安徽省铜陵市2023-2024学年六年级（上）期末数学试卷

这是一份安徽省铜陵市2023-2024学年六年级（上）期末数学试卷，共63页。试卷主要包含了填空题，判断题，选择题，计算题，图形与操作，解决问题等内容，欢迎下载使用。
1．（2023秋•铜官区期末） ：32＝＝ ÷80＝ %＝ （填小数）。
2．（2023秋•铜官区期末）400米的20%是 米， 千克的是15千克。
3．（2023秋•铜官区期末）比40吨多吨是 吨，20米比 米少。
4．（2023秋•铜官区期末）在一个长30厘米、宽18厘米的长方形内画一个最大的圆，这个圆的周长是 厘米，面积是 平方厘米。
5．（2023秋•铜官区期末）李松兰小时行了千米，他平均每小时行 千米；他行1千米需要 小时。
6．（2023秋•铜官区期末）把30克糖溶入50克水中，这时糖水的含糖率是 %。
7．（2023秋•铜官区期末）吨＝ 千克；45分＝ 时。
8．（2020•历下区）甲和乙的比是4：5，甲比乙少 %，乙比甲多 %．
9．（2023秋•铜官区期末）一个三角形三个内角度数的比是1：4：5，最小的内角是 度，这个三角形是 三角形．
10．（2023秋•铜官区期末）一项工程，甲队单独做9天可以完成全部工程的，乙队单独做12天可以完成全部工程，两队合作 天可以完成全部工程。
11．（2023秋•铜官区期末）一件商品先提价后又降价，原价与现价最简单的整数比是 。
12．（2023秋•铜官区期末）一个钟面上的时针长4厘米，从上午9时到下午3时，时针扫过的面积是 平方厘米。
13．（2016•广州）++++++＝ ．
二、判断题。（对的填涂“T”，错的填涂“F”）
14．（2014•铜仁地区模拟）一个数乘分数的积一定比原来的数小．
15．（2024•浈江区）半圆的周长就是圆周长的一半．
16．（2023秋•铜官区期末）“梧桐花谷”景区在近两周的游客评价调查中，满意率都是85%，下周的游客满意率也一定是85%。
17．（2023秋•铜官区期末）一支铅笔0.8元，用分数表示是元，用百分数表示是80%元。
18．（2023秋•铜官区期末）在含盐10%的盐水中，再加入x克同样的盐水，含盐率没有变化。
三、选择题。（将正确答案前的字母填在括号里）
19．（2023秋•铜官区期末）如果大圆周长是小圆周长的3倍，那么大圆面积是小圆面积的（ ）倍。
A．3B．3.14C．9D．6
20．（2023秋•铜官区期末）图书馆在学校的北偏西30°方向，则学校在图书馆的（ ）方向。
A．南偏东30°B．南偏东60°C．北偏西60°D．北偏西30°
21．（2023秋•铜官区期末）两根长度相等的铁丝分别围成一个圆和一个正方形，（ ）的面积大．
A．正方形B．圆C．一样大D．无法确定
22．（2023秋•铜官区期末）一件上衣如果卖350元，可以赚。如果卖275元，可以赚（ ）
A．B．C．D．
23．（2023秋•铜官区期末）甲、乙、丙三名小朋友用相同的正方形纸剪图形，如图，三人对手工纸的利用率情况是（ ）
A．甲最高B．乙最高C．丙最高D．三人相同
四、计算题。
24．（2023秋•铜官区期末）直接写得数。
25．（2023秋•铜官区期末）脱式计算，能简算的要简算。
26．（2023秋•铜官区期末）解方程。
0.6x+45%x＝294
五、图形与操作。
27．（2023秋•铜官区期末）请用圆规画一个周长是12.56厘米的圆。再在这个圆中画一个圆心角是40°的扇形。
28．（2023秋•铜官区期末）如图正方形的周长是16cm，求阴影部分的周长和面积。
29．（2023秋•铜官区期末）这是一张机器人的行走路线图。
（1）机器人从出发站出发，向 方向行走 路程可到达A站。
（2）机器人最终目的地是C站。
C站位于B站南偏东30°，距离B站15m的位置上。请你在图上画出C站的位置。
（3）如果机器人的行走速度控制在米/秒，那么行完全程需要 秒。
六、解决问题。
30．（2023秋•铜官区期末）明明准备用一些彩旗布置教室。他买了48面红旗，红旗的数量比黄旗多，他买了多少面黄旗？
31．（2023秋•铜官区期末）一个圆形鱼塘的周长是106.76米，中间有一个圆形小岛，小岛的直径是14米。这个鱼塘的水域面积是多少平方米？
32．（2023秋•铜官区期末）一段路程，甲车行完全程要4小时，乙车行完全程要5小时。甲车比乙车的速度快百分之多少？
33．（2023秋•铜官区期末）一台洗衣机原价6800元。第一季度由于滞销，商场降价20%出售，第二季度又提价20%出售。现在这台洗衣机与原价相比，是涨了还是跌了？涨（跌）的幅度是多少？（用百分数表示）
34．（2023秋•铜官区期末）如图是李东家11月份家庭支出情况统计图，已知11月份教育支出是1200元。
（1）衣食类支出占这个月总支出的百分之多少？是多少元？
（2）如果李东家12月份缴水电气费400元，仍占当月总支出的8%，那么李东家12月份的总支出是多少元？
35．（2023秋•铜官区期末）观察如图的点阵图，探索规律。
（1）第4个点阵图中共有 个点，第9个点阵图中共有 个点。
（2）第n个点阵图中共有 个点。
2023-2024学年安徽省铜陵市铜官区六年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题。
1．（2023秋•铜官区期末） 20 ：32＝＝ 50 ÷80＝ 62.5 %＝ 0.625 （填小数）。
【考点】小数、分数和百分数之间的关系及其转化；比与分数、除法的关系．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】20；50；62.5；0.625。
【分析】解决此题关键在于，可改写成0.625，0.625可改写成62.5%，可改写成5÷8，进一步改写成50÷80，也可改写成5：8，进一步改写成20：32。
【解答】解：20：32＝＝50÷80＝62.5%＝0.625。
故答案为：20；50；62.5；0.625。
【点评】此题考查小数、分数、百分数之间的转化，根据它们之间的关系和性质进行转化即可。
2．（2023秋•铜官区期末）400米的20%是 80 米， 40 千克的是15千克。
【考点】百分数的加减乘除运算；分数除法．
【专题】运算能力．
【答案】80；40。
【分析】求一个数的百分之几是多少，用乘法计算；
已知一个数几分之几是多少，求这个数，用除法计算。
【解答】解：400×20%＝80（米）
15÷＝40（千克）
答：400米的20%是80米，40千克的是15千克。
故答案为：80；40。
【点评】本题考查百分数乘法和分数除法的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。
3．（2023秋•铜官区期末）比40吨多吨是 40 吨，20米比 32 米少。
【考点】分数除法；分数的加法和减法．
【专题】运算能力．
【答案】；32
【分析】要求比40吨多吨是多少吨，单位相同，直接相加即可；
把要求的数量看成单位“1”，它的（1﹣）对应的数量是20米，由此用除法求出要求的数量。
【解答】解：40+＝40（吨）
20÷（1﹣）
＝20÷
＝32（米）
答：比40吨多吨是40吨，20米比32米少。
故答案为：；32。
【点评】本题主要考查了分数加法以及分数除法的意义；已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”用除法计算。
4．（2023秋•铜官区期末）在一个长30厘米、宽18厘米的长方形内画一个最大的圆，这个圆的周长是 56.52 厘米，面积是 254.34 平方厘米。
【考点】圆、圆环的面积；圆、圆环的周长．
【专题】运算能力．
【答案】56.52，254.34。
【分析】长方形内最大的圆的直径等于长方形的最短边18厘米，据此利用圆的周长和面积公式计算即可
【解答】解：3.14×18＝56.52（厘米）
3.14×（18÷2）2
＝3.14×81
＝254.34（平方厘米）
答：这个圆的周长是56.52厘米，面积是254.34平方厘米。
故答案为：56.52 254.34。
【点评】解答此题的关键是明确长方形内最大的圆的直径，再利用圆的周长和面积公式计算即可解答。
5．（2023秋•铜官区期末）李松兰小时行了千米，他平均每小时行 千米；他行1千米需要 小时。
【考点】简单的行程问题；分数除法．
【专题】应用意识．
【答案】；。
【分析】用行驶的路程除以时间即可求出他平均每小时行多少千米，用行驶的时间除以路程即可求出他行1千米需要几小时。
【解答】解：÷
＝×
＝（千米）
÷
＝×
＝（小时）
答：他平均每小时行千米；他行1千米需要小时。
故答案为：；。
【点评】本题主要考查分数除法的计算及应用，明确谁作除数是关键。
6．（2023秋•铜官区期末）把30克糖溶入50克水中，这时糖水的含糖率是 37.5 %。
【考点】百分率应用题．
【专题】运算能力．
【答案】37.5。
【分析】根据题意，先用糖的质量加上水的质量，求出糖水的质量；再根据“含糖率＝糖的质量÷糖水的质量×100%”，代入数据计算即可求出此糖水的含糖率。
【解答】解：30÷（30+50）×100%
＝30÷80×100%
＝0.375×100%
＝37.5%
答：此糖水的含糖率大约是37.5%。
故答案为：37.5。
【点评】本题主要考查了百分率应用题，关键是明确含糖率＝糖的质量÷糖水的质量×100%。
7．（2023秋•铜官区期末）吨＝ 800 千克；45分＝ 0.75 时。
【考点】质量及质量的常用单位；时、分、秒及其关系、单位换算与计算．
【专题】常见的量．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据1吨＝1000千克，1小时＝60分，解答此题即可。
【解答】解：吨＝800千克；45分＝0.75时。
故答案为：800；0.75。
【点评】熟练掌握质量单位、时间单位的换算，是解答此题的关键。
8．（2020•历下区）甲和乙的比是4：5，甲比乙少 20 %，乙比甲多 25 %．
【考点】比的意义．
【专题】比和比例；应用题；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】甲乙两数比是4：5，把甲数看成4，乙数就是5；求出甲乙两数的差，用差除以乙数，就是甲数比乙数少百分之几；用差除以甲数，就是乙数比甲数多百分之几．
