中考数学一轮复习重点考向练习专题12 二次函数（10类重点考向）（2份，原卷版+解析版）

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1. 会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质；用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y＝a(x－h)²＋k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题；
2. 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．结合具体情况体会二次函数的意义，能根据已知条件确定二次函数的表达式；会利用待定系数法确定二次函数的表达式．
3. 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义；会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y＝a(x－h)²＋k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决实际问题．
4.能运用二次函数的知识解决综合型问题.
二次函数是非常重要的函数，年年都会考查,总分值为18~20分，预计2024年各地中考还会考，它经常以一个压轴题独立出现，有的地区也会考察二次函数的应用题，小题的考察主要是二次函数的图象和性质及或与几何图形结合来考查。
►考向一 二次函数的图像
1．（2022•杭州）已知二次函数y＝x2+ax+b（a，b为常数）．命题①：该函数的图象经过点（1，0）；命题②：该函数的图象经过点（3，0）；命题③：该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图象的对称轴为直线x＝1．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（ ）
A．命题①B．命题②C．命题③D．命题④
【思路点拨】命题④②③可以同时成立，由此即可判断．
【规范解答】解：假设抛物线的对称轴为直线x＝1，
则﹣＝1，
解得a＝﹣2，
∵函数的图象经过点（3，0），
∴3a+b+9＝0，
解得b＝﹣3，
故抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
当y＝0时，得x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝3或x＝﹣1，
故抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），
函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；
故命题②③④都是正确，①错误，
故选：A．
【真题点拨】本题主要考查二次函数的图象与性质以及对称轴公式的求法．
2．（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【思路点拨】根据c＞0，可知﹣c＜0，可排除A，D选项，当a＞0时，可知对称轴＜0，可排除B选项，当a＜0时，可知对称轴＞0，可知C选项符合题意．
【规范解答】解：∵c＞0，
∴﹣c＜0，
故A，D选项不符合题意；
当a＞0时，
∵b＞0，
∴对称轴x＝＜0，
故B选项不符合题意；
当a＜0时，b＞0，
∴对称轴x＝＞0，
故C选项符合题意，
故选：C．
【真题点拨】本题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
3．（2021•江西）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【思路点拨】根据二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象，即可得出a＞0、b＞0、c＜0，由此即可得出：二次函数y＝ax+bx+c的图象开口向上，对称轴x＝﹣＜0，与y轴的交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
【规范解答】解：观察函数图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴x＝﹣＜0，与y轴的交点在y轴负半轴．
故选：D．
【真题点拨】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象和一次函数图象经过的象限，找出a＞0、b＞0、c＜0是解题的关键．
►考向二 二次函数的性质
4．（2023•台湾）坐标平面上有两个二次函数的图形，其顶点P、Q皆在x轴上，且有一水平线与两图形相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，若 AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ的长度为何（ ）
A．7B．8C．9D．10
【思路点拨】由AB，BC，CD的长度及抛物线的对称性可得点C与点P，点Q与点C的横坐标之差，进而求解．
【规范解答】解：∵AB＝10，BC＝5，
∴AC＝AB+BC＝15，
∴xC﹣xP＝，
∵BC＝5，CD＝6，
∴BD＝BC+CD＝11，
∴xQ﹣xB＝，
∴PQ＝xQ﹣xP＝（xQ﹣xB）+（xC﹣xP）﹣（xC﹣xB）＝+﹣5＝8，
故选：B．
【真题点拨】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的对称性求解．
5．（2023•内蒙古）已知二次函数y＝﹣ax2+2ax+3（a＞0），若点P（m，3）在该函数的图象上，且m≠0，则m的值为 2 ．
【思路点拨】将点P（m，3）代入函数解析式求解即可．
【规范解答】解：∵点P（m，3）在二次函数y＝﹣ax2+2ax+3（a＞0）的图象上，
∴3＝﹣am2+2am+3，
∴﹣am（m﹣2）＝0，
解得m＝2或m＝0（舍去），
故答案为：2．
【真题点拨】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．
6．（2023•北京）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）若对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，求t的值；
（2）若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围．
【思路点拨】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可，
（2）根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出（x1，y1）与（x2，y2）的中点在对称轴的右侧，再根据对称性即可解答．
【规范解答】解：（1）∵对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，
∴a+b+c＝4a+2b+c，
∴3a+b＝0，
∴＝﹣3．
∵对称轴为x＝﹣＝，
∴t＝．
（2）∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，
∴，x1＜x2，
∵y1＜y2，a＞0，
∴（x1，y1）离对称轴更近，x1＜x2，则（x1，y1）与（x2，y2）的中点在对称轴的右侧，
∴＞t，
即t≤．
【真题点拨】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．
►考向三 二次函数图象与系数的关系
7．（2023•烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（﹣，m），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②2b+c＞0；③若图象经过点（﹣3，y1），（3，y2），则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0无实数根，则m＜3．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【思路点拨】①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；
②利用抛物线的对称轴求出a＝b，根据图象可得当x＝1时，y＝a+b+c＜0，即可判断；
③利用抛物线的对称轴，设（﹣3，y1），（3，y2）两点横坐标与对称轴的距离为d1、d2，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；
