广东省广州市第七中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（含答案）

这是一份广东省广州市第七中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（含答案），共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（每题3分，共30分）
1. 下列函数表达式中，是二次函数的是（ ）．
A. B. y=x+2C. y=x2+1D. y=（x+3）2-x2
2. 若关于的一元二次方程有一个解为，则的值是（ ）
A 1B. 3C. D. 4
3. 已知二次函数，下列结论不正确的是（ ）
A. 图象开口向上B. 图象经过点
C. 对称轴是直线D. 与轴有两个交点
4. 如表是一组二次函数y＝x2﹣x﹣3的自变量和函数值的关系，那么方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根是（ ）
A. 1.2B. 2.3C. 3.4D. 4.5
5. 如图所示的是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ）
A. B. C. 且D. 或
6. 点A(﹣2，)，B(0，)，C(1，)为二次函数的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
7. 记某商品销售单价为x元，商家销售此种商品每月获得的销售利润为y元，且y是关于x的二次函数．已知当商家将此种商品销售单价分别定为55元或75元时，他每月均可获得销售利润1800元；当商家将此种商品销售单价定为80元时，他每月可获得销售利润1550元，则y与x的函数关系式是（ ）
A. y＝﹣（x﹣60）2+1825B. y＝﹣2（x﹣60）2+1850
C. y＝﹣（x﹣65）2+1900D. y＝﹣2（x﹣65）2+2000
8. 已知关于x的方程的两个根分别是-1和3，若抛物线与y轴交于点A，过A作轴，交抛物线于另一交点B，则AB的长为（ ）
A. 2B. 3C. 1D. 1.5
9. 已知二次函数的图象经过第一象限的点，则一次函数的图象不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
10. 已知抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使为等腰三角形的抛物线的条数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、填空题（每题3分，共18分）
11. 方程是关于x的一元二次方程，则_________．
12. 将抛物线向下平移3个单位，所得的抛物线的表达式是_________．
13. 二次函数的图像的顶点坐标是_________．
14. 已知实数a、b满足，则________．
15. 若关于x的方程的两个根为，，则关于x的方程的两个根为__________．
16. 已知点在直线（k为常数，）上，若的最大值为9，则c的值为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解下列方程：
（1）．
（2）．
18. 已知二次函数图象顶点坐标为，且经过点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）判断点、是否在该函数图象上，并说明理由．
19. 已知矩形周长为矩形，绕它的一条边旋转形成一个圆柱，旋转形成的圆柱的侧面积最大为多少（结果保留）
20. 二次函数（b，c为常数）的图象经过点，．

（1）该二次函数图象与y轴的交点坐标为__________，顶点坐标为__________；
（2）在所给坐标系中画出该二次函数的图象；
（3）根据图象，当时，y取值范围是__________．
21. 已知，是关于一元二次方程的两个实数根．
（1）若 ,求的值；
（2）已知等腰的腰长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．
22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，该抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，且，求m的值．
23. 为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书，已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．
（1）科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？
（2）为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）；购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书超过40本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？
24. 如图，抛物线与轴交于A、两点（点A在点左边），与轴交于点．直线经过、两点，点是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当抛物线上的点的在下方运动时，求面积的最大值．
（3）连接，把沿着轴翻折，使点落在的位置，四边形能否构成菱形，若能，求出点的坐标，如不能，请说明理由；
25. 平面直角坐标系中，抛物线过点，，，顶点D不在第一象限，线段上有一点E，设的面积为，的面积为，．
（1）用含a式子表示b；
（2）求点E的坐标；
（3）若直线与此抛物线的另一个交点F的横坐标为，求在时的取值范围（用含a的式子表示）．
2023学年第一学期九年级数学科综合练习卷（问卷）
考试时量：120分钟 满分120分
一、单选题（每题3分，共30分）
1. 下列函数表达式中，是二次函数的是（ ）．
A. B. y=x+2C. y=x2+1D. y=（x+3）2-x2
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的定义分析得出答案．二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．
【详解】A、y＝，是反比例函数，故此选项不符合题意；
B、y＝x+2，是一次函数，故此选项不符合题意；
C、y＝x2+1，是二次函数，故此选项符合题意；
D、y＝（x+3）2﹣x2＝6x+9，是一次函数，故此选项不符合题意；
故选C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
2. 若关于的一元二次方程有一个解为，则的值是（ ）
A. 1B. 3C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把代入一元二次方程可得到关于的一元一次方程，然后解一元一次方程即可．
【详解】解：把代入得，