【解答】解：甲乙两数比是4：5，把甲数看成4，乙数就是5；
5﹣4＝1；
1÷5＝20%；
1÷4＝25%；
答：甲比乙少 20%，乙比甲多 25%．
故答案为：20，25．
【点评】本题是求一个数是另一个数的百分之几，关键是看把谁当成了单位“1”，单位“1”的量为除数．
9．（2023秋•铜官区期末）一个三角形三个内角度数的比是1：4：5，最小的内角是 18 度，这个三角形是 直角 三角形．
【考点】三角形的内角和；按比例分配应用题；三角形的分类．
【专题】比和比例应用题；平面图形的认识与计算．
【答案】见试题解答内容
【分析】三角形的内角和为180°，进一步直接利用按比例分配求得份数最小的角，然后求出最大的角，根据三角形的分类即可判断．
【解答】解：1+4+5＝10
最小：180°×＝18°
最大：180°×＝90°
因为三角形中有一个角是90°，所以该三角形是直角三角形；
故答案为：18，直角．
【点评】此题主要利用三角形的内角和与按比例分配来解答问题．
10．（2023秋•铜官区期末）一项工程，甲队单独做9天可以完成全部工程的，乙队单独做12天可以完成全部工程，两队合作 天可以完成全部工程。
【考点】简单的工程问题．
【专题】工程问题；应用意识．
【答案】。
【分析】把一项工程的工作量看作单位“1”，再根据工作效率＝工作量÷工作时间，求出工作效率，再根据工作时间＝工作量÷工作效率和，即可解答。
【解答】解：1÷（÷9+）
＝1÷
＝（天）
答：两队合作天可以完成全部工程。
【点评】本题考查的是工程问题，掌握工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率和是解答关键。
11．（2023秋•铜官区期末）一件商品先提价后又降价，原价与现价最简单的整数比是 16：15 。
【考点】比的意义．
【专题】比例方法；应用意识．
【答案】16：15。
【分析】把原价看作单位“1”，提价后是（1+），又降价后是（1+）﹣（1+）×。
【解答】解：（1+）﹣（1+）×＝
1：＝16：15
答：原价与现价最简单的整数比是16：15。
故答案为：16：15。
【点评】明确单位“1”是解决本题的关键。
12．（2023秋•铜官区期末）一个钟面上的时针长4厘米，从上午9时到下午3时，时针扫过的面积是 25.12 平方厘米。
【考点】圆、圆环的面积．
【专题】平面图形的认识与计算；应用意识．
【答案】25.12。
【分析】从上午9时到下午3时，时针扫过的面积正好是半径4cm圆面积的一半。圆面积＝πr2，据此先求出半径4cm圆的面积，再除以2，即可解题。
【解答】解：3.14×42÷2＝25.12（平方厘米）
故答案为：25.12。
【点评】本题考查圆的面积的计算及公式的应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。
13．（2016•广州）++++++＝ ．
【考点】分数的巧算．
【专题】计算题；运算定律及简算．
【答案】见试题解答内容
【分析】原式加上一个，减去，从后向前，原式的+＝，然后再加上，得到，再加上，得到，再加上，得到，再加上，得到，再加上，得到，再加上，得到1，最后减去，即可得解．
【解答】解：++++++
＝+++++++﹣
＝++++++﹣
＝+++++﹣
＝++++﹣
＝+++﹣
＝++﹣
＝+﹣
＝1﹣
＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了分数的加法和减法，分子都是1，分母依次是2倍的关系，采用加一个分数，再减去一个分数的方法，使问题简化．作为填空题，计算过程可以不写，直接口算得解．
二、判断题。（对的填涂“T”，错的填涂“F”）
14．（2014•铜仁地区模拟）一个数乘分数的积一定比原来的数小． F
【考点】积的变化规律．
【专题】运算顺序及法则．
【答案】F
【分析】依据下面4种情况：1、这个数是0；2、这个分数小于1；3、这个分数等于1；4、这个分数大于1时积与原数的关系解答．
【解答】解：1、这个数是0，0与任何数相乘都得0，这时积与原来的数相等，
2、这个分数小于1时，一个数乘一个真分数，积小于原数，
3、当这个分数等于1是，任何数乘1，仍得原数，即积等于原数，
4、当这个分数大于1时，积大于原数．
所以一个数乘分数的积一定比原来的数小的说法错误．
故答案为：F．
【点评】本题主要考查学生对于一个不变的数与另一个数相乘，积与原数大小比较．
15．（2024•浈江区）半圆的周长就是圆周长的一半． F
【考点】圆、圆环的周长．
【专题】平面图形的认识与计算．
【答案】F
【分析】如图所示，半圆的周长应是圆周长的一半再加一条直径，据此即可进行判断．
【解答】解：因为半圆的周长应是圆的周长的一半再加一条直径，
故答案为：F．
【点评】依据直观画图，即可进行判断．
16．（2023秋•铜官区期末）“梧桐花谷”景区在近两周的游客评价调查中，满意率都是85%，下周的游客满意率也一定是85%。 F
【考点】百分率应用题．
【专题】应用意识．
【答案】F
【分析】根据满意度的计算方法判断即可。
【解答】解：“梧桐花谷”景区在近两周的游客评价调查中，满意率都是85%，下周的游客满意率可能是85%，也可能不是。所以原题说法错误。
×故答案为：F。
【点评】本题主要考查百分率的实际应用。
17．（2023秋•铜官区期末）一支铅笔0.8元，用分数表示是元，用百分数表示是80%元。 F
【考点】小数、分数和百分数之间的关系及其转化．
【专题】综合判断题；运算能力．
【答案】F
【分析】分数既表示一个分率，也可表示一个具体数，表示分率时后面不能带计量单位，表示具体数时后面可以带计量单位；百分数只表示两个数间的倍数关系，即表示一个分率，后面不能带计量单位。
【解答】解：0.8元用分数表示是元，不能用百分数表示为80%元。即原题说法错误。
故答案为：F。
【点评】百分数也叫作百分率或百分比，通常不写成分数的形式，而采用百分号（%）来表示。由于百分数的分母都是100，也就是都以1%作单位，因此便于比较。百分数只表示两个数的关系，所以百分号后不可以加单位。
18．（2023秋•铜官区期末）在含盐10%的盐水中，再加入x克同样的盐水，含盐率没有变化。 T
【考点】百分率应用题．
【专题】运算能力．
【答案】T
【分析】运用含盐率进行解答即可。
【解答】解：在含盐10%的盐水中，再加入x克同样的盐水，含盐率没有变化。
说法正确。
故答案为：T。
【点评】由题意得出原来盐水与加入的盐水是一样的是完成本题的关键。
三、选择题。（将正确答案前的字母填在括号里）
19．（2023秋•铜官区期末）如果大圆周长是小圆周长的3倍，那么大圆面积是小圆面积的（ ）倍。
A．3B．3.14C．9D．6
【考点】圆、圆环的面积．
【专题】运算能力．
【答案】C
【分析】根据题意，大圆的周长是小圆周长的3倍，则大圆的半径就是小圆的半径的3倍，由此可设小圆的半径是r，则大圆的半径是3r，根据圆的面积公式即可解答。
【解答】解：大圆的周长是小圆周长的3倍，则大圆的半径就是小圆的半径的3倍，
由此可设小圆的半径是r，则大圆的半径是3r，则：
大圆的面积为：π（3r）2＝9πr2
小圆的面积为：πr2
9πr2÷πr2＝9倍
故选：C。
【点评】此类问题可以把小圆与大圆的半径分别用相应的数字或字母代替，然后利用圆的面积公式分别表示出大圆与小圆的面积进行解答。
20．（2023秋•铜官区期末）图书馆在学校的北偏西30°方向，则学校在图书馆的（ ）方向。
A．南偏东30°B．南偏东60°C．北偏西60°D．北偏西30°
【考点】用角度表示方向．
【专题】空间观念．
【答案】A
【分析】根据位置的相对性可知，它们的方向相反，角度相等，距离相等，据此解答。
【解答】解：图图书馆在学校的北偏西30°方向，则学校在图书馆的南偏东30°方向。
故选：A。
【点评】本题主要考查了学生对位置相对性的掌握情况，画图更容易解答。
21．（2023秋•铜官区期末）两根长度相等的铁丝分别围成一个圆和一个正方形，（ ）的面积大．
A．正方形B．圆C．一样大D．无法确定
【考点】长方形、正方形的面积；圆、圆环的面积．
【答案】B
【分析】由题意可知：圆的周长和正方形的周长相等，从而可以分别求出圆的半径和正方形的边长，再分别利用圆和正方形的面积公式求出它们的面积，再比较大小即可．
【解答】解：设铁丝的长为x，
则圆的半径为x÷2π＝，
圆的面积就是：π＝；
正方形的边长为x÷4＝，
正方形的面积：＝；
因为＞，
所以圆的面积大一些；
答：两根长度相等的铁丝分别围成一个圆和一个正方形，圆的面积大．
故选：B．
【点评】解答此题的关键是：利用周长相等，分别求出圆的半径和正方形的边长，进而可以比较面积的大小．
22．（2023秋•铜官区期末）一件上衣如果卖350元，可以赚。如果卖275元，可以赚（ ）
A．B．C．D．
【考点】分数除法应用题．
【专题】应用意识．
【答案】D
【分析】把这件上衣的原价看作单位“1”，用350元除以（1+）就是成本价。求如果卖275元，可以赚几分之几，用成本价与卖价之差除以成本价。
【解答】解：350÷（1+）
＝350÷
＝250（元）
（275﹣250）÷250
＝25÷250
＝
答：可以赚。
故选：D。
【点评】已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用已知数除以它所对应的分率。求一个数比另一个数多或少几分之几，用这两数之差除以另一个数。
23．（2023秋•铜官区期末）甲、乙、丙三名小朋友用相同的正方形纸剪图形，如图，三人对手工纸的利用率情况是（ ）
A．甲最高B．乙最高C．丙最高D．三人相同
【考点】圆与组合图形．
【专题】几何直观．
【答案】D
【分析】要求三个人对手工纸的利用率情况，因甲、乙、丙三名小朋友用相同的正方形纸，只要算出谁用的纸的面积最大，谁的利用率就最高．可根据圆面积公式来进行计算。
【解答】解：设正方形纸的边长为a。
甲图形阴影部分的面积是：πa2×＝πa2
乙图形阴影部分的面积是：π×（）2＝π2＝πa2
丙图形阴影部分的面积是：π×（）2＝π2＝πa2
甲、乙、丙三人剪下的面积相同。
故选：D。
【点评】本题考查了学生利用圆面积公式，计算阴影部分面积的能力。
四、计算题。
