广东省广州市第二中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（含答案）

这是一份广东省广州市第二中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（含答案），共42页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 等腰三角形都相似B. 直角三角形都相似
C. 菱形都相似D. 正方形都相似
2 已知⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为4，则直线与圆的位置关系为（ ）
A. 相离B. 相切C. 相交D. 不能确定
3. 如图，在中，是直径，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，是的外接圆，连结、，若，则等于（ ）

A. B. C. D.
5. 如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A. ∠ABD=∠CB. ∠ADB=∠ABCC. D.
6. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若点、、在同一条直线上，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 半径为圆的内接正三角形、正六边形的边心距之比为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，的半径是，点是弦延长线上的一点，连结，若，，则弦的长为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在中，是外心，是内心，，则等于（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，已知，以点为圆心的圆与轴相切．点、在轴上，且．点为上的动点，，则长度的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分．）
11. 正六边形每个内角的度数为________°
12. 在和中，若，，，则当_______时，．
13. 如图，是半圆直径，是上不与、重合的一点，若，则的度数为__________．
14. 在中，，，，则内切圆的半径长为_________．
15. 如图，正方形ABCD中，，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作，交CD于点Q，则CQ的最大值为_______．
16. 如图，在中，，，，是中线，点、同时从点出发，以相同的速度分别沿、方向移动，当点到达点时，运动停止，直线分别与、相交于、，则在点、移动过程中，点移动路线的长度为__________．

三、解答题（共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 如图，在△ABC中，若DE∥BC，，DE=4cm，求BC的长
18. 如图，已知、为的两条弦，，求证：．
19. 如图是某风景区的一个以为圆心的圆拱形门，路面的宽为，高为，求圆拱形门所在圆的半径．
20. 在同一平面直角坐标系中有个点：，，，，．
（1）画出的外接圆，则点的坐标为_________；
（2）点与的位置关系为：点在________；点与的位置关系为：点在__________；
（3）若在轴上有一点，满足，请直接写出点的坐标为________．
21. 如图，直径，和是它的两条切线，与相切于点，并与，分别相交于，两点，设，，求关于的函数表达式，并在坐标系中画出它的图像．
22. 如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗）．
（1）求扇形的圆心角的度数；
（2）求圆锥的底面半径．
23. 如图，是的直径，点在的延长线上，、是上的两点，，，延长交的延长线于点
（1）求证：是的切线；
（2）求证：
（3）若，，求弦的长.
24. 在锐角中，，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到．
（1）当点在线段的延长线上时，如图1，求的度数；
（2）如图2，绕点按逆时针方向旋转，连接，，若的面积为，求的长度；
（3）如图3，点为线段中点，点是线段上的动点，在绕点按逆时针方向旋转过程点的对应点是点，求线段长度的最大值与最小值．
25. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知抛物线与轴交于点，抛物线对称轴与轴交于点．

