安徽省六安市2023-2024学年六年级（上）期末数学试卷

这是一份安徽省六安市2023-2024学年六年级（上）期末数学试卷，共52页。试卷主要包含了细心填一填，慎重选一选，认真算一算，规范画一画，耐心解一解等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）（2023秋•裕安区期末）＝28： ＝ ÷21≈ （百分号前面保留一位小数）。
2．（3分）（2023秋•裕安区期末）圆周率＝ ÷ ；最早将圆周率精确到小数点后面第7位的是我国古代数学家 。
3．（2分）（2023秋•裕安区期末）在一个长12厘米，宽8厘米的长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的半径是 厘米，面积是 平方厘米．
4．（1分）（2023秋•裕安区期末）一根绳子长14米，用去后，又用去米，还剩 米．
5．（2分）（2023秋•裕安区期末）20千克比 轻20%， 米比5米长．
6．（2分）（2023秋•裕安区期末）100克的油菜籽能出油32克，油菜籽的出油率是 %；榨64吨油要 油菜籽．
7．（1分）（2023秋•裕安区期末）体育兴趣小组男女生的人数比是8：5。男生比女生多 %。
8．（2分）（2023秋•裕安区期末）要表示某种混合果汁中各种成分所占的百分比，用 统计图比较合适；要表示笑笑从一年级到六年级身高变化的情况，用 统计图比较合适．
9．（2分）（2023秋•裕安区期末）10克盐溶入100克水中，盐和盐水之比＝ ： ，盐和水的比是 ： ．
10．（2分）（2023秋•裕安区期末）把：12.5化成最简整数比是 ，比值是 。
11．（1分）（2023秋•裕安区期末）修一条路，某修路队3天修了全程的 ，那么这个修路队修完这条路共需 天．
12．（2分）（2023秋•裕安区期末）学校把30棵树苗的任务按照六年级两个班的人数分配给各班，一班42人，二班48人。一班应该分 棵树苗，二班应该分 棵树苗。
13．（3分）（2023秋•裕安区期末）下面的几个组合体都是由5个同样大的正方体摆成的。
从前面看到是的有 号组合体，从右面看到是的有 号组合体，从上面看到是的有 号组合体。
二、慎重选一选。（每题1分，共6分）
14．（1分）（2023秋•裕安区期末）六（1）班期末测试的优秀率是98%，六（2）班期末测试的优秀率是95%，那么（ ）
A．六（1）班优秀的人数多
B．六（2）班优秀的人数多
C．无法确定
15．（1分）（2019•衡水模拟）在周长相等的长方形、正方形和圆中，（ ）的面积最大．
A．圆B．长方形C．正方形
16．（1分）（2023秋•裕安区期末）两个圆的半径比是1：3，那么两个圆的面积比是（ ）
A．1：3B．1：6C．1：9
17．（1分）（2023秋•裕安区期末）有两杯糖水，第一杯糖和水的比是1：4，第二杯的含糖率是25%。现将两杯糖水混合，泥合后糖水的含糖率将（ ）
A．小于25%B．等于25%C．大于25%
18．（1分）（2023秋•裕安区期末）一个立体图形，从上面看到的形状是，从正面看到的形状是，搭成这样的立体图形，至少需要（ ）个小正方体．
A．5B．6C．7
19．（1分）（2023秋•裕安区期末）将一件商品先降价，再提价。这件商品现在的价格与原来相比（ ）
A．与原价一样B．比原价低
C．比原价高
三、认真算一算。（本大题共3小题，共32分）
20．（8分）（2023秋•裕安区期末）直接写得数。
21．（18分）（2023秋•裕安区期末）计算下面各题。（前两小题要简算。）
22．（6分）（2023秋•裕安区期末）解方程。
x＝
x﹣20%x＝3.2
四、规范画一画。（本大题共2小题，共7分）
23．（3分）（2023秋•裕安区期末）分别画出从正面、左面、上面看到的立体图形的形状。
24．（4分）（2023秋•裕安区期末）在下面长6厘米、宽4厘米的长方形中画一个最大的半圆，并求出剩下部分的周长和面积。
五、耐心解一解。（本大题共6小题，共29分）
25．（5分）（2019•天津模拟）一根铁丝正好能围成直径是6分米的圆，如果把它围成一个正方形，这个正方形的边长是多少？
26．（5分）（2023•讷河市）京沪高速铁路上的世界第一长桥昆特大桥全长165km，世界上最长的跨海大桥港珠澳大桥比它短，港珠澳大桥全长多少千米？
27．（5分）（2023秋•裕安区期末）六年级学生参加合唱社团的有60人，占年级总人数的15%，六年级学生参加舞蹈社团的人数占年级总人数的18%，六年级学生参加舞蹈社团的有多少人？
28．（5分）（2023秋•裕安区期末）国华工厂要捐300kg水果给福利院，其中是橘子，剩余的部分是香蕉和苹果，且香蕉和苹果的质量比是2；3，苹果有多少千克？
29．（5分）（2023秋•裕安区期末）一件商品的进价是82元，售价是120元，如果要赚8元，那么应降价百分之几？
30．（4分）（2023秋•裕安区期末）智高小学少先队广播站每周播音1时，如图表示各个节目的播音时间．
（1） 节目的播音时间最长，《校园新闻》播出时间大约是 分．
（2）《学法交流》的播音时间是12分，占每周播音时间的 %．
（3）《音乐欣赏》的播音时间占每周播音时间的15%，该节目的播音时间是 分．
2023-2024学年安徽省六安市裕安区六年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、细心填一填。（每空1分，共26分）
1．（3分）（2023秋•裕安区期末）＝28： 49 ＝ 12 ÷21≈ 57.1% （百分号前面保留一位小数）。
【考点】比与分数、除法的关系．
【专题】数感．
【答案】49，12，57.1%。
【分析】根据比与分数的关系＝4：7，再根据比的性质比的前、后项都乘7就是28：49；根据分数与除法的关系＝4÷7，再根据商不变的性质被除数、除数都乘3就是12÷21；4÷7≈0.571，把0.571的小数点向右移动两位添上百分号就是57.1%。
【解答】解：＝28：49＝12÷21≈57.1%
故答案为：49，12，57.1%。
【点评】此题主要是考查分数、除法、比、百分数之间的关系及转化。利用它们之间的关系和性质进行转化即可。
2．（3分）（2023秋•裕安区期末）圆周率＝ 圆的周长 ÷ 圆的直径 ；最早将圆周率精确到小数点后面第7位的是我国古代数学家 祖冲之 。
【考点】圆的认识与圆周率．
【专题】几何直观．
【答案】圆的周长，圆的直径，祖冲之。
【分析】根据圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率，圆周率用字母π表示；世界上最早将圆周率精确到七位小数的人祖冲之，它是中国的一位伟大的数学家和天文学家。
【解答】解：圆周率＝圆的周长÷圆的直径；最早将圆周率精确到小数点后面第7位的是我国古代数学家祖冲之。
故答案为：圆的周长，圆的直径，祖冲之。
【点评】灵活掌握圆周率的含义，是解答此题的关键。
3．（2分）（2023秋•裕安区期末）在一个长12厘米，宽8厘米的长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的半径是 4 厘米，面积是 50.24 平方厘米．
【考点】圆、圆环的面积．
【专题】平面图形的认识与计算．
【答案】见试题解答内容
【分析】长方形中最大圆的直径应等于长方形的宽，长方形的宽已知，于是可以求出圆的半径，进而利用圆的面积公式即可求解．
【解答】解：8÷2＝4（厘米）；
3.14×42＝50.24（平方厘米）；
答：这个圆的半径是4厘米，面积是50.24平方厘米．
故答案为：4、50.24．
【点评】解答此题的关键是明白：长方形中最大圆的直径应等于长方形的宽．
4．（1分）（2023秋•裕安区期末）一根绳子长14米，用去后，又用去米，还剩 9 米．
【考点】分数四则复合应用题．
【专题】分数百分数应用题；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先把这根绳子的长度看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用这根绳子的长度乘以第一次用去的占的分率，求出这根绳长的是多少；然后用这根绳子的长度减去第一次用去的长度，求出还剩下多少米；最后用剩下的长度减去又用去的长度，求出又用去米后还剩下多少米即可．
【解答】解：14﹣14×﹣
＝14﹣4﹣
＝10﹣
＝9（米）
答：还剩9米．
故答案为：9米．
【点评】此题主要考查了分数乘法的意义的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是根据分数乘法的意义，求出这根绳长的是多少．
