN⊥AB于点N，若矩形ABCD的面积为20，则线段BN的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2，b＝3，c＝6，则d的值是 ．
12．（3分）一个不透明的口袋中装有若干个红球和30个白球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则通过计算可以估计出口袋中红球约 个．
13．（3分）如图，已知在正方形网格内有两个相似三角形（△ABC∽△EDF），则∠ABC+∠ACB＝ °．
14．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠OBC＝40°，则∠ACB的度数是 ．
15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如表所示，若0＜x＜5时，则y的取值范围是 ．
16．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠A＝60°，将▱ABCD折叠，使得点B与点D重合，折痕交AD，BC分别于点E，F，则AE＝ ．
三、解答题（本题有8小题，共72分）
17．（6分）已知，求的值．
18．（6分）已知抛物线y＝ax2﹣2x+c的图象经过点（0，3），（﹣2，﹣1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断点P（1，1）是否在该抛物线的图象上，请说明理由．
19．（8分）一个不透明的袋中装有分别标着汉字“杭”、“州”、“亚”、“运”的四个小球，除标注的汉字不同外，小球无任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）从袋中摸出一个球，球上的汉字刚好是“杭”的概率是 ；
（2）从袋中任摸一球，不放回，再从袋中任摸一球，请用树状图（或列表法）表示出所有可能出现的结果，并求出摸到的两个球上的汉字恰好能组成“亚运”的概率．
20．（8分）图1、图2均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
（1）在图1中△ABC的边BC上找到一点F，使S△ABF：S△ACF＝2：3；
（2）在图2中作出△ABC的高线CE．
21．（10分）如图，四边形ABCD是正方形，以边CD为直径作⊙O，点E在BC边上，连结DE交⊙O于点F，连结CF并延长交AB于点G．
（1）求证：CE＝BG；
（2）若∠DEC＝55°，OC＝6，求的长．（结果保留π）
22．（10分）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，篮球运行的水平距离为2.5米时达到最大高度，在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+3.5，沿此抛物线篮球可准确落入篮圈．
（1）求篮圈中心到地面的距离为多少米．
（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
（3）篮球被投出后，对方一名近身防守运动员跳起盖帽，这名防守运动员最大能摸高3.05m，若他想盖帽成功，则两名运动员之间的距离不能超过多少米？（直接写出答案）
23．（12分）根据背景素材，探索解决问题．
注：在测量、计算时，都以“肘”为单位．
24．（12分）如图1，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点B作BD∥OC交⊙O于点D（点D与点B不重合）．
（1）求证：．
（2）如图2，过点C作CE⊥BD交BD的延长线于点E，连结OE交BC于点F．
①若，求DE的长；
②若△OBF是直角三角形，求的值．
2024-2025学年浙江省金华市婺城区九年级（上）期中数学试卷
参考答案
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．【解答】解：A、y＝﹣3x2+1，是二次函数，符合题意；
