广东省广州市白云中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（含答案）

这是一份广东省广州市白云中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（含答案），共28页。试卷主要包含了不得使用计算器等内容，欢迎下载使用。

本检测分为试题卷和答题卡两部分，试题卷全卷三大题共25小题，满分120分，考试时间为120分钟．
注意事项：
1．必须在答题卡上答题，在试题卷上答题无效；
2．选择题请用2B铅笔在答题卡上涂填作答；
3．非选择题，答题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在其上作答，涉及作图（画图）的题目，用2B铅笔画图；
4．不得使用计算器．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选释项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 下列方程中，是一元二次方程是（ ）
A B.
C. D.
2. 将方程配方后，原方程变形为（ ）
A B. C. D.
3. 已知函数：①；②；③；④；⑤，其中二次函数的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
4. 抛物线的对称轴是（ ）
A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线
5. 已知抛物线y＝（x﹣3）2﹣1与y轴交于点C，则点C的坐标为（ ）
A. （3，6）B. （0，8）
C. （0，﹣1）D. （4，0）或（2，0）
6. 某班同学毕业时，都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1892张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A. x（x+1）=1892B. x（x−1）=1892×2
C. x（x−1）=1892D. 2x（x+1）=1892
7. 已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A. m＜2B. m≤2C. m＜2且m≠1D. m≤2且m≠1
8. 对于二次函数，下列结论正确的是（ ）
A. 图象的开口向上B. 当时，随的增大而减小
C. 函数有最小值1D. 图象的顶点坐标是
9. 若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1=0的一个根，则2021﹣6a2＋2a的值是（ ）
A. 2023B. 2022C. 2020D. 2019
10. 在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若，则称点为点“可控变点”．例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点．若点在函数的图象上，则其“可控变点”的纵坐标关于的函数图象大致正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 函数中自变量的取值范围是___________．
12. 若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是___________．
13. 已知点P在抛物线y＝（x﹣2）2上，设点P的坐标为（x，y），当0≤x≤3时，y的取值范围是________．
14. 如图，有一面积为的长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，另四边用竹篱笆围成，竹篱笆总长为，设为，则可列方程为___________．

15. 某菱形的两条对角线长分别是方程两个根，则这个菱形的面积为___________．
16. 如图，已知抛物线的顶点坐标是，图像与轴交于点和点，且点在点的左侧，那么线段的长是________．（请用含字母的代数式表示）

三、解答题（本大题共2分，解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤．）
17. 解方程：
（1）
（2）．
（3）
（4）
18. 已知关于的一元二次方程，若方程有一根为3，求方程的另一根．
19. 已知关于一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
20. 基公司2019年盈利1500万元，到2021年盈利2160万元，假设每年盈利的年增长率相同．
（1）求这个增长率；
（2）预计2022年盈利多少万元？
21. 已知抛物线．

（1）该抛物线的对称轴是___________，顶点坐标是___________；
（2）画出该抛物线的图象；
（3）若该抛物线上两点的横坐标满足，试比较与的大小．
22. 已知二次函数．
（1）求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点；
（2）若该二次函数图象与x轴有两个公共点A，B，且A点坐标为（1，0），求B点坐标．
23. 某电商店铺销售一种儿童服装，其进价为每件50元，现在的销售单价为每件80元，每周可卖出200件，双十二期间，商家决定降价让利促销，经过市场调查发现，单价每件降低1元，每周可多卖出20件．
（1）若想满足每周销售利润为7500元，同时尽可能让利于顾客，则每件童服装应降价多少元？
（2）该店铺每周可能盈利10000元吗？请说明理由．
24. 已知△ABC的两边AB、AC的长恰好是关于x的方程x2＋(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边BC的长为5
(1) 求证：AB≠AC
(2) 如果△ABC是以BC为斜边的直角三角形，求k的值
(3) 填空：当k＝________时，△ABC是等腰三角形，△ABC的周长为________
25. 如图，在中，，，于点，动点从点出发以的速度沿线段向终点运动．设动点运动时间为，

