广东省深圳市实验学校（中学部）2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(含解析)

这是一份广东省深圳市实验学校（中学部）2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(含解析)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题）
1．以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则下列不等式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．将下列多项式分解因式，结果中不含因式的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若分式中的a，b的值同时扩大到原来的10倍，由此分式的值（ ）
A．是原来的10倍B．是原来的20倍
C．是原来的D．不变
5．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB1C1，若点B1在线段BC的延长线上，则∠BB1C1的大小为( )

A．70°B．80°C．84°D．86°
6．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，平行四边形ABCD的周长为16cm，相交于点交于点则△ABE的周长为（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
8．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
9．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BC，M在∠CAD的平分线上，且AM⊥DM，点N为CD的中点，连接MN，若AD＝12，MN＝2．则AB的长为（ ）
A．12B．20C．24D．30
10．如图，在平行四边形ABCD中，分别以AB､AD为边向外作等边△ABE､△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A､E之间，连接CE､CF､EF，则以下四个结论：①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．一定正确的有（ ）个
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（共5小题）
11．若分式的值为零，则x的值为 ．
12．多边形每一个内角都等于，则此多边形是 边形．
13．若关于x的分式方程有增根，则m的值为
14．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，，且轴．将沿轴向上平移，使点对应点落在对角线上，则平移后点的对应点的坐标为 ．
15．如图，在中，，，．将绕点C按顺时针方向旋转后得，直线、相交于点F．取的中点G，连接，则长的最大值为 cm．
三、解答题（共9小题）
16．（1）因式分解：；
（2）解不等式组，并把它的解集在如图的数轴上表示出来．
（3）化简：．
17．计算：
(1)解分式方程：；
(2)先化简，再求值：，其中，
18．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣2，3)，B(﹣3，2)，C(﹣1，1)
（1）将△ABC向右平移7个单位，试作出平移后的△A1B1C1，并写出点A1的坐标 ；
（2）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，观察可知△A1B1C1与△A2B2C2关于直线l对称，请写出直线l与x轴的交点D的坐标 ；
（3）在x轴上找一点P，使PB＋PC最短，则Р点坐标为 ．
19．阅读材料：形如的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用．
（一）用配方法因式分解：．
解：原式
（二）用配方法求代数式的最小值．
解：原式
∵，∴，∴的最小值为．
(1)若代数式是完全平方式，则常数k的值为______；
(2)因式分解：______；
(3)用配方法求代数式的最小值；
拓展应用：
(4)若实数a，b满足，则的最小值为______．
20．如图所示，在中，点，分别为，的中点，点在线段上，连接，点，分别为，的中点．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，，求的长．
21．为丰富同学们阳光大课间活动，育才学校现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳数量和用500元购买的毽子数量相同．
(1)求跳绳和毽子的单价分别是多少元．
(2)恰逢店庆活动，体育用品店对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，请求出学校花钱最少的购买方案及最少花费．
22．如图，在平面直角坐标系中，过点和的直线与直线相交于点C，直线与x轴相交于点D，点E在线段AB上，连接DE，的面积为．
(1)求直线AB的解析式；
(2)求点E的坐标；
(3)点M是直线CD上的动点，点N在y轴上，是否存在点M、N，使得以点B、E、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．
【详解】解：选项A、C、D不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以它们不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使这个图形绕这一点旋转后与原来的图形重合，所以它是中心对称图形．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．
2．D
【分析】本题考查不等式的性质，根据条件，运用不等式的性质逐项验证即可得到答案，熟记不等式的三个性质是解决问题的关键．
【详解】解：A、由于，则，故错误，不符合题意；
B、由于，则，故错误，不符合题意；
C、由于，则，故错误，不符合题意；
D、由于，则，故正确，符合题意；
故选：D．
3．B
【分析】直接利用平方差公式以及完全平方公式和十字相乘法分解因式，进而得出答案．
【详解】解：A、，含，故此选项不合题意；
B、，不含，故此选项符合题意；
C、，含，故此选项不合题意；
D、，含，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了公式法以及十字相乘法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
4．D
【分析】根据分式的性质即可求解．
【详解】解：
故分式的值不变
故选：D
