广东省广州市广州大学附属中学2023-2024学年九年级上学期大联盟月考数学试题（含答案）

这是一份广东省广州市广州大学附属中学2023-2024学年九年级上学期大联盟月考数学试题（含答案），共41页。试卷主要包含了选择题．，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分120分，考试时间120分钟）
命题人：王华征 审题人：谭艳妮
第I卷（选择题共30分）
一、选择题．（共10小题，每小题3分，共30分． 每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 在中，无理数的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2. 下列五个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 个
3. 下列运算中，正确是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，的直径为，弦，垂足为，，则的长为( )

A. 2B. 3C. 4D. 5
5. 二次函数的图象向右平移3个单位，向上平移3个单位，得到新函数图象表达式是（ ）
A. B.
C D.
6. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 对于函数的图象，下列结论错误的是（ ）
A. 图象必经过点
B. 图象经过第一、二、四象限
C. 与轴的交点为
D. 若两点，在该函数图象上，则
8. 若关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k≥B. k>C. k≥且k≠0D. k>且k≠0
9. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是（ ）

A. B. C. D.
10. 如图，已知二次函数的图象如图所示，对于下列结论，其中正确结论的个数是（ ）
①；
②；
③；
④若m为任意实数；则．

A. 1B. 2C. 3D. 4
第II卷（非选择题共90分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分． ）
11. 若二次根式有意义，则a的取值范围是________．
12. 一个圆锥的母线长为，它的侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的底面半径r为________．
13. 若方程是关于x一元二次方程，则m的取值范围____________．
14. 已知是直线上的点，则的值是______．
15. 计算：______．
16. 是边长为5的等边三角形，是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，将绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是___________．
三、解答题（共9小题，共72分． ）
17. 解不等式组：．
18 先化简再求值：，其中．
19. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）作⊙O，使它过点A、B、C（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的圆中，若AC＝2，AB＝4，求劣弧BC的长．
20. 第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日-8月8日在成都举行．彬彬和明明申请足球A、篮球B、排球C、乒乓球D．四项赛事中某一项的志愿者，他们被随机分配到这四项赛事中的任意一项的可能性相同．
（1）“彬彬被分配到乒乓球D．赛事做志愿者”是___________事件(填“必然”、“不可能”或“随机”)．
（2）请用画树状图法或列表法，求彬彬和明明被分配到同一项赛事做志愿者的概率．
21. 如图，为的直径，为上一点，与过点的切线互相垂直，垂足为点，交于点，连接，．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
22. 2023春节档电影《满江红》热映，进一步激发观众爱国之情．帝都南阳与名将岳飞有着一段传颂至今的历史——公元1138年，岳飞统军过南阳到武侯祠敬拜诸葛亮，雨夜含泪手书前后《出师表》，为南阳留下了千古绝唱“三绝碑”．
某超市采购了两批同样的《出师表》纪念品挂件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批每个挂件的进价是第二批的倍，且第二批比第一批多购进25个．
（1）求第二批每个挂件的进价；
（2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线交于点，B为直线上一点．

（1）求a，b的值；
（2）当线段最短时，求点B的坐标；
（3）在x轴上找一点C，使的值最大，请直接写出点C的坐标，并直接写出最大值．
24. 已知：如图①，在矩形中，，，，垂足是E．点F是点E关于的对称点，连接．

（1）求和的长；
（2）若将沿着射线方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段上时，求出相应的m的值．
（3）如图②，将绕点B顺时针旋转，记旋转中的为，在旋转过程中，设所在的直线与直线交于点P，与直线交于点Q．当为等腰三角形时，直接写出的长．
25. 已知抛物线经过点．
（1）求抛物线解析式及其顶点的坐标．
（2）若点，均在抛物线上，且，求的取值范围．
（3）将点向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点，若点为抛物线上的一个动点，则以线段为直径的圆与直线交于点，，的面积是否为定值？若是，求出它的值；若不是，请说明理由．
2023-2024学年九年级1月质量检查
数学（问卷）
（满分120分，考试时间120分钟）
命题人：王华征 审题人：谭艳妮
第I卷（选择题共30分）
一、选择题．（共10小题，每小题3分，共30分． 每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 在中，无理数的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】先将能化简的数化简，再根据无理数的定义逐个进行判断即．
【详解】解：，
无理数有：，
∴无理数的个数是2个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数，常见的无理数有：开不尽方的数，含的数，无限不循环的数．
2. 下列五个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：图1是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
图2既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
图3不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
图4既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
图5是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
综上，符合题意的是图2和图4，共2个，
故选：B．
3. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方以及合并同类项的法则逐项计算即可．
【详解】A．，故此选项正确；
B．，不能合并，故此选项错误；
C．，故此选项错误；
D．，故此选项错误；
故选：A．
【点睛】考查了同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方的计算以及合并同类项的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
4. 如图，的直径为，弦，垂足为，，则的长为( )

