广东省广州市花都区广州市黄广中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（含答案）

这是一份广东省广州市花都区广州市黄广中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（含答案），共35页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

满分：120分 时长：120分钟
一、单选题（10×3=30分）
1. 关于的一元二次方程，该方程的常数项是（ ）
A. 2B. －3C. 1D. －1
2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列一元二次方程中，无实数根的是（ ）
A. B. C. D.
4. 若方程的两个实数根为，，则值为（ ）
A. 2B. C. D. 6
5. 通过平移的图象，可得到的图象，下列平移方法正确的是（ ）
A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位
C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位
6. 某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干、和小分支总数共57．若设主干长出x个支干，则可列方程是（ ）
A. （1+x）2=57B. 1+x+x2=57C. （1+x）x=57D. 1+x+2x=57
7. 二次函数的图象上三个点的坐标分别为A（1，），B（，），C（5，），则、、的大小关系是（ ）．
A B. C. D.
8. 二次函数的图像如图所示，下列结论中错误的是（ ）
A. B.
C. D. 当时，
9. 将抛物线y＝2（x﹣3）2﹣2绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ）
A. y＝﹣2（x﹣3）2+2B. y＝﹣2（x+3）2+2
C. y＝﹣2（x﹣3）2﹣2D. y＝﹣2（x+3）2﹣2
10. 如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）

A B.
C. D.
二、填空题（6×3=18分）
11. 若关于的一元二次方程有一个根为0，则________．
12. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________．
13. 抛物线的对称轴是直线，则________．
14. 一元二次方程，配方后为，则__________.
15. 如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为______．
16. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）．
①方程是“倍根方程”；
②若是“倍根方程”，则；
③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”；
④若方程是“倍根方程”，则必有．
三、解答题（4+4+6+6+8+10+10+12+12=72分）
17. 用恰当的方法解一元二次方程：
18. 先化简，再求代数式的值，其中．
19. 如图，是正方形，是边上任意一点，连接，作，，垂足分别为G．求证：．
20. 已知关于x的方程（x-3）(x-2)-p2=0．
（1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=3 x1x2，求实数p的值．
21. 如图，二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P坐标．
22. 因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达万人次．
（1）求东部华侨城景区2020至2022年春节长假期间接待游客人次的平均增长率．
（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2022年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
23. 小明为了探究函数M：的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题．

（1）完成函数图象的作图，并完成填空．
①列出y与x的几组对应值如下表：
表格中，a=_______；
②结合上表，在下图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x>0时函数M的图象；
③观察图象，当x=______时，y有最大值为_______；
（2）求函数M：与直线l：交点坐标；
（3）已知P（m，），Q（m+1，）两点在函数M的图象上，当时，请直接写出m的取值范围．
24. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：（a、c为常数且a＜c）过点A（1，0），顶点为B．
（1）用含a的式子表示c；
（2）判断点B所在象限，并说明理由；
（3）若直线l：y＝2x﹣b经过点A，且与抛物线G交于另一点C，当△ABC的面积为时，求在﹣1＜x＜1时的取值范围．
25. 已知，，点C为射线BF上一动点（不与点B重合），关于AC的轴对称图形为．
（1）如图1，当点D在射线AE上时，求证；四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，当点D在射线AE，BF之间时，若点G为射线BF上一点，点C为BG的中点，且，，求DG的长；
（3）如图3，在（1）的条件下，若，连接BD，点P，Q分别是线段BC，BD上的动点，且，求的最小值．
黄广中学2023-2024学年度第一学期第一次月反馈练习
九年级数学学科
满分：120分 时长：120分钟
一、单选题（10×3=30分）
1. 关于的一元二次方程，该方程的常数项是（ ）
A. 2B. －3C. 1D. －1
【答案】D
【解析】
【分析】按照一元二次方程的一般形式找出二次项系数，一次项系数，以及常数项，即可做出判断．
【详解】解：一元二次方程的常数项为-1，