④根据根的判别式即可判断．
【规范解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（﹣，m），
∴﹣，
∴，即ab＞0，
由图可知，抛物线开口方向向下，即a＜0，
∴b＜0，
当x＝0时，y＝c＞0，
∴abc＞0，
故①正确，符合题意；
②∵直线x＝﹣是抛物线的对称轴，
∴﹣，
∴，
∴a＝b，
由图象可得：当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
∴2b+c＜0，
故②错误，不符合题意；
③∵直线x＝﹣是抛物线的对称轴，
设（﹣3，y1），（3，y2）两点横坐标与对称轴的距离为d1、d2，
则，
，
∴d2＞d1，
根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，
∴y1＞y2，
故③正确，符合题意；
④∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0无实数根，
∴Δ＝b2﹣4a（c﹣3）＜0，
∴b2﹣4ac+12a＜0，
∴b2﹣4ac＜﹣12a，
∴4ac﹣b2＞12a，
∵，
∴m＜3，
故④正确，符合题意．
故选：C．
【真题点拨】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
8．（2023•广元）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a＜0）过（﹣1，0）和（m，0）两点，且3＜m＜4，下列四个结论：
①abc＞0；
②3a+c＞0；
③若抛物线过点（1，4），则﹣1＜a＜；
④若关于x的方程a（x+1）（x﹣m）＝3有实数根，则4ac﹣b2≥12a，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【思路点拨】①根据题意得出开口向下，对称轴在y轴的右侧，即可判b＞0，c＞0，则abc＜0；
②根据对称轴是直线x＝﹣＞1，计算﹣b＜2a，由抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），过A（﹣1，0），得到a﹣b+c＝0，即可得到3a+c＞0；
③由待定系数法确定抛物线y＝ax2+2x+2﹣a，根据题意抛物线为y＝a（x+1）（x﹣m）＝ax2+a（1﹣m）x﹣am，即可得出﹣am＝2﹣a，则m＝＝1﹣，根据3＜m＜4，即可得出关于a的不等式，解得即可；
④抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a＜0）与直线y＝3有交点，即可得出，求得4ac﹣b2≤12a．
【规范解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），过A（﹣1，0），B（m，0）两点，且3＜m＜4，
∴对称轴x＝＞1，
∴对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∵a＜0，
∴b＞0，c＞0，
∴abc＜0，
故①错误；
∵﹣＞1，a＜0，
∴﹣b＜2a，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），过A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴3a+c＞0，
故②正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），过A（﹣1，0），点（1，4），
∴，
解得，
∵抛物线y＝ax2+2x+2﹣a，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a＜0）过（﹣1，0）和（m，0）两点，
∴y＝a（x+1）（x﹣m）＝ax2+a（1﹣m）x﹣am，
∴﹣am＝2﹣a，
∴m＝＝1﹣，
∵3＜m＜4，
∴3＜1﹣＜4，
∵a＜0，
∴﹣1＜a＜，
故③正确；
∵若关于x的方程a（x+1）（x﹣m）＝3有实数根，
∴抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a＜0）与直线y＝3有交点，
∴，
∴4ac﹣b2≤12a，
故④错误．
故选：B．
【真题点拨】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，函数与方程的关系，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
►考向四 二次函数图象上点的坐标特征
9．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（ ）
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4
【思路点拨】过A作AH⊥x轴于H，根据正方形的性质得到∠AOB＝45°，得到AH＝OH，利用待定系数法求得a、c的值，即可求得结论．
【规范解答】解：过A作AH⊥x轴于H，
∵四边形ABCO是正方形，
∴∠AOB＝45°，
∴∠AOH＝45°，
∴AH＝OH，
设A（m，m），则B（0，2m），
∴，
解得am＝﹣1，m＝，
∴ac的值为﹣2，
故选：B．
【真题点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据图象得出抛物线经过的点的坐标是解题的关键．
10．（2023•广州）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝x2﹣3上，且0＜x1＜x2，则y1 ＜ y2.（填“＜”或“＞”或“＝”）
【思路点拨】依据题意，求出抛物线y＝x2﹣3的对称轴x＝0，从而由二次函数的性质，根据抛物线开口向下，故当x＞0时y随x的增大而减小，进而判断得解．
【规范解答】解：由题意得抛物线y＝x2﹣3的对称轴x＝0，
又a＝1＞0，
∴抛物线y＝x2﹣3开口向上．
∴当x＞0时y随x的增大而增大．
∴对于A、B当0＜x1＜x2时，y1＜y2．
故答案为：＜．
【真题点拨】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并理解是关键．
11．（2023•丽水）已知点（﹣m，0）和（3m，0）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0）的图象上．
（1）当m＝﹣1时，求a和b的值；
（2）若二次函数的图象经过点A（n，3）且点A不在坐标轴上，当﹣2＜m＜﹣1时，求n的取值范围；
（3）求证：b2+4a＝0．
【思路点拨】（1）当m＝﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+3图象过点（1，0）和（﹣3，0），用待定系数法可得a的值是﹣1，b的值是﹣2；
（2）y＝ax2+bx+3图象过点（﹣m，0）和（3m，0），可知抛物线的对称轴为直线x＝m，而y＝ax2+bx+3的图象过点A（n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上，可得m＝，根据﹣2＜m＜﹣1，即得﹣4＜n＜﹣2；
（3）由抛物线过（﹣m，0），（3m，0），可得﹣＝m，b＝﹣2am，把 （﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3变形可得am2+1＝0，故b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．
【规范解答】（1）解：当m＝﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+3图象过点（1，0）和（﹣3，0），
∴，
∴解得，
∴a的值是﹣1，b的值是﹣2；
（2）解：∵y＝ax2+bx+3图象过点（﹣m，0）和（3m，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝m，
∵y＝ax2+bx+3的图象过点A（n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上，
∴由图象的对称性得n＝2m，
∴m＝，
∵﹣2＜m＜﹣1，
∴﹣2＜＜﹣1，
∴﹣4＜n＜﹣2；
（3）证明：∵抛物线过（﹣m，0），（3m，0），
∴抛物线对称轴为直线x＝＝m，
∴﹣＝m，
∴b＝﹣2am，
把（﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
①×3+②得：12am2+12＝0，
∴am2+1＝0，