24．（2023秋•铜官区期末）直接写得数。
【考点】百分数的加减乘除运算；分数乘法；分数除法．
【专题】运算能力．
【答案】1；2.4；28；3；；；；64。
【分析】根据百分数除法。分数乘除法，分数加减法的计算法则进行计算即可解答。
【解答】积：
【点评】本题考查百分数除法。分数乘除法，分数加减法的计算，注意计算的准确性。
25．（2023秋•铜官区期末）脱式计算，能简算的要简算。
【考点】分数的简便计算（运算定律的分数应用）；运算定律与简便运算；分数的四则混合运算．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】，28.8，，2020。
【分析】第一题先算括号里面的减法，再算括号外面的乘法，最后算乘法，把小数和百分数改写成分数；
第二题先算括号里的加法，再算括号外的除法；
第三题运用乘法分配律的逆运算计算；
第四题把第一个乘数变成（2201+1），然后运用乘法分配律进行计算。
【解答】解：
＝××
＝
＝12÷
＝12×
＝28.8
＝（+）×
＝1×
＝
＝（2021+1）×
＝2021×+1×
＝2020
【点评】熟悉运算定律及运算顺序是解决本题的关键。
26．（2023秋•铜官区期末）解方程。
0.6x+45%x＝294
【考点】百分数方程求解；分数方程求解．
【专题】应用题；运算能力．
【答案】x＝280；x＝。
【分析】0.6x+45%x＝294，先计算0.6x+45%＝1.05，然后根据等式的基本性质，方程两边同时除以1.05，最后计算即可求出x的值；
，根据等式的基本性质，方程两边同时加上，然后再同时除以，最后计算即可求出x的值。
【解答】解：0.6x+45%x＝294
1.05x＝294
1.05x÷1.05＝294÷1.05
x＝280
【点评】解答此题要运用等式的基本性质。
五、图形与操作。
27．（2023秋•铜官区期末）请用圆规画一个周长是12.56厘米的圆。再在这个圆中画一个圆心角是40°的扇形。
【考点】画圆．
【专题】平面图形的认识与计算；应用意识．
【答案】
【分析】根据圆周长＝2π×半径，求出半径，圆规的一只角固定为圆心，两只脚距离半径长度，即可画圆，再画出半径作角的一条边，用量角器量出40°，画出另一条边，即可解答。
【解答】解：12.56÷2÷3.14
＝6.28÷3.14
＝2（厘米）
作图如下：
【点评】本题考查的是画圆，掌握方法是解答关键。
28．（2023秋•铜官区期末）如图正方形的周长是16cm，求阴影部分的周长和面积。
【考点】圆与组合图形；组合图形的面积．
【专题】几何直观；推理能力．
【答案】周长是28.56厘米，面积是3.44平方厘米。
【分析】先求出圆的半径，再根据阴影部分的周长＝正方形的周长+圆的周长，阴影部分的面积＝正方形的面积﹣圆的面积；据此求解即可。
【解答】解：圆的直径：16÷4＝4（厘米）
圆的半径：4÷2＝2（厘米）
周长：16+3.14×4
＝16+12.56
＝28.56（厘米）
面积：
4×4﹣3.14×22
＝16﹣12.56
＝3.44（平方厘米）
答：阴影部分的周长是28.56厘米，面积是3.44平方厘米。
【点评】本题主要考查了圆与组合图形的面积，解题的关键是把不规则图形的面积转化为规则图形的面积。
29．（2023秋•铜官区期末）这是一张机器人的行走路线图。
（1）机器人从出发站出发，向 北偏西40° 方向行走 25m 路程可到达A站。
（2）机器人最终目的地是C站。
C站位于B站南偏东30°，距离B站15m的位置上。请你在图上画出C站的位置。
（3）如果机器人的行走速度控制在米/秒，那么行完全程需要 78 秒。
【考点】根据方向和距离确定物体的位置．
【专题】综合题；应用意识．
【答案】（1）北偏西40°，25m；（2）；（3）78。
【分析】（1）以出发站为观测点，结合比例尺根据方向和距离确定机器人到A站的行走路线即可；
（2）根据方向和距离确定C站的位置后结合比例尺画图即可；
（3）根据“时间＝路程÷速度”，求出全程的路程，然后除以速度即可求解。
【解答】解：（1）5×5＝25（米）
即机器人从出发站出发，向北偏西40°方向行走25m路程可到达A站。
（2）15÷5＝3，如下图所示：
（3）（5+5+3）×5＝65（米）
65÷＝78（秒）
答：行完全程需要78秒。
故答案为：（1）北偏西40°，25m；（3）78。
【点评】本题考查了比例尺的应用，根据方向和距离确定物体的具体位置以及简单的行程问题的应用。
六、解决问题。
30．（2023秋•铜官区期末）明明准备用一些彩旗布置教室。他买了48面红旗，红旗的数量比黄旗多，他买了多少面黄旗？
【考点】分数除法应用题．
【专题】应用意识．
【答案】40。
【分析】把黄旗的面数看作单位“1”，则红旗的面数相当于黄旗的（1+）。根据分数除法的意义，用红旗的面数除以（1+）就是黄旗的面数。
【解答】解：48÷（1+）
＝48÷
＝40（面）
答：他买了40面黄旗。
【点评】此题是考查分数除法的意义及应用。已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用已知数除以它所对应的分率。
31．（2023秋•铜官区期末）一个圆形鱼塘的周长是106.76米，中间有一个圆形小岛，小岛的直径是14米。这个鱼塘的水域面积是多少平方米？
【考点】有关圆的应用题．
【专题】应用意识．
【答案】753.6平方米。
【分析】根据环形面积公式：S＝π（R2﹣r2），把数据代入公式解答。
【解答】解：3.14×[（106.76÷3.14÷2）2﹣（14÷2）2]
＝3.14×[172﹣72]
＝3.14×[289﹣49]
＝3.14×240
＝753.6（平方米）
答：这个鱼塘的水域面积是753.6平方米。
【点评】此题主要考查环形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
32．（2023秋•铜官区期末）一段路程，甲车行完全程要4小时，乙车行完全程要5小时。甲车比乙车的速度快百分之多少？
【考点】百分数的实际应用．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】25%。
【分析】把这段路程的长度看作单位“1”，根据“速度＝路程÷时间”求出甲乙两车的速度，用甲车的速度减去乙车的速度后除以乙车的速度即是所求。
【解答】解：（﹣）÷×100%
＝×5×100%
＝25%
答：甲车比乙车的速度快25%。
【点评】本题考查了百分数的实际应用以及简单的行程问题的应用。
33．（2023秋•铜官区期末）一台洗衣机原价6800元。第一季度由于滞销，商场降价20%出售，第二季度又提价20%出售。现在这台洗衣机与原价相比，是涨了还是跌了？涨（跌）的幅度是多少？（用百分数表示）
【考点】百分数的实际应用．
【专题】应用意识．
【答案】跌了，4%。
【分析】一台洗衣机原价6800元，第一季度降价20%出售，则降价后的价钱是6800元的（1﹣20%），所以用6800乘（1﹣20%），求出第一季度降价后的价钱，又知道第二季度又提价20%出售，这个提价20%是提第一季度降价后的价钱的20%，所以提价后的价钱是降价后的价钱的（1+20%），所以用降价后的价钱乘（1+20%），即可求出先降价20%又提价20%后的价钱，然后再与原价相比，判断是涨了还是跌了，求涨（跌）的幅度是多少，就用现在的价钱与原价的差除以原价即可解答。
【解答】解：6800×（1﹣20%）×（1+20%）
＝6800×0.8×1.2
＝5440×1.2
＝6528（元）
6528＜6800
（6800﹣6528）÷6800×100%
＝272÷6800×100%
＝4%
答：现在这台洗衣机与原价相比，是跌了。跌的幅度是4%。
【点评】解决这个问题的关键是正确确定单位“1”，找出对应关系。明确前后两个单位“1”是不相同的。
34．（2023秋•铜官区期末）如图是李东家11月份家庭支出情况统计图，已知11月份教育支出是1200元。
（1）衣食类支出占这个月总支出的百分之多少？是多少元？
（2）如果李东家12月份缴水电气费400元，仍占当月总支出的8%，那么李东家12月份的总支出是多少元？
【考点】扇形统计图；百分数的实际应用．
【专题】综合题；数据分析观念．
【答案】（1）27%，1080元；
（2）5000元。
【分析】（1）衣食类支出占这个月总支出的百分之多少＝1﹣30%﹣25%﹣10%﹣8%，衣食类支出＝教育支出÷30%×衣食类支出占这个月总支出的百分之多少，由此解答本题；
（2）李东家12月份的总支出＝12月份缴水电气费÷8%，由此解答本题。
【解答】解：（1）1﹣30%﹣25%﹣10%﹣8%＝27%
1200÷30%×27%
＝4000×27%
＝1080（元）
答：衣食类支出占这个月总支出的27%，是1080元。
（2）400÷8%＝5000（元）
答：李东家12月份的总支出是5000元。
【点评】本题考查的是统计图的应用。
35．（2023秋•铜官区期末）观察如图的点阵图，探索规律。
（1）第4个点阵图中共有 15 个点，第9个点阵图中共有 30 个点。
（2）第n个点阵图中共有 （3n+3） 个点。
【考点】数与形结合的规律．
【专题】推理能力；模型思想．
【答案】（1）15，30；
（2）（3n+3）。
【分析】（1）第1个点阵图中共有1+2+3＝6（个）点；第2个点阵图中共有2+3+4＝9（个）点；第3个点阵图中共有3+4+5＝12（个）点，根据规律，计算第4个、第9个点阵图中共有多少个点。
（2）根据（1）的点子个数总结规律。
【解答】解：（1）第1个点阵图中共有1+2+3＝6（个）点；
第2个点阵图中共有2+3+4＝9（个）点；
第3个点阵图中共有3+4+5＝12（个）点；
第4个点阵图中共有4+5+6＝15（个）点；
……
第9个点阵图中共有9+10+11＝30（个）点。
答：第4个点阵图中共有15个点，第9个点阵图中共有30个点。
（2）第n个点阵图中共有n+n+1+n+2＝（3n+3）个点。
答：第n个点阵图中共有（3n+3）个点。
故答案为：15，30；（3n+3）。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
考点卡片
1．小数、分数和百分数之间的关系及其转化
【知识点归纳】