5．（2分）（2023秋•裕安区期末）20千克比 25千克 轻20%， 9 米比5米长．
【考点】百分数的加减乘除运算；分数乘法；分数除法．
【专题】文字叙述题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）20%的单位“1”是要求的结果，它对应的数量是20千克，由此用除法列式求出答案；
（2）的单位“1”是5米，由此根据分数乘法的意义列式解答即可．
【解答】解：（1）20÷（1﹣20%）
＝20÷80%
＝25（千克）
答：20千克比25千克轻20%；
（2）5×（1+）
＝5×
＝9（米）
答：9米比5米长．
故答案为：25，9．
【点评】这种类型的题目属于基本的分数乘除应用题，只要找清单位“1”，利用基本数量关系解决问题．
6．（2分）（2023秋•裕安区期末）100克的油菜籽能出油32克，油菜籽的出油率是 32 %；榨64吨油要 200吨 油菜籽．
【考点】百分率应用题．
【专题】分数百分数应用题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）出油率是指出油的重量占油菜籽重量的百分比，计算方法是：×100%，代入数据计算即可；
（2）把油菜籽的重量看成单位“1”，用榨出油的重量除以出油率就是需要的油菜籽重量．
【解答】解：（1）：32÷100×100%＝32%，
答：出油率是35%．
（2）64÷32%＝200（吨），
答：榨64吨油要200油菜籽．
故答案为：32，200吨．
【点评】此题属于百分率问题，计算的结果最大值为100%，都是用一部分数量（或全部数量）除以全部数量乘百分之百．已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1”用除法．
7．（1分）（2023秋•裕安区期末）体育兴趣小组男女生的人数比是8：5。男生比女生多 60 %。
【考点】比的应用；百分数的实际应用．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】60。
【分析】由题意得：男生人数是8份，女生人数是5份，要求男生比女生多百分之几，是把“女生的份数”看成单位“1”，用男生比女生多的份数除以女生的份数即可求出男生比女生多百分之几。
【解答】解：（8﹣5）÷5×100%
＝3÷5×100%
＝0.6×100%
＝60%
答：男生比女生多60%。
故答案为：60。
【点评】本题是求一个数是另一个数的百分之几，关键是看把谁当成了单位“1”，单位“1”的量为除数。
8．（2分）（2023秋•裕安区期末）要表示某种混合果汁中各种成分所占的百分比，用 扇形 统计图比较合适；要表示笑笑从一年级到六年级身高变化的情况，用 折线 统计图比较合适．
【考点】统计图的选择．
【专题】统计图表的制作与应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可．
【解答】解：根据统计图的特点可知：要表示某种混合果汁中各种成分所占的百分比，用扇形统计图比较合适；要表示笑笑从一年级到六年级身高变化的情况，用折线统计图比较合适．
故答案为：扇形，折线．
【点评】此题应根据条形统计图、折线统计图、扇形统计图各自的特点进行解答．
9．（2分）（2023秋•裕安区期末）10克盐溶入100克水中，盐和盐水之比＝ 1 ： 11 ，盐和水的比是 1 ： 10 ．
【考点】比的意义．
【专题】比和比例．
【答案】见试题解答内容
【分析】10克盐溶入100克水中，则盐水的重量为10+100克，根据比的意义可知，盐比盐水即可；求盐和水的比用盐的质量比水的质量再化简即可．
【解答】解：10：（10+100）
＝10：110
＝1：11
10：100
＝（10÷10）：（100÷10）
＝1：10
答：盐和盐水的比是1：11，盐和水的比是1：10．
故答案为：1，11；1，10．
【点评】本题考查了比的意义．解决此题关键是先求出盐水的质量，再写比并化简比．
10．（2分）（2023秋•裕安区期末）把：12.5化成最简整数比是 1：20 ，比值是 。
【考点】求比值和化简比．
【专题】比和比例；运算能力．
【答案】1：20，。
【分析】根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以同一个数（0除外），比值不变，进行化简，再用比的前项除以后项，即可解答。
【解答】解：：12.5
＝（×8÷5）：（12.5×8÷5）
＝1：20
：12.5
＝（×8÷5）：（12.5×8÷5）
＝1：20
＝
答：把：12.5化成最简整数比是1：20，比值是。
故答案为：1：20，。
【点评】本题考查的是求比值和化简比，掌握它们的方法是解答关键。
11．（1分）（2023秋•裕安区期末）修一条路，某修路队3天修了全程的 ，那么这个修路队修完这条路共需 45 天．
【考点】简单的工程问题．
【专题】综合填空题；工程问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】把这条公路的长度看作单位“1”，首先根据工作量÷工作时间＝工作效率，求出平均每天修这条公路的几分之几，然后根据工作时间＝工作量÷工作效率，据此列式解答．
【解答】解：1÷（）
＝1÷（）
＝
＝1×45
＝45（天），
答：这个修路队修完这条路共需45天．
故答案为：45．
【点评】此题考查的目的是理解掌握工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系及应用，关键是把工作量看作单位“1”．
12．（2分）（2023秋•裕安区期末）学校把30棵树苗的任务按照六年级两个班的人数分配给各班，一班42人，二班48人。一班应该分 14 棵树苗，二班应该分 16 棵树苗。
【考点】按比例分配应用题．
【专题】比和比例应用题．
【答案】14，16。
【分析】由按照六年级两个班的人数进行分配，首先求得两个班的总人数，进而分别求得两个班应栽树的棵数占总棵数的几分之几，最后分别求得两个班各应栽树的棵数，列式解答即可。
【解答】解：42+48＝90（人）
30×＝14（棵）
30×＝16（棵）
答：六年级一班应栽14棵，六年级二班应栽16棵。
故答案为：14，16。
【点评】此题属于比的应用按比例分配的应用题，解决此题关键是先明确要分配的总量是多少，再看此总量是按照什么比例进行分配的，再用按比例分配的方法解答。
13．（3分）（2023秋•裕安区期末）下面的几个组合体都是由5个同样大的正方体摆成的。
从前面看到是的有 ②③⑥ 号组合体，从右面看到是的有 ②③④ 号组合体，从上面看到是的有 ①⑤ 号组合体。
【考点】从不同方向观察物体和几何体．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】②③⑥；②③④；①⑤。
【分析】根据图形的层数和行数，从前面、上面和右面观察即可得出结论。
【解答】解：从前面看到是的有②③⑥号组合体，从右面看到是的有②③④号组合体，从上面看到是的有①⑤号组合体。
故答案为：②③⑥；②③④；①⑤。
【点评】本题是考查从不同方向观察物体和几何图形，培养了学生的观察能力和空间想象能力。
二、慎重选一选。（每题1分，共6分）
14．（1分）（2023秋•裕安区期末）六（1）班期末测试的优秀率是98%，六（2）班期末测试的优秀率是95%，那么（ ）
A．六（1）班优秀的人数多
B．六（2）班优秀的人数多
C．无法确定
【考点】百分率应用题．
【专题】分数百分数应用题．
【答案】C
【分析】因优秀人数＝总人数×优秀率，由于六（1）班和六（2）班的总人数不确定，所以无法进行比较，然后再进行选择即可．
【解答】解：因优秀人数＝总人数×优秀率，由于六（1）班和六（2）班的总人数不确定，
所以求出的各班的优秀人数不知是多少，故无法比较．
故选：C．
【点评】本题主要考查了学生对优秀人数＝总人数×优秀率这一数量关系的掌握．
15．（1分）（2019•衡水模拟）在周长相等的长方形、正方形和圆中，（ ）的面积最大．
A．圆B．长方形C．正方形
【考点】组合图形的面积．
【专题】平面图形的认识与计算．
【答案】A
【分析】周长相等的正方形、长方形和圆形，谁的面积最大，谁面积最小，可以先假设这三种图形的周长是多少，再利用这三种图形的面积公式，分别计算出它们的面积，最后比较这三种图形面积的大小．
【解答】解：为了便于理解，假设正方形、长方形和圆形的周长都是16，
则圆的面积为：＝≈20.38；
正方形的边长为：16÷4＝4，面积为：4×4＝16；
长方形长宽越接近面积越大，就取长为5宽为3，面积为：5×3＝15，
当长方形的长和宽最接近时面积也小于16；
所以周长相等的正方形、长方形和圆形，圆面积最大．