∴b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．
【真题点拨】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，涉及待定系数法，不等式，方程组等知识，解题的关键是整体思想的应用．
►考向五 二次函数图象与几何变换
12．（2023•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+3）2+2B．y＝（x﹣1）2+2
C．y＝（x﹣1）2+4D．y＝（x+3）2+4
【思路点拨】直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【规范解答】解：将二次函数y＝（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为y＝（x+1﹣2）2+3﹣1，即y＝（x﹣1）2+2．
故选：B．
【真题点拨】本题主要考查二次函数的几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的法则是解题的关键．
13．（2023•广西）将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝（x﹣3）2+4B．y＝（x+3）2+4
C．y＝（x﹣3）2﹣4D．y＝（x+3）2﹣4
【思路点拨】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解得即可．
【规范解答】解：将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是
y＝（x﹣3）2+4．
故选：A．
【真题点拨】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟记“左加右减，上加下减”的法则是解决问题的关键．
14．（2023•益阳）我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数y＝2x
的图象向上平移1个单位得到y＝2x+1的图象；将二次函数y＝x2+1的图象向左平移2个单位得到y＝（x+2）2+1的图象，若将反比例函数y＝的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是 y＝﹣3 ．
【思路点拨】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【规范解答】解：由题意，将反比例函数y＝的图象向下平移3个单位，得到的图象对应的函数表达式为y＝﹣3．
故答案为：y＝﹣3．
【真题点拨】本题考查的是一次函数、二次函数、反比例函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
►考向六 二次函数的最值
15．（2023•杭州）设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），则（ ）
A．当k＝2时，函数y的最小值为﹣a
B．当k＝2时，函数y的最小值为﹣2a
C．当k＝4时，函数y的最小值为﹣a
D．当k＝4时，函数y的最小值为﹣2a
【思路点拨】令y＝0，求出二次函数与x轴的交点坐标，继而求出二次函数的对称轴，再代入二次函数解析式即可求出顶点的纵坐标，最后代入k的值进行判断即可．
【规范解答】解：令y＝0，则（x﹣m）（x﹣m﹣k）＝0，
∴x1＝m，x2＝m+k，
∴二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）与x轴的交点坐标是（m，0），（m+k，0），
∴二次函数的对称轴是：直线，
∵a＞0，
∴y有最小值，
当时，y最小，
即，
当k＝2时，函数y的最小值为；
当k＝4时，函数y的最小值为，
故选：A．
【真题点拨】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握求二次函数的顶点坐标是解题的关键．
16．（2023•镇江）二次函数y＝﹣2x2+9的最大值等于 9 ．
【思路点拨】依据题意，根据二次函数的图象与性质，由二次函数y＝﹣2x2+9的a＝﹣2＜0，开口向下，结合解析式可以得解．
【规范解答】解：由题意，根据二次函数的图象与性质，由二次函数y＝﹣2x2+9的a＝﹣2＜0，开口向下，
∴二次函数y＝﹣2x2+9有最大值为9．
故答案为：9．
【真题点拨】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时需要熟练掌握并理解是关键．
17．（2023•绍兴）在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数y＝（x﹣2）2（0≤x≤3）的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，则b＝ 或﹣ ．
【思路点拨】根据题意求得点A（3，0），B（3，4），C（0，4），然后分两种情况，利用待定系数法求出解析式即可．
【规范解答】解：由y＝（x﹣2）2（0≤x≤3），当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），
∵A（3，0），四边形ABCO是矩形，
∴B（3，4），
①当抛物线经过O、B时，将点O（0，0），B（3，4）代入y＝x2+bx+c（0≤x≤3）得
，
解得b＝；
②当抛物线经过A、C时，将点A（3，0），C（0，4）代入y＝x2+bx+c（0≤x≤3）得
，
解得b＝﹣，
综上所述，b＝或b＝﹣，
故答案为：或﹣，
【真题点拨】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，能够理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键．
►考向七 待定系数法求二次函数解析式
18．（2023•上海）一个二次函数y＝ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 y＝﹣x2+1（答案不唯一） ．
【思路点拨】根据二次函数的图象与系数的关系求解（答案不唯一）．
【规范解答】解：由题意得：b＝0，a＜0，c＞0，
∴这个二次函数的解析式可以是：y＝﹣x2+1，
故答案为：y＝﹣x2+1（答案不唯一）．
【真题点拨】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．
19．（2023•宁波）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
（2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围．
【思路点拨】（1）用待定系数法求出函数表达式，配成顶点式即可得顶点坐标；
（2）求出A关于对称轴的对称点坐标，由图象直接可得答案．
【规范解答】解：（1）把A（1，﹣2）和B（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣5，
∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣6）；
（2）如图：
∵点A（1，﹣2）关于对称轴直线x＝﹣1的对称点C（﹣3，﹣2），
∴当y≤﹣2时，x的范围是﹣3≤x≤1．
【真题点拨】本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是掌握待定系数法，求出函数表达式．
20．（2022•黑龙江）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）设抛物线上的点P坐标为（m，m2﹣2m﹣3），结合方程思想和三角形面积公式列方程求解．
【规范解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），
∴，
解得b＝﹣2，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）存在，理由如下：
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D点坐标为（1，﹣4），
令x＝0，则y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴C点坐标为（0，﹣3），
又∵B点坐标为（2，﹣3），
∴BC∥x轴，
∴S△BCD＝×2×1＝1，
设抛物线上的点P坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
