甘肃省武威市凉州区永昌九年制学校联片教研2023-2024学年七年级下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题(共30分)
1. 下列大学校徽内部图案中可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由平移的性质，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：由平移的性质可知，C选项的图案是通过平移得到的；
A、B、D中的图案不是平移得到的；
故选：C．
【点睛】本题考查了平移的性质，解题的关键是掌握图案的平移进行解题．
2. 下列各组角中，和是对顶角的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查对顶角的定义，熟悉定义是关键．
对顶角的定义：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．根据对顶角的定义进行判断即可．
【详解】解：根据两条直线相交，才能构成对顶角进行判断，
A、B、C都不是由两条直线相交构成的图形，选项错误，不符合定义；
D是由两条直线相交构成的图形，选项正确，符合定义．
故选：D．
3. 如图，某村庄要在河岸上建一个水泵房引水到处．他们的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处，这样做最节省水管长度，其数学道理是（ ）
A. 两点确定一条直线B. 垂线段最短
C. 两点之间，线段最短D. 过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
【答案】B
【解析】
【分析】根据垂线段的性质解答即可．
【详解】解：过点C作于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂线段的性质：垂线段最短．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决实际问题．
4. 如图，将三角尺的直角顶点放在直线b上，如果，要使，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质、平角定义，利用平行线的性质得到即可求解．
【详解】解：如图，，，则，
∵，
∴，
故选：A．
5. 绿色出行，健康出行，你我同行．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中都与地面平行，与平行，，．则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题关键．根据可得，根据与平行可得，再根据三角形内角和可得答案．
【详解】解：∵都与地面平行，，
∴，
∴，
∵与平行，，
∴，
∴．
故选：B．
6. 已知两个不相等的实数x，y满足：，，则的值为（ ）
A. B. 0C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得x、y是a的两个不相等的平方根，根据平方根的性质可得即可解答
【详解】解：∵两个不相等的实数满足：，
∴x、y是a的两个不相等的平方根
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平方根的性质，掌握一个正数的两个不相等的平方根的和为0成为解答本题的关键．
7. 面积为 2 的正方形的边长是（ ）
A. 2的平方根B. 2的算术平方根C. 2开平方的结果D. 2的立方根
【答案】B
【解析】
【分析】分别根据平方根的定义，算术平方根的定义以及立方根的定义判断即可．
【详解】解：面积为2的正方形的边长是2的算术平方根．
故选：．
【点睛】本题考查了立方根，平方根、算术平方根，能熟记知识点的内容是解此题的关键．
8. 估计的值在（ ）
A. 2到3之间B. 3到4之间C. 4到5之间D. 5到6之间
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查估算无理数大小的知识，由，由此可得出正确答案．
【详解】解：，
在4和5之间．
故选：C．
9. 点P在第二象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，点P坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据第二象限内点的特点及点到坐标轴的距离定义，即可判断出点P的坐标．
【详解】解：∵点P在第二象限，
∴P点的横坐标为负，纵坐标为正，
∵到x轴的距离是2，
∴纵坐标为：2，
∵到y轴的距离是3，
∴横坐标为：，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，熟练掌握其特点是解题关键．
10. 在平面直角坐标系中，下列说法：①若点在坐标轴上，则；②若为任意实数，则点一定在第一象限；③若点到轴的距离与到轴的距离均为2，则符合条件的点有2个；④已知点，点，则轴．其中正确的是（ ）
A. ①④B. ②③C. ①③④D. ①②④
【答案】A
【解析】
【分析】根据在轴上的点的纵坐标等于0、在轴上的点的横坐标等于0即可判断①；根据即可判断②；根据点到坐标轴的距离可得点的横、纵坐标均等于，由此即可判断③；根据点的纵坐标相同即可判断④．
【详解】解：若点在坐标轴上，则中至少有一个等于0，
所以，说法①正确，符合题意；
若为任意实数，则，
所以点第一象限上或轴正半轴上，说法②错误，不符合题意；
若点到轴的距离与到轴的距离均为2，则点的横、纵坐标均等于，
所以符合条件的点的坐标为，，，，共有4个，说法③错误，不符合题意；
因为点，点的纵坐标相同，
所以轴，说法④正确，符合题意；
综上，正确的是①④，
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标、点到坐标轴的距离、坐标与图形，熟练掌握点的坐标的特征是解题关键．
二、填空题(共24分)
11. 如图，立定跳远比赛时，小明从点A处起跳，落在沙坑内的点B处，跳远成绩是2.3米，则起跳点A到落脚点B的距离___________2.3米（填“大于”“小于”或“等于”）．
【答案】大于
【解析】
【分析】本题考查了垂线段最短的性质，熟悉测量跳远成绩的方法是解题的关键．过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．根据跳远成绩为距离起跳线最近的点到起跳线的距离，即垂线段的长，据此作答．
【详解】解：如图：
这次小明的跳远成绩是2.3米，
米，
垂线段最短，
，
即米，
故答案为：大于．
12. 命题“如果，，那么”，是___________（选填“真”或“假”）命题，