解得．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
3. 已知二次函数，下列结论不正确的是（ ）
A. 图象开口向上B. 图象经过点
C. 对称轴是直线D. 与轴有两个交点
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数解析式和二次函数的性质逐个判断即可．
【详解】解：∵二次函数，a＝1＞0，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∵
∴与轴有两个交点，
把x＝0代入得y＝3，
∴图象经过点（0，3），
故A、B、D结论正确，结论C不正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
4. 如表是一组二次函数y＝x2﹣x﹣3的自变量和函数值的关系，那么方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根是（ ）
A. 1.2B. 2.3C. 3.4D. 4.5
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的图象特征解答．
【详解】解：观察表格得：方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根在2和3之间，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数与x轴的交点坐标特征是解题关键．
5. 如图所示的是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ）
A. B. C. 且D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查利用图象法求解一元二次不等式，找到二次函数图象与x轴的交点横坐标即可求解，“数形结合”是解题关键．
【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，且抛物线与x轴交于，
∴抛物线与x轴另一交点坐标为，
∴不等式的解集是或
故选：D．
6. 点A(﹣2，)，B(0，)，C(1，)为二次函数的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x=1，根据x＜1时，y随x的增大而减小，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴图象的开口向上，对称轴是直线x=1，
∵-2＜0＜1，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
7. 记某商品销售单价为x元，商家销售此种商品每月获得销售利润为y元，且y是关于x的二次函数．已知当商家将此种商品销售单价分别定为55元或75元时，他每月均可获得销售利润1800元；当商家将此种商品销售单价定为80元时，他每月可获得销售利润1550元，则y与x的函数关系式是（ ）
A. y＝﹣（x﹣60）2+1825B. y＝﹣2（x﹣60）2+1850
C. y＝﹣（x﹣65）2+1900D. y＝﹣2（x﹣65）2+2000
【答案】D
【解析】
【分析】设二次函数的解析式为：y＝ax2＋bx＋c，根据题意列方程组即可得到结论．
【详解】解：设二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c，
∵当x＝55，y＝1800，当x＝75，y＝1800，当x＝80时，y＝1550，
∴，
解得a＝−2，b＝260，c＝−6450，
∴y与x的函数关系式是y＝﹣2x2+260x﹣6450＝﹣2（x﹣65）2+2000，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确的列方程组是解题的关键．
8. 已知关于x的方程的两个根分别是-1和3，若抛物线与y轴交于点A，过A作轴，交抛物线于另一交点B，则AB的长为（ ）
A. 2B. 3C. 1D. 1.5
【答案】A
【解析】
【分析】根据方程的两根求出b、c的值，代入抛物线解析式，求出点A坐标，A、B两点纵坐标相同，从而求出B点坐标，AB的长即可求出．
【详解】将-1，3分别代入，
，
解得，
∴抛物线解析式为：，
∴与y轴交点为：A（0，6），
∵AB⊥y轴，∴B的纵坐标为6，
代入抛物线解得，，
∴B（2，6）
∴AB=2-0=2．
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线与y轴的交点，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握根与系数的关系是解题的关键．
9. 已知二次函数的图象经过第一象限的点，则一次函数的图象不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据直角坐标系和象限的性质，得；根据二次函数的性质，得，从而得，通过计算即可得到答案．
【详解】∵点在第一象限
∴
∴
∵二次函数的图象经过第一象限的点
∴
∴
∴
当时，，即和y轴交点为：
当时，，即和x轴交点为：
∵，
∴一次函数的图象不经过第三象限
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数、一次函数、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、直角坐标系的性质，从而完成求解．
10. 已知抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使为等腰三角形的抛物线的条数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】求出，的坐标，画出图形即可解决问题．
【详解】解：，
所以，抛物线经过点，，
，
点坐标为，，

观察图象可知，满足条件的点有4个，
所以，能使为等腰三角形的抛物线共有4条．
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点问题、等腰三角形的定义，根据抛物线的解析式确定出抛物线经过的两个定点是解题的关键，注意分情况讨论．
二、填空题（每题3分，共18分）
11. 方程是关于x的一元二次方程，则_________．
【答案】-3
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义进行分析即可.
【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程
所以|n|-1=2，n-3≠0
解得n=-3
故答案为：-3.
【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
12. 将抛物线向下平移3个单位，所得的抛物线的表达式是_________．
【答案】
【解析】
【详解】抛物线y=2x2的顶点坐标为(0，0)，点(0，，)向下平移3个单位后所得对应点的坐标为(0，-3)，所以平移后的抛物线的表达式是y=2x2-3.