故选：A．
【点评】此题主要考查长方形、正方形、圆形的面积公式及灵活运用，解答此题可以先假设这三种图形的周长是多少，再利用这三种图形的面积公式，分别计算出它们的面积，最后比较这三种图形面积的大小．
16．（1分）（2023秋•裕安区期末）两个圆的半径比是1：3，那么两个圆的面积比是（ ）
A．1：3B．1：6C．1：9
【考点】比的应用；圆、圆环的面积．
【专题】比和比例；平面图形的认识与计算．
【答案】C
【分析】分析条件“甲乙两个圆半径的比是1：3”，由于它们的半径都不是具体的数，算面积不好算，因此可以把甲圆的半径假设为一个数x，再确定乙圆的半径3x，根据圆的面积公式，算出它们的面积，再根据比的性质写出它们的比．
【解答】解：假设甲圆的半径是x，则乙圆的半径就是3x．
甲圆的面积＝πr2＝3.14×x2＝3.14x2
乙圆的面积＝πr2＝3.14×（3x）2＝28.26x2
甲圆的面积：乙圆的面积＝3.14x2：28.26x2＝1：9，
则两个圆的面积比是1：9．
故选：C。
【点评】两个圆的面积比等于它们半径的平方比．
17．（1分）（2023秋•裕安区期末）有两杯糖水，第一杯糖和水的比是1：4，第二杯的含糖率是25%。现将两杯糖水混合，泥合后糖水的含糖率将（ ）
A．小于25%B．等于25%C．大于25%
【考点】比的应用．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】A
【分析】分析题意，甲杯糖和水的比是1：4，相当于糖占1份，糖水占4份，求出加入的糖水的含糖率；接下来比较加入的糖水的含糖率与25%的大小关系，即可解答本题。
【解答】解：1÷（1+4）
＝1÷5
＝20%
20%＜25%
答：混合后的糖水含糖率小于25%。
故选：A。
【点评】本题是一道关于百分数的题目，需结合含糖率的求法进行求解。
18．（1分）（2023秋•裕安区期末）一个立体图形，从上面看到的形状是，从正面看到的形状是，搭成这样的立体图形，至少需要（ ）个小正方体．
A．5B．6C．7
【考点】从不同方向观察物体和几何体．
【专题】作图题；立体图形的认识与计算．
【答案】A
【分析】根据从上面看到的图形可知，这个图形一共有两行，两列.根据从上面看到的图形可得，这个图形至少由4个小正方体搭成，结合从正面看到的形状，可知：至少前排两列，靠左上有1个，后排有2个，即至少需要5个小正方体．
【解答】解：由分析可知：一个立体图形由几个小正方体（大小相同）搭成，从上面看到的形状是，从正面看到的形状是，则搭成这样的立体图形至少需要5个小正方体．
故选：A。
【点评】此题主要考查从不同方向观察物体的方法，意在培养学生的观察能力和空间想象的能力．
19．（1分）（2023秋•裕安区期末）将一件商品先降价，再提价。这件商品现在的价格与原来相比（ ）
A．与原价一样B．比原价低
C．比原价高
【考点】百分数的实际应用；分数四则复合应用题．
【专题】分数百分数应用题．
【答案】B
【分析】将原价当作单位“1”，根据分数减法的意义，先降价后的价格是原价的，再提价，根据分数加法的意义，此时价格是降价后的，根据分数乘法的意义，此时价格是原价的，算出后比较即可。
【解答】解：
＝
＝
＜1
答：这件商品现在的价格与原来相比比原价低。
故选：B。
【点评】完成本题要注意前后降价与提价分率的单位“1”是不同的。
三、认真算一算。（本大题共3小题，共32分）
20．（8分）（2023秋•裕安区期末）直接写得数。
【考点】分数除法；分数的四则混合运算；分数乘法．
【专题】运算能力．
【答案】；49；5；；；9；；a。
【分析】根据分数、小数、百分数乘除法的计算方法以及四则混合运算的顺序，直接进口算即可。
【解答】解：
【点评】本题考查了简单的计算，计算时要细心，注意平时积累经验，提高计算的水平。
21．（18分）（2023秋•裕安区期末）计算下面各题。（前两小题要简算。）
【考点】分数的四则混合运算；运算定律与简便运算．
【专题】数的运算；运算能力．
【答案】（1）25；（2）92；（3）；（4）；（5）；（6）。
【分析】（1）×101﹣25%，25%化成，再利用乘法分配律进行简便计算；
（2）（）×7×9，利用乘法分配律进行简便计算；
（3）×45，先约分再计算。
（4）1÷（），按照运算顺序计算，先算括号里面的，再算括号外面的；
（5），按照运算顺序计算，先算乘法，再算减法；
（6），根据除以一个数等于乘这个数的倒数，先约分再计算。
【解答】解：（1）×101﹣25%
＝×101﹣
＝×（101﹣1）
＝×100
＝25
（2）（）×7×9
＝×7×9+×7×9
＝36+56
＝92
（3）×45
＝
＝
（4）1÷（）
＝1÷（×3）
＝1÷
＝1×
＝
（5）
＝﹣
＝﹣
＝
（6）
＝××
＝
＝
【点评】本题考查了分数的四则混合运算及利用运算定律进行简便计算。
22．（6分）（2023秋•裕安区期末）解方程。
x＝
x﹣20%x＝3.2
【考点】百分数方程求解；分数方程求解．
【专题】运算能力．
【答案】x＝；x＝4。
【分析】（1）根据等式的性质，方程两边同时除以求解；
（2）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时除以0.8求解。
【解答】解：（1）x＝
x÷＝÷
x＝
（2）x﹣20%x＝3.2
0.8x＝3.2
0.8x÷0.8＝3.2÷0.8
x＝4
【点评】本题主要考查学生依据等式的性质及比例的基本性质解方程的能力，注意等号对齐。
四、规范画一画。（本大题共2小题，共7分）
23．（3分）（2023秋•裕安区期末）分别画出从正面、左面、上面看到的立体图形的形状。
【考点】作简单图形的三视图．
【专题】空间观念；几何直观．
【答案】
【分析】左面的立体图形由5个相同的小正方体组成。从正面能看到4个相同的正方形，分两层，上层1个，下层3个，左齐；从左面能看到3个相同的正方形，分两层，上层1个，下层2个，左齐；从上面能看到4个相同的正方形，分两层，上层3个，下层1个，右齐。
【解答】解：
【点评】本题是考查作简单图形的三视图，能正确辨认从正面、上面、左面（或右面）观察到的简单几何体的平面图形。
24．（4分）（2023秋•裕安区期末）在下面长6厘米、宽4厘米的长方形中画一个最大的半圆，并求出剩下部分的周长和面积。
【考点】画圆；圆、圆环的面积；圆、圆环的周长．
【专题】几何直观．
【答案】23.42 厘米，9.87平方厘米。
【分析】由题意知，在长6厘米，宽4厘米的长方形内画一个最大的半圆，则这个半圆的直径是6厘米，由此可求得半径是多少。
剩下部分的周长等于长方形的一条长加两条宽加圆周长的一半，据此解答即可。
先求出这个半圆的面积，结合圆的面积公式S＝πr2，可用整个圆的面积除以2求得，然后用长方形的面积减去半圆的面积，解答即可。
【解答】解：如图：
剩下部分的周长：
6+4+4+3.14×6÷2
＝14+9.42
＝23.42 （厘米）
剩下部分的面积：
6÷2＝3 （厘米）
6×4﹣3.14×32÷2
＝24﹣14.13
＝9.87（平方厘米）
答：剩下部分的周长是23.42 厘米，剩下部分的面积是9.87平方厘米。
【点评】本题考查了圆的画法以及组合图形周长和面积计算知识，结合题意分析解答即可。
五、耐心解一解。（本大题共6小题，共29分）
25．（5分）（2019•天津模拟）一根铁丝正好能围成直径是6分米的圆，如果把它围成一个正方形，这个正方形的边长是多少？
【考点】有关圆的应用题．
【答案】见试题解答内容
【分析】圆的周长＝2πr，正方形的周长＝边长×4，圆的周长＝正方形的周长，代入对应的数字即可得出答案．
【解答】解：3.14×6÷4
＝18.84÷4
＝4.71（dm）
答：这个正方形的边长是4.71 dm．
【点评】此题主要考查的是圆和正方形的周长公式的应用．
26．（5分）（2023•讷河市）京沪高速铁路上的世界第一长桥昆特大桥全长165km，世界上最长的跨海大桥港珠澳大桥比它短，港珠澳大桥全长多少千米？
【考点】分数乘法应用题．
【专题】分数百分数应用题．
【答案】见试题解答内容
【分析】把昆特大桥全长看成单位“1”，港珠澳大桥全长是它的（1﹣），用昆特大桥的长度乘这个分率即可求出港珠澳大桥全长是多少千米．
【解答】解：165×（1﹣）
＝165×
＝55（千米）
答：港珠澳大桥全长55千米．
【点评】本题的关键是找出单位“1”，已知单位“1”的量求它的几分之几是多少用乘法求解．
27．（5分）（2023秋•裕安区期末）六年级学生参加合唱社团的有60人，占年级总人数的15%，六年级学生参加舞蹈社团的人数占年级总人数的18%，六年级学生参加舞蹈社团的有多少人？
【考点】百分数的实际应用．