B、y＝，是正比例函数，不合题意；
C、y＝，是反比例函数，不合题意；
D、y＝2x+5，是一次函数，不合题意．
故选：A．
2．【解答】解：“某足球运动员射门一次，踢进球门”这一事件是随机事件，
故选：C．
3．【解答】解：∵⊙O的半径是5cm，点A在⊙O外，
∴OA＞5，则选项D符合题意，
故选：D．
4．【解答】解：∵两个相似三角形周长的比是2：3，
∴它们的相似比为2：3，
∴它们的面积比是4：9．
故选：C．
5．【解答】解：抛物线y＝﹣（x﹣1）2向右平移2个单位，平移后的抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1﹣2）2，即y＝﹣（x﹣3）2，
故选：B．
6．【解答】解：如图，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，
按从A开始，逆时针排列如下：
ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，
根据列举情况可知：A先坐，B，C，D随机坐其他三个座位的结果数共有6种，
其中A与B不相邻而坐的结果有2种，为：ACBD，ADBC，
∴A与B不相邻而坐的概率为：．
故选：A．
7．【解答】解：A．∵∠A＝∠A，∠ABP＝∠C，
∴△ABP∽△ACB，故选项不符合题意；
B．∵∠A＝∠A，∠APB＝∠ABC，
∴△ABP∽△ACB，故选项不符合题意；
C．∵∠A＝∠A，AB2＝AP•AC，即，
∴△ABP∽△ACB，故选项不符合题意；
D．根据和∠A＝∠A不能判断△ABP∽△ACB，故选项符合题意．
故选：D．
8．【解答】解：如图，将如图的正六边形可以分割成6个全等的三角形，
于是Ⅰ部分、Ⅱ部分相当于其中的1个三角形，Ⅲ部分相当于4个这样的三角形，
因此：①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形是正确的；②Ⅲ中最大的内角是＝120°，因此②不正确的；③SⅢ＝2（S1+SⅡ）是正确的；
综上所述，正确的有①③，
故选：B．
9．【解答】解：∵抛物线y＝4ax2+bx+a2﹣5a﹣6（a、b是常数，b＞0），
∴对称轴为x＝，
∵若对称轴为y轴，则x＝0，
∴，
∴b＝0，与b＞0矛盾，故第一、第二个图形均不符合题意；
∵若函数图象经过原点，则a2﹣5a﹣6＝0，
解得：a＝6或﹣1，
∵当a＝6时，抛物线解析式为y＝24x2+bx，
∴此时抛物线图象开口向上，对称轴为x＝＜0，故第三个图形不符合题意；
当a＝﹣1时，抛物线的解析式为y＝﹣4x2+bx，
∴抛物线图象开口向下，对称轴为x＝＞0，故第四个图形符合题意，
∴a＝﹣1，
故选：D．
10．【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴AC是圆的直径，
∴AC＝2×4＝8，
设矩形AD＝a，BC＝b（a＞b），
由勾股定理得：a2+b2＝82＝64，
∴（a﹣b）2+2ab＝64，
∵矩形ABCD的面积＝20，
∴ab＝20，
∴（a﹣b）2＝24，
∵a＞b，
∴a﹣b＝2，
由折弦定理得：AN＝BN+BC，
∴a﹣BN＝b+NB，
∴NB＝（a﹣b）＝．
故选：A．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．【解答】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段，
∴a：b＝c：d，
即2：3＝6：d，
解得d＝9．
故答案为：9．
12．【解答】解：设红球个数为x个，
∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，
∴口袋中得到红色球的概率为25%，
∴＝25%，
解得：x＝10，
故红球的个数为10个．
故答案为：10．
13．【解答】解：如图，由网格图可知∠DET＝45°，
∵△ABC∽△EDF，
∴∠B＝∠D，∠C＝∠F，
∵∠DET＝∠D+∠F，
∴∠D+∠F＝45°，
∴∠B+∠C＝∠D+∠F＝45°，