（1）小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分
（2）分数化成小数：用分母去除分子，能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位数
（3）一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数
（4）小数化成百分数：把小数点向右移动两位，同时，在后面添上百分号
（5）百分数化成小数：把百分号去掉，同时，把小数点向左移动两位
（6）分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数
（7）百分数化成分数：先把百分数改写成分数，能约分的，要约成最简分数．
【命题方向】
常考题型：
例：0.75＝12÷ 16 ＝ 9 ：12＝ 75 %
分析：解决此题关键在于0.75，0.75可改写成75%，也可改写成，可改写成3÷4，进一步改写成12÷16，也可改写成3：4，进一步改写成9：12．
解；0.75＝75%＝＝3÷4＝12÷16＝3：4＝9：12．
故答案为：16，9，75．
点评：此题考查小数、分数、百分数之间的转化，根据它们之间的关系和性质进行转化即可．
2．运算定律与简便运算
【知识点归纳】
1、加法运算：
①加法交换律：两个加数交换位置，和不变．如a+b＝b+a
②加法结合律：先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．如：a+b+c＝a+（b+c）
2、乘法运算：
①乘法交换律：两个因数交换位置，积不变．如a×b＝b×a．
②乘法结合律：先乘前两个数，或先乘后两个数，积不变．如a×b×c＝a×（b×c）
③乘法分配律：两个数的和，乘以一个数，可以拆开来算，积不变．如a×（b+c）＝ab+ac
④乘法分配律的逆运算：一个数乘另一个数的积加它本身乘另一个数的积，可以把另外两个数加起来再乘这个数．如ac+bc
＝（a+b）×c
3、除法运算：
①除法性质：一个数连续除以两个数，可以先把后两个数相乘，再相除．如a÷b÷c＝a÷（b×c）
②商不变规律：被除数和除数同时乘上或除以相同的数（0除外）它们的商不变．如a÷b＝（an）÷（bn）＝（a÷n）÷（b÷n） （n≠0 b≠0）
4、减法运算：
减法性质：一个数连续减去两个数，可以用这个数减去两个数的和．如a﹣b﹣c＝a﹣（b+c）
【命题方向】
常考题型：
例1：0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法的（ ）
A、交换律 B、结合律 C、分配律
分析：乘法分配律的概念为：两个数的和乘另一个数，等于把这个数分别同两个加数相乘，再把两个积相加，得数不变，用字母表示：（a+b） c＝ac+ac．据此可知，0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法分配律．
解：根据乘法分配律的概念可知，
0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法分配律．
故选：C．
点评：本题利用具体的算式考查了学生对于乘法分配律的理解．
例2：125×25×32＝（125×8）×（25×4），这里运用了（ ）
A、乘法交换律 B、乘法结合律 C、乘法交换律和乘法结合律
分析：在125×25×32＝（125×8）×（25×4）中，是把32看作8×4，然后用乘法交换律变成125×8×25×4，再运用乘法结合律计算，即（125×8）×（25×4）．
解：125×25×32＝（125×8）×（25×4），运用了乘法交换律和乘法结合律．
故选：C．
点评：此题重点考查了学生对乘法交换律和结合律的掌握与运用情况．
3．分数的加法和减法
【知识点归纳】
分数加减法与整数加减法意义相同，是把两个数合并成一个数的运算．
法则：
①同分母分数相加（减），分子进行相加（减）得数作分子，分母不变
②异分母分数相加（减），必须先通分，然后，按照同分母分数相加（减）的法则进行运算．
③带分数相加（减），先把整数部分和分数部分分别相加（减），然后，再把所得的数合并起来．注意带分数相减时，如果被减数的分数部分小于减数的分数部分，就要从被减数的整数部分里拿出1（在连减时，也有需要拿出2的情况），化成假分数，与原来被减数的分数部分加在一起．
分数加法的运算定律：
①加法交换律：两个分数相加，交换加数的位置，它们的和不变．
②加法结合律：三个（或三个以上）分数相加，先把前两个分数加起来，再与第三个分数相加，或者先把后两个分数加起来，再与第一个分数相加，它们的和不变．
分数减法的运算性质：与整数减法性质一样．
【命题方向】
常考题型：
例1：6千克减少千克后是 5 千克，6千克减少它的后是 4 千克．
分析：（1）第一个千克是一个具体的数量，直接列减法算式即可求出；
（2）第一个是把6千克看做单位“1”，减少的是6千克的，由此列式解决问题．
解：（1）6﹣＝5（千克）；
（2）6﹣6×＝6﹣2＝4（千克）．
故答案为：5，4．
点评：解答此题的关键是正确区分两个分数的区别：第一个分数是一个具体的数量，第二个分数表示是某一个数量的几分之几，由此灵活选择合理算法解答即可．
例2：修路队修一条公路，第一周修了km，第二周修了km，第三周比前两周修的总和少km，第三周修了多少km？
分析：第三周比前两周修的总和少km，两周修的总和为：（+）km，那么第三周修了：（+）﹣
解：（+）﹣，
＝﹣+，
＝+，
＝+
＝1（km）
答：第三周修了1km．
点评：此题重点考查学生对分数加减法的计算能力，同时注意计算的灵活性．
4．分数乘法
【知识点归纳】
分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算．
乘积是1的两个数叫做互为倒数．
分数乘法法则：
（1）分数乘以整数或整数乘以分数：由于任何整数（0除外）都可以化成分母是1的假分数，分数乘以整数或整数乘以分数，都可以转化成分数乘以分数的形式．因此，在计算中，是用分数的分子和整数相乘的积作为分子，分母不变．在乘的过程中，如果有可以约分的数，可以先约分，这样，可以使计算的数字缩小，从而使计算变得简便．
（2）分数乘以分数：用分子相乘的积作为分子，用分母相乘的积作为分母．为了使计算简便，在计算的过程中，能够约分的，要约分．
（3）带分数乘法：先把带分数化成假分数，然后再乘．结果是假分数时，要把假分数化成带分数或整数．
分数乘法的运算定律：
（1）交换律：两个分数相乘，交换分数的位置，它们的积不变．
（2）结合律：三个分数相乘，先把前两个分数相乘，再乘以第三个分数，或者先把后两个分数相乘，再乘以第一个分数，它们的积不变．
（3）乘法分配律：两个分数的和与一个分数相乘所得的积，等于每一个加数分别与这个分数相乘所得的积的和．
【命题方向】
常考题型：
例1：甲数的等于乙数的，那么甲数（ ）乙数．（甲数乙数不为0）
A、大于 B、小于 C、等于
分析：甲数的等于乙数的．首先把甲数看作‘单位1’乙数是甲数的．
解：把甲数看作‘单位1’，平均分成5份乙数就相当于甲数的．
故选：A．
点评：此题主要考查分数大小的比较．
例2：一个数乘分数的积一定比原来这个数小． × ．
分析：本题的说法是错误的：（1）当这个数为零时，积总为零．（2）假分数≥1，当分数为假分数时，积≥这个数．真分数＜1，只有当个分数为真分数时，且是一个不为零的数乘以这个真分数，积才一定比原来这个数小．
解答：解：只有当个分数为真分数时，且是一个不为零的数乘以这个真分数，积才一定比原来这个数小．
故答案为：×．
点评：本题从这个数是否为零、真分数、假分数三个方面进行分析．
5．分数除法
【知识点归纳】
分数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算．
分数除法法则：
（1）分数除以整数：分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数．
（2）一个数除以分数：一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数．
（3）带分数除法：在分数除法中，如果出现带分数时，不论这个带分数是被除数还是除数，都要先把带分数化成假分数，然后，按照分数除以分数的法则计算．
分数除法的运算性质：与整数除法的运算性质相同
（1）一个数除以几个数的积，等于这个数依次除以积的每个因数．
（2）两个数的积除以一个数，等于用除数先除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘．
（3）一个数除以两个数的商，等于这个数先乘以商中的除数，再除以商中的被除数；或者用这个数先除以商中的被除数，再乘以商中的除数．
（4）两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数．
（5）两个数的和除以一个数，等于用除数分别去除这两个数，再把所得的商加起来．
【命题方向】
常考题型：
例1：甲数的是18，乙数的是18，甲数（ ）乙数．
分析：甲数的是18用除法求出甲数，乙数的是18用除法求出乙数；然后比较大小．
解：18÷，
＝18×，
＝27；
18÷，
＝18×，
＝24；
27＞24；
所以甲数＞乙数；
故选：A．
点评：此题考查了基本的分数除法的运用：已知一个数的几分之几是多少求这个数用除法解答．
例2：一个数（0除外）除以，这个数就（ ）
A、扩大6倍 B、增加6倍 C、缩小6倍
分析：除以一个数等于乘这个数的倒数，由此解决．
解：设这个数为a，则：
a＝6a，a不为0，6a就相当于把a扩大了6倍．
故选：A．
点评：本题运用了分数除法的计算方法来求解，注意扩大6倍和增加6倍的区别．
6．分数的四则混合运算
【知识点归纳】
1、整数的运算定律同样适用于分数乘法中的简便计算，需要关注的是，根据数的特征正确运用运算定律，切勿随心所欲进行所谓的“简便计算”。
2、分数乘法简便计算的本质，是利用运算定律创造条件“约分”，使计算简便。
【方法总结】
1、分数混合运算的运算顺序与整数混合运算的运算顺序完全相同，都是先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里的。