∴S△PBC＝×2×|m2﹣2m﹣3﹣（﹣3）|＝|m2﹣2m|，
当|m2﹣2m|＝4×1时，
解得m＝1±，
当m＝1+时，m2﹣2m﹣3＝1，
当m＝1﹣时，m2﹣2m﹣3＝1，
综上，P点坐标为（1+，1）或（1﹣，1）．
【真题点拨】本题考查二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式的方法，理解二次函数图象上点的坐标特征，利用方程思想解题是关键．
►考向八 抛物线与x轴的交点
21．（2023•衡阳）已知m＞n＞0，若关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为x3，x4（x3＜x4）．则下列结论正确的是（ ）
A．x3＜x1＜x2＜x4B．x1＜x3＜x4＜x2
C．x1＜x2＜x3＜x4D．x3＜x4＜x1＜x2
【思路点拨】画出抛物线y＝x2+2x﹣3，直线y＝m，直线y＝n，根据一元二次方程与二次函数的关系，观察图象可得答案．
【规范解答】解：关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝m的交点的横坐标，
关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝n的交点的横坐标，
如图：
由图可知，x1＜x3＜x4＜x2，
故选：B．
【真题点拨】本题考查一元二次方程与二次函数的关系，解题的关键是画出图象，数形结合解决问题．
22．（2023•娄底）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（1，0）、点B（3，0），与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当CD∥x轴时，CD＝ 4 ．
【思路点拨】先根据点A和点B的坐标求出该抛物线的对称轴，再根据二次函数具有对称性，即可得到点D的横坐标，从而可以求得CD的长．
【规范解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（1，0）、点B（3，0），
∴该抛物线的对称轴为直线x＝＝2，
∵抛物线与y轴相交于点C，点D在抛物线上，CD∥x轴，
∴点D的横坐标为：2×2﹣0＝4，
∴CD＝4﹣0＝4，
故答案为：4
【真题点拨】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．（2023•牡丹江）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标；
（2）求△BCP的面积．
注：注抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣，顶点坐标是（，）．
【思路点拨】（1）直接运用待定系数法即可求解．
（2）连接OP，用割补求解即可．
【规范解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4，
∴P（，﹣）；
（2）连接OP，
∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4），P（，﹣）；
∴S△OPC＝＝3，
S△BOP＝＝，
S△BOC＝＝8，
∴S△BPC＝S△OPC+S△BOP﹣S△BOC＝3+﹣8＝．
【真题点拨】本题考查二次函数的图象性质和三角形的面积，学会灵活求三角形的面积是解题关键．
►考向九 二次函数的应用
24．（2023•天津）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【思路点拨】设AD边长为x m，则AB边长为长为m，根据AB＝6列出方程，解方程求出x的值，根据x取值范围判断①；根据矩形的面积＝192．解方程求出x的值可以判断②；设矩形菜园的面积为y m2，
根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值可以判断③．
【规范解答】解：设AD边长为x m，则AB边长为m，
当AB＝6时，＝6，
解得x＝28，
∵AD的长不能超过26m，
∴x≤26，
故①不正确；
∵菜园ABCD面积为192m2，
∴x•＝192，
整理得：x2﹣40x+384＝0，
解得x＝24或x＝16，
∴AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2，
故②正确；
设矩形菜园的面积为y m2，
根据题意得：y＝x•＝﹣（x2﹣40x）＝﹣（x﹣20）2+200，
∵﹣＜0，20＜26，
∴当x＝20时，y有最大值，最大值为200．
故③正确．
∴正确的有2个，
故选：C．
【真题点拨】此题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题意，找到等量关系准确地列出函数解析式和方程是解题的关键．
25．（2023•滨州）某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心的水平距离也为3m，那么水管的设计高度应为 m ．
【思路点拨】利用顶点式求得抛物线的解析式，再令x＝0，求得相应的函数值，即为所求的答案．
【规范解答】解：由题意可知点（1，3）是抛物线的顶点，
∴设这段抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3．
∵该抛物线过点（3，0），
∴0＝a（3﹣1）2+3，
解得：a＝﹣．
∴y＝﹣（x﹣1）2+3．
∵当x＝0时，y＝﹣×（0﹣1）2+3＝﹣+3＝，
∴水管的设计高度应为m．
故答案为：m．
【真题点拨】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法及
二次函数的相关性质是解题的关键．
26．（2023•菏泽）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药．学校已定购篱笆120米．
（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
（2）在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？
【思路点拨】（1）设垂直于墙的边为x米，根据矩形面积公式得：S＝x（120﹣3x）＝﹣3x2+120x＝﹣3（x﹣20）2+1200，由二次函数性质可得答案；
（2）设购买牡丹m株，根据学校计划购买费用不超过5万元，列不等式可解得答案．
【规范解答】解：（1）设垂直于墙的边为x米，围成的矩形面积为S平方米，则平行于墙的边为（120﹣3x）米，
根据题意得：S＝x（120﹣3x）＝﹣3x2+120x＝﹣3（x﹣20）2+1200，
∵﹣3＜0，
∴当x＝20时，S取最大值1200，
∴120﹣3x＝120﹣3×20＝60，
∴垂直于墙的边为20米，平行于墙的边为60米，花园面积最大为1200平方米；
（2）设购买牡丹m株，则购买芍药1200×2﹣m＝（2400﹣m）株，
∵学校计划购买费用不超过5万元，
∴25m+15（2400﹣m）≤50000，
解得m≤1400，
∴最多可以购买1400株牡丹．
【真题点拨】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
►考向十 二次函数综合题
26．（2023•绵阳）如图，抛物线经过△AOD的三个顶点，其中O为原点，A（2，4），D（6，0），点F在线段AD上运动，点G在直线AD上方的抛物线上，GF∥A0，GE⊥DO于点E，交AD于点I，AH平分∠OAD，C（﹣2，﹣4），AH⊥CH于点H，连接FH．
（1）求抛物线的解析式及△AOD的面积；
（2）当点F运动至抛物线的对称轴上时，求△AFH的面积；
（3）试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；不为定值，请说明理由．
【思路点拨】（1）运用待定系数法可得y＝﹣x2+3x．设点O到AD的距离为d，点A的纵坐标为yA，根据三角形面积公式即可求得S△AOD＝12；
（2）当点F运动至对称轴上时，点F的横坐标为3，可得AF＝AD．连接OC、OH，由点A与点C关于原点O对称，可得点A、O、C三点共线，且O为AC的中点．推出HO∥AD，可得点H到AD的距离为d．再根据三角形面积公式即可求得答案；
（3）过点A作AL⊥OD于点L，过点F作FK⊥GE于点K．运用勾股定理可得OA＝＝2．再证得△FIK为等腰直角三角形．设FK＝m，则KI＝m，再运用解直角三角形可求得GK＝2m，FG＝m，即可求得答案．
【规范解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx（a≠0）．
将A（2，4），D（6，0）代入，得，
解得：，
∴y＝﹣x2+3x．