（1）求的长．
（2）当的面积为时，求的值．
（3）动点从点出发以的速度在射线上运动．点与点同时出发，且当点运动到终点时，点也停止运动．是否存在，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．2023学年第一学期10月综合训练
九年级数学
本检测分为试题卷和答题卡两部分，试题卷全卷三大题共25小题，满分120分，考试时间为120分钟．
注意事项：
1．必须在答题卡上答题，在试题卷上答题无效；
2．选择题请用2B铅笔在答题卡上涂填作答；
3．非选择题，答题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在其上作答，涉及作图（画图）的题目，用2B铅笔画图；
4．不得使用计算器．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选释项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程概念对四个选项依次进行判断即可．
【详解】A、将化简为，是一元二次方程，故该选项符合题意；
B、中含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C、中含有两个未知数，且最高次数是3，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
D、的右边是分式，不是一元二次方程，故该选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，解题时，要注意一元二次方程包括三点：（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）所含未知数的项的最高次数是2．
2. 将方程配方后，原方程变形（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方程移项，配方得到结果，即可作出判断．
【详解】解：方程变形得：，
配方得：，
即，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程－配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
3. 已知函数：①；②；③；④；⑤，其中二次函数的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的定义，对选项分别进行判断，即可得到答案.
【详解】解：是一次函数，故①错误；
是二次函数，故②正确；
不是二次函数，故③错误；
是二次函数，故④正确；
不一定是二次函数，故⑤错误；
故选：B.
【点睛】本题考查了二次函数的定义．熟记二次函数的一般形式是解题的关键．
4. 抛物线对称轴是（ ）
A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的对称轴是直线求解即可．
【详解】解：抛物线的对称轴是直线，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
5. 已知抛物线y＝（x﹣3）2﹣1与y轴交于点C，则点C的坐标为（ ）
A. （3，6）B. （0，8）
C. （0，﹣1）D. （4，0）或（2，0）
【答案】B
【解析】
【分析】y轴上的点的横坐标为0，所以把x＝0代入二次函数式即可求解．
【详解】解：当x＝0时，y＝（0﹣3）2﹣1＝8，
所以抛物线y＝（x﹣3）2﹣1与y轴交点C的坐标是（0，8）．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点坐标，牢记y轴上点的坐标x=0是本题的关键
6. 某班同学毕业时，都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1892张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A. x（x+1）=1892B. x（x−1）=1892×2
C. x（x−1）=1892D. 2x（x+1）=1892
【答案】C
【解析】
【详解】∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x－1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x(x－1)＝1892．
故选：C．
7. 已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A. m＜2B. m≤2C. m＜2且m≠1D. m≤2且m≠1
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【详解】解：因为关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有实数根，所以b2－4ac＝22－4(m－1)×1≥0，解得m≤2．又因为(m－1)x2＋2x＋1＝0是一元二次方程，所以m－1≠0．综合知，m的取值范围是m≤2且m≠1，因此本题选D．
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．
8. 对于二次函数，下列结论正确的是（ ）
A. 图象的开口向上B. 当时，随的增大而减小
C. 函数有最小值1D. 图象的顶点坐标是
【答案】D
【解析】
【分析】由二次函数，可知开口朝下，顶点为，对称轴为直线，在对称轴的左侧，随的增大而增大，进而逐项判断即可．
【详解】解：由二次函数，
抛物线的图象开口朝下，
故A选项不正确，不符合题意；
对称轴为直线，在对称轴的左侧，随的增大而增大，
故B选项不正确，不符合题意；
顶点坐标为，开口朝下，函数有最大值1，
故C选项不正确，不符合题意；
顶点坐标为，
故D选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握的图象与性质是解题的关键．
9. 若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1=0的一个根，则2021﹣6a2＋2a的值是（ ）
A. 2023B. 2022C. 2020D. 2019
【答案】D
【解析】
【分析】先把a代入方程得到3a2-a=1，然后方程两边都乘以-2得-6a2+2a=-2，从而求出答案．
【详解】解：由题意得：3a2-a-1=0，
∴3a2-a=1，
∴-6a2+2a=-2，
∴2021﹣6a2＋2a =2021-2=2019．
故选：D．
【点睛】本题考查的是逆用一元二次方程解的定义得出-6a2+2a的值，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析．
10. 在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若，则称点为点的“可控变点”．例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点．若点在函数的图象上，则其“可控变点”的纵坐标关于的函数图象大致正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】画出函数y=－x2+2x+3的图象，根据“可控变点”的定义找出y′关于x的函数图象，由此即可得出结论．
【详解】解：画出函数y=－x2+2x+3的图象，如图所示．
将y轴右侧的图象关于x轴颠倒过来，即可得出y′关于x的函数图象．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解“可控变点”的定义．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数图象的变换找出图形是关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 函数中自变量的取值范围是___________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件求解即可．
【详解】解：根据题意，，则，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式和分式有意义的条件、解一元一次不等式，熟知二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为零是解答的关键．
12. 若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是___________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据二次函数的增减性求解即可．
【详解】解：∵，
∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，
∴当时，函数值y随自变量x的增大而增大，
∵，，为二次函数图象上的三点，且，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的增减性判定函数值的大小是解答的关键．
13. 已知点P在抛物线y＝（x﹣2）2上，设点P的坐标为（x，y），当0≤x≤3时，y的取值范围是________．
【答案】0≤y≤4
【解析】
【分析】根据函数解析式确定抛物线的对称轴、最小值，根据函数的性质得到最大值，由此得到答案．
【详解】解：∵抛物线y＝（x﹣2）2的对称轴是直线x＝2，
∴当x＝2时y最小，最小值是0，
∵0≤x≤3，
∴当x＝2时y最小，最小值是0，
当x＝0时，y最大，最大值为y＝4，
∴y的取值范围为：0≤y≤4．
故答案为：0≤y≤4．
【点睛】此题考查二次函数的性质，函数的最值的确定，熟记二次函数的性质是解题的关键．
14. 如图，有一面积为的长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，另四边用竹篱笆围成，竹篱笆总长为，设为，则可列方程为___________．