①如果是同一级运算，按照从左到右的顺序依次计算。
②如果是分数连乘，可先进行约分，再进行计算；
③如果是分数乘除混合运算时，要先把除法转换成乘法，然后按乘法运算。
【常考题型】
妈妈买来一袋大米，吃了，还剩35千克，这袋大米重多少千克？
答案：35÷（1﹣）＝50（千克）
水果店今天共卖出香蕉48千克，下午卖出的香蕉是上午的，上午卖出香蕉多少千克？
答案：48×＝27（千克）
7．分数的简便计算（运算定律的分数应用）
【知识点归纳】
分数简便运算常见题型
第一种：乘法交换律的应用
基本方法：将分数相乘的因数互相交换，先行运算。
第二种：乘法分配律的运用
基本方法：将括号中相加减的两项分别与括号外的分数相乘，符号保持不变。
第三种：乘法分配律的逆运算
基本方法：提取两个乘式中共有的因数，将剩余的因数用加减相连，同时添加括号，先行运算。
第四种：添加因数1
基本方法：添加因数“1”，将其中一个数n转化为1xn的形式，将原式转化为两两之积相加减的形式，再提取公有因数，按乘法分配律逆向定律运算。
【方法总结】
在进行分数乘法简便运算时，所涉及的公式定律和整数乘法的简便运算是一样的，基本上有三个：乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
做题时，我们要善于观察，仔细审题，发现数字与数字之间的关系，根据题意来选择适当的公式或方法，进行简便运算。
【常考题型】
计算题。
答案：；13
8．百分数的加减乘除运算
【知识点归纳】
1．只把分子相加、减，分母不变．
2．百分数乘法法则：把各个分数的分子乘起来作为分子，100相乘起来作为分母，（即乘上这个分数的倒数），然后再约分．
3．百分数的除法法则：
（1）用被除数的分子与除数的分母相乘作为分子； （2）用被除数的分母与除数的分子相乘作为分母．
【命题方向】
常考题型：
例：如果甲数比乙数多25%，那么乙数比甲数少（ ）
A、20% B、25% C、不能确定
分析：先把乙数看成单位“1”，甲数就是（1+25%），用25%除以甲数就是乙数比甲数少百分之几．
解：25%÷（1+25%），
＝25%÷125%，
＝20%；
故选：A．
点评：本题关键是在于区分两个单位“1”的不同，先找出1个单位“1”，把其它量用单位“1”表示出来，然后根据求一个数是另一个数百分之几的方法求解．
9．质量及质量的常用单位
【知识点归纳】
质量就是表示物体有多重．
常用质量单位：吨、千克（公斤）、克、斤．
其中千克是国际标准单位，
1吨＝1000千克，1千克＝1000克，1斤＝500克．
【命题方向】
常考题型：
例1：计量重型物品或大宗物件的重量，通常用（ ）作单位．
A、吨 B、千克 C、克
分析：结合实际生活可知，计量大宗物品不会运用克或千克，应用吨来进行表示．
解：计量大宗物品，通常不会运用小的重量单位，克或千克，
应用吨作单位．
因此通常用吨作单位．
故选：A．
点评：本题应结合实际进行解答，了解物品的量的大小．
例2：下面哪种物体大约重1千克（ ）
A、一头猪 B、一支铅笔 C、一只大西瓜 D、2包食盐
分析：根据生活经验，一头猪的重量一般是100千克左右；1支铅笔的重量，再大也不够1千克；一个大西瓜的重量一般比1千克重；两袋盐的重量一般是1千克，据此选择．
解：根据生活经验可知，2包食盐大约重1千克．
故选：D．
点评：此题考查了学生对计量单位的掌握以及根据具体情况选择合适的计量单位．
10．时、分、秒及其关系、单位换算与计算
【知识点归纳】
两个日期或时刻之间的间隔叫时间．
时、分、秒相邻两个单位进率是60，
1小时＝60分＝3600秒，
1分＝60秒．
单位换算：大单位换小单位乘以它们之间的进制，小单位换大单位除以它们之间的进制．
【命题方向】
常考题型：
例1：3.3小时是（ ）
A、3小时30分 B、3小时18分 C、3小时3分
分析：1小时＝60分，据此即可求解．
解：3.3小时＝3+0.3小时，
0.3×60＝18（分），
所以3.3小时＝3小时18分；
故选：B．
点评：此题主要考查时间单位间的换算．
例2：三个人在同一段路上赛跑，甲用0.2分，乙用分，丙用13秒．（ ）的速度最快．
A、甲 B、乙 C、丙
分析：先把时间都换算成秒数，再比较谁最快，因为路程相等，谁用的时间最少谁就最快．
解：甲的时间是：0.2分＝12秒，
乙的时间是：分＝14秒，
丙的时间是：13秒，
在12秒、14秒、13秒三个时间中，12秒最少，即甲的速度最快．
故选：A．
点评：此题关键是把时间统一单位，明确同样的路程，用的时间最少的是速度最快的．
11．分数方程求解
【知识点归纳】
解方程的步骤
（1）去分母。
当方程中存在分数，对方程中的两侧都乘以分数的分母，使分式化为整式，便于计算。
（2）去括号。
在去方程中的括号时，若括号前面是“+”，括号内不变符号；若括号前是“﹣”，去掉括号后，括号内变号。
（3）移项。
通过移项，将方程中的含未知数的项都移动到一侧，将整数移动到另一侧。
（4）合并同类项。
对含有相同未知数的次数相同的项的系数相加，合并同类项。
（5）系数化为1.
合并同类项后，将等式两侧都除以含有未知数的次数最高的项的系数。当方程为一元一次方程时，系数化为1后即可得到方程的解。
【命题方向】
常考题型
解方程。
①x−4/5x+6＝16
②64x＝2.4/0.9
答案：①x＝50；②x＝24。
12．百分数方程求解
【知识点归纳】
把百分数转化成小数即可，其他步骤与小数方程求解相同
一般利用等式性质把小数转化为整数之后，其他步骤与整数方程求解相同。
解方程的步骤
（1）去分母。
当方程中存在分数，对方程中的两侧都乘以分数的分母，使分式化为整式，便于计算。
（2）去括号。
在去方程中的括号时，若括号前面是“+”，括号内不变符号；若括号前是“﹣”，去掉括号后，括号内变号。
（3）移项。
通过移项，将方程中的含未知数的项都移动到一侧，将整数移动到另一侧。
（4）合并同类项。
对含有相同未知数的次数相同的项的系数相加，合并同类项。
（5）系数化为1.
合并同类项后，将等式两侧都除以含有未知数的次数最高的项的系数。当方程为一元一次方程时，系数化为1后即可得到方程的解。
【命题方向】
常考题型：
解方程。
答案：x＝10；x＝20；x＝1/2；x＝5。
13．比的意义
【知识点归纳】
两个数相除，也叫两个数的比．
【命题方向】
常考题型：
例1：男生人数比女生人数多，男生人数与女生人数的比是（ ）
A、1：4 B、5：7 C、5：4 D、4：5
分析：男生人数比女生人数多，把女生人数看作单位“1”，则男生人数是女生人数的（1+），由此即可求出男生与女生的人数的比，据此选择即可．
解：（1+）：1，
＝：1，
＝5：4；
故选：C．
点评：解答本题关键是：判断出单位“1”，求出男生人数是女生人数的几分之几，进而根据比的意义解答即可．
例1：甲数是乙数的，乙数是丙数的，甲、乙、丙三数的比是（ ）
A、4：5：8 B、4：5：6 C、8：12：15 D、12：8：15
分析：根据题干分析可得，设甲数是2x，乙数是3x，则丙数就是3x÷＝x，由此即可写出甲乙丙三个数的比是2x：3x：x，根据比的性质，即可得出最简比．
解：设甲数是2x，乙数是3x，则丙数就是3x÷＝x，
所以甲乙丙三个数的比是2x：3x：x＝8：12：15，
故选：C．
点评：此题考查比的意义，关键是根据甲乙丙的关系，分别用含有x的式子表示出这三个数，再利用比的性质化简比．
14．比与分数、除法的关系
【知识点归纳】
1．联系：比的前项相当于分数的分子、除法中的被除数；比号相当于分数的分数线、除法中的除号；比的后项相当于分数的分母、除法中的除数；比值相当于分数的分数值、除法中的商．
2．区别：比是一种关系，分数是一种数，除法是一种运算．
【命题方向】
常考题型：
例：＝16÷ 20 ＝ 8 ：10＝ 80 %＝ 八 成．
分析：根据比与分数、除法之间的关系，并利用商不变的规律、比的基本性质等知识即可得答案．
解：＝4÷5＝16÷20，
＝4：5＝8：10，
＝0.8＝80%＝八成，
故答案为：＝16÷20＝8：10＝80%＝八成
点评：此题主要考查商不变的规律、比的基本性质等知识．
15．数与形结合的规律
【知识点归纳】
在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形的对称（上下对称和左右对称），另一方面要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题．
【命题方向】
常考题型：
例：用小棒照下面的规律搭正方形，搭一个用4根，搭2个用7根…，搭10个要用 31 根小棒，搭n个要用 3n+1 根小棒．
分析：能够根据图形发现规律：多一个正方形，则多用3根火柴．
解：观察图形发现：第一个图形需要4根火柴，多一个正方形，多用3根火柴，则第n个图形中，需要火柴4+3（n﹣1）＝3n+1．
当n＝10，3n+1＝31，
答：搭10个要用3根小棒，搭n个要用3n+1根小棒．
故答案为：31，3n+1．
点评：本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力．
16．分数除法应用题
【知识点归纳】
求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）是多少．
特征：已知一个数和另一个数，求一个数是另一个数的几分之几或百分之几．“一个数”是比较量，“另一个数”是标准量．求分率或百分率，也就是求它们的倍数关系．
解题关键：从问题入手，搞清是把谁看做标准的数也就是把谁看做了单位“1”，谁知单位“1”的量比较，谁就作为被除数．
甲是乙的几分之几（或百分之几）：甲是比较量，乙是标准量，用甲除以乙．
甲比乙多（或少）几分之几（或百分之几）：甲减乙比乙多（或少）几分之几（或百分之几）．
关系式：（甲数﹣乙数）÷乙数，或（甲数﹣乙数）÷甲数．
特征：已知一个实际数量和它相对应的分率，求单位“1”的量．
解题关键：准确判断单位“1”的量，把单位“1”的量看成x，根据分数乘法的意义列方程，或者根据分数除法的意义列算式，但必须找准和分率相对应的已知实际数量．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个长方形长5厘米，宽3厘米，表示（ ）几分之几．