设点O到AD的距离为d，点A的纵坐标为yA，
∴S△AOD＝AD•d＝OD•yA＝×6×4＝12．
（2）∵y＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣3）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3．
当点F运动至对称轴上时，点F的横坐标为3，
则＝＝，
即AF＝AD．
如图，连接OC、OH，
由点C（﹣2，4），得点A与点C关于原点O对称，
∴点A、O、C三点共线，且O为AC的中点．
∵AH⊥CH，
∴OH＝AC＝OA，
∴∠OAH＝∠AHO．
∵AH平分∠CAD，
∴∠OAH＝∠DAH，
∴∠AHO＝∠DAH，
∴HO∥AD，
∴HO与AD间的距离为d，
∴点H到AD的距离为d．
∵S△AFH＝×AF×d，S△AOD＝×AD×d＝12，
∴S△AFH＝×AF×d＝×AD×d＝×（×AD×d）＝×12＝3．
∴当点F运动至抛物线的对称轴上时，△AFH的面积为3；
（3）如图，过点A作AL⊥OD于点L，过点F作FK⊥GE于点K．
由题意得AL＝4，OL＝2，
∴OA＝＝＝2．
∴DL＝OD﹣OL＝6﹣2＝4，
在Rt△ADL中，AL＝DL，
∴∠ADL＝45°，
∵GE⊥DO，
∴∠FIK＝45°，即△FIK为等腰直角三角形．
设FK＝m，则KI＝m，
在Rt△AOL和Rt△GFK中，
∵GF∥AO，
∴∠AOL＝∠GFK，
∴tan∠AOL＝tan∠GFK，
∴＝，
即＝，
∴GK＝2m，
∴GI＝GK+KI＝2m+m＝3m．
又∵sin∠AOL＝sin∠GFK，
∴＝，
即＝，
∴FG＝m，
∴＝＝．
∴的值是定值，定值为．
【真题点拨】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，图形的面积计算，相似三角形判定和性质，解直角三角形等，添加辅助线构造直角三角形是解题关键．
27．（2023•武汉）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）如图（1），作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，F三点，连接CF，若△BDE与△CEF相似，求t的值；
（3）如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y＝2x与抛物线交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．
【思路点拨】（1）分别令x、y为0，解方程即可求得点A、B、C的坐标；
（2）分两种情况：①若△BE1D1∽△CE1F1 时，可得∠BCF1＝∠CBO，由平行线的判定可得CF1∥OB，即CF1∥x轴，点F与C的纵坐标相同，建立方程求解即可．②若△BE2D2∽△F2E2C 时，过 F2 作F2T⊥y轴于点T．可证得△BCO∽△CF2T，，即＝，解方程即可求得答案；
（3）由题意知抛物线C2：y＝x2，联立方程求解即可得G（2，4）．根据中点坐标公式可得H（1，2）．设 M（m，m2），N（n，n2），可得直线MN的解析式为y＝（m+n）x﹣mn．将点H的坐标代入可得mn＝m+n﹣2．同理，直线GN的解析式为y＝（n+2）x﹣2n；直线MO的解析式为y＝mx．联立方程组求解可得P（，）．代入y＝kx+b，整理得2m+2n﹣4＝2kn+bn﹣bm+2b＝﹣bm+（2k+b）n+2b，比较系数可得k＝2，b＝﹣2，故点P在定直线y＝2x﹣2上．
【规范解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣2x﹣8＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
当x＝0时，y＝﹣8，
∴A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣8）．
（2）∵F是直线x＝t与抛物线 C1的交点，
∴F（t，t2﹣2t﹣8）．
①如图，若△BE1D1∽△CE1F1时．
则∠BCF1＝∠CBO，
∴CF1∥OB．
∵C（0，﹣8），
∴t2﹣2t﹣8＝﹣8．
解得：t＝0（舍去）或t＝2．
②如图，若△BE2D2∽△F2E2C时．
过 F2 作F2T⊥y轴于点T．
∵∠BCF2＝∠BD2E2＝90°，
∴∠CBO+∠BCO＝90°，∠F2CT+∠BCO＝90°，
∴∠F2CT＝∠OBC，
又∵∠CTF2＝∠BOC，
∴△BCO∽△CF2T，
∴，
∵B（4，0），C（0，﹣8），
∴OB＝4，OC＝8．
∵F2T＝t，CT＝﹣8﹣（t2﹣2t﹣8）＝2t﹣t2，
∴＝，
∴2t2﹣3t＝0，
解得：t＝0（舍去）或 ，
综上，符合题意的t的值为2或；
（3）点P在一条定直线上．
由题意知抛物线C2：y＝x2，
∵直线OG的解析式为y＝2x，
∴G（2，4）．
∵H是OG的中点，
∴H（1，2）．
设 M（m，m2），N（n，n2），直线MN的解析式为y＝k1x+b1．
则，
解得：，
∴直线MN的解析式为y＝（m+n）x﹣mn．
∵直线MN经过点H（1，2），
∴mn＝m+n﹣2．
同理，直线GN的解析式为y＝（n+2）x﹣2n；直线MO的解析式为y＝mx．
联立，得，
∵直线OM与NG相交于点P，
∴n﹣m+2≠0．
解得：，
∵mn＝m+n﹣2，
∴P（，）．
设点P在直线y＝kx+b上，则，
整理得，2m+2n﹣4＝2kn+bn﹣bm+2b＝﹣bm+（2k+b）n+2b，
比较系数，得，
∴k＝2，b＝﹣2．
∴当k＝2，b＝﹣2时，无论m，n为何值时，等式恒成立．
∴点P在定直线y＝2x﹣2上．
【真题点拨】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线与坐标轴的交点，相似三角形的判定和性质，一次函数图象上点的坐标特征等．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，运用分类讨论思想思考解决问题．
1．（2023•牡丹江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），（3，0）．下列结论：
①＞0；②c＝2b；③若抛物线上有点（，y1），（﹣3，y2），（﹣，y3），则y2＜y1＜y3；④方程cx2+bx+a＝0的解为x1＝，x2＝﹣．其中正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【思路点拨】由二次函数的图象可判断出个系数的符号，即可判断①，由对称轴可判断②，然后根据增减性可判断③，由根与系数的关系可判断④．
【规范解答】解：∵抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，
∵a＜0，b＞0，c＞0，
∴①错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），（3，0）．
∴对称轴为直线x＝，即﹣＝，
∴b＝﹣a，
∴a＝﹣b，
把（﹣2，0）代入解析式得4a﹣2b+c＝0，把a＝﹣b，
∴﹣4b﹣2b+c＝0，
∴c＝6b，故②错误；
∵抛物线开口向下，
∴越靠近对称轴的点的函数值越大，
∴y2＜y1＜y3，故③正确；
a＝﹣b，c＝6b，选项④可变成6bx2+bx﹣b＝0，即6x2+x﹣1＝0；即可求出两根，x2＝，
故④错误．
故选：D．
【真题点拨】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
2．（2021•阜新）如图，二次函数y＝a（x+2）2+k的图象与x轴交于A，B（﹣1，0）两点，则下列说法正确的是（ ）
A．a＜0
B．点A的坐标为（﹣4，0）
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．图象的对称轴为直线x＝﹣2
【思路点拨】因为图象开口方向向上，所以a＞0，故A错误，因为图象对称轴为直线x＝﹣2，且过B（﹣1，0），所以A点坐标为（﹣3，0），故B错误，D正确，当x＜0时，由图象可知y随x的增大先减小后增大，故C错误，即选D．
【规范解答】解：∵二次函数y＝a（x+2）2+k的图象开口方向向上，
∴a＞0，
故A错误，
∵图象对称轴为直线x＝﹣2，且过B（﹣1，0），
∴A点的坐标为（﹣3，0），
故B错误，D正确，
由图象知，当x＜0时，由图象可知y随x的增大先减小后增大，
故C错误，
故选：D．
【真题点拨】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图形性质是解题的关键．