（1）如图，若，抛物线的对称轴为．求抛物线的解析式，并直接写出时的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若为轴上的点，为轴上方抛物线上的点，当为等边三角形时，求点，的坐标；
（3）若抛物线经过点，，，且，求正整数m，n的值．
二中十二月数学试卷
一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 等腰三角形都相似B. 直角三角形都相似
C. 菱形都相似D. 正方形都相似
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查相似多边形的判定．根据相似图形的判定，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】解： A、所有的等腰三角形，边的比不一定相等，对应角不一定对应相等，故错误，不符合题意；
B、所有的直角三角形，边的比一定相等，而对应角不一定对应相等，故错误，不符合题意；
C、所有的菱形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，故错误，不符合题意；
D、所有的正方形，边的比一定相等，而对应角也对应相等，故正确，符合题意．
故选：D．
2. 已知⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为4，则直线与圆的位置关系为（ ）
A. 相离B. 相切C. 相交D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆O的半径和，圆心O到直线l的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r；即可选出答案．
【详解】解：∵⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为4，
∵4＞3，即：d>r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相离．
故选A.
【点睛】本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．
3. 如图，在中，是直径，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系由在同圆中等弧对的圆心角相等得，即可求解．
【详解】解：∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B
4. 如图，是的外接圆，连结、，若，则等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定与性质，证明为等边三角形得到，然后利用圆周角定理求解即可，证明为等边三角形是关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
故选：D．
5. 如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A. ∠ABD=∠CB. ∠ADB=∠ABCC. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】∵∠A是公共角，
∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意要求；
当AB：AD=AC：AB时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D正确，不符合题意要求；
AB：BD=CB：CD时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误，符合题意要求，
故选：C．
6. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若点、、在同一条直线上，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查旋转性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的外角性质，先利用旋转性质得到，，，，再根据等腰直角三角形的性质求得，然后利用三角形的外角性质求解即可．掌握旋转性质是解答的关键．
【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故选：D．
7. 半径为的圆的内接正三角形、正六边形的边心距之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了圆与正多边形．根据题意可以求得半径为R的圆内接正三角形，正六边形的边心距，从而可以求得它们的比值．
【详解】解：如图，过点O作于点D，连接，
∵是正三角形，且是半径为圆O的内接正三角形，
∴，
∴；
如图，过点A作于点D，连接，
∵六边形半径为的圆的内接正六边形，
∴，
∴是正三角形，
∴，
∴，
∴圆的内接正三角形、正六边形的边心距之比为．
故选：C
8. 如图，的半径是，点是弦延长线上的一点，连结，若，，则弦的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了垂经定理，用到的知识点是垂经定理、含度角的直角三角形、勾股定理，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．先过作，连结，根据，，求出的值，在中，根据勾股定理求出的值，即可求出的值．
【详解】如图，过作，连结，
，，
．
，
根据勾股定理得：．
由垂径定理得：．
故选：D．
9. 如图，在中，是外心，是内心，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图，由圆周角定理可得，由是的内心，可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，
∴，
∵是的内心，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内心、外心，三角形内角和定理，圆周角定理等知识．熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点，外心是垂直平分线的交点是解题的关键．
10. 如图，在平面直角坐标系中，已知，以点为圆心的圆与轴相切．点、在轴上，且．点为上的动点，，则长度的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理．熟练掌握切线的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．
【详解】解：由题意知，的半径为3，
如图，连接，
∵，，
∴，
∴当最大时，最大，
如图，连接交于，
由勾股定理得，，
∴，
∴长度的最大值为，
故选：D．
二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分．）
11. 正六边形每个内角的度数为________°
【答案】
【解析】
【分析】先根据多边形的内角和公式求出内角和，然后除以6即可．
【详解】解：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形的内角和问题，掌握多边形内角和公式是解题的关键．
12. 在和中，若，，，则当_______时，．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质以及三角形的内角和：先根据，得，由，，根据三角形的内角和求出，即可作答．
【详解】解：∵
∴
∵，
∴
即
故答案为：
13. 如图，是半圆的直径，是上不与、重合的一点，若，则的度数为__________．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，圆内接四边形的对角互补，三角形内角和定理．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
由是半圆的直径，可得，由三角形内角和定理求，由题意知，四边形是的内接四边形，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵是半圆的直径，
∴，
∴，
由题意知，四边形是的内接四边形，
∴，
故答案为：．
14. 在中，，，，则内切圆的半径长为_________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查直角三角形的内切圆的性质，设内切圆半径为r，利用三角形的内切圆的圆心到三角形三边的距离等于半径r，结合三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：设内切圆半径为r，
∵在中，，，，
∴，
∵三角形的内切圆与的三边相切，
∴三角形的内切圆的圆心到三边的距离等于半径r，
由得
，
∴，
故答案为：1．
15. 如图，正方形ABCD中，，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作，交CD于点Q，则CQ的最大值为_______．
【答案】4
【解析】
【分析】先证明，得到与CQ有关的比例式，设，则，代入解析式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．
【详解】解：
又
设，则．
，化简得，
整理得，
所以当时，y有最大值为4．
故答案4．
【点睛】考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用二次函数最值求解考查了树形结合思想．
16. 如图，在中，，，，是中线，点、同时从点出发，以相同的速度分别沿、方向移动，当点到达点时，运动停止，直线分别与、相交于、，则在点、移动过程中，点移动路线的长度为__________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、弧长公式、直角三角形的性质等知识，正确判断出点移动轨迹是解题关键．先求出，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，由此可判断出点四点共圆，在以为直径的圆上，取的中点为点，连接，则在点、移动过程中，点移动是劣弧，然后利用弧长公式求解即可得．
【详解】解：在中，，，，是中线，
，，
，
由题意可知，，
在和中，
，
，
，
又，
，
点四点共圆，在以为直径的圆上，
如图，取的中点为点，连接，