A、长比宽多 B、长比宽少 C、宽比长少 D，宽比长多
分析：据题意5﹣3表示宽比长少的数量，除以5表示宽比长少的数量占长的几分之几．
解：表示宽比长少的占长的几分之几．
故选：C．
点评：此题考查分数应用题的基本类型：一个数比另一个多（或）几分之几的数，多的（或少的）除以另一个数．
例2：弟弟身高120厘米，比哥哥矮，计算哥哥身高的正确式子（ ）
A、120×（1+） B、120÷（1+） C、120×（1﹣） D、120÷（1﹣）
分析：根据题意“弟弟身高120厘米，比哥哥矮”把哥哥的身高看作单位“1”，哥哥的身高是未知的，用除法计算，数量120除以对应分率（1﹣），据此解答即可．
解：哥哥的身高：120÷（1﹣）．
故选：D．
点评：此题考查分数除法应用题，关键找准单位“1”，单位“1”是未知的，用除法计算，数量除以对应分率．
17．百分数的实际应用
【知识点归纳】
①出勤率＝出勤人数÷总人数×100%
发芽率＝发芽种子数÷试验种子数×100%
小麦的出粉率＝面粉的重量÷小麦的重量×100%
产品的合格率＝合格的产品数÷产品总数×100%
职工的出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%
②纳税问题：
缴纳的税款叫应纳税款
应纳税额与各种收入的比率叫做税率
税款＝应纳税金×税率
③利息问题：
存入银行的钱叫本金；取款时，银行多支付的钱叫做利息
利息与本金的比值叫做利率
利息＝本金×利率×时间
【命题方向】
常考题型：
例1：某公司开会，有25人缺席，有100人出席，这个会议的出席率是（ ）
A、80% B、75% C、100%
分析：出席率是指出席的人数占总人数的百分之几，计算方法为：×100%＝出席率，由此列式解答即可．
解：×100%＝80%，
答：出席率是80%；
故选：A．
点评：此题属于百分率问题，计算的结果最大值为100%，都是用一部分数量（或全部数量）除以全部数量乘以百分之百．
例2：某商店同时卖出两件商品，每件各得60元，但其中一件赚20%，另一件亏本20%，这个商店卖出这两件商品是赚钱还是亏本？
分析：可以这样想，赚了20%，亏本20%是和谁比较呢？是与原价比较，因此原价是单位“1”，赚了20%就是说原价的（1+20%）是60元，求原价，用除法，60÷（1+20%）＝50（元），同理亏本20%就是说原价的（1﹣20%）是60元，求原价，用除法，60÷（1﹣20%）＝75（元）．
解：[60÷（1+20%）+60÷（1﹣20%）]﹣60×2
＝[50+75]﹣120；
＝125﹣120；
＝5（元）；
答：这两件商品亏了5元．
点评：解决这个问题的关键是正确确定单位“1”，找出对应关系．
18．简单的工程问题
【知识点归纳】
探讨工作总量、工作效率、工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题．
解题关键：把工作总量看做单位“1”，工作效率就是工作时间的倒数，然后，根据题目的具体情况，灵活运用公式．
数量关系式：
工作总量＝工作效率×工作时间
工作效率＝工作总量÷工作时间
工作时间＝工作总量÷工作效率
合作时间＝工作总量÷工作效率和
【命题方向】
常考题型：
例1：打一份文件，甲用4小时，乙用6小时，两人合打（ ）小时能完成．
A、 B、 C、10
分析：把这项工程看做单位“1”，那么甲的工作效率是，乙的工作效率是，利用工作时间＝工作总量÷工作效率即可求得两人合打需要的时间，由此即可进行选择．
解：根据题干分析可得：
1÷（+），
＝1÷，
＝；
答：两人合打小时能完成．
故选：A．
点评：此题考查了工作时间＝工作总量÷工作效率在实际问题中的灵活应用，把工作总量看做单位“1”得出甲和乙的工作效率是解决本题的关键．
例2：要装配210台电脑，已经装了6天，每天装配15台，剩下的每天装配20台，还要几天才能装完？
分析：我们运用要装配电脑的台数减去已经装的台数，除以剩下的每天装配的台数，就是要用的天数．
解：
（210﹣15×6）÷20
＝120÷20
＝6（天）；
答：还要6天才能装完．
点评：本题运用“工作总量÷工作效率＝工作时间”进行解答即可．
19．简单的行程问题
【知识点归纳】
计算路程，时间，速度的问题，叫做行程问题．
解题关键及规律：
同时同地相背而行：路程＝速度和×时间
同时相向而行：两地的路程＝速度和×时间
同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及问题＝路程÷速度差
同时同地同向而行（ 速度慢在后，快的在前）：路程＝速度差×时间．
【命题方向】
常考题型：
例1：甲乙两车从A、B两地同时相对开出，甲车每小时行63.5千米，乙车每小时行56.5千米，4小时相遇．A、B两地相距多少千米？
分析：要求A、B∝两地相距多少千米，根据题意，应先求出两车的速度和，即63.5+56.5＝120（千米），然后乘相遇时间，列式解答即可．
解：（63.5+56.5）×4
＝120×4
＝480（千米）
答：A、B两地相距480千米．
点评：此题考查了关系式：速度和×相遇时间＝路程．
例2：王华以每小时4千米的速度从家去学校，小时行了全程的，王华家离学校有多少千米？
分析：先依据路程＝速度×时间，求出王华小时行驶的路程，再运用分数除法意义即可解答．
解：4×÷，
＝÷，
＝1（千米），
答：王华家离学校有1千米．
点评：分数除法意义是解答本题的依据，关键是求出王华小时行驶的路程．
例3：甲、乙两车同时从两地相向而行，距中点14千米的地方相遇，两车相遇时，它们所行路程的差是（ ）千米．
A、7 B、14 C、28 D、42
分析：由题意可知：两车相遇时，快车超过中点14千米，而慢车距离终点还有14千米，因此它们的路程差为14×2＝28千米，据此即可进行解答．
解：因为两车相遇时，快车超过中点14千米，
而慢车距离终点还有14千米，
因此它们的路程差为14×2＝28千米；
故选：C．
点评：本题主要考查学生时间、路程、速度差的掌握情况．
20．按比例分配应用题
【知识点归纳】
把一个数按一定的比（或连比）分成若干部分，叫做按比例分配．
解答这类题的方法是：把一个总数A分成几部分，使顺次与几个已知数的连比成正比例关系，只要求出总份数，然后，把A分别乘以各部分量所占总量的几分之几，或者求出总份数后，再求平均每份是多少，然后，按照各个量所占的份数，求出几份是多少．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个三角形三个内角度数的比是3：2：1，这是一个（ ）三角形．
A、锐角 B、直角 C、钝角 D、无法确定
分析：因为三角形的内角度数和是180°，三角形的最大的角的度数占内角度数和的，根据一个数乘分数的意义，求出最大角，进而判断即可．
解：1+2+3＝6
最大的角：180°×＝90°
所以这个三角形是直角三角形
故选：B．
点评：解答此题应明确三角形的内角度数的和是180°，求出最大的角的度数，然后根据三角形的分类判定类型．
例2：一个长方形周长是88cm，长与宽的比是7：4．长方形的长、宽各是多少厘米？面积是多少？
分析：根据题意，长与宽的和为88÷2＝44（厘米），然后运用按比例分配的方法，求出长方形的长、宽各是多少厘米，再根据长方形面积公式，求出面积，解决问题．
解：88÷2＝44（厘米），
4+7＝11，
44×＝16（厘米），
44×＝28（厘米）；
16×28＝448（平方厘米）；
答：长方形的长是28厘米，是16厘米，面积是448平方厘米．
点评：解答此题的关键是找准对应量，找出数量关系，根据数量关系，列式解答即可．
21．百分率应用题
【知识点归纳】
出勤率：
发芽率＝发芽种子数÷试验种子数×100%
小麦的出粉率＝面粉的重量÷小麦的重量×100%
产品的合格率＝合格的产品数÷产品总数×100%
职工的出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%
【命题方向】
常考题型：
例1：一种树苗实验成活率是98%，为了保证成活380棵，至少要种多少棵树苗？
分析：首先理解“成活率”的概念，成活率是指成活的棵数占总棵数的百分比，即成活率＝×100%．
已知成活率是98%，成活380棵，求至少要种多少棵，根据成活棵数÷成活率，即380÷98%，计算即可．
解：380÷98%，
＝380÷0.98，
≈388（棵）；
答：至少要种388棵树苗．
点评：此题考查了成活率的概念，同时应注意在处理结果时应该用“进一法”．
例2：一个商场打折销售，规定购买200元以下（包括200元）商品不打折，200元以上500元以下（包括500元）全部打九折，如购买500元以上的商品，就把500元以内（包括500元）的打九折，超出的打八折，一个人买了两次，分别用了134元、466元，那么如果他一次购买这些商品的话，可节省多少元？
分析：先分析销售的办法：
（1）200元以下（包括200元）商品不打折，这种方法最多付款200元；
（2）200元以上500元以下（包括500元）全部打九折，这一阶段最少付款200×90%＝180（元）；
最多付款500×90%＝450（元）；
（3）如购买500元以上的商品，就把500元以内（包括500元）的打九折，超出500元的部分打八折；这一阶段最少付款450元．
134元＜180元，说明原价就是134元，没有打折；
466元＞450元；它属于第（3）种情况，有500元打九折，付450元；剩下的打八折；所以加上134元后也属于此阶段优惠；把134元按照8折优惠的钱数就是可以节省的钱数．
解：200×90%＝180（元）；
134元＜180元，说明原价就是134元，没有打折；
500×90%＝450（元）；
466＞450；
一次购买134元可以按照8折优惠；
134×（1﹣80%），
＝134×20%，
＝26.8（元）；
答：一次购买可节省26.8元．
点评：本题考查了分类讨论的思想的运用：分析实际付款可按不同方式打折．也考查了实际生活中的折扣问题．
22．三角形的分类
【知识点归纳】
1．按角分
判定法一：
锐角三角形：三个角都小于90°．
直角三角形：可记作Rt△．其中一个角必须等于90°．
钝角三角形：有一个角大于90°．
判定法二：
锐角三角形：最大角小于90°．