A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】连接，则，根据垂径定理可得，勾股定理求得，进而即可求解．
【详解】解：连接，则，
，，
，
，
．

故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
5. 二次函数的图象向右平移3个单位，向上平移3个单位，得到新函数图象表达式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，即可求解．
【详解】解：将二次函数的图象向右平移3个单位，向上平移3个单位，得到函数图象的表达式是
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．
6. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆的内接四边形对角互补，圆心角是对弧的圆周角的2倍计算即可．
【详解】解：∵四边形内接于，
∴，而，
∴，
∴．
故选：B．
7. 对于函数的图象，下列结论错误的是（ ）
A. 图象必经过点
B. 图象经过第一、二、四象限
C. 与轴的交点为
D. 若两点，在该函数图象上，则
【答案】C
【解析】
【分析】求出当时y的值，求出当时，x的值即可判断A、C；根据一次函数图象与系数的关系即可判断B、D．
【详解】解：A、当时，，
一次函数的图象必过点，故A不符合题意；
B、，，
一次函数的图象经过第一、二、四象限，故B不符合题意；
C、当时，即，解得：，
一次函数图象与轴的交点为，故C符合题意；
D、，
随的增大而减小，
又点，在一次函数的图象上，且，
，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．
8. 若关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k≥B. k>C. k≥且k≠0D. k>且k≠0
【答案】C
【解析】
【分析】由方程为一元二次方程可得出k≠0，再根据方程有解结合根的判别式可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【详解】∵方程kx2+3x﹣1=0为一元二次方程，∴k≠0．
当k≠0时．
∵方程kx2+3x﹣1=0有实数根，∴△=b2﹣4ac=32+4k≥0，解得：k，
∴k的取值范围是k且k≠0．
故选C．
【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当一元二次方程有解时，根的判别式△≥0．”是解题的关键．
9. 如图，和是以点O为位似中心位似图形．若，则与的周长比是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据位似的性质得到与的位似比为，再利用比例性质得到，然后利用相似三角形的性质即可求出答案．
【详解】解：与是位似图形，点O为位似中心，
且，
，
，
又，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的相关性质是解题的关键．
10. 如图，已知二次函数的图象如图所示，对于下列结论，其中正确结论的个数是（ ）
①；
②；
③；
④若m为任意实数；则．