故答案为：45．
14．【解答】解：∵AO∥BC（已知），
∴∠AOB＝∠OBC＝40°（两直线平行，内错角相等）；
又∵∠ACB＝∠AOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠ACB＝∠AOB＝20°．
故答案为：20°．
15．【解答】解：根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值的表格，
∵当x＝﹣1时，y＝﹣5，当x＝3时，y＝﹣5，
∴对称轴为：x＝＝1，
表格可得到，当x＝0时y＝﹣8，当x＝5时，y＝7，结合函数图象，
根据二次函数图象中A、B两点间的部分，得到当0＜x＜5时，﹣9≤y＜7．
故答案为：﹣9≤y＜7．
16．【解答】解：设AE＝2x，作EL⊥GD于点L，则∠GLE＝∠DLE＝90°，
∵AB＝6，AD＝8，∠A＝60°，
∴CE＝AD﹣AE＝8﹣2x，
由折叠得GD＝AB＝6，GE＝AE＝2x，∠G＝∠A＝60°，
∴∠GEL＝90°﹣∠G＝30°，
∴GL＝GE＝x，
∴DL＝6﹣x，
∵GE2﹣GL2＝DE2﹣DL2＝EL2，
∴（2x）2﹣x2＝（8﹣2x）2﹣（6﹣x）2，
解得x＝，
∴AE＝2×＝，
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，共72分）
17．【解答】解：由，得 y＝3x，
∴原式＝＝＝﹣7．
18．【解答】解：（1）将（0，3），（﹣2，﹣1）代入y＝ax2﹣2x+c，
，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣2x+3；
（2）将x＝1代入y＝﹣2x2﹣2x+3得：
y＝﹣2×12﹣2×1+3＝﹣1≠1，
∴点P（1，1）不在抛物线上．
19．【解答】解：（1）由题意得，从袋中摸出一个球，球上的汉字刚好是“杭”的概率是．
故答案为：．
（2）列表如下：
由表格可知，共有12种等可能出现的结果，
其中摸到的两个球上的汉字恰好能组成“亚运”的结果有2种，
∴摸到的两个球上的汉字恰好能组成“亚运”的概率为＝．
20．【解答】解：（1）如图1，分别取格点M，N，使BM：CN＝2：3，且BM∥CN，连接MN交BC于点F，
此时△BFM∽△CFN，
可得BF：CF＝BM：CN＝2：3，
∴S△ABF：S△ACF＝2：3，
则点F即为所求．
（2）如图2，CE即为所求．
21．【解答】（1）证明：由题意得：∠DCE＝∠CBG＝∠DFC＝∠CFE＝90°，DC＝CB，
∴∠BCG+∠DEC＝∠BCG+∠CGB＝90°，
∴∠DEC＝∠CGB，
∴△DEC≌△CGB（AAS），
∴CE＝BG；
（2）解：连接OF，如图所示：
∵∠DEC＝55°，
∴∠ODF＝90°﹣∠DEC＝35°，
∵OD＝OF，
∴∠OFD＝∠ODF＝35°，
∴∠COF＝∠OFD+∠ODF＝70°，
∴的长为：．
22．【解答】解：（1）根据已知可得，篮圈中心的横坐标为4﹣2.5＝1.5，
在y＝﹣0.2x2+3.5中，令x＝1.5得y＝﹣0.2×1.52+3.5＝3.05，
∴篮圈中心的纵坐标为3.05，
∴篮圈中心到地面的距离为3.05米；
（2）设球出手时，他跳离地面的高度是h米，则出手点坐标为（﹣2.5，1.8+0.2+h），
∴1.8+0.25+h＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5，
解得h＝0.2，
∴球出手时，他跳离地面的高度是0.2米；
（3）在y＝﹣0.2x2+3.5中，令y＝3.05得：3.05＝﹣0.2x2+3.5，
解得x＝1.5（舍去）或x＝﹣1.5，
∵﹣1.5﹣（﹣2.5）＝1，
∴两名运动员之间的距离不能超过1米．
23．【解答】解：任务1：根据素材3，观察图形可知一块花岗岩的长为2肘、宽为1肘，
根据素材1、素材2，观察图形，B，C两点之间的水 平距离有2块花岗岩的长，
则2×2＝4（肘），
B，C两点之间的铅垂距离（高度差）有4块花岗岩的宽，
则4×1＝4（肘），
故答案为：4，4．