【答案】真
【解析】
【分析】本题考查平行公理，正确理解平行公理即可解题．
【详解】解：在同一平面内，两直线平行于同一直线，则这两直线互相平行，
所以命题“如果，，那么”，是真命题，
故答案为：真．
13. 如图，直线，将一个直角的顶点放在直线上，若，则_____．
【答案】##40度
【解析】
【分析】由补角的性质求得，再根据平行线的性质得，即可求解．
【详解】解：由图可知，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，补角的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
14. 的平方根是_______．
【答案】±2
【解析】
【详解】解：∵
∴的平方根是±2．
故答案为±2．
15. 已知一个正数的两个平方根分别是和，那么的立方根是___________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据平方根定义，正数有两个平方根，它们是互为相反数，先求a ，再求这个数，最后求这个数的立方根即可．
【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和，
，
解得
∴，
27的立方根是3，
∴的立方根是3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查正数的立方根，关键掌握平方根的性质和立方根定义，正数有两个平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根，会求一个数的立方根．
16. 比较大小：______（填“，或”）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查实数的大小比较，运用作差法比较即可
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：
17. 已知点，且轴，则______．
【答案】-3
【解析】
【分析】根据平行于轴的直线上的点的横坐标相同求出的值．
【详解】解：点，，轴，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，比较简单，熟练掌握平行于轴的直线上的点的横坐标相同，平行于轴的直线上的点的纵坐标相同是解题的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系中，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按…的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是____________．

【答案】
【解析】
【分析】先根据点的坐标求出四边形的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴绕四边形一周的细线长度为，
，
∴细线另一端在绕四边形第203圈的第3个单位长度的位置，
即细线另一端所在位置的点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了点的坐标规律探求，根据点的坐标求出四边形一周的长度，从而确定2023个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．
三、计算题(共8分)
19 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据幂的运算法则，根式性质，立方根的定义直接计算即可得到答案；
（2）根据根式的性质，立方根的定义直接计算即可得到答案；
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
；
【点睛】本题考查根式的性质，立方根的定义，幂的运算，解题的关键是熟练掌握 ，．
四、作图题(共4分)
20. 在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别为：A（﹣3，﹣1），B（﹣2，﹣4），C（1，﹣3）．
（1）在网格中建立平面直角坐标系，并作出△ABC；
（2）画出将△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到的△A1B1C1，并写出B1的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）见解析，点B1的坐标为（0，﹣1）．
【解析】
【分析】（1）根据三点坐标，选取适当的位置建立直角坐标系即可；
（2）根据点的平移规律，分别画出平移之后的对应点坐标，顺次连接即可得到平移后的图形和得到点B1的坐标．
【详解】（1）如图，△ABC为所作；
（2）如图，△A1B1C1为所作，点B1的坐标为（0，﹣1）．
【点睛】本题考查了点的平移规律，以及根据点的坐标画出平角直角坐标系，解题的关键是准确画出坐标系和图形.
五、解答题(共54分)
21. 如图，点在直线上，，．
（1）若，求的度数；
（2）试猜想和的数量关系，请直接写出结果 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了邻补角、平角、角的和差，用代数式表示各个相关的角是解题关键．
（1）根据补角的定义可得，再根据计算可得答案；
（2）根据可得，再利用，，然后整理可得结论．
【小问1详解】
解： ，
，
，

，
，
【小问2详解】
解： ，，
，
，
，
．
22. 已知：如图，中，点D，E分别在，上，交于点F，，.
（1）试说明：.
（2）若平分，，求度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．
（1）由题意可得，从而得，由平行线的判定条件可得，则有，从而得，即可判断；
（2）由（1）可知，再由角平分线定义得，再由，即可求的度数，即可得的度数．
【小问1详解】
解：证明： ，，
，
，
，
，
，
．
【小问2详解】
解：由(1)知，，，
.
平分，
，
，
，
解得，
，
．
23. 已知：如图AB⊥BC，BC⊥CD且∠1＝∠2，试说明：BE//CF．
解：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）
∴________＝________＝90°（ ）
∵∠1＝∠2（已知）
∴________＝________（等式性质）
∴BE//CF（ ）
【答案】 ①. 无答案 ②. 无答案 ③. 无答案 ④. 无答案 ⑤. 无答案 ⑥. 无答案
【解析】
【分析】根据平行线的判定定理进行填空.