3．（2023•湖北）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中：①a﹣b+c＝0；②若点（﹣3，y1），（2，y2），（4，y3）均在该二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；③若m为任意实数，则am2+bm+c⩽﹣4a；④方程ax2+bx+c+1＝0的两实数根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1，x2＞3．正确结论的序号为（ ）
A．①②③B．①③④C．②③④D．①④
【思路点拨】由抛物线经过（﹣1，0）可判断①，由各点到抛物线对称轴的距离大小可判断从而判断②，由x＝1时y取最大值可判断③，由抛物线的对称性可得抛物线与x轴交点坐标，从而判断④．
【规范解答】解：∵抛物线经过（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，①正确，
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
点（﹣3，y1），（2，y2），（4，y3）均在该二次函数图象上，且点（﹣3，y1）到对称轴的距离最大，点（2，y2）到对称轴的距离最小，
∴y1＜y3＜y2，②错误；
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∵a﹣b+c＝0，
∴c＝b﹣a＝﹣3a，
∵抛物线的最大值为a+b+c，
∴若m为任意实数，则am2+bm+c⩽a+b+c，
∴am2+bm+c⩽﹣4a，③正确；
∵方程ax2+bx+c+1＝0的两实数根为x1，x2，
∴抛物线与直线y＝﹣1的交点的横坐标为x1，x2，
由抛物线对称性可得抛物线与x轴另一交点坐标为（3，0），
∴抛物线与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∵抛物线开口向下，x1＜x2，
∴x1＜﹣1，x2＞3，④正确．
故选：B．
【真题点拨】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
4．（2023•武汉）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，c＜0）经过（1，1），（m，0），（n，0）三点，且n≥3．下列四个结论：
①b＜0；
②4ac﹣b2＜4a；
③当n＝3时，若点（2，t）在该抛物线上，则t＞1；
④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，则．
其中正确的是 ②③④ （填写序号）．
【思路点拨】①根据图象经过（1，1），c＜0，且抛物线与x轴的一个交点一定在（3，0）或（3，0）的右侧，判断出抛物线的开口向下，即a＜0，再把（1，1）代入 y＝ax2+bx+c 得a+b+c＝1，即可判断①错误；
②先得出抛物线的对称轴在直线x＝1.5的右侧，得出抛物线的顶点在点（1，1）的右侧，得出，根据4a＜0，利用不等式的性质即可得出4ac﹣b2＜4a，即可判断②正确；
③先得出抛物线对称轴在直线 x＝1.5 的右侧，得出（1，1）到对称轴的距离大于（2，t）到对称轴的距离，根据a＜0，抛物线开口向下，距离抛物线的对称轴越近的函数值越大，即可得出③正确；
④根据方程有两个相等的实数解，得出Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0，把（1，1）代入y＝ax2+bx+c 得a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c，求出a＝c，根据根与系数的关系得出 ，即 ，根据 n≥3，得出 求出m的取值范围，即可判断④正确．
【规范解答】解：①图象经过（1，1），c＜0，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的交点 都在（1，0）的左侧，
∵（n，0）中n≥3，
∴抛物线与x轴的一个交点一定在（3，0）或（3，0）的右侧，
∴抛物线的开口一定向下，即a＜0，
把（1，1）代入y＝ax2+bx+c 得：a+b+c＝1，
即b＝1﹣a﹣c，
∵a＜0，c＜0，
∴b＞0，
故①错误；
②∵a＜0，b＞0，c＜0，，
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根的积大于0，
即mn＞0，
∵n≥3，
∴m＞0，
∴，
即抛物线的对称轴在直线x＝1.5的右侧，
∴抛物线的顶点在点（1，1）的上方或者右上方，
∴，
∵4a＜0，
∴4ac﹣b2＜4a，
故②正确；
③∵m＞0，
∴当 n＝3 时，，
∴抛物线对称轴在直线x＝1.5的右侧，
∴（1，1）到对称轴的距离大于（2，t）到对称轴的距离，
∵a＜0，抛物线开口向下，
∴距离抛物线越近的函数值越大，
∴t＞1，
故③正确；
④方程ax2+bx+c＝x可变为ax2+（b﹣1）x+c＝0，
∵方程有两个相等的实数解，
∴Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0．
∵把（1，1）代入 y＝ax2+bx+c 得a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c，
∴（a+c）2﹣4ac＝0，
即a2+2ac+c2﹣4ac＝0，
∴（a﹣c）2＝0，
∴a﹣c＝0，
即a＝c，
∵（m，0），（n，0）在抛物线上，
∴m，n为方程 ax2+bx+c＝0 的两个根，
∴，
∴，
∵n≥3，
∴，
∴．
故④正确．
综上，正确的结论有：②③④．
故答案为：②③④．
【真题点拨】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，数形结合法，抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的联系，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数的性质和二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键．
5．（2023•宜昌）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），则铅球推出的距离OA＝ 10 m．
【思路点拨】令y＝0，得到关于x的方程，解方程即可得出结论．
【规范解答】解：令y＝0，则﹣（x﹣10）（x+4）＝0，
解得：x＝10或x＝﹣4（不合题意，舍去），
∴A（10，0），
∴OA＝10m．
故答案为：10．
【真题点拨】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质和利用点的坐标表示出相应线段的线段是解题的关键．
6．（2022•六盘水）如图是二次函数y＝x2+bx+c的图象，该函数的最小值是 ﹣4 ．
【思路点拨】根据二次函数图象得出其对称轴和与x轴交点，进而得出二次函数解析式，即可求出最小值．
【规范解答】解：由函数图象可得：﹣＝﹣＝﹣1，
解得：b＝2，
∵图象经过（﹣3，0）点，
∴0＝（﹣3）2﹣3×2+c，
解得：c＝﹣3，
故二次函数解析式为：y＝x2+2x﹣3，
则二次函数的最小值为：＝＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【真题点拨】此题主要考查了二次函数的最值以及二次函数的图象，正确求出二次函数解析式是解题关键．
7．（2023•淮安）已知二次函数y＝x2+bx﹣3（b为常数）．
（1）该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为（3，0），
①b的值是 ﹣2 ，点B的坐标是 （﹣1，0） ；
②当0＜y＜5时，借助图象，求自变量x的取值范围；
（2）对于一切实数x，若函数值y＞t总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）；
（3）当m＜y＜n时（其中m、n为实数，m＜n），自变量x的取值范围是1＜x＜2，求n与b的值及m的取值范围．
【思路点拨】（1）①依据题意，由二次函数y＝x2+bx﹣3过点A（3，0）代入可得b，进而得
二次函数解析式，从而可以求出B；
②依据题意，由①令y＝0，y＝5分别求出对应自变量进而可以得解；
（2）依据题意，由不等式变形得x2+bx﹣3﹣t＞0，对于一切实数成立，即对函数y＝x2+bx﹣3﹣t与x轴无交点，可得Δ＜0，进而可以得解；
（3）依据题意可得抛物线上横坐标为x＝1与x＝2的两点关于对称轴对称，从而求出b，进而得二次函数解析式，再由自变量x的取值范围是1＜x＜2，可得n的值，最后可以求出m的范围．
【规范解答】解：（1）①由二次函数y＝x2+bx﹣3过点A（3，0），
∴9+3b﹣3＝0．
∴b＝﹣2．