【点睛】将分式的分子、分母同时扩大相同的倍数，分式的值不变．掌握该性质是解题关键．
5．B
【分析】由旋转的性质可知∠B＝∠AB1C1，AB＝AB1，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠B＝∠BB1A＝∠AB1C1＝40°，从而可求得∠BB1C1＝80°.
【详解】由旋转的性质可知：∠B＝∠AB1C1，AB＝AB1，∠BAB1＝100°.
∵AB＝AB1，∠BAB1＝100°，
∴∠B＝∠BB1A＝40°.
∴∠AB1C1＝40°.
∴∠BB1C1＝∠BB1A+∠AB1C1＝40°+40°＝80°.
故选B.
【点睛】本题主要考查的是旋转的性质，由旋转的性质得到△ABB1为等腰三角形是解题的关键.
6．D
【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的加减运算法则化简，再由得出，代入计算即可得出答案．
【详解】
故选D．
7．C
【分析】根据平行四边形的性质和已知条件可得OE垂直平分BD，然后根据线段垂直平分线的性质可知BE＝DE，再结合平行四边形的性质即可求出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB=CD，AD=BC，
∵EO⊥BD，
∴EO为BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，
∵平行四边形ABCD的周长为16cm，
∴AB+AD＝×16＝8cm．
∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AE+DE＝AB+AD＝8cm．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，属于常考题型，熟练掌握平行四边形和线段垂直平分线的性质是解题的关键．
8．B
【分析】先解分式方程，使方程的解大于零，再使分式方程有意义即可．
【详解】解：
，
∵分式方程的解为正数，即，
∴，
又∵使分式方程有意义，，
∴，
∴，
综上：且，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程，解出分式方程使其解大于零且分式方程有意义是解题的关键．
9．B
【分析】延长DM交AC于E，利用ASA证明△ADM≌△AEM可得AE=AD=12，DM=EM，即可证明MN是△CDE的中位线，可求解CE的长，进而可求解AC的长，再结合平行四边形的性质利用勾股定理可求解．
【详解】解：延长DM交AC于E，
∵AM平分∠CAD，AM⊥DM，
∠DAM=∠EAM，∠AMD=∠AME=90°，
在△ADM和△AEM中，
，
∴△ADM≌△AEM（ASA），
∴DM=EM，AE=AD=12，
∴M点是DE的中点，
∵N是CD的中点，
∴MN是△CDE的中位线，
∵MN=2，
∴CE=2MN=4，
∴AC=AE+CE=12+4=16，
在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，AC⊥BC，
∴AC⊥AD，
∴∠CAD=90°，
．
故选B．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形的中位线，勾股定理，求解AC的长是解题的关键．
10．B
【分析】根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项．
【详解】解：在▱ABCD中，∠ADC=∠ABC，AD=BC，CD=AB，
∵△ABE、△ADF都是等边三角形，
∴AD=DF，AB=EB，∠ADF=∠ABE=60°，
∴DF=BC，CD=BC，
∴∠CDF=360°-∠ADC-60°=300°-∠ADC，
∠EBC=360°-∠ABC-60°=300°-∠ABC，
∴∠CDF=∠EBC，
在△CDF和△EBC中，
DF=BC，∠CDF=∠EBC，CD=EB，
∴△CDF≌△EBC（SAS），故①正确；
在▱ABCD中，∠DAB=180°-∠ADC，
∴∠EAF=∠DAB+∠DAF+∠BAE=180°-∠ADC+60°+60°=300°-∠ADC，
∴∠CDF=∠EAF，故②正确；
同理可证△CDF≌△EAF，
∴EF=CF，
∵△CDF≌△EBC，
∴CE=CF，
∴EC=CF=EF，
∴△ECF是等边三角形，故③正确；
当CG⊥AE时，
∵△ABE是等边三角形，
∴∠ABG=30°，
∴∠ABC=180°-30°=150°，
∵∠ABC=150°无法求出，故④错误；
综上所述，正确的结论有①②③．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，综合性强，解题的关键是考查学生综合运用数学知识的能力．
11．1
【分析】本题考查分式的值为零的条件．根据“分式的值为零，需同时具备两个条件分子为0，分母不为0”列式计算即可求解．
【详解】解：因为分式的值为零，
所以，
解得：．
故答案为：1．
12．十二
【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，正n边形的每个内角都等于，多边形的外角和都是．
先计算出每个外角，再根据多边形的外角和都是进行计算即可．
【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于，
∴多边形的每一个外角都等于，
∴边数．
故答案为：十二．
13．2
【分析】先确定该方程的增根是，再将该方程化为整式方程后将增根代入进行求解．
【详解】解：解，
得，
即是该方程的增根，
，
两边同时乘以，
得，
将代入，
得，
解得，
故答案为：2．
【点睛】此题考查了分式方程增根问题的解决能力，关键是能准确理解增根产生的原因，并进行正确地求解．
14．
【分析】根据题意，由点的平移及平行四边形性质得到，，再由待定系数法确定直线的函数关系式，设出，代值解方程求出向上平移的单位长度，结合点的平移即可得到答案．
【详解】解：在平面直角坐标系中，的顶点，，且轴，
，轴，
，
，
设直线：，将代入得，
直线：，
设将沿轴向上平移个单位长度，使点对应点落在对角线上，则在直线：上，
，解得，即点向上平移2个单位长度得到对应点，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查点的平移，涉及图形与坐标、平行四边形性质、点的平移法则、待定系数法确定函数表达式、一次函数性质等知识，熟练掌握点的平移法则及平行四边形性质是解决问题的关键．
15．9
【分析】本题考查了旋转的性质、四边形内角和以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，结合题意添加合适的辅助线是解题的关键．
根据旋转的性质得，，，，设，则，根据四边形内角和可得，取的中点H，连接、，则，，从而得出，即可得出答案．
【详解】解：取的中点H，连接、，如图：
∵是由绕C点旋转得到，
∴，，，
设，则
在四边形中，
在中，，，，
在中，，
∵是中位线，