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)，其中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】方程移项后，配方得到结果，即可作出判断．
【详解】解：方程移项得：x2-8x=-9，配方得：x2-8x+16=7，即（x-4）2=7，
故选A．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3. 下列一元二次方程中，无实数根的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别计算出每个方程的判别式的值，从而得出答案．
【详解】解：A．，此方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
B．，此方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
C．，此方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
D．，此方程没有实数根，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查根的判别式，掌握一元二次方程（a≠0）的根与的关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根是解决问题的关键．
4. 若方程的两个实数根为，，则值为（ ）
A. 2B. C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵方程两个实数根为，，
∴，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了求代数式的值，一元二次方程根与系数的关系，熟知若，是一元二次方程的两个解，则；是解本题的关键．
5. 通过平移的图象，可得到的图象，下列平移方法正确的是（ ）
A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位
C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位
【答案】C
【解析】
【分析】根据平移前后两个抛物线的顶点坐标的变化来判定平移方法．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是，
又∵抛物线的顶点坐标是，
∴由二次函数的图象向左移动1个单位，向下移动3个单位，可得到的图象．
故选：C
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解本题的关键是根据顶点式得到新抛物线的顶点坐标．
6. 某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干、和小分支总数共57．若设主干长出x个支干，则可列方程是（ ）
A. （1+x）2=57B. 1+x+x2=57C. （1+x）x=57D. 1+x+2x=57
【答案】B
【解析】
【分析】关键描述语是“主干、支干、小分支的总数是73”，等量关系为：主干1+支干数目+小分支数目=57，把相关数值代入即可．
【详解】解：∵主干为1，每个支干长出x个小分支，每个支干又长出同样数目的小分支，
∴小分支的个数为x×x=x2，
∴可列方程为1+x+x2=57．
故选B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．
7. 二次函数的图象上三个点的坐标分别为A（1，），B（，），C（5，），则、、的大小关系是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数图象具有对称性和二次函数图象上点的坐标特征，可以判断y1、y2、y3的大小，从而可以解答本题．
【详解】解：∵，
∴二次函数的开口向下，对称轴为：，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
∵，
∴；
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确二次函数的性质，找出所求问题需要的条件．
8. 二次函数的图像如图所示，下列结论中错误的是（ ）
A. B.
C. D. 当时，
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的开口方向得出的符号，根据抛物线对称轴可得的符号，根据抛物线与轴的交点可得的符号，从而判断选项A；令，观察图像可得选项B；根据对称轴可判断选项C，观察图像可得时的取值范围，从而判断选项D．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线对称轴为，
∴，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴，
∴，
故选项A正确，不符合题意；
当时，观察图像可得，
故选项B正确，不符合题意；
∵抛物线对称轴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选项C正确，不符合题意；
根据图像可得：当时，，
故选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了图像与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向，对称轴和抛物线与轴的交点确定．
9. 将抛物线y＝2（x﹣3）2﹣2绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ）
A. y＝﹣2（x﹣3）2+2B. y＝﹣2（x+3）2+2
C. y＝﹣2（x﹣3）2﹣2D. y＝﹣2（x+3）2﹣2
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线y＝2（x﹣3）2﹣2绕它的顶点旋转180°，知抛物线顶点不变，a变成相反数，直接写出即可.
【详解】解：抛物线y＝2（x﹣3）2﹣2顶点坐标为（3，-2），a=2，
抛物线y＝2（x﹣3）2﹣2绕它的顶点旋转180°，则a=-2，顶点坐标为（3，-2），
所以绕顶点旋转180°后，得：y＝﹣2（x﹣3）2﹣2，
故选C．
【点睛】本题是对抛物线解析式的考查，熟练掌握抛物线旋转的特点是解决本题的关键.