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线开口向上，交y轴于负半轴，可判断，，再结合抛物线的对称轴即可判断b，进而可判断①；将抛物线转化为交点式，可得，然后即可判断②③；分别计算与，变形比较即可判断④，从而可得答案．
【详解】解：∵抛物线开口向上，交y轴于负半轴，
∴，，
∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
∴，
∴，故①错误；
∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∴，故②正确；
若m为任意实数，则，
∵，，
∴，
即，故④正确；
综上，正确的结论有3个；
故选：C
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质以及相关代数式的变形，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活进行二次函数一般式与交点式的转化是解题的关键．
第II卷（非选择题共90分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分． ）
11. 若二次根式有意义，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
12. 一个圆锥的母线长为，它的侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的底面半径r为________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据圆锥的展开图是扇形，母线长为扇形的半径，底面周长是扇形的弧长，利用弧长公式求解即可．
【详解】解：根据题意，底面周长为，
由得，
故答案为：3．
【点睛】本题考查圆锥的展开图、扇形的弧长公式，熟记弧长公式是解答的关键．
13. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程成立的条件列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，熟记一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是解题的关键．
14. 已知是直线上的点，则的值是______．
【答案】－9
【解析】
【分析】把点P的坐标代入直线解析式中，可得3b－a=－2，从而可求得代数式的值．
【详解】把点P的坐标代入中，得，即3b－a=－6
所以
故答案为：－9．
【点睛】本题考查了点在直线上的坐标特征，求代数式的值，这里用到了整体思想．
15. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．直接利用二次根式的性质和完全平方公式运算法则化简，进一步计算得出答案．
【详解】解：
，
故答案为：．
16. 是边长为5的等边三角形，是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，将绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是___________．
【答案】##
【解析】
【分析】先证明，如图，设交于点T．证明，推出点F在的外接圆上运动，当最小时，的值最小，此时，求出可得结论．
【详解】解：∵都是等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
如图，设交于点T．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点F在外接圆上运动，当最小时，的值最小，此时，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值，
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，同弧所对的圆周角相等，解直角三角形，等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（共9小题，共72分． ）
17. 解不等式组：．
【答案】x≤1．
【解析】
【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再求出它们的公共解即可．
【详解】解：．
由①得x≤1；
由②得x＜4；
所以原不等式组的解集为：x≤1．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组．
18. 先化简再求值：，其中．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值、解一元二次方程，先根据分式的混合运算法则将式子化简，再解一元二次方程，选择合适的值，代入化简后的式子进行计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则以及解一元二次方程的方法是解此题的关键．
【详解】解：
，
，
，
解得：，，
当时，，故不符合题意，
当时，原式．
19. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）作⊙O，使它过点A、B、C（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的圆中，若AC＝2，AB＝4，求劣弧BC的长．
【答案】（1）见解析；（2）劣弧BC的长为
【解析】
【分析】（1）先找到圆心，作线段AB的垂直平分线交AB于O点，然后以O为圆心，OA为半径画圆即可；
（2）先证△AOC是边长为2的等边三角形，可得∠A=60°，再求∠BOC=120°，将它们代入弧长公式计算即可．
【详解】解：（1）如图，作线段AB的垂直平分线交AB于O点，然后以O为圆心，OA为半径画圆，⊙O即为所求；
（2）连接OC，
∵AB=4 ，AC＝2
∴OA＝OC＝2，，
∴OA＝OC＝AC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°，
∴劣弧BC的长为．
【点睛】本题考查作直角三角形的外接圆，线段垂直平分线，等边三角形判定与性质，圆周角定理，弧长公式，掌握作直角三角形的外接圆，线段垂直平分线，等边三角形判定与性质，圆周角定理，弧长公式是解题关键．
20. 第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日-8月8日在成都举行．彬彬和明明申请足球A、篮球B、排球C、乒乓球D．四项赛事中某一项的志愿者，他们被随机分配到这四项赛事中的任意一项的可能性相同．
（1）“彬彬被分配到乒乓球D．赛事做志愿者”是___________事件(填“必然”、“不可能”或“随机”)．
（2）请用画树状图法或列表法，求彬彬和明明被分配到同一项赛事做志愿者的概率．
【答案】（1）随机 （2）
【解析】
【分析】（1）根据随机事件的定义即可求解；
（2）列表法求得共有16种等可能的结果，其中彬彬和明明被分配到同一项赛事做志愿者的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：“彬彬被分配到乒乓球D．赛事做志愿者”是随机事件，
故答案是：随机；
【小问2详解】
画表格图如下：
∵总共有16种可能的抽取结果，彬彬和明明被分配到同一项赛事做志愿者的有4种，
∴彬彬和明明被分配到同一项赛事做志愿者概率．
【点睛】此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21. 如图，为的直径，为上一点，与过点的切线互相垂直，垂足为点，交于点，连接，．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接、，根据切线的性质得到，根据平行线的性质、等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理证明结论；
（2）根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．
【小问1详解】
解：证明：

连接、，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
由圆周角定理得，，，
，
；
【小问2详解】

由（1）可知，，
是的直径，
，
，
，，
，
，即，
解得，．
【点睛】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
22. 2023春节档电影《满江红》热映，进一步激发观众爱国之情．帝都南阳与名将岳飞有着一段传颂至今的历史——公元1138年，岳飞统军过南阳到武侯祠敬拜诸葛亮，雨夜含泪手书前后《出师表》，为南阳留下了千古绝唱“三绝碑”．
某超市采购了两批同样的《出师表》纪念品挂件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批每个挂件的进价是第二批的倍，且第二批比第一批多购进25个．
（1）求第二批每个挂件的进价；
（2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）40元 （2）售价定为55元时，最大利润是1350元
【解析】
【分析】（1）设第二批每个挂件的进价为x元，则第一批每个挂件的进价为元，根据题意列出方程，求解即可；
（2）设每个售价定为m元，每周所获利润为W元，则可列出W关于m的函数关系式，再根据“每周最多能卖90个”得出m的取值范围，根据二次函数的性质可得出结论．
【小问1详解】
解答：解：(1）设第二批每个挂件进价是每个x元，
根据题意得
解得，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
∴，
答：第二批每个挂件进价是每个40元；
【小问2详解】
设每个挂件售价定为m元，每周可获得利润W元，
∵每周最多能卖90个，
∴ ，
解得，
根据题意得，
∵，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵，
∴当时，W取最大，此时．
∴当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是1350元．
【点睛】本题综合考查分式方程和二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线交于点，B直线上一点．