【答案】
【解析】
【分析】先根据题意得到的长，再根据长方形的面积公式列方程即可．
【详解】解：设为，则长为，
根据题意，得，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
15. 某菱形的两条对角线长分别是方程两个根，则这个菱形的面积为___________．
【答案】2
【解析】
【分析】设菱形的对角线长为a、b，先根据一元二次方程根与系数的关系得到，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半求解即可．
【详解】解：设菱形的对角线长为a、b，
∵菱形的两条对角线长分别是方程两个根，且，
∴，
∴这个菱形的面积为，
故答案为：2．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系、菱形的性质，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．
16. 如图，已知抛物线的顶点坐标是，图像与轴交于点和点，且点在点的左侧，那么线段的长是________．（请用含字母的代数式表示）

【答案】##
【解析】
【分析】根据抛物线的顶点坐标是可得对称轴是直线，根据点和点关于直线对称可得，进行计算即可得到线段的长．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
抛物线的对称轴是直线，
点和点关于直线对称，
设点的坐标为，
，
，
，
点在点的左侧，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共2分，解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤．）
17. 解方程：
（1）
（2）．
（3）
（4）
【答案】（1），
（2），
（3），
（4），
【解析】
【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（3）利用配方法解一元二次方程即可；
（4）利用公式法解一元二次方程即可；
【小问1详解】
解：原方程化，
开方，得，
∴，；
【小问2详解】
解：原方程化为，即，
∴或，
∴，；
【小问3详解】
解：移项，得，
配方，得，
即，
开方，得，
∴，；
【小问4详解】
解：，，，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的各种解法及其步骤，正确求解是解答的关键．
18. 已知关于的一元二次方程，若方程有一根为3，求方程的另一根．
【答案】
【解析】
【分析】设该方程的另一个根为x，根据一元二次方程的根与系数关系求解即可．
【详解】解：设该方程的另一个根为x，根据题意，得，
解得，
∴该方程的另一根为．
【点睛】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．
19. 已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即求解即可；
（2）由韦达定理把和分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案．
【详解】（1）由题意可得：
解得：
即实数m的取值范围是．
（2）由可得：
∵；
∴
解得：或
∵
∴
即的值为-2．
【点睛】本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：（1）当时，方程有实数根；（2）掌握根与系数的关系，即韦达定理；（3）熟记完全平方公式等是解题的关键．
20. 基公司2019年盈利1500万元，到2021年盈利2160万元，假设每年盈利的年增长率相同．
（1）求这个增长率；
（2）预计2022年盈利多少万元？
【答案】（1）每年盈利的年增长率为
（2）预计2022年盈利2592元
【解析】
【分析】（1）设每年盈利的年增长率为x，根据题意列方程求解即可；
（2）根据（1）中增长率列式求解即可．
【小问1详解】
解：设每年盈利的年增长率为x，
根据题意，得，
解得，（不合题意，舍去），
答：每年盈利的年增长率为；
【小问2详解】
解：根据题意，（元），
答：预计2022年盈利2592元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程并正确求解是解答的关键．
21. 已知抛物线．