而，
∴当F、H、G在一条直线上时，最大，最大值为，
故答案为：9．
16．（1）
（2），数轴见解析
（3）
【分析】（1）利用平方差公式直接因式分解即可得到答案；
（2）根据解一元一次不等式组的方法直接求解即可得到答案，再结合不等式解集在数轴上的表示方法表示出来即可画出数轴；
（3）先对分式分子分母因式分解，再利用分式混合运算法则化简即可得到答案．
【详解】解：（1）
；
（2），
由①得：；
由②得：；
∴不等式组的解集为：；
在数轴上表示不等式组解集为：
；
（3）解：
．
【点睛】本题考查运算综合，涉及平方差公式因式分解、解一元一次不等式及一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组解集、分式加减乘除混合运算等知识，熟练掌握因式分解、接不等式组及分式化简方法是解决问题的关键．
17．(1)
(2)，2
【分析】本题考查的是解分式方程，分式的化简求值，掌握相关运算法则和解法是解题关键．
（1）依次去分母、去括号、移项、合并同类项，检验后即可得到答案；
（2）先将除法转化为乘法，再结合乘法公式约分化简，然后将、的值代入计算求解即可．
【详解】（1）解：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
经检验，是原方程的解，
原方程的解为；
（2）解：
，
当，时，原式．
18．（1）图见解析，；（2）图见解析，（3）图见解析，．
【分析】（1）借助网格即可作出平移后的图形，根据A1的位置写出它的坐标即可；
（2）借助网格作出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，可得直线l是B1 B2的垂直平分线，由此可得直线l的横坐标和交点D的坐标；
（3）利用轴对称的性质作作点B关于x轴对称点，连接交x轴于P，点P即为所求，再利用待定系数法求出对应直线的解析式以及函数与x轴的交点坐标即可．
【详解】解：（1）△A1B1C1如图所示，
故答案为：；
（2）△A2B2C2如图所示，
△A1B1C1与△A2B2C2关于直线l对称，直线l把B1 B2垂直平分，故它的横坐标为，即D的坐标为：，
故答案为：；
（3）作点B关于x轴对称点，连接交x轴于P，点P即为所求，
设直线的表达式为：，
将和C(﹣1，1)代入得
，解得，
所以，
当y=0时，，
故．
【点睛】本题考查坐标与图形变化—轴对称和平移，待定系数法求函数解析式，一次函数与坐标轴交点问题．借助网格分析是解题关键．
19．(1)25
(2)
(3)4
(4)3
【分析】（1）利用完全平方公式即可得；
（2）利用配方法把配凑成，由此即可得；
（3）将配凑成，利用完全平方公式求解即可得；
（4）根据配方可得，从而可得，由此即可得．
【详解】（1）解：∵代数式是完全平方式，
，
，
，
故答案为：25．
（2）解：
，
故答案为：．
（3）解：
，
，
，
的最小值为4．
（4）解：
，
，
，
，
的最小值为3．
【点睛】本题考查了完全平方公式、利用配方法因式分解，熟练掌握配方法是解题关键．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）由三角形中位线定理得，，，，则，，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得，再由勾股定理求出的长，再根据为中点即可求答案．
【详解】（1）证明：点、分别为、的中点，点、分别为、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，
四边形为平行四边形；
（2）解：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
为中点，即线段的长度为．
21．(1)跳绳的单价为8元，毽子的单价为5元
(2)购买450个跳绳，150个毽子时，总费用最少为3405元
【分析】（1）设毽子的单价为元，根据用800元购买的跳绳数量和用500元购买的毽子数量相同列出方程，解之即可；
（2）设购买跳绳m个，则购买毽子个，根据题意列出不等式组进行求解，设学校购买跳绳和毽子两种器材共花元，求出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最小值即可．
【详解】（1）解：设毽子的单价为元，则跳绳的单价为元，
依题意，得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：跳绳的单价为8元，毽子的单价为5元．
（2）设购买跳绳m个，
由题意可得：，
解得：，
设学校购买跳绳和毽子两种器材共花元，
则，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，最小，且为，
∴当学校购买450个跳绳，150个毽子时，总费用最少为3405元．
【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，以及利用一次函数解决最值问题．根据题意，准确的列出分式方程和一次函数表达式是解题的关键．
22．(1)直线AB的表达式为
(2)
(3)存在，或或
【分析】（1）用待定系数法求直线的解析式即可；
（2）联立方程组，求出C点坐标，设E（m，m+2），由，求出m的值即可求点E的坐标；
（3）设M（t，t+），N（0，y），利用平行四边形对角线互相平分分三种情况讨论即可．
【详解】（1）设直线AB的解析式为
将，代入得.
解得.
直线AB的表达式为
（2）当时，

联立得

设点
.
.
（3）存在点M、N，使得以点B、E、M、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设M（t，t+），N（0，y），
①当BE为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴N（0，）；
②当BM为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴N（0，）；
③当BN为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴N（0，）；
综上所述：N点坐标为（0，）或（0，）或（0，）．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键．