【专题】分数百分数应用题；应用意识．
【答案】72人。
【分析】用60除以15%求出年级总人数，再用求得的年级总人数乘18%即可求出六年级学生参加舞蹈社团的人数。
【解答】解：60÷15%×18%
＝400×18%
＝72（人）
答：六年级学生参加舞蹈社团的有72人。
【点评】已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法列式；求一个数的百分之几是多少，用乘法列式。
28．（5分）（2023秋•裕安区期末）国华工厂要捐300kg水果给福利院，其中是橘子，剩余的部分是香蕉和苹果，且香蕉和苹果的质量比是2；3，苹果有多少千克？
【考点】比的应用．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】120千克。
【分析】根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用国华工厂捐赠水果的质量乘香蕉和苹果占捐赠质量的分率即可求出捐赠的香蕉和苹果的质量之和，再根据苹果占捐赠香蕉和苹果质量之和的分率即可求解出捐赠苹果的质量。
【解答】解：300×（1﹣）×
＝300××
＝200×
＝120（千克）
答：苹果有120千克。
【点评】本题考查了分数的意义以及比的应用。
29．（5分）（2023秋•裕安区期末）一件商品的进价是82元，售价是120元，如果要赚8元，那么应降价百分之几？
【考点】百分数的实际应用．
【专题】应用意识．
【答案】25%。
【分析】根据题意，把售价看作单位“1”，先求出售价比进价多多少元，如果要赚8元，据此可以求出比原来少赚多少元，然后根据求一个数是另一个数的百分之几，用除法解答。
【解答】解：（120﹣82﹣8）÷120×100%
＝30÷120×100%
＝0.25×100%
＝25%
答：应降价25%
【点评】此题属于求一个数比另一个数少百分之几，关键是确定单位“1”，用除法解答。
30．（4分）（2023秋•裕安区期末）智高小学少先队广播站每周播音1时，如图表示各个节目的播音时间．
（1） 《故事天地》 节目的播音时间最长，《校园新闻》播出时间大约是 15 分．
（2）《学法交流》的播音时间是12分，占每周播音时间的 20 %．
（3）《音乐欣赏》的播音时间占每周播音时间的15%，该节目的播音时间是 9 分．
【考点】扇形统计图．
【专题】统计数据的计算与应用；数据分析观念；应用意识．
【答案】（1）《故事天地》，15；
（2）20；
（3）9。
【分析】（1）把一周的播音时间看作单位“1”，通过观察扇形统计图可知，《故事天地》节目的播音时间最长，《校园新闻》播出时间大约占播音总时间的25%，根据一个数乘百分数的意义，用乘法解答。
（2）把一周的播音时间看作单位“1”，《学法交流》的播音时间是12分，根据求一个数是另一个数的百分之几，用除法解答。
（3）《音乐欣赏》的播音时间占每周播音时间的15%，根据一个数乘百分数的意义，用乘法解答。
【解答】解：（1）1时＝60分
60×25%＝15（分）
答：《故事天地》节目的播音时间最长，《校园新闻》播出时间是15分。
（2）12÷60
＝0.2
＝20%
答：《学法交流》的播音时间是12分，占每周播音时间的20%。
（3）60×15%＝9（分）
答：《音乐欣赏》节目的播音时间是9分。
故答案为：《故事天地》，15；20；9。
【点评】此题考查的目的是理解掌握扇形统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。
考点卡片
1．运算定律与简便运算
【知识点归纳】
1、加法运算：
①加法交换律：两个加数交换位置，和不变．如a+b＝b+a
②加法结合律：先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．如：a+b+c＝a+（b+c）
2、乘法运算：
①乘法交换律：两个因数交换位置，积不变．如a×b＝b×a．
②乘法结合律：先乘前两个数，或先乘后两个数，积不变．如a×b×c＝a×（b×c）
③乘法分配律：两个数的和，乘以一个数，可以拆开来算，积不变．如a×（b+c）＝ab+ac
④乘法分配律的逆运算：一个数乘另一个数的积加它本身乘另一个数的积，可以把另外两个数加起来再乘这个数．如ac+bc
＝（a+b）×c
3、除法运算：
①除法性质：一个数连续除以两个数，可以先把后两个数相乘，再相除．如a÷b÷c＝a÷（b×c）
②商不变规律：被除数和除数同时乘上或除以相同的数（0除外）它们的商不变．如a÷b＝（an）÷（bn）＝（a÷n）÷（b÷n） （n≠0 b≠0）
4、减法运算：
减法性质：一个数连续减去两个数，可以用这个数减去两个数的和．如a﹣b﹣c＝a﹣（b+c）
【命题方向】
常考题型：
例1：0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法的（ ）
A、交换律 B、结合律 C、分配律
分析：乘法分配律的概念为：两个数的和乘另一个数，等于把这个数分别同两个加数相乘，再把两个积相加，得数不变，用字母表示：（a+b） c＝ac+ac．据此可知，0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法分配律．
解：根据乘法分配律的概念可知，
0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法分配律．
故选：C．
点评：本题利用具体的算式考查了学生对于乘法分配律的理解．
例2：125×25×32＝（125×8）×（25×4），这里运用了（ ）
A、乘法交换律 B、乘法结合律 C、乘法交换律和乘法结合律
分析：在125×25×32＝（125×8）×（25×4）中，是把32看作8×4，然后用乘法交换律变成125×8×25×4，再运用乘法结合律计算，即（125×8）×（25×4）．
解：125×25×32＝（125×8）×（25×4），运用了乘法交换律和乘法结合律．
故选：C．
点评：此题重点考查了学生对乘法交换律和结合律的掌握与运用情况．
2．分数乘法
【知识点归纳】
分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算．
乘积是1的两个数叫做互为倒数．
分数乘法法则：
（1）分数乘以整数或整数乘以分数：由于任何整数（0除外）都可以化成分母是1的假分数，分数乘以整数或整数乘以分数，都可以转化成分数乘以分数的形式．因此，在计算中，是用分数的分子和整数相乘的积作为分子，分母不变．在乘的过程中，如果有可以约分的数，可以先约分，这样，可以使计算的数字缩小，从而使计算变得简便．
（2）分数乘以分数：用分子相乘的积作为分子，用分母相乘的积作为分母．为了使计算简便，在计算的过程中，能够约分的，要约分．
（3）带分数乘法：先把带分数化成假分数，然后再乘．结果是假分数时，要把假分数化成带分数或整数．
分数乘法的运算定律：
（1）交换律：两个分数相乘，交换分数的位置，它们的积不变．
（2）结合律：三个分数相乘，先把前两个分数相乘，再乘以第三个分数，或者先把后两个分数相乘，再乘以第一个分数，它们的积不变．
（3）乘法分配律：两个分数的和与一个分数相乘所得的积，等于每一个加数分别与这个分数相乘所得的积的和．
【命题方向】
常考题型：
例1：甲数的等于乙数的，那么甲数（ ）乙数．（甲数乙数不为0）
A、大于 B、小于 C、等于
分析：甲数的等于乙数的．首先把甲数看作‘单位1’乙数是甲数的．
解：把甲数看作‘单位1’，平均分成5份乙数就相当于甲数的．
故选：A．
点评：此题主要考查分数大小的比较．
例2：一个数乘分数的积一定比原来这个数小． × ．
分析：本题的说法是错误的：（1）当这个数为零时，积总为零．（2）假分数≥1，当分数为假分数时，积≥这个数．真分数＜1，只有当个分数为真分数时，且是一个不为零的数乘以这个真分数，积才一定比原来这个数小．
解答：解：只有当个分数为真分数时，且是一个不为零的数乘以这个真分数，积才一定比原来这个数小．
故答案为：×．
点评：本题从这个数是否为零、真分数、假分数三个方面进行分析．
3．分数除法
【知识点归纳】
分数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算．
分数除法法则：
（1）分数除以整数：分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数．
（2）一个数除以分数：一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数．