故答案为：y=2x2−3.
13. 二次函数的图像的顶点坐标是_________．
【答案】（﹣1，4）
【解析】
【分析】先把抛物线化为顶点式，再根据抛物线y=a（x-h）2+k的顶点坐标是（h，k）直接写出即可．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线的顶点坐标是．
故答案：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：抛物线y=a（x-h）2+k的顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x=h．
14. 已知实数a、b满足，则________．
【答案】2
【解析】
【分析】设，将已知方程整理为关于y一元二次方程，利用因式分解法求出方程的解，得到y的值，即可确定出的值．
【详解】解：设，则原方程变形为，
解得，，
∴2或-1，
∵，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
15. 若关于x的方程的两个根为，，则关于x的方程的两个根为__________．
【答案】或1
【解析】
【分析】设，方程的两根分别是、，可得，由关于x的方程的两根为，，可得，，从而求解．
【详解】解：设，方程的两根分别是、，
∴，
由题意可得：，，
∴，，
∴，．
∴关于x的方程的两个根为或1．
故答案为：或1．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程解的概念．
16. 已知点在直线（k为常数，）上，若的最大值为9，则c的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】将代入中得，则，由题意知，求得值，进而可得直线解析式，然后将代入求解可得值．
【详解】解：将代入中得，
∴，
∵最大值为9，
∴，
解得，
将代入，得，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数解析式等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解下列方程：
（1）．
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）利用直接开方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解得，；
【小问2详解】
或
解得，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
18. 已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）判断点、是否在该函数图象上，并说明理由．
【答案】（1）
（2）点不在该函数图象上，点在该函数图象上
【解析】
【分析】（1）根据题意可设该二次函数的解析式为，再将点代入，求出a的值，即可求出该二次函数的解析式；
（2）由函数的定义“对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数”结合该二次函数图象经过点，即可确定点不可能在该函数图象上；将代入，求出y的值，即可确定点是否在该二次函数图象上．
【小问1详解】
解：∵二次函数图象的顶点坐标为，
∴可设该二次函数的解析式为：．
将点代入，得：，
解得：，
∴该二次函数的解析式为：；
【小问2详解】
∵该函数图象经过点，
∴点不可能在该函数图象上；
对于，当时，，
∴点在该函数图象上．
【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数图象上的点的坐标特征，函数的定义．由题意正确设出二次函数的解析式为是解题关键．
19. 已知矩形的周长为矩形，绕它的一条边旋转形成一个圆柱，旋转形成的圆柱的侧面积最大为多少（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】设矩形的长是a，宽为，旋转形成的圆柱侧面积得到关于a的二次函数，根据二次函数的性质确定最大值即可．
【详解】解：设矩形的长为a，宽为，
则旋转形成的圆柱侧面积是，
∵，，
∴当时，侧面积有最大值为．
答：旋转形成的圆柱的侧面积最大为．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练列出二次函数并掌握求二次函数最值的方法是解题的关键．
20. 二次函数（b，c为常数）的图象经过点，．

（1）该二次函数图象与y轴的交点坐标为__________，顶点坐标为__________；
（2）在所给坐标系中画出该二次函数的图象；
（3）根据图象，当时，y的取值范围是__________．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象求函数值范围等；
（1）利用待定系数法可求出该二次函数解析式，再改为顶点式，即得出其顶点坐标．令，求出y的值，即可求出其与y轴的交点坐标；
（2）结合（1）由抛物线的对称性列表，然后画出其图象；
（3）当时，结合图象求出y的取值范围；
掌握利用待定系数法正确的求出二次函数解析式，会用数形结合的思想求函数值的取值范围是解题的关键．
【小问1详解】
解：将，代入得：
，
解得：，
∴该二次函数解析式为，
，
∴顶点坐标为；
当时，则，
该二次函数图象与y轴的交点坐标为；
故答案为：，；
【小问2详解】
列表如下：
画出该二次函数的图象如下，
【小问3详解】
解：由图象可知
当时，
图象位于轴的上方，
，
故答案为：．
21. 已知，是关于一元二次方程的两个实数根．
（1）若 ,求的值；
（2）已知等腰的腰长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．
【答案】（1）6 （2）17
【解析】
【分析】（1）由题意得：，，，得，，将其整体代入可得：，进而可求解．
（2）分类讨论：①当7为底边时；②当7为腰时；利用一元二次方程根判别式及一元二次方程的解即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得：，，
，
解得：，
，
解得：或（舍去），
的值为6．
【小问2详解】
当7为腰时，设，代入方程得：，
解得：或，
当时，方程变为，
解得：或15
，
∴不能组成三角形；