直角三角形：最大角等于90°．
钝角三角形：最大角大于90°．
其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形．
2．按边分
不等边三角形；
等腰三角形；
等边三角形．
【命题方向】
常考题型：
例：一个三角形，三个内角的度数比是2：3：4，这个三角形为（ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定
分析：判断这个三角形是什么三角形，要知道这个三角形中最大角的度数情况，由题意知：把这个三角形的内角和180°平均分了（2+3+4）＝9份，最大角占总和的，根据一个数乘分数的意义，求出最大角的度数，继而根据三角形的分类判断即可．
解：最大角：180×＝80（度），
因为最大角是锐角，所以这个三角形是锐角三角形；
故选：A．
点评：此题考查了根据角对三角形分类的方法：三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形．
23．三角形的内角和
【知识点归纳】
三角形内角和为180°．
直角三角形的两个锐角互余．
【命题方向】
常考题型：
例1：把一个大三角形分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是（ ）
A、90° B、180° C、60°
分析：根据三角形的内角和是180°，三角形的内角和永远是180度，你把一个三角形分成两个小三角形，每个的内角和还是180度，据此解答．
解：因为三角形的内角和等于180°，
所以每个小三角形的内角和也是180°．
故选：B．
点评：本题考查了三角形内角和定理，属于基础题，关键是掌握三角形内角和为180度．
例2：在三角形三个内角中，∠1＝∠2+∠3，那么这个三角形一定是（ ）三角形．
A、锐角 B、直角 C、钝角 D、不能确定
分析：根据三角形的内角和为180°结合已知，可求∠1＝90°，即可判断三角形的形状．
解：因为∠1＝∠2+∠3，
所以∠1＝180°÷2＝90°，
所以这个三角形是直角三角形．
故选：B．
点评：此题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类，三角形按角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．
24．圆与组合图形
【知识点归纳】
1．圆知识的相关回顾：
（1）圆的周长C＝2πr＝或C＝πd
（2）圆的面积S＝πr2
（3）扇形弧长L＝圆心角（弧度制）×r＝（n为圆心角）
（4）扇形面积S＝＝（L为扇形的弧长）
（5）圆的直径d＝2r
2．组合图形的面积计算，可以根据几何图形的特征，通过分割、割补、平移、翻折、对称、旋转等方法，化复杂为简单，变组合图形为基本图形的加减组合．
25．圆、圆环的周长
【知识点归纳】
圆的周长＝πd＝2πr，
半圆的周长等于圆周长一半加上直径，即；
半圆周长＝πr+2r．
圆环的周长等于两个圆的周长，即：
圆环的周长＝πd1+πd2＝2πr1+2πr2．
【命题方向】
常考题型：
例1：车轮滚动一周，所行的路程是求车轮的（ ）
A、直径 B、周长 C、面积
分析：车轮滚动一周，所行的路程就是这个车轮的周长，可采用化曲为直的方法进行计算．
解：车轮滚动一周所行的路程就是车轮一周的长度，即周长．
答：车轮滚动一周，所行的路程是求车轮的周长．
故选：B．
点评：此题主要考查的是利用圆的周长求车轮的所行路程．
例2：如图，一个半圆形的半径是r，它的周长是（ ）
A、2πr× B、πr+r C、（π+2）r D、πr2．
分析：根据半圆的周长公式：C＝πr+2r，可求半圆的周长．
解：πr+2r＝（π+2）r．
答：半圆的周长是（π+2）r．
故选：C．
点评：考查了半圆的周长．解题的关键是理解和掌握它们的计算公式，同时不要错误的以为半圆的周长是圆的周长的一半．
【解题思路点拨】
（1）常规题求圆的周长，先求出关键量半径，代入公式即可求得．
26．画圆
【知识点归纳】
圆规画圆步骤：
1、把圆规的两脚分开，定好两脚间距离；
2、把有针尖的一只脚固定在一点上；
3、带有铅笔的那只脚绕点旋转一周．
【命题方向】
常考题型：
例1：画一个周长是18.84厘米的圆，圆规的两脚之间的距离应该是（ ）厘米．
A、3 B、6 C、9 D、12
分析：圆规两脚之间的距离即这个圆的半径，由圆的周长公式即可解决问题．
解：18.84÷3.14÷2＝3（厘米）；
答：圆规的两脚之间的距离应该是3厘米．
故选：A．
点评：抓住圆规画圆的方法，利用C＝2πr，即可解决此类问题．
例2：画一个直径是4cm的圆．
分析：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，由此以点O为圆心，以4÷2＝2厘米为半径，即可画出这个圆．
解：4÷2＝2（厘米），
以点O为圆心，以2厘米为半径，画圆如下：
点评：此题考查了圆的画法，抓住圆的两大要素：圆心和半径即可画圆．
27．长方形、正方形的面积
【知识点归纳】
长方形面积＝长×宽，用字母表示：S＝ab
正方形面积＝边长×边长，用字母表示：S＝a2．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个长方形的周长是48厘米，长和宽的比是7：5，这个长方形的面积是多少？
分析：由于长方形的周长＝（长+宽）×2，所以用48除以2先求出长加宽的和，再根据长和宽的比是7：5，把长看作7份，宽看作5份，长和宽共7+5份，由此求出一份，进而求出长和宽分别是多少，最后根据长方形的面积公式S＝ab求出长方形的面积即可．
解：一份是：48÷2÷（7+5），
＝24÷12，
＝2（厘米），
长是：2×7＝14（厘米），
宽是：2×5＝10（厘米），
长方形的面积：14×10＝140（平方厘米），
点评：本题考查了按比例分配的应用，同时也考查了长方形的周长公式与面积公式的灵活运用．
答：这个长方形的面积是140平方厘米．
例2：小区前面有一块60米边长的正方形空坪，现要在空坪的中间做一个长32米、宽28米的长方形花圃，其余的植上草皮．（如图）
①花圃的面积是多少平方米？
②草皮的面积是多少平方米？
分析：（1）长方形的面积＝长×宽，代入数据即可求解；
（2）草皮的面积＝正方形的面积﹣长方形的面积，利用正方形和长方形的面积公式即可求解．
解：（1）32×28＝896（平方米）；
（2）60×60﹣896，
＝3600﹣896，
＝2704（平方米）；
答：花圃的面积是896平方米，草皮的面积是2704平方米．
点评：此题主要考查正方形和长方形的面积的计算方法．
【解题思路点拨】
（1）常规题求正方形面积，先求出边长，代入公式即可求得；求长方形面积，分别求出长和宽，代入公式即可求得，面积公式要记牢．
（2）其他求法可通过分割补，灵活性高．
28．圆、圆环的面积
【知识点归纳】
圆的面积公式：
S＝πr2
圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可得，公式：
S＝πr22﹣πr12＝π（r22﹣r12）
【命题方向】
常考题型：
例1：因为大圆的半径和小圆的直径相等，所以大圆面积是小圆面积的（ ）
A、2倍 B、4倍 C、 D、
分析：大圆的半径和小圆的直径相等，说明大圆的半径是小圆的半径的2倍，利用圆的面积公式和积的变化规律即可推理得出正确答案进行选择．
解：大圆的半径和小圆的直径相等，说明大圆的半径是小圆的半径的2倍，
圆的面积＝πr2，根据积的变化规律可得，r扩大2倍，则r2就会扩大2×2＝4倍，
所以大圆的面积是小圆的面积的4倍．
故选：B．
点评：此题考查了积的变化规律在圆的面积公式中的灵活应用，这里可以得出结论：半径扩大几倍，圆的面积就扩大几倍的平方．
例2：在图中，正方形的面积是100平方厘米，那么这个圆的面积是多少平方厘米？周长呢？
分析：看图可知：正方形的边长等于圆的半径，先利用正方形的面积公式求出正方形的边长，即得出圆的半径，由此根据圆的周长和面积公式即可列式解答．
解：因为10×10＝100，
所以正方形的边长是10厘米，
所以圆的面积是：3.14×10×10＝314（平方厘米）；
周长是：3.14×10×2＝62.8（厘米），
答：这个圆的面积是314平方厘米，周长是62.8厘米．
点评：此题考查圆的周长与面积公式的计算应用，关键是结合图形，利用正方形的面积公式求出正方形的边长，即这个圆的半径．
29．有关圆的应用题
【知识点归纳】
当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆．
连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r；
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d，直径所在的直线是圆的对称轴．
圆的性质：圆有无数条半径和无数条直径．
圆的周长＝πd＝2πr
圆的面积＝πr2．
【命题方向】
常考题型：
例1：火车主动轮的半径是0.75米，如果每分钟转300周，每小时可行多少米？
分析：先求出主动轮转动一周所行的米数，即主动轮的周长．然后根据每分钟转动的周数求出每分钟行的米数，最后用每分钟行的米数乘60即可．
解：3.14×（0.75×2）×300×60，
＝3.14×1.5×300×60，
＝84780（米）；
答：每小时可行84780米．
点评：解答此题的关键是求主动轮的周长，即主动轮转动一周所行的米数．
例2：为美化校园环境，学校准备在周长是37.68米的花坛（如图）外围铺一条2米宽的环形小路，这条小路的面积是多少平方米？如果每平方米用水泥15千克，铺这条小路一共需要水泥多少千克？
分析：在周长是37.68米的花坛（如图）外围铺一条2米宽的环形小路，这条小路就是一个圆环，已知里圆的周长是37.68米，根据圆的周长公式c＝2πr，求出半径r，外圆的半径就是r+2米，圆环的面积即可求出π（R2﹣r2）；如果每平方米用水泥15千克，铺这条小路一共需要水泥多少千克，用乘法，面积乘15，即可得解．
解：设花坛的半径为r，外圆的半径R，由圆的周长公式，则有：
2πr＝37.68，
r＝6（米），