（3）带分数除法：在分数除法中，如果出现带分数时，不论这个带分数是被除数还是除数，都要先把带分数化成假分数，然后，按照分数除以分数的法则计算．
分数除法的运算性质：与整数除法的运算性质相同
（1）一个数除以几个数的积，等于这个数依次除以积的每个因数．
（2）两个数的积除以一个数，等于用除数先除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘．
（3）一个数除以两个数的商，等于这个数先乘以商中的除数，再除以商中的被除数；或者用这个数先除以商中的被除数，再乘以商中的除数．
（4）两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数．
（5）两个数的和除以一个数，等于用除数分别去除这两个数，再把所得的商加起来．
【命题方向】
常考题型：
例1：甲数的是18，乙数的是18，甲数（ ）乙数．
分析：甲数的是18用除法求出甲数，乙数的是18用除法求出乙数；然后比较大小．
解：18÷，
＝18×，
＝27；
18÷，
＝18×，
＝24；
27＞24；
所以甲数＞乙数；
故选：A．
点评：此题考查了基本的分数除法的运用：已知一个数的几分之几是多少求这个数用除法解答．
例2：一个数（0除外）除以，这个数就（ ）
A、扩大6倍 B、增加6倍 C、缩小6倍
分析：除以一个数等于乘这个数的倒数，由此解决．
解：设这个数为a，则：
a＝6a，a不为0，6a就相当于把a扩大了6倍．
故选：A．
点评：本题运用了分数除法的计算方法来求解，注意扩大6倍和增加6倍的区别．
4．分数的四则混合运算
【知识点归纳】
1、整数的运算定律同样适用于分数乘法中的简便计算，需要关注的是，根据数的特征正确运用运算定律，切勿随心所欲进行所谓的“简便计算”。
2、分数乘法简便计算的本质，是利用运算定律创造条件“约分”，使计算简便。
【方法总结】
1、分数混合运算的运算顺序与整数混合运算的运算顺序完全相同，都是先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里的。
①如果是同一级运算，按照从左到右的顺序依次计算。
②如果是分数连乘，可先进行约分，再进行计算；
③如果是分数乘除混合运算时，要先把除法转换成乘法，然后按乘法运算。
【常考题型】
妈妈买来一袋大米，吃了，还剩35千克，这袋大米重多少千克？
答案：35÷（1﹣）＝50（千克）
水果店今天共卖出香蕉48千克，下午卖出的香蕉是上午的，上午卖出香蕉多少千克？
答案：48×＝27（千克）
5．百分数的加减乘除运算
【知识点归纳】
1．只把分子相加、减，分母不变．
2．百分数乘法法则：把各个分数的分子乘起来作为分子，100相乘起来作为分母，（即乘上这个分数的倒数），然后再约分．
3．百分数的除法法则：
（1）用被除数的分子与除数的分母相乘作为分子； （2）用被除数的分母与除数的分子相乘作为分母．
【命题方向】
常考题型：
例：如果甲数比乙数多25%，那么乙数比甲数少（ ）
A、20% B、25% C、不能确定
分析：先把乙数看成单位“1”，甲数就是（1+25%），用25%除以甲数就是乙数比甲数少百分之几．
解：25%÷（1+25%），
＝25%÷125%，
＝20%；
故选：A．
点评：本题关键是在于区分两个单位“1”的不同，先找出1个单位“1”，把其它量用单位“1”表示出来，然后根据求一个数是另一个数百分之几的方法求解．
6．分数方程求解
【知识点归纳】
解方程的步骤
（1）去分母。
当方程中存在分数，对方程中的两侧都乘以分数的分母，使分式化为整式，便于计算。
（2）去括号。
在去方程中的括号时，若括号前面是“+”，括号内不变符号；若括号前是“﹣”，去掉括号后，括号内变号。
（3）移项。
通过移项，将方程中的含未知数的项都移动到一侧，将整数移动到另一侧。
（4）合并同类项。
对含有相同未知数的次数相同的项的系数相加，合并同类项。
（5）系数化为1.
合并同类项后，将等式两侧都除以含有未知数的次数最高的项的系数。当方程为一元一次方程时，系数化为1后即可得到方程的解。
【命题方向】
常考题型
解方程。
①x−4/5x+6＝16
②64x＝2.4/0.9
答案：①x＝50；②x＝24。
7．百分数方程求解
【知识点归纳】
把百分数转化成小数即可，其他步骤与小数方程求解相同
一般利用等式性质把小数转化为整数之后，其他步骤与整数方程求解相同。
解方程的步骤
（1）去分母。
当方程中存在分数，对方程中的两侧都乘以分数的分母，使分式化为整式，便于计算。
（2）去括号。
在去方程中的括号时，若括号前面是“+”，括号内不变符号；若括号前是“﹣”，去掉括号后，括号内变号。
（3）移项。
通过移项，将方程中的含未知数的项都移动到一侧，将整数移动到另一侧。
（4）合并同类项。
对含有相同未知数的次数相同的项的系数相加，合并同类项。
（5）系数化为1.
合并同类项后，将等式两侧都除以含有未知数的次数最高的项的系数。当方程为一元一次方程时，系数化为1后即可得到方程的解。
【命题方向】
常考题型：
解方程。
答案：x＝10；x＝20；x＝1/2；x＝5。
8．比的意义
【知识点归纳】
两个数相除，也叫两个数的比．
【命题方向】
常考题型：
例1：男生人数比女生人数多，男生人数与女生人数的比是（ ）
A、1：4 B、5：7 C、5：4 D、4：5
分析：男生人数比女生人数多，把女生人数看作单位“1”，则男生人数是女生人数的（1+），由此即可求出男生与女生的人数的比，据此选择即可．
解：（1+）：1，
＝：1，
＝5：4；
故选：C．
点评：解答本题关键是：判断出单位“1”，求出男生人数是女生人数的几分之几，进而根据比的意义解答即可．
例1：甲数是乙数的，乙数是丙数的，甲、乙、丙三数的比是（ ）
A、4：5：8 B、4：5：6 C、8：12：15 D、12：8：15
分析：根据题干分析可得，设甲数是2x，乙数是3x，则丙数就是3x÷＝x，由此即可写出甲乙丙三个数的比是2x：3x：x，根据比的性质，即可得出最简比．
解：设甲数是2x，乙数是3x，则丙数就是3x÷＝x，
所以甲乙丙三个数的比是2x：3x：x＝8：12：15，
故选：C．
点评：此题考查比的意义，关键是根据甲乙丙的关系，分别用含有x的式子表示出这三个数，再利用比的性质化简比．
9．比与分数、除法的关系
【知识点归纳】
1．联系：比的前项相当于分数的分子、除法中的被除数；比号相当于分数的分数线、除法中的除号；比的后项相当于分数的分母、除法中的除数；比值相当于分数的分数值、除法中的商．
2．区别：比是一种关系，分数是一种数，除法是一种运算．
【命题方向】
常考题型：
例：＝16÷ 20 ＝ 8 ：10＝ 80 %＝ 八 成．
分析：根据比与分数、除法之间的关系，并利用商不变的规律、比的基本性质等知识即可得答案．
解：＝4÷5＝16÷20，
＝4：5＝8：10，
＝0.8＝80%＝八成，
故答案为：＝16÷20＝8：10＝80%＝八成
点评：此题主要考查商不变的规律、比的基本性质等知识．
10．求比值和化简比
【知识点归纳】
1．求两个数的比值，就是用比的前项除以比的后项，它的结果是一个数值，这个数值可以是整数，也可以是小数或分数．
2．求比值和化简比的方法：把两个数的比化成最简单的整数比．
（1）整数比化简方法：把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数．
（2）分数比化简方法：把比的前项和后项同时乘它们的分母的最小公倍数，变成整数比，再进行化简；利用求比值的方法也可化简分数比，但结果必须写成比的形式．
（3）小数比化简方法：先把比的前项和后项的小数点同时向右移动相同位数，完成整数比，再进行化简．
【命题方向】
常考题型：
例：甲数除以乙数的商是3.2，乙数与甲数的最简整数比是（ ）
A、16：5 B、5：16 C、3：2 D、2：3
分析：根据甲数除以乙数的商是3.2，可以认为乙数是1份的数，甲数是3.2份的数，进一步写出比并化简比．
解：乙数：甲数＝1：3.2＝10：32＝5：16．
故选：B．
点评：解决此题关键是根据题意先写出比，再进一步化简比．
11．比的应用
【知识点归纳】
1．按比例分配问题的解题方法：
（1）把比看作分得的份数，用先求出每一份的方法来解答．解题步骤：
a．求出总份数；
b．求出每一份是多少；
c．求出各部分相应的具体数量．
（2）转化成份数乘法来解答．解题步骤：
a．先根据比求出总份数；
b．再求出各部分量占总量的几分之几；
c．求出各部分的数量．
2．按比例分配问题常用解题方法的应用：
（1）已知一个数量的各部分的比和其中某一部分的量，求另外几个部分量；
（2）已知两个量或几个量的比和其中两个量的差，求总量．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个三角形与一个平行四边形的面积和底部都相等，这个三角形与平行四边形高的比是（ ）