当时，方程变为，
解得：或7，
，，
的三边分别为：3、7、7，
的周长为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解、根的判别式、根与系数的关系及三角形三边关系，熟练掌握其基础知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，该抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，且，求m的值．
【答案】或．
【解析】
【分析】利用抛物线解析式求得点、的坐标，根据抛物线的对称性质和方程思想求得的值即可．
【详解】解：令，则，
解得，．
该抛物线与轴交于，两点，点在点的左侧，且，
或．
解得或．
【点睛】主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是分类讨论，以防漏解．
23. 为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书，已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．
（1）科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？
（2）为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）；购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书超过40本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？
【答案】（1）科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元
（2）社区至少要准备购书款2700元
【解析】
【分析】（1）设科技类图书的单价为元，文学类图书的单价为元，再根据“购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元”列出关于，的二元一次方程组，求解即可；
（2）设社区要准备购书款元，购买的科技类图书为本，则购买的文学类图书为本，利用总价=单价×数量，即可得出关于的函数关系式，由题意可分当及时进行讨论，取其最小值比较即可．
【小问1详解】
解：设科技类图书的单价为元，文学类图书的单价为元，
由题意得：，
解得：，
答：科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元．
【小问2详解】
解：设社区要准备购书款元，购买的科技类图书为本，则购买的文学类图书为本，
①当时，，
，
此抛物线的开口向下，对称轴为，
当时，随的增大而减少，
当时，的值最小，即；
②当时，，
，
随的增大增加，
当时，的值最小，即；
；
社区至少要准备购书款2700元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二次函数及一次函数的应用，理解题意，找到题目中的等量关系并进行分类讨论，是解题关键．
24. 如图，抛物线与轴交于A、两点（点A在点左边），与轴交于点．直线经过、两点，点是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当抛物线上的点的在下方运动时，求面积的最大值．
（3）连接，把沿着轴翻折，使点落在的位置，四边形能否构成菱形，若能，求出点的坐标，如不能，请说明理由；
【答案】（1）
（2）的面积最大值为4
（3）四边形能构成菱形，点的坐标为或
【解析】
【分析】（1）先求出点，坐标，再代入抛物线解析式中，即可得出结论；
（2）过点作轴交于点，设，则，则，，再求解即可；
（3）由翻折得，点、关于轴对称，可得垂直平分，当垂直平分时，四边形能构成菱形，则点的纵坐标为，代入求出的值，即可求解
【小问1详解】
解：对于直线，
令，则，
，
令，则，
，
，
将点，坐标代入抛物线中，得，
，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：过点作轴交于点，
设，则，
，
，
当时，的值最大，最大值为4；
【小问3详解】
解：如图，
由翻折得，点、关于轴对称，
垂直平分，
当垂直平分时，四边形能构成菱形，
点的纵坐标为，
当时，，
，
四边形能构成菱形，点的坐标为或
【点睛】本题是二次函数综合题，考查一次函数的应用、翻折变换，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题．
25. 平面直角坐标系中，抛物线过点，，，顶点D不在第一象限，线段上有一点E，设的面积为，的面积为，．
（1）用含a的式子表示b；
（2）求点E的坐标；
（3）若直线与此抛物线的另一个交点F的横坐标为，求在时的取值范围（用含a的式子表示）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将点坐标代入解析式可求解；
（2）分两种情况讨论，由三角形面积关系，可得，由对称轴为，可求中点的坐标，由线段的数量关系，可求，可求解；
（3）先求出点坐标，点坐标可求直线解析式，可得点坐标，可求解析式，可得，由二次函数的性质可求解．
【小问1详解】
抛物线过点，
，
；
【小问2详解】
如图1，当点在点的左边时，设的中点为，

，，，，线段上有一点，
，，
．
，
，
，
抛物线，
对称轴为，
的中点坐标为，
，，，，
，
点
当点在点的右边时，设的中点为，

同理可求点，
综上所述：点或；
【小问3详解】
直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，
，
点，，
点是抛物线的顶点，
点，
直线的解析式为：，
点坐标为，
又点，
直线解析式为：，
直线与直线是同一直线，
，
，
抛物线解析式为：，
，
当时，，当时，，
．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，三角形面积公式，一次函数图象的性质，求出是本题的关键．
x
1
2
3
4
y
﹣3
﹣1
3
9
x
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﹣3
﹣1
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