∴二次函数为：y＝x2﹣2x﹣3．
令y＝0，
∴x2﹣2x﹣3＝0．
∴解得，x＝﹣1或x＝3．
∴B（﹣1，0）．
故答案为：﹣2；（﹣1，0）．
②由题意，令y＝x2﹣2x﹣3＝5，
∴x＝4或x＝﹣2．
又∵a＝1＞0，
∴二次函数图象开口向上．
∴当0＜y＜5时，满足题意的自变量有两部分，
∴﹣2＜x＜﹣1或3＜x＜4．
（2）由题意，∵对于一切实数x，若函数值y＞t总成立，
即x2+bx﹣3＞t恒成立．
即x2+bx﹣3﹣t＞0．
∵y＝x2+bx﹣3﹣t开口向上，
∴Δ＝b2﹣4（﹣3﹣t）＜0．
∴t＜﹣．
（3）由题意，抛物线上横坐标为x＝1与x＝2的两点关于对称轴对称，
∴对称轴x＝﹣＝．
∴b＝﹣3．
∴二次函数为y＝x2﹣3x﹣3＝（x﹣）2﹣．
∴当x＝1或x＝2时，y＝﹣5，即此时n＝﹣5．
由题意，∵m＜y＜﹣5时，自变量x的取值范围是1＜x＜2，
∴m≤﹣．
【真题点拨】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．
8．（2023•济南）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，C（2，3），D（﹣1，3）．抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于点E（﹣2，0）和点F．
（1）如图1，若抛物线过点C，求抛物线的表达式和点F的坐标；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接CF，作直线CE，平移线段CF，使点C的对应点P落在直线CE上，点F的对应点Q落在抛物线上，求点Q的坐标；
（3）若抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与正方形ABCD恰有两个交点，求a的取值范围．
【思路点拨】（1）抛物线 y＝ax2﹣2ax+c 过点C（2，3），E（﹣2，0），代入即可求得解析式，令y＝0即可求得F点的坐标；
（2）设直线CE的表达式为 y＝kx+b，直线过点C（2，3），E（﹣2，0），代入即可求得解析式，则点Q向左平移2个单位，向上平移3个单位得点 ，代入即可；
（3）求出顶点坐标，再分情况解答即可．
【规范解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2﹣2ax+c 过点C（2，3），E（﹣2，0），
得 ，
解得，
∴抛物线表达式为 ，
当 y＝0 时，，
解得 x1＝﹣2 （舍去），x2＝4，
∴F（4，0）；
（2）设直线CE的表达式为 y＝kx+b，
∵直线过点C（2，3），E（﹣2，0），
得 ，
解得 ，
∴直线CE的表达式为 ，
设点 ，则点Q向左平移2个单位，向上平移3个单位得到点 ，
将 代入 ，
解得 t1＝﹣4，t2＝4 （舍去），
∴Q点坐标为（﹣4，﹣6）；
（3）将 E（﹣2，0）代入 y＝ax2﹣2ax+c 得c＝﹣8a，
∴y＝ax2﹣2ax﹣8a＝a（x﹣1）2﹣9a，
∴顶点坐标为 （1，﹣9a），
①当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，
∴0＜﹣9a＜3，
解得 ，
②当抛物线与直线BC交点在点C上方，且与直线AD交点在点D下方时，与正方形有两个交点，
，
解得
综上所述，a的取值范围为 或 ．
【真题点拨】本题考查一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质，坐标与图形的性质，求得点的坐标解题的关键．
9．（2022•绍兴）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．
（1）求b，c的值．
（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．
（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
【思路点拨】（1）将图象经过的两个点的坐标代入二次函数解析式解答即可；
（2）根据x的取值范围，二次函数图象的开口方向和对称轴，结合二次函数的性质判定y的最大值即可；
（3）根据对称轴为x＝﹣3，结合二次函数图象的性质，分类讨论得出m的取值范围即可．
【规范解答】解：（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得b＝﹣6，c＝﹣3．
（2）∵y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6，
又∵﹣4≤x≤0，
∴当x＝﹣3时，y有最大值为6．
（3）①当﹣3＜m≤0时，
当x＝0时，y有最小值为﹣3，
当x＝m时，y有最大值为﹣m2﹣6m﹣3，
∴﹣m2﹣6m﹣3+（﹣3）＝2，
∴m＝﹣2或m＝﹣4（舍去）．
②当m≤﹣3时，
当x＝﹣3时y有最大值为6，
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴y最小值为﹣4，
∴﹣（m+3）2+6＝﹣4，
∴m＝或m＝（舍去）．
综上所述，m＝﹣2或．
【真题点拨】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质等知识，正确分类讨论得出m的取值范围是解题关键．
10．（2023•金昌）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx与x轴交于点A，与直线y＝﹣x交于点B（4，﹣4），点C（0，﹣4）在y轴上．点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx的表达式；
（2）当BP＝2时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接PC，OD，判断四边形OCPD的形状，并说明理由；
（3）如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接BQ，PC，求CP+BQ的最小值．
【思路点拨】（1）利用待定系数法将B点坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx中，即可求解．
（2）作辅助线，根据题意，求出PD的长，PD＝OC，PD∥OC，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证．
（3）作出图，证明△CBP≌△MOQ（SAS），CP+BQ的最小值为MB，根据勾股定理求出MB即可解答．
【规范解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx过点B（4，﹣4），
∴﹣16+4b＝﹣4，
∴b＝3，
∴y＝﹣x2+3x．
答：抛物线的表达式为y＝﹣x2+3x．
（2）四边形OCPD是平行四边形，理由如下：
如图1，作PD⊥OA交x轴于点H，连接PC、OD，
∵点P在y＝﹣x上，
∴OH＝PH，∠POH＝45°，
连接BC，
∵OC＝BC＝4，
∴．
∴，
∴，
∴，
当xD＝2时，DH＝yD＝﹣4+3×2＝2，
∴PD＝DH+PH＝2+2＝4，
∵C（0，﹣4），
∴OC＝4，
∴PD＝OC，
∵OC⊥x轴，PD⊥x轴，
∴PD∥OC，
∴四边形OCPD是平行四边形．
（3）如图2，由题意得，BP＝OQ，连接BC，
在OA上方作△OMQ，使得∠MOQ＝45°，OM＝BC，
∵OC＝BC＝4，BC⊥OC，
∴∠CBP＝45°，
∴∠CBP＝∠MOQ，
∵BP＝OQ，∠CBP＝∠MOQ，BC＝OM，
∴△CBP≌△MOQ（SAS），
∴CP＝MQ，
∴CP+BQ＝MQ+BQ≥MB（当M，Q，B三点共线时最短），
∴CP+BQ的最小值为MB，
∵∠MOB＝∠MOQ+∠BOQ＝45°+45°＝90°，
∴，
即CP+BQ的最小值为4．
答：CP+BQ的最小值为4．
【真题点拨】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
11．（2023•青海）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；
（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．
【思路点拨】（1）将B，C两点坐标代入抛物线的解析式，进一步得出结果；
（2）连接OP，将二次函数的解析式配方求得顶点的坐标，令y＝0求得A的坐标，从而求得OQ，PQ，OA的长，再根据S四边形AOBP＝S△AOP+S△BOP求得结果；
（3）设M（﹣1，m），表示出AM和BM，根据AM2＝BM2列出方程求得m的值，进而求得结果．
【规范解答】解：（1）由题意得，
，
∴，