A、2：1 B、1：2 C、1：1 D、3：1
分析：根据三角形和平行四边形的面积公式可得：三角形的高＝面积×2÷底；平行四边形的高＝面积÷底，由此即可进行比较，解答问题．
解：三角形的高＝面积×2÷底，
平行四边形的高＝面积÷底，
当三角形和平行四边形的面积和底分别相等时，三角形的高是平行四边形的高的2倍．
所以这个三角形与平行四边形高的比是2：1．
故选：A．
点评：考查了平行四边形的面积和三角形的面积公式，解题的关键是知道底相等、面积也相等的三角形和平行四边形中三角形的高是平行四边形的高的2倍．
例2：甲、乙两人各走一段路，他们的速度比是3：4，路程比是8：3，那么他们所需时间比是（ ）
A、2：1 B、32：9 C、1：2 D、4：3
分析：根据题意，把乙的速度看作1，那么甲的速度就为；把甲的路程看作1，那么乙的路程就为；根据时间＝路程÷速度，可得甲用的时间为1÷＝，乙用的时间为÷1＝；进而写出甲和乙所需的时间比，再把比化成最简比即可．
解：把乙的速度看作1，那么甲的速度就为，
把甲的路程看做1，那么乙的路程就为，
甲用的时间为：1÷＝，
乙用的时间为：÷1＝，
甲乙用的时间比：：＝（×24）：（×24）＝32：9；
答：甲乙所需的时间比是32：9．
故选：B．
点评：关键是把速度和路程设出来，然后根据时间＝路程÷速度，先求得各自用的时间，再写出所用的时间比并化简比．
12．分数乘法应用题
【知识点归纳】
是指已知一个数，求它的几分之几是多少的应用题．
特征：已知单位“1”的量和分率，求与分率所对应的实际数量
解题关键：准确判断单位“1”的量，找准要求问题所对应的分率，然后，根据一个数乘分数的意义正确列式．
【命题方向】
常考题型：
例1：一根钢材长4米，用去后，又用去米，还剩（ ）米．
A、 B、 C、2
分析：根据题意，用去后，把4米看作单位“1”，剩下的占4米的（1﹣），根据一个数乘分数的意义，用乘法解答，又用去米，米是一个具体长度，根据求剩余问题直接用减法解答．
解：4×（1﹣）﹣，
＝4×﹣，
＝3﹣，
＝2（米）；
答：还剩2米．
故选：B．
点评：此题解答关键是理解和米的意义，是分率，米是一个具体数量．
例2：某体操队的人数增加了后，又减了，现在的人数和原来相比（ ）
A、增加了 B、减少了 C、不变 D、不能确定
分析：此题没有具体数量，就把体操队的原有人数看做“1”，当做具体数量1，第一个是把体操队的原有人数看做单位“1”，第二个是把体操队的增加人数后的人数看做单位“1”，由此分清单位“1”，列式解答，算出的数据比“1”大，就比原来人数多；反之，就比原来人数和少．
解：设操队的原有人数看做“1”，
1×（1+）×（1﹣），
＝1××，
＝，
因为＜1，所以现在的人数比原来的人数减少了．
故选：B．
点评：解答此题的关键是分清两个单位“1”的区别，找清各自以谁为标准，再把数据设出，问题容易解决．
13．分数四则复合应用题
【命题方向】
常考题型：
例：一瓶油千克，先倒出它的，然后再加千克．现在瓶内的油比原来（ ）
A、增加 B、减少 C、不变
分析：一瓶油千克，先倒出它的，还剩×（1﹣）＝（千克），再加千克，这时油重（+）千克，计算即可．
解：现在油重：
×（1﹣）+，
＝×+，
＝+，
＝（千克）；
原来油重：
＝（千克）；
因为＞．
所以增多了．
答：现在瓶内的油比原来增多．
故选：A．
点评：解答此题应分清两个“”的区别，第一个“”表示分率，第二个“”表示数量，在列式时不要混淆．
14．百分数的实际应用
【知识点归纳】
①出勤率＝出勤人数÷总人数×100%
发芽率＝发芽种子数÷试验种子数×100%
小麦的出粉率＝面粉的重量÷小麦的重量×100%
产品的合格率＝合格的产品数÷产品总数×100%
职工的出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%
②纳税问题：
缴纳的税款叫应纳税款
应纳税额与各种收入的比率叫做税率
税款＝应纳税金×税率
③利息问题：
存入银行的钱叫本金；取款时，银行多支付的钱叫做利息
利息与本金的比值叫做利率
利息＝本金×利率×时间
【命题方向】
常考题型：
例1：某公司开会，有25人缺席，有100人出席，这个会议的出席率是（ ）
A、80% B、75% C、100%
分析：出席率是指出席的人数占总人数的百分之几，计算方法为：×100%＝出席率，由此列式解答即可．
解：×100%＝80%，
答：出席率是80%；
故选：A．
点评：此题属于百分率问题，计算的结果最大值为100%，都是用一部分数量（或全部数量）除以全部数量乘以百分之百．
例2：某商店同时卖出两件商品，每件各得60元，但其中一件赚20%，另一件亏本20%，这个商店卖出这两件商品是赚钱还是亏本？
分析：可以这样想，赚了20%，亏本20%是和谁比较呢？是与原价比较，因此原价是单位“1”，赚了20%就是说原价的（1+20%）是60元，求原价，用除法，60÷（1+20%）＝50（元），同理亏本20%就是说原价的（1﹣20%）是60元，求原价，用除法，60÷（1﹣20%）＝75（元）．
解：[60÷（1+20%）+60÷（1﹣20%）]﹣60×2
＝[50+75]﹣120；
＝125﹣120；
＝5（元）；
答：这两件商品亏了5元．
点评：解决这个问题的关键是正确确定单位“1”，找出对应关系．
15．简单的工程问题
【知识点归纳】
探讨工作总量、工作效率、工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题．
解题关键：把工作总量看做单位“1”，工作效率就是工作时间的倒数，然后，根据题目的具体情况，灵活运用公式．
数量关系式：
工作总量＝工作效率×工作时间
工作效率＝工作总量÷工作时间
工作时间＝工作总量÷工作效率
合作时间＝工作总量÷工作效率和
【命题方向】
常考题型：
例1：打一份文件，甲用4小时，乙用6小时，两人合打（ ）小时能完成．
A、 B、 C、10
分析：把这项工程看做单位“1”，那么甲的工作效率是，乙的工作效率是，利用工作时间＝工作总量÷工作效率即可求得两人合打需要的时间，由此即可进行选择．
解：根据题干分析可得：
1÷（+），
＝1÷，
＝；
答：两人合打小时能完成．
故选：A．
点评：此题考查了工作时间＝工作总量÷工作效率在实际问题中的灵活应用，把工作总量看做单位“1”得出甲和乙的工作效率是解决本题的关键．
例2：要装配210台电脑，已经装了6天，每天装配15台，剩下的每天装配20台，还要几天才能装完？
分析：我们运用要装配电脑的台数减去已经装的台数，除以剩下的每天装配的台数，就是要用的天数．
解：
（210﹣15×6）÷20
＝120÷20
＝6（天）；
答：还要6天才能装完．
点评：本题运用“工作总量÷工作效率＝工作时间”进行解答即可．
16．按比例分配应用题
【知识点归纳】
把一个数按一定的比（或连比）分成若干部分，叫做按比例分配．
解答这类题的方法是：把一个总数A分成几部分，使顺次与几个已知数的连比成正比例关系，只要求出总份数，然后，把A分别乘以各部分量所占总量的几分之几，或者求出总份数后，再求平均每份是多少，然后，按照各个量所占的份数，求出几份是多少．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个三角形三个内角度数的比是3：2：1，这是一个（ ）三角形．
A、锐角 B、直角 C、钝角 D、无法确定
分析：因为三角形的内角度数和是180°，三角形的最大的角的度数占内角度数和的，根据一个数乘分数的意义，求出最大角，进而判断即可．
解：1+2+3＝6
最大的角：180°×＝90°
所以这个三角形是直角三角形
故选：B．
点评：解答此题应明确三角形的内角度数的和是180°，求出最大的角的度数，然后根据三角形的分类判定类型．
例2：一个长方形周长是88cm，长与宽的比是7：4．长方形的长、宽各是多少厘米？面积是多少？
分析：根据题意，长与宽的和为88÷2＝44（厘米），然后运用按比例分配的方法，求出长方形的长、宽各是多少厘米，再根据长方形面积公式，求出面积，解决问题．
解：88÷2＝44（厘米），
4+7＝11，
44×＝16（厘米），
44×＝28（厘米）；
16×28＝448（平方厘米）；
答：长方形的长是28厘米，是16厘米，面积是448平方厘米．
点评：解答此题的关键是找准对应量，找出数量关系，根据数量关系，列式解答即可．
17．百分率应用题
【知识点归纳】
出勤率：
发芽率＝发芽种子数÷试验种子数×100%
小麦的出粉率＝面粉的重量÷小麦的重量×100%
产品的合格率＝合格的产品数÷产品总数×100%