【详解】∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）
∴∠ABC＝∠DCB＝90°（ 垂直的定义 ）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠EBC ＝∠FCB （等式性质）
∴BE∥CF（ 内错角相等，两直线平行 ）
24. 如图所示，已知，，三点在同一条直线上，，．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】先判定，由平行线的性质，得，结合，得．
【详解】证明：，
，
．
又，，
，
又，
，
，
．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质；掌握平行线的性质和判定定理解题的关键．
25. 一个正数的两个平方根分别是与，求，的值．
【答案】，
【解析】
【分析】正数有两个平方根，分别是和，所以与互为相反数；即解答可求出；根据，代入可求出的值．
【详解】解：∵正数的两个平方根，分别是与，
∴，
解得：，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查平方根的定义和性质，以及根据平方根求被开方数；注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．掌握平方根的定义和性质是解题的关键．
26. 已知的立方根是，的算术平方根是4，求的平方根．
【答案】
【解析】
【分析】根据立方根与算术平方根的定义求得m,n的值，然后得出代数式的值，根据平方根的定义即可求解．
【详解】解：∵的立方根是，
∴，
∴，
∵的算术平方根是4，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的平方根为．
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的应用，熟练掌握平方根，算术平方根，立方根的定义是解题的关键．
27. 在平面直角坐标系中，已知点，解答下列各题：
（1）若点P在x轴上，求点P的坐标；
（2）若，且轴，求点P坐标；
（3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值．
【答案】（1）点P的坐标为
（2）点P的坐标为
（3）
【解析】
【分析】（1）点P在x轴上，则点P的纵坐标为0，由此可求得a的值，进而得点P的坐标；
（2）根据平行于轴的直线上点的横坐标相等，即可求得a的值，进而得点P的坐标；
（3）点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，则点P的横坐标与纵坐标的和为零，得关于a的方程，求解a即可．
【小问1详解】
解：已知点，点P在x轴上，则点P的纵坐标为0，
∴，解得，，
∴．
【小问2详解】
解：，且轴，则点的横坐标相等，
∴，解得，，
∴．
【小问3详解】
解：∵点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，
∴点P的横坐标与纵坐标的和为零，
∴，解得，，
把代入．
【点睛】本题考查了坐标平面上特殊点的坐标特征，利用此特征建立一元一次方程，关键是掌握特殊点的坐标特征．
28. 如图，MN∥BC，BD⊥DC，∠1=∠2=60°，DC是∠NDE的平分线
（1）AB与DE平行吗？请说明理由；
（2）试说明∠ABC=∠C；
（3）试说明BD是∠ABC的平分线．
【答案】（1）AB∥DE，理由见解析，（2）见解析，（3）见解析
【解析】
【分析】（1）首先根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等即可证得∠ABC＝∠1＝60°，进而证明∠ABC＝∠2，根据同位角相等，两直线平行，即可证得；
（2）根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补求得∠NDE的度数，然后根据角平分线的定义，以及平行线的性质即可求得∠C的度数，从而判断；
（3）先求得∠ADB的度数，根据平行求出∠DBC的度数，然后求得∠ABD的度数，即可证得．
【详解】解：（1）AB∥DE，理由如下：
∵MN∥BC，（ 已知 ）
∴∠ABC＝∠1＝60°．（ 两直线平行，内错角相等 ）
又∵∠1＝∠2，（ 已知 ）
∴∠ABC＝∠2．（ 等量代换 ）
∴AB∥DE．（ 同位角相等，两直线平行 ）；
（2）∵MN∥BC，
∴∠NDE+∠2＝180°，
∴∠NDE＝180°﹣∠2＝180°﹣60°＝120°．
∵DC是∠NDE的平分线，
∴∠EDC＝∠NDC＝∠NDE＝60°．
∵MN∥BC，
∴∠C＝∠NDC＝60°．
∴∠ABC＝∠C．
（3）∠ADC＝180°﹣∠NDC＝180°﹣60°＝120°，
∵BD⊥DC，
∴∠BDC＝90°．
∴∠ADB＝∠ADC﹣∠BDC＝120°﹣90°＝30°．
∵MN∥BC，
∴∠DBC＝∠ADB＝30°．
∵∠ABC＝∠C＝60°．
∴∠ABD＝30°
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC．
∴BD是∠ABC的平分线．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定定理，垂线的性质，解题关键是熟练运用平行线的性质与判定进行推理证明和计算．