第一章特殊平行四边形微专题——含辅助线压轴证明题 北师大版数学九年级上册

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2023-2024学年北师大版数学九年级上册第一章特殊平行四边形微专题——含辅助线压轴证明题1．已知在菱形ABCD中，∠ABC=60°，连接对角线AC．  (1)如图1，E为AD边上一点，F为DC边延长线上一点，且AE=CF，连接AF，BE交于点G．①求证：BE=AF；②过点C作CH⊥BE，垂足为H，求证：CH=32BG；(2)如图2，已知AB=4，将△ACD沿射线AC平移，得到△A'C'D'，连接BA'，BD'，请直接写出BA'+BD'的最小值．2．如图1，正方形ABCD中，AC是对角线，等腰RtΔCMN中，∠CMN=90°，CM=MN，点M在CD边上，连接AN，点E是AN的中点，连接BE．(1)若CM=2，AB=6，求AE的值；(2)求证：2BE=AC+CN；(3)当等腰RtΔCMN的点M落在正方形ABCD的BC边上，如图2，连接AN，点E是AN的中点，连接BE，延长NM交AC于点F．请探究线段BE、AC、CN的数量关系，并证明你的结论．3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，F是经过点B且与AC平行的直线上一点，且∠BAF=∠ADB，点E在线段OD上，且满足AE=CD，连接CE．(1)若∠BAF=35°，求∠EAC的度数；(2)若BF=2OE，求证：CE⊥BD．4．正方形ABCD中，点E、F在BC、CD上，且BE=CF，AE与BF交于点G．(1)如图1，求证△ABE≌△BCF；(2)如图2，在GF上截取GM=GB，∠MAD的平分线交CD于点H，交BF于点N，连接CN，求证：①△AGN是等腰直角三角形；②CN+AN=2BN．5．如图，矩形ABCD中，BC=2AB，点E是边AD的中点，点F是线段AE上一点（点F不与点A，E重合），连接BF，过点F作直线BF的垂线，与线段CE交于点G，连接BG，点H是线段BG的中点．(1)若CE=22，求矩形ABCD的面积；(2)求证：BF=2EH.6．在正方形ABCD中，连接对角线AC，在AC上截取AE=BC，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，延长AF交BC于点M．(1)如图1，连接ME并延长交AD的延长线于点Q，若BC=5，求△AQM的面积；(2)如图2，过点A作AP⊥AM于点A，交CD的延长线于点P，求证：AP-2FM=BE．7．如图，四边形ABCD是正方形，点E在AB的延长线上，连接EC，EC绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接CF、AF，CF与对角线BD交于点G．(1)若BE=2，求AF的长度；(2)求证：AF+2BG=2AD．8．已知，在正方形ABCD中，点E，F分别为AD上的两点，连接BE、CF，并延长交于点G，连接DG，H为CF上一点，连接BH、DH，∠GBH+∠GED=90°(1)如图1，若H为CF的中点，且AF=2DF，DH=102，求线段AB的长；(2)如图2，若BH=BC，过点B作BI⊥CH于点I，求证：BI+22DG=CG；(3)如图2，在（1）的条件下，P为线段AD（包含端点A、D）上一动点，连接CP，过点B作BQ⊥CP于点Q，将△BCQ沿BC翻折得△BCM，N为直线AB上一动点，连接MN，当△BCM面积最大时，直接写出22AN+MN的最小值．9．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E为对角线BD上一动点，连接AE．(1)如图1，点F为DE的中点，连接AF，若BE=AE，求∠FAD的度数；(2)如图2，△BEM是等边三角形，连接DM，H为DM的中点，连接AH，猜想线段AH与AE之间的数量关系，并证明．(3)在（2）的条件下，N为AD的中点，连接AM，以AM为边作等边△AMP，连接PN，若AD=23，直接写出PN的最小值．10．如图，正方形ABCD的边长为6， 点E在边AB上，连接ED，过点D作FD⊥DE与BC的延长线相交于点F， 连接EF与边CD相交于点G、与对角线BD相交于点H．(1)若BD＝BF，求BE的长；(2)若∠2＝2∠1，求证：HF＝HE＋HD．11．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，AB＝3，AD＝4．(1)如图1，当∠DAG＝30°时，求BE的长；(2)如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长；(3)如图3，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时，直接写出BE的长．12．如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，DE⊥AB于点E，点F为线段BC上的动点，H为线段DF上任意一点，连接AC和BD．（1）如图1，当DF⊥BC时，求DF的长．（2）如图2，作FG//DE交AC于点G，H为DF的中点，连接HG，HB，BG．猜想线段HG与HB存在的数量关系，并证明你猜想的结论．（3）在点F的运动过程中，当HB+HC+HD的值最小时，请直接写出HF的长．13．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，将过点A的直线l绕点A旋转，交射线CD于点E，BF⊥l于点F，DG⊥l于点G，连接OF，OG（1）如图①当点E与点C重合时，请直接写出线段OF、OG的数量关系；（2）如图②，当点E在线段CD上时，OF与OG有什么数量关系？请说明你的结论；（3）如图③，当点E在线段CD的延长线上时，OF与OG有什么数量关系？请说明你的结论．14．如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．（1）如图1，探究PG与PC的位置关系，写出你的猜想并加以证明；（2）如图1，若PG=PC，BE=2，求菱形BEFG的面积．（3）如图2，将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的边BG恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，若∠ABC=∠BEF=60°，请直接写出PG与PC的数量关系．15．如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥AC，AD=AC，点E为AB上一动点，DE与AC相交于点G，CH⊥DE，垂足为H，CH的延长线与AB相交于点F，点P在边AB上（1）若DG=10，AG=1，求AB的长（2）求证DG=CF+FG（3）若AP=1，AD=42，请直接写出PH的最小值16．在菱形ABCD中，∠ADC=120°，P为菱形ABCD内对角线BD右侧一点．（1）如图1，连接AP,BP,DP，若∠BPD=2∠BAD，求证：AP=BP+DP；（2）如图2，过点P作PE⊥CD于点E，PF⊥BD于点F，PG⊥BC于点G．连接EF,FG,EG，若AB=6，求ΔEFG面积的最大值．