（1）求a，b的值；
（2）当线段最短时，求点B的坐标；
（3）在x轴上找一点C，使的值最大，请直接写出点C的坐标，并直接写出最大值．
【答案】（1）
（2）
（3），最大值
【解析】
【分析】（1）首先把点代入直线得出的值， 再进一步代入直线求得的值即可；
（2）当直线时, 线段最短，进而得出的坐标即可；
（3）由三角形的三边关系得，,当三点共线时, ，, 即最大, 即为,进而解答即可.
【小问1详解】
把点代入直线，
解得：，
把代入，
解得：，
∴，；
【小问2详解】
当垂直于直线时，线段最短，把直线与y轴的交点标记为E，

当时，，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，
∴，
过点B作于点M，
∴，
∴，
∴B；
【小问3详解】
在轴上取点，由三角形的三边关系得，,
当三点共线时, ，, 即最大, 即为,
所以点在上,
把代入中,
得,
得,
∴,
∵,
过点作于点，
，
【点睛】本题考查了一次函数的综合题，关键是根据一次函数图象上点的坐标特征与垂线段最短的性质解答，结合图形，选择适当的方法解决问题.
24. 已知：如图①，在矩形中，，，，垂足是E．点F是点E关于的对称点，连接．

（1）求和的长；
（2）若将沿着射线方向平移，设平移距离为m（平移距离指点B沿方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段上时，求出相应的m的值．
（3）如图②，将绕点B顺时针旋转，记旋转中的为，在旋转过程中，设所在的直线与直线交于点P，与直线交于点Q．当为等腰三角形时，直接写出的长．
【答案】（1），
（2）当点落在上时，，当点落在上时，
（3）的长度分别为2或或或．
【解析】
【分析】（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；
（2）依题意画出图形，如图所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值；
（3）在旋转过程中，等腰有4种情形，分别画出图形，对于各种情形分别进行计算即可．
【小问1详解】
解：∵四边形是矩形，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，
∵点F是点E关于的对称点，
，，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：．
【小问2详解】
解：设平移中的三角形为，如图所示：

由对称点性质可知，．，
由平移性质可知，，，．
①当点落在上时，
，
，
，
，即；
②当点落在上时，
，
，
，，
，
又易知，
为等腰三角形，
，
，即；
【小问3详解】
解：存在．理由如下：
在旋转过程中，等腰依次有以下4种情形：
①如图所示，点Q落在延长线上，且，则，

，
，，
，
，
．
在中，由勾股定理得：．
；
②如图所示，点Q落在上，且，则，

，
，
，
则此时点落在边上．
，
，
，
．
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：，
；
③如图所示，点Q落在上，且，则．

，，
．
，
．
，
，
，
，
．
在中，由勾股定理得：，
；
④如图所示，点Q落在上，且，则．

，，，
，
，
．
综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q，使为等腰三角形；的长度分别为2或或或．
【点睛】本题是四边形综合题目，主要考查了矩形的性质、轴对称的性质、平移的性质、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点；第（3）问难度很大，解题关键是画出各种旋转图形，依题意进行分类讨论．
25. 已知抛物线经过点．
（1）求抛物线的解析式及其顶点的坐标．
（2）若点，均在抛物线上，且，求的取值范围．
（3）将点向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点，若点为抛物线上的一个动点，则以线段为直径的圆与直线交于点，，的面积是否为定值？若是，求出它的值；若不是，请说明理由．
【答案】（1），；
（2）；
（3）是，．
【解析】
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，转化为顶点式，求出点的坐标；
（2）根据抛物线的对称性，得到，结合，得到，，设，根据二次函数的性质，求出
时，的取值范围即可；
（3）平移得到点的坐标，设，两点间的坐标公式得到，中点坐标公式，得到的中点的坐标为，进而求出点到直线的距离，利用垂径定理，得到，求出的长，再求出点到直线的距离，然后利用面积公式进行求解即可．
【小问1详解】
解：将点代入得，，
∴，
∴，
∵，
∴函数的顶点的坐标为．
【小问2详解】
∵，在抛物线上，
∴点和点关于对称轴对称，
∴，
∵，
∴，，
设，
∵开口向上，对称轴为，
∴当时，随的增大而减小，
∴，即，
∴，
∴．
【小问3详解】
由题意得，，设，则，
∴，的中点坐标为，记为点，
∴点到直线的距离为，
由垂径定理得，，
∴，
∴，
∴，
∵点到直线的距离为，
∴，
∴的面积为定值．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
彬彬
明明