10. 如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先求出点A和点B坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y=x+m与抛物线C2相切时m的值以及直线y=x+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案．
【详解】解：令y=﹣2x2+8x﹣6=0，
即x2﹣4x+3=0，
解得x=1或3，
则点A（1，0），B（3，0），
由于将C1向右平移2个长度单位得C2，
则C2解析式为y=﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），
当y=x+m1与C2相切时，

令y=x+m1=y=﹣2（x﹣4）2+2，
即2x2﹣15x+30+m1=0，
△=﹣8m1﹣15=0，
解得m1=，
当y=x+m2过点B时，
即0=3+m2，
m2=﹣3，
当时直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，
故选D．
【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
二、填空题（6×3=18分）
11. 若关于的一元二次方程有一个根为0，则________．
【答案】1或-1##-1或1
【解析】
【分析】将x=1代入方程求解即可．
【详解】解：将x=1代入方程得到
解得m=1或-1
故答案为：1或-1．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，已知方程的解时应将解代入方程求某字母系数的值．
12. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根可得即可得出答案．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程：若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；若，则一元二次方程有两个相等的实数根；若，则一元二次方程没有实数根；熟知此关系是解本题的关键．
13. 抛物线的对称轴是直线，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数解析式的对称轴为，求解即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数解析式的性质，熟知二次函数解析式的对称轴为是解本题的关键．
14. 一元二次方程，配方后为，则__________.
【答案】15
【解析】
【分析】利用完全平方公式化简后，即可确定出a的值．
【详解】∵（x−4）2＝x2−8x＋16＝1，
∴a＝15；
故答案为：15．
【点睛】此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
15. 如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据点O与点A的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P的坐标，过点P作PM⊥y轴于点M，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于四边形NPMO的面积，然后求解即可．
【详解】过点P作PM⊥y轴于点M，设PQ交x轴于点N，
∵抛物线平移后经过原点O和点A（﹣6，0），
∴平移后的抛物线对称轴为x=﹣3．
∴平移后的二次函数解析式为：y=（x+3）2+h，
将（﹣6，0）代入得出：0=（﹣6+3）2+h，解得：h=﹣．
∴点P的坐标是（－3，﹣）．
根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，
∴S=，
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的问题，根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的解析式，并对阴影部分的面积进行转换是解题的关键．
16. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）．
①方程是“倍根方程”；
②若是“倍根方程”，则；
③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”；
④若方程是“倍根方程”，则必有．
【答案】②③④
【解析】
【分析】①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”；
②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系；
③当满足时，有，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”；
④用求根公式求出两个根，当或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
【详解】①解方程，得，
，
方程不是“倍根方程”．故①不正确；
②是“倍根方程”，且，
因此或．
当时，，
当时，，
，故②正确；
③，
，
，
，
因此是“倍根方程”，故③正确；
④方程的根为，
若，则，
即，
，
，
，
，
，
若，则，
，
，
，
，
．故④正确，
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．
三、解答题（4+4+6+6+8+10+10+12+12=72分）
17. 用恰当的方法解一元二次方程：
【答案】
【解析】
【分析】利用因式分解或配方法或公式法计算即可．
【详解】解：
【点睛】本题主要考查二次方程解法，可以用配方法，公式法或因式分解法解题．