（1）该抛物线的对称轴是___________，顶点坐标是___________；
（2）画出该抛物线的图象；
（3）若该抛物线上两点的横坐标满足，试比较与的大小．
【答案】（1）直线，
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）将化为顶点式即可求解；
（2）利用描点法求解画图即可；
（3）根据二次函数的增减性求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴该抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，
故答案为：直线，；
【小问2详解】
解：列表：
描点、画图象如图：
【小问3详解】
解：由（2）中图象，当时，函数值y随x的增大而减小，
∵，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，正确画出函数图象，利用数形结合思想求解第（3）问是解答的关键．
22. 已知二次函数．
（1）求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点；
（2）若该二次函数图象与x轴有两个公共点A，B，且A点坐标为（1，0），求B点坐标．
【答案】（1）有（2）；
【解析】
【详解】（1）
∴对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点；
（2）把（1，0）代入二次函数关系式得：
；.
23. 某电商店铺销售一种儿童服装，其进价为每件50元，现在的销售单价为每件80元，每周可卖出200件，双十二期间，商家决定降价让利促销，经过市场调查发现，单价每件降低1元，每周可多卖出20件．
（1）若想满足每周销售利润为7500元，同时尽可能让利于顾客，则每件童服装应降价多少元？
（2）该店铺每周可能盈利10000元吗？请说明理由．
【答案】（1）每件童服装应降价15元
（2）该店铺每周不可能盈利10000元，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设每件童服装应降价x元，根据单件利润×销售量=总利润列方程求解即可；
（2）根据题意列一元二次方程，利用根的判别式判断根的情况即可得出结论．
【小问1详解】
解：设每件童服装应降价x元，
根据题意，得，
整理，得，
解得，，
∵尽可能让利于顾客，
∴，
答：每件童服装应降价15元；
【小问2详解】
解：该店铺每周不可能盈利10000元，理由为：
设该店铺每周可能盈利10000元，则，
整理，得，
∵，
∴所列方程没有实数根，
故该店铺每周不能盈利10000元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程并正确求解是解答的关键．
24. 已知△ABC的两边AB、AC的长恰好是关于x的方程x2＋(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边BC的长为5
(1) 求证：AB≠AC
(2) 如果△ABC是以BC为斜边的直角三角形，求k的值
(3) 填空：当k＝________时，△ABC是等腰三角形，△ABC的周长为________
【答案】(1)证明见解析(2) k＝－5(3) 14或16
【解析】
【分析】（1）通过根的判别式知道方程的两根情况为不相等的两实数根，可证明；
（2）依题意由勾股定理得k的值；
（3）由BC为腰，代入方程可求出k的值.
【详解】(1) ∵△＝(2k＋3)2－4(k2＋3k＋2)＝1＞0
∴方程有两个不相等的实数根
∴AB≠AC
(2)依题意得，AB2＋AC2＝BC2＝25
∵AB＋AC＝－(2k＋3)，AB·AC＝k2＋3k＋2
∴AB2＋AC2＝(AB＋AC)2－2AB·AC＝2k2＋6k＋5＝25
解得k1＝－5或k2＝2
∵AB＋AC＝－(2k＋3)＞0
∴k＜
∴k＝－5
(3) 依题意得，BC为等腰三角形的腰
将x＝5代入方程中，得25＋5(2k＋3)＋k2＋3k＋2＝0
解得k1＝－6，k2＝－7
此时周长为14或16
【点睛】考核知识点：一元二次方程,勾股定理.理解题意，运用勾股定理解决问题是关键.
25. 如图，在中，，，于点，动点从点出发以的速度沿线段向终点运动．设动点运动时间为，

（1）求的长．
（2）当的面积为时，求的值．
（3）动点从点出发以的速度在射线上运动．点与点同时出发，且当点运动到终点时，点也停止运动．是否存在，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）2或或
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一得到，再利用勾股定理求解即可；
（2）先根据题意得到，再根据三角形的面积公式列方程求解即可；
（3）假设存在，求得，再分点M在线段上和点M在射线上两种情况，利用三角形的面积公式列一元二次方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵在中，，，，
∴， ，
∴；
【小问2详解】
解：由题意，，，
由得，
故当的面积为时， 的值为；
【小问3详解】
解：假设存在，使得，
若点M在线段上，即时，，
则，
整理得，解得，（舍去）；
当点M在射线上时，即时，，
则，
整理，得，
解得，，都符合题意，
综上，满足条件的t值为2或或．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、一元一次方程的应用、一元二次方程的应用，理解题意，掌握动点问题的解题方法，注意需分类讨论求解．…
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0
1
2
3
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2
3
2
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