R＝r+2＝6+2＝8（米），
这条小路的面积是：
S＝π（R2﹣r2），
＝3.14×（82﹣62），
＝87.92（平方米）；
87.92×15＝1318.8（千克）；
答：这条小路的面积是87.92平方米，铺这条小路一共需要水泥1318.8千克．
点评：此题考查了有关圆的应用题，理清思路，灵活应用圆的周长公式和面积公式是解决此题的关键．
30．组合图形的面积
【知识点归纳】
方法：
①“割法”：观察图形，把图形进行分割成容易求得的图形，再进行相加减．
②“补法”：观察图形，给图形补上一部分，形成一个容易求得的图形，再进行相加减．
③“割补结合”：观察图形，把图形分割，再进行移补，形成一个容易求得的图形．
【命题方向】
常考题型：
例1：求图中阴影部分的面积．（单位：厘米）
分析：根据图所示，可把组合图形分成一个直角梯形和一个圆，阴影部分的面积等于梯形的面积减去圆的面积再加上圆的面积减去三角形面积的差，列式解答即可得到答案．
解：[（5+8+5）×5÷2﹣×3.14×52]+（×3.14×52﹣5×5÷2），
＝[18×5÷2﹣0.785×25]+（0.785×25﹣25÷2），
＝[90÷2﹣19.625]+（19.625﹣12.5），
＝[45﹣19.625]+7.125，
＝25.375+7.125，
＝32.5（平方厘米）；
答：阴影部分的面积为32.5平方厘米．
点评：此题主要考查的是梯形的面积公式（上底+下底）×高÷2、三角形的面积公式底×高÷2和圆的面积公式S＝πr2的应用．
31．用角度表示方向
【知识点归纳】
根据方向和距离确定物体位置的方法：
①确定观测点。
②在观测点上建立方向标。
③用量角器测量出被测物体方向的角度，标清楚小弧线和度数。
④结合图例计算出图上距离。
⑤补全整个图中的细节。
【命题方向】
常考题型：
1、（1）街心花园到学校的实际距离是100m，图上距离是4cm，那么这个示意图的比例尺是______。
（2）若街心花园到健身中心的图上距离是7cm，则实际距离是______。
（3）电影院在街心花园南偏西60°方向，距离街心花园150m的地方，请在图中标出电影院的位置，并标出图上距离和角度。
解：（1）街心花园到学校的实际距离是100m，图上距离是4cm，那么图上距离1cm表示实际距离
100÷4＝25（m）
25m＝2500cm
答：这个示意图的比例尺是1：2500。
（2）7×2500＝17500（厘米）
17500cm＝175m
答：实际距离是175m。
（3）150m＝15000cm
15000÷2500＝6（cm）
故答案为：1：2500；175。
2、小冬家在学校北偏西30°方向，那么学校在小冬家的（ ）方向。
A．北偏西30°B．南偏东30°C．西偏北60°D．东偏南30°
解：小冬家在学校北偏西30°方向，那么学校在小冬家的南偏东30°方向。
故选：B。
32．根据方向和距离确定物体的位置
【知识点归纳】
1．确定观察点，建立方向标；
2．用量角器确定物体方向；
3．用刻度尺根据物体方向距离确定其位置；
4．找出物体具体位置，标上名称．
【命题方向】
常考题型：
例：（1）以灯塔为观测点，A岛在 东 偏 北 60° 的方向上，距离是 4 千米．
（2）以灯塔为观测点，货轮在 西 偏 南 40° 的方向上，距离是 2 千米
（3）客轮在灯塔西偏北35°的方向上，距离是3千米．请画出客轮的位置．
分析：（1）由图意可知：以灯塔为观测点，A岛在东偏北60°的方向上，又因图上距离1厘米表示实际距离1千米，而A岛与灯塔的图上距离为4厘米，于是就可以求出A岛与灯塔的实际距离．
（2）以灯塔为观测点，货轮在西偏南40°的方向上，又因图上距离1厘米表示实际距离1千米，而货轮与灯塔的图上距离为2厘米，于是就可以求出货轮与灯塔的实际距离．
（3）因为图上距离1厘米表示实际距离1千米，而客轮与灯塔的实际距离是3千米，于是可以求出客轮与灯塔的图上距离，再据“客轮在灯塔西偏北35°的方向上”即可在图上标出客轮的位置．
解：（1）以灯塔为观测点，A岛在东偏北60°的方向上，
又因图上距离1厘米表示实际距离1千米，
所以A岛与灯塔的实际距离为：
4×1＝4（千米）；
（2）以灯塔为观测点，货轮在西偏南40°的方向上，
又因图上距离1厘米表示实际距离1千米，
所以货轮与灯塔的实际距离为：
2×1＝2（千米）；
（3）因为图上距离1厘米表示实际距离1千米，
而客轮与灯塔的实际距离是3千米，
所以客轮与灯塔的图上距离为：
3÷1＝3（厘米）；
于是标注客轮的位置如下图所示：
．
故答案为：4
点评：此题主要考查依据方向（角度）和距离判定物体位置的方法以及线段比例尺的意义．
33．扇形统计图
【知识点归纳】
1．扇形统计图的特点：扇形统计图是用整个圆的面积表示总数，用圆内的扇形面积表示各部分数量占总数的百分比．
2．读懂扇形统计图：
（1）获取信息的方法：运用综合、对比等多种观察方法，可以从扇形统计图中获取信息，还可以利用这些信息提出相应的问题．
（2）扇形统计图的优点：它可以清楚地表示出部分数量与总数、部分数量与部分数量之间的关系．
3．利用扇形统计图解决问题，就是解决有关不同类型的百分数应用题，按照百分数应用题的解题思路和解题方法进行解答．
【命题方向】
常考题型：
例1：如图是某小学六年级学生视力情况统计图．
①视力正常的有76人，视力近视的有 60 人；
②假性近视的同学比视力正常的人少 15.8 %；（百分号前保留一位小数）
③视力正常的学生与视力非正常学生人数的比是 19：31 ．
分析：由图可知：把总人数看成单位“1”，视力正常的人数占总人数的38%，近视的人数占总人数的30%，假性近视的人数占总人数的32%；
①视力正常的有76人，它对应的百分数是38%，由此用除法求出总人数，再求出总人数的30%就是近似的人数；
②用视力正常占的百分数减去假性近视人数占的百分数，然后用求得的差除以视力正常占的百分数即可；
③先求出视力非正常学生人数占总人数的百分数，然后作比．
解：①76÷38%×30%，
＝200×30%，
＝60（人）；
答：视力近视的有60人．
②（38%﹣32%）÷38%，
＝6%÷38%，
≈15.8%；
答：假性近视的同学比视力正常的人少15.8%．
③38%：（32%+30%），
＝38%：62%，
＝38：62，
＝19：31；
答：视力正常的学生与视力非正常学生人数的比是19：31．
故答案为：60，15.8%，19：31．
点评：解决本题关键是从图中读出数据，找出单位“1”，再根据基本的数量关系求解．
34．分数的巧算
【知识点归纳】
分数运算符合的定律．
（1）乘法交换律 a×b＝b×a
（2）乘法结合律 a×（b×c）＝（a×b）×c
（3）乘法分配律 a×（b+c）＝a×b+a×c；a×（b﹣c）＝a×b﹣a×c
（4）逆用乘法分配律 a×b+a×c＝a×（b+c）；a×b﹣a×c＝a×（b﹣c）
（5）互为倒数的两个数乘积为1．
除法的几个重要法则
（1）商不变性质
被除数和除数乘以（或除以）同一个非零的数，商不变，即
a÷b＝（a×n）÷（b×n） （n≠0）
a÷b＝（a÷m）÷（b÷m） （m≠0）
（2）当n个数都除以同一个数后再加减时，可以将它们先加减之后再除以这个数；反之也成立（也可称为除法分配律）．如：
（a±b）÷c＝a÷c±b÷c； a÷c±b÷c＝（a±b）÷c．
【命题方向】
常考题型：
例1：（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×…×（1+）×（1﹣）等于 ．
分析：此题如果按部就班地进行计算，计算量可想而知，所以要寻求巧算的方法，此题可利用乘法结合律进行简算．
解：（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×…×（1+）×（1﹣），
＝[（1+）×（1+）×…×（1+）]×[（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）]，
＝[××…×]×[××…×]，
＝×，
＝．
故答案为：．
点评：此题考查了学生乘法结合律的知识，以及巧算的能力．
例2：的值是多少．（ ）
A、 B、 C、 D、
分析：通过观察，每个分数的分母中的两个因数相差3，分子都是3，于是可把每个分数都可以拆成两个分数相减的形式，然后通过加减相抵消的方法，求得结果．
解：，
＝（﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣），
＝﹣，
＝；
故选：B．
点评：解答此题，应注意观察分数的特点，根据特点，对分数进行拆分，达到简算的目的．
【题方法点拨】
分数巧算就是熟能生巧的过程，综合运用乘法分配律，分数化小数，小数化分数以及带分数化假分数、带分数拆分等方法达到巧算的目的．
1、把同分母的分数凑成整数．
a．先去括号；b．利用交换律把同分母分数凑在一起；c．利用减法性质把同分母分数凑在一起．
2、分数乘法中，利用乘法交换律，交换数的位置，以达到约分的目的；利用乘法结合律，以达到约分的目的，从而简算．
3、分数混合运算中有除法，先将除法转化为乘法，然后再利用乘法的分配律的方法来计算以达到凑整的目的．
4、懂得拆分．
35．积的变化规律
【知识点归纳】
积的变化规律：
（1）如果一个因数乘或除以一个数，另一个因数不变，那么，它们的积也乘或除以同一个数．
（2）如果一个因数乘或除以一个数，另一个因数除以或乘同一个数，那么，它们的积不变．
【命题方向】
常考题型：
例：a×b的一个因数乘10，另一个因数也乘10，得到的积等于（ ）
A、原来的积乘10 B、原来的积乘20 C、原来的积乘100
分析：根据积的变比规律：一个因数乘10，另一个因数也乘10，原来的积就乘10×10．据此进行选择即可．
解：a×b的一个因数乘10，另一个因数也乘10，得到的积等于原来的积乘100．
故选：C．
点评：此题考查积的变化规律的运用：一个因数乘（或除以）10，另一个因数也乘（或除以）10，原来的积就乘（或除以）100．

＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝1
＝2.4
＝28
＝3
＝
＝
＝
＝64
5x×30%＝15
3.6x+120%x＝96
100%x+2/3＝7/6
130%x﹣0.8×4＝3.3