18. 先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先计算小括号里面的，再化除法为乘法，然后再约分，对式子进行化简，再把代入化简的式子，计算即可．
【详解】
；
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的加减，熟悉因式分解以及分式除法的法则．
19. 如图，是正方形，是边上任意一点，连接，作，，垂足分别为G．求证：．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】根据正方形的性质可得AB＝AD，再利用同角的余角相等求出∠BAF＝∠ADG，再利用“角角边”证明△BAF和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝AG，根据线段的和与差可得结论．
【详解】证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△BAF≌△ADG是解题的关键．
20. 已知关于x的方程（x-3）(x-2)-p2=0．
（1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=3 x1x2，求实数p的值．
【答案】（1）详见解析；（2）p=±1．
【解析】
【分析】（1）先把方程化成一般形式，再计算根的判别式，判定△＞0，即可得到总有两个不相等的实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得两根和与两根积，再把变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p的一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】证明：（1）（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0，
x2﹣5x+6﹣p2=0，
△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）=25﹣24+4p2=1+4p2，
∵无论p取何值时，总有4p2≥0，
∴1+4p2＞0，
∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）x1+x2=5，x1x2=6﹣p2，
∵，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2=3x1x2，
∴52=5（6﹣p2），
∴p=±1．
21. 如图，二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）y＝－－4x P1（－2， 4），P2（－2＋2 ，－4），P3（－2－2 ，－4）
【解析】
【详解】试题分析：（1）把点A原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）根据三角形的面积公式求出点P到AO的距离，然后分点P在x轴的上方与下方两种情况解答即可．
试题解析：（1）由已知条件得，
解得，
所以，此二次函数的解析式为y=﹣x2﹣4x；
（2）∵点A的坐标为（﹣4，0），
∴AO=4，
设点P到x轴的距离为h，
则S△AOP=×4h=8，
解得h=4，
①当点P在x轴上方时，﹣x2﹣4x=4，
解得x=﹣2，
所以，点P的坐标为（﹣2，4），
②当点P在x轴下方时，﹣x2﹣4x=﹣4，
解得x1=﹣2+2，x2=﹣2﹣2，
所以，点P的坐标为（﹣2+2，﹣4）或（﹣2﹣2，﹣4），
综上所述，点P的坐标是：（﹣2，4）、（﹣2+2，﹣4）、（﹣2﹣2，﹣4）．
考点：1.待定系数法求二次函数解析式，2.二次函数图象上的点的坐标特征
22. 因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达万人次．
（1）求东部华侨城景区2020至2022年春节长假期间接待游客人次的平均增长率．
（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2022年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
【答案】（1）
（2）元
【解析】
【分析】（1）设年平均增长率为x，根据东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达万人次．列出方程求解即可；
（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得关于y的方程，解方程并对方程的解作出取舍即可．
【小问1详解】
解：设年平均增长率为x，由题意得：
，
解得：，（舍）．
答：年平均增长率为．
【小问2详解】
解：设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得：
，
整理得：，
解得：，．
∵售价不超过20元，
∴．
答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．
【点睛】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键．
23. 小明为了探究函数M：的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题．

（1）完成函数图象的作图，并完成填空．
①列出y与x的几组对应值如下表：
表格中，a=_______；
②结合上表，在下图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x>0时函数M的图象；
③观察图象，当x=______时，y有最大值为_______；
（2）求函数M：与直线l：的交点坐标；
（3）已知P（m，），Q（m+1，）两点在函数M的图象上，当时，请直接写出m的取值范围．
【答案】（1）①-3；②见解析；③2或-2，1
（2）(-6，-15)，(0，-3)，(2，1)