则在点、移动过程中，点移动轨迹是劣弧，
点为的斜边的中点，
，
∴点移动路线的长度为，
故答案为：．
三、解答题（共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 如图，在△ABC中，若DE∥BC，，DE=4cm，求BC的长
【答案】12cm
【解析】
【详解】分析：因为DE∥BC，可利用平行线分线段成比例定理求出BC的长．
∵DE∥BC，
∴，又∵ ∴，
∴∴BC=12cm．
故答案为12cm．
18. 如图，已知、为的两条弦，，求证：．
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，同弧所对的弦是相等的，据此即可作答．
【详解】解：∵、为的两条弦，
∴
∴
∴
19. 如图是某风景区的一个以为圆心的圆拱形门，路面的宽为，高为，求圆拱形门所在圆的半径．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
如图，连接，由垂径定理得，，设，则，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
由垂径定理得，，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴圆拱形门所在圆的半径为．
20. 在同一平面直角坐标系中有个点：，，，，．
（1）画出的外接圆，则点的坐标为_________；
（2）点与的位置关系为：点在________；点与的位置关系为：点在__________；
（3）若在轴上有一点，满足，请直接写出点的坐标为________．
【答案】（1）
（2）外，内 （3）
【解析】
【分析】本题考查了外接圆，圆周角定理，垂直平分线的性质，点与圆的位置关系：
（1）先在平面直角坐标系上标出，，，再作出线段的垂直平分线，它们的交点，即为点P，即可作答．
（2）先在平面直角坐标系上标出，，观察与点D和点E的位置，即可作答．
（3）根据同弧所对的圆周角是相等的，取与轴的交点，即为Q，再连接，即可作答．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
解：如图：
点与的位置关系为：点在外；点与的位置关系为：点在内；
【小问3详解】
解：如图：
∵在轴上有一点，满足，
∴图中即为所求，
且
21. 如图，的直径，和是它的两条切线，与相切于点，并与，分别相交于，两点，设，，求关于的函数表达式，并在坐标系中画出它的图像．
【答案】（x＞0）；作图见解析；
【解析】
【分析】做辅助线构造直角三角形，运用勾股定理及切线的性质定理可求出y关于x的函数解析式，再运用描点法做出函数图像即可；
【详解】如图，过点D作，
∵AD、BC分别是圆O的切线，
∴，
又∵，
∴四边形ABFD是矩形，
∴，，
∵AD、BC、DC分别是圆O的切线，
∴，，，
∴，
由勾股定理得：，
即，
整理得：，
∴，
∴y关于x的函数解析式为（x＞0）；
如图，做图像：当时，；时，；时，；
过点，，，
在平面直角坐标系内连线可得函数图像，
【点睛】本题主要考查了切线的性质和反比例函数的解析式求解和作图，准确分析判断是解题的关键．
22. 如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗）．
（1）求扇形的圆心角的度数；
（2）求圆锥的底面半径．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（1）先求出半径为的圆面积，结合面积为的扇形，即可作答．
（2）利用圆锥的侧面展开图为一扇形，结合弧长公式：，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到，然后解方程求出r即可．
【小问1详解】
解：∵一个半径为，面积为的扇形铁皮
∴
∴扇形的圆心角的度数为；
【小问2详解】
解：根据题意得
解得．
所以圆锥的底面半径r为
23. 如图，是的直径，点在的延长线上，、是上的两点，，，延长交的延长线于点
（1）求证：是的切线；
（2）求证：
（3）若，，求弦的长.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）连接OC，可证得∠CAD=∠BCD，由∠CAD+∠ABC=90°，可得出∠OCD=90°，即结论得证；
（2）证明△ABC≌△AFC可得CB=CF，又CB=CE，则CE=CF；
（3）证明△CBD∽△DCA，可求出DA的长，求出AB长，设BC=a，AC=a，则由勾股定理可得AC的长．
【详解】（1）连，
∵，
∴，
又，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
，
∴，且过半径的外端点，
∴是的切线；
（2）在和中，，
，为公共边，
∴，
∴，又，
∴；
（3）∵∠BCD=∠CAD，∠ADC=∠CDB，
∴△CBD∽△DCA，
∴，
∴，
∴DA=2，
∴AB=AD-BD=2-1=1，
设BC=a，AC=a，由勾股定理可得：a2+(a)2＝12，
解得：a=，
∴AC＝．
【点睛】本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．
24. 在锐角中，，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到．
（1）当点在线段的延长线上时，如图1，求的度数；
（2）如图2，绕点按逆时针方向旋转，连接，，若的面积为，求的长度；
（3）如图3，点为线段中点，点是线段上的动点，在绕点按逆时针方向旋转过程点的对应点是点，求线段长度的最大值与最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）线段长度的最大值为14与最小值为
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质可得：，，又由等腰三角形的性质，即可求得的度数；
（2）由旋转的性质易证，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出，过点作，面积公式求出，勾股定理求出的长，进而求出的长，再用勾股定理即可求出的长；
（3）由①当P在上运动至垂足点D，绕点B旋转，使点P的对应点在线段上时，最小；②当P在上运动至点C，绕点B旋转，使点P的对应点在线段的延长线上时，最大，即可求得线段长度的最大值与最小值．
【小问1详解】
解：由旋转性质可得：，，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵旋转，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
过点作交延长线于D，如图：