∴y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图，
连接OP，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴P（﹣1，4），
∴PQ＝4，OQ＝1，
由﹣x2﹣2x+3＝0得，
x1＝1，x2＝﹣3，
∴OA＝3，
∴S四边形AOBP＝S△AOP+S△BOP＝＝＝；
（3）设M（﹣1，m），
由AM2＝BM2得，
[（﹣3）﹣（﹣1）]2+m2＝（﹣1）2+（m﹣3）2，
∴m＝1，
∴M（﹣1，1）．
【真题点拨】本题考查了二次函数及其图象的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识知识目标（新课程标准提炼）
中考命题趋势（分析考察方向，精准把握重难点）
重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）
►考向一 二次函数的图像
►考向二 二次函数的性质
►考向三 二次函数图象与系数的关系
►考向四 二次函数图象上点的坐标特征
►考向五 二次函数图象与几何变换
►考向六 二次函数的最值
►考向七 待定系数法求二次函数解析式
►考向八 抛物线与x轴的交点
►考向九 二次函数的应用
►考向十 二次函数综合题
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二次函数
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
二次函数解析式的三种形式
1.一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．
2.顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）
3.交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0
解析式
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴
x=– SKIPIF 1 < 0
顶点
（– SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
a的符号
a>0
a<0
图象
开口方向
开口向上
开口向下
最值
当x=– SKIPIF 1 < 0 时，
y最小值= SKIPIF 1 < 0
当x=– SKIPIF 1 < 0 时，
y最大值= SKIPIF 1 < 0
最点
抛物线有最低点
抛物线有最高点
增减性
当x<– SKIPIF 1 < 0 时，y随x的增大而减小；当x>– SKIPIF 1 < 0 时，y随x的增大而增大
当x<– SKIPIF 1 < 0 时，y随x的增大而增大；当x>– SKIPIF 1 < 0 时，y随x的增大而减小
二次函数图像的平移
1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h） 2+k，顶点坐标为（h，k）．
2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：
【注意】二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．
二次函数与一元二次方程
1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．
2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．
3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．
二次函数的实际应用
在生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，解决这类问题的一般思路：首先要读懂题意，弄清题目中牵连的几个量的关系，并且建立适当的直角坐标系，再根据题目中的已知条件建立数学模型，即列出函数关系式，然后运用数形结合的思想，根据函数性质去解决实际问题．考察背景主要有：经济问题；物体运动轨迹问题；拱桥问题等
二次函数与几何图形
此类问题一般是通过分析动点在几何图形边上的运动情况，确定出有关动点函数图象的变化情况．分析此类问题，首先要明确动点在哪条边上运动，在运动过程中引起了哪个量的变化，然后求出在运动过程中对应的函数表达式，最后根据函数表达式判别图象的变化．
运动产生的线段问题
1.确定线段长关系式（根据已知线段关系求点坐标）：先在图中找出对应线段，弄清已知点和未知点；再联系二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其只含一个未知数；继而表示出线段的长度（如果该线段与坐标轴平行的话，则利用横纵坐标相加减确定；如果与坐标轴不平行的话，先转化为有边在与坐标轴平行的三角形中，再利用勾股定理、锐角三角函数或相似确定）.
2.线段数量关系问题：根据前面所得的线段长的关系式，结合题干列出满足线段数量关系的方程，解方程求解即可（注意排除不符合题意的数值）
3.线段最值问题：求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，首先联想到“对称性质”，并进行解决。
运动产生的面积问题
探究面积问题的备考方法如下：
1.设动点或图形运动的时间并表示出点的坐标；
2.用含有未知数的代数式表示出图形的面积；
3.用二次函数的知识来求最大值或最小值时，常采用配方法求解；
4.特别注意，当所研究的图形在运动过程中发生变化，要根据图形的形状进行分类讨论，注意分析整个过程中图形的变化情况，以防漏解.分类讨论时要注意在每一种情况下的自变量的取值范围.求面积最值时，分别求出图形的面积在每种情况下的最值，比较即可得到面积的最值.
5.面积为定值时，可将图形面积与图形中动点的坐标结合起来，列方程求得参数的值即可求得点坐标.
运动产生的等腰三角形、菱形问题
法一：分别表示出三点坐标，再表示出三边的长度，分类讨论，列方程解出坐标.
法二：作等腰三角形底边的高，用勾股定理或相似建立等量关系
运动产生的直角三角形、矩形问题
法一：分别表示出三点坐标，再表示出三边的长度，分类讨论，列方程解出坐标.
法二：作垂线，用勾股定理或相似建立等量关系.
运动产生的平行四边形问题
法一：分别表示出四点坐标，再利用中点公式，分类讨论，列方程解出坐标.
法二：作垂线，用勾股定理或相似建立等量关系.
二次函数其它综合问题
解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．
解题技巧/易错易混
1．二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零．
2．一般式，顶点式，交点式是二次函数常见的表达式，它们之间可以互相转化．
3.二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
4.二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
解题技巧/易错易混
二次函数图象的特征与a，b，c的关系
字母的符号
图象的特征
a
a>0
开口向上
a<0
开口向下
b
b=0
对称轴为y轴
ab>0（a与b同号）
对称轴在y轴左侧
ab<0（a与b异号）
对称轴在y轴右侧
c
c=0
经过原点
c>0
与y轴正半轴相交
c<0
与y轴负半轴相交
解题技巧/易错易混
二次函数的实际应用
在生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，解决这类问题的一般思路：首先要读懂题意，弄清题目中牵连的几个量的关系，并且建立适当的直角坐标系，再根据题目中的已知条件建立数学模型，即列出函数关系式，然后运用数形结合的思想，根据函数性质去解决实际问题．考察背景主要有：经济问题；物体运动轨迹问题；拱桥问题等
二次函数与几何图形
此类问题一般是通过分析动点在几何图形边上的运动情况，确定出有关动点函数图象的变化情况．分析此类问题，首先要明确动点在哪条边上运动，在运动过程中引起了哪个量的变化，然后求出在运动过程中对应的函数表达式，最后根据函数表达式判别图象的变化．
解题技巧/易错易混
一、解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．
二、函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．
2.解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；
3.解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．