职工的出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%
【命题方向】
常考题型：
例1：一种树苗实验成活率是98%，为了保证成活380棵，至少要种多少棵树苗？
分析：首先理解“成活率”的概念，成活率是指成活的棵数占总棵数的百分比，即成活率＝×100%．
已知成活率是98%，成活380棵，求至少要种多少棵，根据成活棵数÷成活率，即380÷98%，计算即可．
解：380÷98%，
＝380÷0.98，
≈388（棵）；
答：至少要种388棵树苗．
点评：此题考查了成活率的概念，同时应注意在处理结果时应该用“进一法”．
例2：一个商场打折销售，规定购买200元以下（包括200元）商品不打折，200元以上500元以下（包括500元）全部打九折，如购买500元以上的商品，就把500元以内（包括500元）的打九折，超出的打八折，一个人买了两次，分别用了134元、466元，那么如果他一次购买这些商品的话，可节省多少元？
分析：先分析销售的办法：
（1）200元以下（包括200元）商品不打折，这种方法最多付款200元；
（2）200元以上500元以下（包括500元）全部打九折，这一阶段最少付款200×90%＝180（元）；
最多付款500×90%＝450（元）；
（3）如购买500元以上的商品，就把500元以内（包括500元）的打九折，超出500元的部分打八折；这一阶段最少付款450元．
134元＜180元，说明原价就是134元，没有打折；
466元＞450元；它属于第（3）种情况，有500元打九折，付450元；剩下的打八折；所以加上134元后也属于此阶段优惠；把134元按照8折优惠的钱数就是可以节省的钱数．
解：200×90%＝180（元）；
134元＜180元，说明原价就是134元，没有打折；
500×90%＝450（元）；
466＞450；
一次购买134元可以按照8折优惠；
134×（1﹣80%），
＝134×20%，
＝26.8（元）；
答：一次购买可节省26.8元．
点评：本题考查了分类讨论的思想的运用：分析实际付款可按不同方式打折．也考查了实际生活中的折扣问题．
18．圆的认识与圆周率
【知识点归纳】
1．圆的认识：圆是一种几何图形．当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆．
2．圆周率：圆周率符号一般以π来表示，是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数．它定义为圆形之周长与直径之比．它也等于圆形之面积与半径平方之比．
【命题方向】
常考题型：
例1：圆周率π是一个（ ）
A、有限小数 B、循环小数 C、无限不循环小数
分析：根据圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率，用字母“π”表示，它是一个无限不循环小数；进而解答即可．
解：根据圆周率的含义可知：圆周率π是一个无限不循环小数；
故选：C．
点评：此题考查了圆周率的含义．
例2：把一个圆分成若干等份，然后把它剪拼成一个近似的长方形，已知长方形的长是6.28cm，这个长方形的宽是 2 cm，这个圆的面积是 12.56 cm2．
分析：长方形的两个长的和即为圆的周长，利用圆的周长公式即可求出圆的半径，也就是长方形的宽；从而可求出圆的面积．
解：C＝2πr，r＝C÷2π，
＝6.28×2÷6.28，
＝2cm；
长方形的宽＝2cm；
圆的面积：
3.14×22，
＝12.56cm2．
故答案为：2，12.56．
点评：此题主要考查圆的周长及面积公式，关键是明白圆的半径等于长方形的宽．
19．从不同方向观察物体和几何体
【知识点归纳】
视图定义：
当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图象叫做物体的一个视图．
物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图．
主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图．
俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图．
左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图．
人在观察目标时，从眼睛到目标的射线叫做视线，眼睛所在的位置叫做视点，有公共视点的两条视线所称的角叫做视角．
我们把视线不能到达的区域叫做盲区．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个物体的形状如图所示，则此物体从左面看是（ ）
分析：这个几何体是由四个小正方体组成的，根据观察物体的方法，从正面看，是三个正方形，下行二个，上行一个位于右面；从上面看，是三个正方形，上行二个，下行一个位于右面；从左面看是三个正方形，下行二个，上行一个位于左面．由此判断．
解：从左面看到的是三个正方形，左边一列二个正方形，右边一个正方形与左边一列下边的一个成一行；
故选：B．
点评：本题是考查从不同方向观察物体和几何图形．是培养学生的观察能力．
20．作简单图形的三视图
【知识点归纳】
在画组合体三视图之前，首先运用形体分析法把组合体分解为若干个形体，确定它们的组合形式，判断形体间邻接表面是否处于共面、相切和相交的特殊位置；然后逐个画出形体的三视图；最后对组合体中的垂直面、一般位置面、邻接表面处于共面、相切或相交位置的面、线进行投影分析．当组合体中出现不完整形体、组合柱或复合形体相贯时，可用恢复原形法进行分析．
画哪个方向上的三视图就想象哪个方向上有光照到物体上，画出投影即可．
【命题方向】
常考题型：
例：如图立体图形，从正面、上面、侧面看到的形状分别是什么？在方格纸上画一画．
分析：观察图形可知，从正面看到的图形是2层：下层3个正方形，上层1个正方形靠左边；从上面看到的图形是一行3个正方形；从侧面看到的图形是一列2个正方形，据此即可解答问题．
解：根据题干分析画图如下：
点评：此题考查从不同方向观察物体，意在培养学生观察物体的空间思维能力．
21．圆、圆环的周长
【知识点归纳】
圆的周长＝πd＝2πr，
半圆的周长等于圆周长一半加上直径，即；
半圆周长＝πr+2r．
圆环的周长等于两个圆的周长，即：
圆环的周长＝πd1+πd2＝2πr1+2πr2．
【命题方向】
常考题型：
例1：车轮滚动一周，所行的路程是求车轮的（ ）
A、直径 B、周长 C、面积
分析：车轮滚动一周，所行的路程就是这个车轮的周长，可采用化曲为直的方法进行计算．
解：车轮滚动一周所行的路程就是车轮一周的长度，即周长．
答：车轮滚动一周，所行的路程是求车轮的周长．
故选：B．
点评：此题主要考查的是利用圆的周长求车轮的所行路程．
例2：如图，一个半圆形的半径是r，它的周长是（ ）
A、2πr× B、πr+r C、（π+2）r D、πr2．
分析：根据半圆的周长公式：C＝πr+2r，可求半圆的周长．
解：πr+2r＝（π+2）r．
答：半圆的周长是（π+2）r．
故选：C．
点评：考查了半圆的周长．解题的关键是理解和掌握它们的计算公式，同时不要错误的以为半圆的周长是圆的周长的一半．
【解题思路点拨】
（1）常规题求圆的周长，先求出关键量半径，代入公式即可求得．
22．画圆
【知识点归纳】
圆规画圆步骤：
1、把圆规的两脚分开，定好两脚间距离；
2、把有针尖的一只脚固定在一点上；
3、带有铅笔的那只脚绕点旋转一周．
【命题方向】
常考题型：
例1：画一个周长是18.84厘米的圆，圆规的两脚之间的距离应该是（ ）厘米．
A、3 B、6 C、9 D、12
分析：圆规两脚之间的距离即这个圆的半径，由圆的周长公式即可解决问题．
解：18.84÷3.14÷2＝3（厘米）；
答：圆规的两脚之间的距离应该是3厘米．
故选：A．
点评：抓住圆规画圆的方法，利用C＝2πr，即可解决此类问题．
例2：画一个直径是4cm的圆．
分析：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，由此以点O为圆心，以4÷2＝2厘米为半径，即可画出这个圆．
解：4÷2＝2（厘米），
以点O为圆心，以2厘米为半径，画圆如下：
点评：此题考查了圆的画法，抓住圆的两大要素：圆心和半径即可画圆．
23．圆、圆环的面积
【知识点归纳】
圆的面积公式：
S＝πr2
圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可得，公式：
S＝πr22﹣πr12＝π（r22﹣r12）
【命题方向】
常考题型：