任务2：如图，作过点C的水平线，过点A作该水平 线的垂线，垂足为E，作BD⊥AE于点D，记圆心为O，连结CO，BO，
∵A是拱圈的最高点，
∴圆心O在AE的延长线上，
观察图形，CE＝6.5×2＝13（肘），DB＝4.5×2＝9 （肘），DE＝4（肘），
设OE＝a，
则DO＝DE+OE＝4+a，
∵OB2＝DB2+OD2，OC2＝OE2+EC2，OB＝OC，
∴（4+a）2+92＝a2+132，
解得：a＝9，
∴OC＝＝5
∴石拱桥拱圈的半径为5肘，
故答案为：5．
任务3：货船不能通过此石拱桥．理由如下：
如图：GH＝7（肘），
∴EF＝GH＝7（肘），
由任务2知：OE＝9（肘），
∴OF＝16＞5，
所以货船不能通过此石拱桥．
24．【解答】（1）证明：∵BD∥OC，
∴∠OCB＝∠CBD．
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠CBD，
∴；
（2）解：①连接AD，设AD交OC于点H，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴AD⊥BD，
∵BD∥OC，
∴OC⊥AD，
∴AH＝DH＝AD．
∵OC⊥AD，CE⊥BD，AD⊥BD，
∴四边形CHDE为矩形，
∴DE＝CH．
∵，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△OAC为等边三角形，
∴OA＝OC＝AC＝2，
∵AH⊥OC，
∴CH＝OH＝OC＝1，
∴DE＝CH＝1．
②△OBF是直角三角形，当∠OBF＝90°时，点F在圆O外，由于BC为弦，这与OE交BC于点F不符；
当∠OFB＝90°时，则OF⊥BC，
∴BF＝CF，
∵BD∥OC，
∴△OFC∽△EBF，
∴，
∴OF＝EF，
∵BF＝CF，
∴四边形COBE为平行四边形，
∵CE⊥BD，
∴四边形COBE为矩形，
∴∠CBD＝90°，
∴点D在⊙O外，这与题意不符．
∴只有∠FOB＝90°．则∠OFB+∠OBC＝90°．
∵BD∥OC，CE⊥BD，
∴OC⊥CE，
∴∠ECF+∠OCB＝90°．
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠ECF＝∠EFC，
∴EC＝EF．
设EC＝EF＝x，OF＝y，OB＝OC＝r，则OE＝x+y，
∴OC2＝OE2﹣EC2＝（x+y）2﹣x2＝r2．
∵BD∥OC，
∴∠COE＝∠BEO，
∵∠OCE＝∠FOB＝90°，
∴△ECO∽△BOE，
∴，
∴，
∴r2＝x（x+y）．
∴x（x+y）＝（x+y）2﹣x2，
∴x2﹣xy﹣y2＝0，
∴x＝y（负数不合题意，舍去），
∴x＝y，
∴．
即＝．
x
…
﹣1
0
1
3
5
…
y
…
﹣5
﹣8
﹣9
﹣5
7
……
测算石拱桥拱圈的半径
素材1
某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径（如图1），石拱桥由侧面为矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连接（花岗岩的各个顶点落在上、下花岗岩相应边的中点，如图2）．

素材2
通过观察发现A，B，C三个点都在拱圈上，A是拱圈的最高点，且在两块花岗岩的连接处（不在花岗岩的顶点处），B，C两个点都是花岗岩的顶点（如图3）．

素材3
如果没有带测量工具，可以用身体上的“尺子”来测，比如前臂长（包括手掌、手指）称为1肘（如图4），利用该方法测得一块花岗岩的长和高（如图5）．

解决问题
任务1
获取数据
通过观察计算，得到B，C两点之间的水平距离为 肘，铅垂距离（高度差）为 肘．
任务2
分析计算
通过观察、计算，得到石拱桥拱圈的半径为 肘．
任务3
预测判断
若水平面位于点C处，一艘宽6肘，水面之上的高为7肘的货船是否能顺利通过此石拱桥？请说明理由．
杭
州
亚
运
杭
（杭，州）
（杭，亚）
（杭，运）
州
（州，杭）
（州，亚）
（州，运）
亚
（亚，杭）
（亚，州）
（亚，运）
运
（运，杭）
（运，州）
（运，亚）