则：，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：过点B作，D为垂足，

∵为锐角三角形，
∴点D在线段上，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∵点E为线段中点，
∴；
①如图1，当P在上运动至垂足点D，绕点B旋转，使点P的对应点在线段上时，最小，且最小值为： ；

②如图2，当P在上运动至点C，绕点B旋转，使点P的对应点在线段的延长线上时，最大，且最大值为：．

综上分析可知，线段长度的最大值为14与最小值为．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理．此题难度较大，属于压轴题，利用数形结合思想和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键，注意旋转前后的对应关系．
25. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知抛物线与轴交于点，抛物线对称轴与轴交于点．

（1）如图，若，抛物线的对称轴为．求抛物线的解析式，并直接写出时的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若为轴上的点，为轴上方抛物线上的点，当为等边三角形时，求点，的坐标；
（3）若抛物线经过点，，，且，求正整数m，n的值．
【答案】（1）；
（2）；或,；
（3），或，
【解析】
【分析】（1）根据，抛物线对称轴为，待定系数法求解析式即可求解；当时，求得的范围，进而结合函数图象即可求解；
（2）①连接，，交对称轴于点D，由四点共圆，得，证明，求出点D的坐标，确定直线的解析式，进而求得点的坐标，设，，勾股定理即可求解；②由①可得，则当与重合时也存在等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．
（3）根据抛物线经过点，，，可得抛物线对称为直线，则，则，进而令，求得的范围，进而根据函数图象可知或，进而分别讨论求得的值，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，抛物线的对称轴为．
∴
解得：
∴抛物线解析式为，
当时，即
解得：，
∴当时，
【小问2详解】
解：①如图所示，连接，，交对称轴于点D，

∵，
∴，
则
∴，，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴四点共圆，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，则，
设直线的解析式为
则
解得：
所以直线的解析式为
联立
解得：或
∴，
∵，设，
∵
∴
解得：
∴；
②由①可得，当与点重合时，为等边三角形
则与对称，此时，，
综上所述；；或，；
【小问3详解】
解：∵抛物线经过点，，，
∴抛物线对称为直线，
则，则
∴抛物线解析式为
∴顶点坐标为
当时，
解得：或
∵，且为正整数，过点，则当时，
∴或，
当时，将点代入解析式，
解得：
∵
则，
当时，将点代入解析式
解得：
∵
则，
综上所述，，或，．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据特三角函数求角度，圆内接四边形对角互补，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．