例1：因为大圆的半径和小圆的直径相等，所以大圆面积是小圆面积的（ ）
A、2倍 B、4倍 C、 D、
分析：大圆的半径和小圆的直径相等，说明大圆的半径是小圆的半径的2倍，利用圆的面积公式和积的变化规律即可推理得出正确答案进行选择．
解：大圆的半径和小圆的直径相等，说明大圆的半径是小圆的半径的2倍，
圆的面积＝πr2，根据积的变化规律可得，r扩大2倍，则r2就会扩大2×2＝4倍，
所以大圆的面积是小圆的面积的4倍．
故选：B．
点评：此题考查了积的变化规律在圆的面积公式中的灵活应用，这里可以得出结论：半径扩大几倍，圆的面积就扩大几倍的平方．
例2：在图中，正方形的面积是100平方厘米，那么这个圆的面积是多少平方厘米？周长呢？
分析：看图可知：正方形的边长等于圆的半径，先利用正方形的面积公式求出正方形的边长，即得出圆的半径，由此根据圆的周长和面积公式即可列式解答．
解：因为10×10＝100，
所以正方形的边长是10厘米，
所以圆的面积是：3.14×10×10＝314（平方厘米）；
周长是：3.14×10×2＝62.8（厘米），
答：这个圆的面积是314平方厘米，周长是62.8厘米．
点评：此题考查圆的周长与面积公式的计算应用，关键是结合图形，利用正方形的面积公式求出正方形的边长，即这个圆的半径．
24．有关圆的应用题
【知识点归纳】
当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆．
连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r；
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d，直径所在的直线是圆的对称轴．
圆的性质：圆有无数条半径和无数条直径．
圆的周长＝πd＝2πr
圆的面积＝πr2．
【命题方向】
常考题型：
例1：火车主动轮的半径是0.75米，如果每分钟转300周，每小时可行多少米？
分析：先求出主动轮转动一周所行的米数，即主动轮的周长．然后根据每分钟转动的周数求出每分钟行的米数，最后用每分钟行的米数乘60即可．
解：3.14×（0.75×2）×300×60，
＝3.14×1.5×300×60，
＝84780（米）；
答：每小时可行84780米．
点评：解答此题的关键是求主动轮的周长，即主动轮转动一周所行的米数．
例2：为美化校园环境，学校准备在周长是37.68米的花坛（如图）外围铺一条2米宽的环形小路，这条小路的面积是多少平方米？如果每平方米用水泥15千克，铺这条小路一共需要水泥多少千克？
分析：在周长是37.68米的花坛（如图）外围铺一条2米宽的环形小路，这条小路就是一个圆环，已知里圆的周长是37.68米，根据圆的周长公式c＝2πr，求出半径r，外圆的半径就是r+2米，圆环的面积即可求出π（R2﹣r2）；如果每平方米用水泥15千克，铺这条小路一共需要水泥多少千克，用乘法，面积乘15，即可得解．
解：设花坛的半径为r，外圆的半径R，由圆的周长公式，则有：
2πr＝37.68，
r＝6（米），
R＝r+2＝6+2＝8（米），
这条小路的面积是：
S＝π（R2﹣r2），
＝3.14×（82﹣62），
＝87.92（平方米）；
87.92×15＝1318.8（千克）；
答：这条小路的面积是87.92平方米，铺这条小路一共需要水泥1318.8千克．
点评：此题考查了有关圆的应用题，理清思路，灵活应用圆的周长公式和面积公式是解决此题的关键．
25．组合图形的面积
【知识点归纳】
方法：
①“割法”：观察图形，把图形进行分割成容易求得的图形，再进行相加减．
②“补法”：观察图形，给图形补上一部分，形成一个容易求得的图形，再进行相加减．
③“割补结合”：观察图形，把图形分割，再进行移补，形成一个容易求得的图形．
【命题方向】
常考题型：
例1：求图中阴影部分的面积．（单位：厘米）
分析：根据图所示，可把组合图形分成一个直角梯形和一个圆，阴影部分的面积等于梯形的面积减去圆的面积再加上圆的面积减去三角形面积的差，列式解答即可得到答案．
解：[（5+8+5）×5÷2﹣×3.14×52]+（×3.14×52﹣5×5÷2），
＝[18×5÷2﹣0.785×25]+（0.785×25﹣25÷2），
＝[90÷2﹣19.625]+（19.625﹣12.5），
＝[45﹣19.625]+7.125，
＝25.375+7.125，
＝32.5（平方厘米）；
答：阴影部分的面积为32.5平方厘米．
点评：此题主要考查的是梯形的面积公式（上底+下底）×高÷2、三角形的面积公式底×高÷2和圆的面积公式S＝πr2的应用．
26．扇形统计图
【知识点归纳】
1．扇形统计图的特点：扇形统计图是用整个圆的面积表示总数，用圆内的扇形面积表示各部分数量占总数的百分比．
2．读懂扇形统计图：
（1）获取信息的方法：运用综合、对比等多种观察方法，可以从扇形统计图中获取信息，还可以利用这些信息提出相应的问题．
（2）扇形统计图的优点：它可以清楚地表示出部分数量与总数、部分数量与部分数量之间的关系．
3．利用扇形统计图解决问题，就是解决有关不同类型的百分数应用题，按照百分数应用题的解题思路和解题方法进行解答．
【命题方向】
常考题型：
例1：如图是某小学六年级学生视力情况统计图．
①视力正常的有76人，视力近视的有 60 人；
②假性近视的同学比视力正常的人少 15.8 %；（百分号前保留一位小数）
③视力正常的学生与视力非正常学生人数的比是 19：31 ．
分析：由图可知：把总人数看成单位“1”，视力正常的人数占总人数的38%，近视的人数占总人数的30%，假性近视的人数占总人数的32%；
①视力正常的有76人，它对应的百分数是38%，由此用除法求出总人数，再求出总人数的30%就是近似的人数；
②用视力正常占的百分数减去假性近视人数占的百分数，然后用求得的差除以视力正常占的百分数即可；
③先求出视力非正常学生人数占总人数的百分数，然后作比．
解：①76÷38%×30%，
＝200×30%，
＝60（人）；
答：视力近视的有60人．
②（38%﹣32%）÷38%，
＝6%÷38%，
≈15.8%；
答：假性近视的同学比视力正常的人少15.8%．
③38%：（32%+30%），
＝38%：62%，
＝38：62，
＝19：31；
答：视力正常的学生与视力非正常学生人数的比是19：31．
故答案为：60，15.8%，19：31．
点评：解决本题关键是从图中读出数据，找出单位“1”，再根据基本的数量关系求解．
27．统计图的选择
【知识点归纳】
理解三种统计图各自的特点，并能根据不同问题选择适当的统计图描述数据．
（1）条形统计图的特点：
条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．
（2）折线统计图的特点：
折线统计图能清楚地反映事物的变化情况．
（3）扇形统计图的特点：
扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比．
注意：1．这三种统计图最后都要写标题．
2．条形统计图、折线统计图都会出现复式统计图，需用不同种类的条形和折线来表示，如﹣﹣与﹣﹣﹣﹣等．
3．制作统计图的目的．
尽可能清楚、有效地描述数据，以利于对数据作出正确的分析，以便进行合理地做出决策．
4．统计图与统计表的区别
统计表所反映的数据准确、易找，但不易看出数据之间的关系或变化情况，而统计图能很直观地表示出变化的情况，但往往不能看出准确的数据．
【命题方向】
常考题型：
例1：三洋电视机厂为了能清楚地表示出上半年月产量的多少与增减变化的情况，应绘制（ ）
A、条形统计图 B、折线统计图 C、扇形统计图
【分析】根据题意，即能表示数量的多少，又能表示数量的增减变化情况，根据折线统计图的特点和作用，即可做出判断．
解：折线统计图不仅表示数量的多少，而且表示数量的增减变化情况，由此，三洋电视机厂为了能清楚地表示出上半年月产量的多少与增减变化的情况，应绘制折线统计图．
故选B．
【点评】此题考查的目的是理解和掌握折线统计图的特点和作用，并且能够根据其特点和作用解决有关的实际问题．

×6＝
14÷＝
2÷40%＝
0.75：＝
＝
（）×8＝
5×÷5×＝
a﹣a×＝
（1）×101﹣25%
（2）（）×7×9
（3）×45
（4）1÷（）
（5）
（6）
×6＝
14÷＝
2÷40%＝
0.75：＝
＝
（）×8＝
5×÷5×＝
a﹣a×＝
×6＝
14÷＝49
2÷40%＝5
0.75：＝
＝
（）×8＝9
5×÷5×＝
a﹣a×＝a
（1）×101﹣25%
（2）（）×7×9
（3）×45
（4）1÷（）
（5）
（6）
5x×30%＝15
3.6x+120%x＝96
100%x+2/3＝7/6
130%x﹣0.8×4＝3.3