（3）或
【解析】
【分析】（1）①观察表格，根据对称性直接求得的值；
②根据描点连线画出函数图象也可根据对称性画出函数图象；
③根据函数图像直接求解；
（2）分两种情况联立解方程求解即可；
（3）根据函数图象选取函数图象中随增大而增大的部分的自变量取值范围即可求解
【小问1详解】
①根据表格数据可知y与x的几组对应值关于对称，
当与的函数值相等，则
故答案为：
②画图如下，

③观察图象，当x=2或-2时，y有最大值1；
故答案为：2或-2，1
【小问2详解】
由，
当时，
解得
当时，
综上所述，交点坐标为(-6，-15)，(0，-3)，(2，1)；
【小问3详解】
观察函数图像可知，当以及时，随增大而增大
∵P（m，），Q（m+1，）两点在函数M的图象上， ，
∴或，
解得，m<-3或0由对称性可知：当m=-2.5，-0.5，1.5时，，
当时，；当时，；当时，；
因此，当时， m的取值范围是：或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题，根据二次函数的增减性判断取值范围，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
24. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：（a、c为常数且a＜c）过点A（1，0），顶点为B．
（1）用含a的式子表示c；
（2）判断点B所象限，并说明理由；
（3）若直线l：y＝2x﹣b经过点A，且与抛物线G交于另一点C，当△ABC的面积为时，求在﹣1＜x＜1时的取值范围．
【答案】（1）c＝﹣2a
（2）点B在第二象限，理由见解析
（3）0＜y≤
【解析】
【分析】（1）将点A（1，0）代入中化简即可；
（2）求出的顶点式，得出顶点坐标，再根据a和c的取值范围即可求出B点所在象限；
（3）根据y＝2x﹣b经过点A（1，0）求出b的值，由得出C点坐标，过点B作BDy轴，交l：y＝2x﹣2于点D，得出D点坐标，计算出a值，代入B点坐标即可求解．
【小问1详解】
过点A（1，0），
∴a+a+c＝0，
∴c＝﹣2a；
【小问2详解】
的顶点B为，
∵c＝﹣2a，a＜c，
∴a＜﹣2a，
∴a＜0，
∴点B在第二象限；
【小问3详解】
y＝2x﹣b经过点A（1，0），
∴b＝2，
由得：，
即C，
过点B作BDy轴，交l：y＝2x﹣2于点D，
则D（﹣，﹣3），
∴，
∴，
解得，
∴
顶点B，
∴﹣1＜x＜1时，0＜y≤．
【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的性质，一次函数和二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是理解题意并熟练应用一次函数和二次函数的性质，一次函数和二次函数图象上点的坐标特征．
25. 已知，，点C为射线BF上一动点（不与点B重合），关于AC的轴对称图形为．
（1）如图1，当点D在射线AE上时，求证；四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，当点D在射线AE，BF之间时，若点G为射线BF上一点，点C为BG的中点，且，，求DG的长；
（3）如图3，在（1）的条件下，若，连接BD，点P，Q分别是线段BC，BD上的动点，且，求的最小值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）证明四边相等，可得结论；
（2）如图2中，连接BD交AC于点O．设OC＝y．根据BD的两种求法，构建方程，求出y即可；
（3）如图3中，设AC交BD于点O，过点A作AH⊥BC于点H，设BP＝DQ＝x．由题意AP+AQ＝推出欲求AP+AQ的最小值，相当于在x轴上找一点M（x，0），使得点M到N（3，），J（，3）的距离和最小，如下图，作点J关于x轴的对称点K，连接KN交x轴于点M，此时MN+MJ的值最小，最小值为线段KN的长．
【小问1详解】
证明：如图1中，
∵△ACD与△ACB关于AC对称，
∴AB＝AD，CB＝CD，∠CAB＝∠CAD，
∵AE∥AF，
∴∠CAD＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠CAB，
∴BA＝BC，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
小问2详解】
解：如图2中，连接BD交AC于点O．设OC＝y．
∵△ACD与△ACB关于AC对称，
∴AC垂直平分线段BD，
∴BO＝OD，
∵BC＝CG，
∴OC∥DG，DG＝2OC＝2y，
∴DG⊥BD，
∴BD＝，
又∵BD＝2OB＝，
∴，
∴y＝，
∴DG＝2y＝；
【小问3详解】
解：如图3中，设AC交BD于点O，过点A作AH⊥BC于点H，设BP＝DQ＝x．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠ADC＝60°，AC⊥BD，
∴△ABC，△ADC都是等边三角形，
∴OA＝OC＝3，OD＝，
∵AH⊥CB，
∴BH＝CH＝3，AH＝，
∴AP+AQ＝，
欲求AP+AQ的最小值，相当于在x轴上找一点M（x，0），使得点M到N（3，），J（，3）的距离和最小，如下图，
作点J关于x轴的对称点K，连接KN交x轴于点M，此时MN+MJ的值最小，最小值为线段KN的长，
∴KN＝，
∴AP+AQ的最小值为．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，解直角三角形，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
x
…
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
-8
-3
0
1
0
-3
0
1
0
a
-8
…
x
…
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
-8
-3
0
1
0
-3
0
1
0
a
-8
…