精品解析：湖南省部分学校2025届高三上学期8月开学考试数学试题

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考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，若，则（ ）
A. B. 0C. D. 1
3. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
4. 图中的花盆可视作两个圆台的组合体，其上半部分的圆台上､下底面直径分别为30cm和26cm，下半部分的圆台上､下底面直径分别为24cm和18cm，且两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角均相等，若上半部分的圆台的高为8cm，则该花盆的总高度为（ ）
A. 16cmB. 18cmC. 20cmD. 24cm
5. “”是“函数在上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知过点的直线交抛物线于两点，且为坐标原点，则的面积为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
7. 已知等差数列中，.记，其中表示不大于的最大整数，则数列的前2024项和为（ ）
A 4965B. 4964C. 1893D. 1892
8. 已知三棱锥中，，其余各校长均为2，P是三棱锥外接球球面上的动点，则点P到平面BCD的距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 年我国居民消费价格月度涨跌幅度的数据如图所示，对于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A. 极差为B. 平均数约为
C. 中位数为D. 众数只有和
10. 已知函数的图象关于直线对称，最小正周期，若将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则（ ）
A
B.
C. 在上的值域为
D. 在上单调递增
11. 已知函数的定义域为，若，且在上单调递增，，则（ ）
A. B.
C. 是奇函数D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，
12. 若复数满足，则__________.
13. 设，则被7除余数为__________.
14. 已知是双曲线上任意一点，，若恒成立，则的离心率的最大值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在中，为边上一点，且.
（1）求；
（2）若，求.
16. 已知椭圆的左焦点为，过点且不与轴重合的动直线与交于两点，且当轴时，.
（1）求的方程；
（2）若，直线分别与直线交于点，证明：为定值.
17. 如图，在三棱柱中，为等边三角形，平面平面，四边形为菱形，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18. 已知函数的图象在点处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）讨论的单调性；
（3）若关于的方程有两个正根，证明：.
19. 在一个不透明的口袋中装有2个黑球和2个白球，每次从口袋中随机取出1个球，再往口袋中放入1个白球，取出的球不放回，像这样取出1个球再放入1个白球称为1次操作，重复操作至口袋中4个球均为白球后结束.假设所有球的大小､材质均相同，记事件“次操作后结束”为，事件发生的概率为.
（1）求第1次操作取出黑球且3次操作后结束的概率；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，证明：.