山东省烟台市2023-2024学年五年级（上）期末数学试卷

这是一份山东省烟台市2023-2024学年五年级（上）期末数学试卷，共59页。试卷主要包含了用心选一选，耐心填一填，细心算一算，认真画一画，定心解一解，潜心试一试等内容，欢迎下载使用。
1．（2023秋•栖霞市期末）以下哪种情况不需要绘制复式条形统计图（ ）
A．四年级三班一月至六月每月回收小瓶数量。
B．栖霞市去年和今年6～9月空气优良天数。
C．小芳、小明5次投篮得分统计图。
D．要统计四年级五个班男女生最喜欢的课程。
2．（2023秋•栖霞市期末）小明在教室的位置用数对表示是（3，4），如果小强与他在同一列，则小强的位置可能是（ ）
A．（3，6）B．（4，3）C．（4，5）D．（5，4）
3．（2023秋•栖霞市期末）在计算时，不能直接相加，要先通分，是因为（ ）
A．分子不同B．分数单位不同
C．分数大小不同D．不确定
4．（2023秋•栖霞市期末）下列说法正确的是（ ）
A．一个假分数的倒数一定会比这个假分数大。
B．2米的和3米的同样长。
C．男生20人，女生18人，男生与女生人数的比值是9：10。
D．物体的体积就是它的容积。
5．（2023秋•栖霞市期末）王小强在魔方益智兴趣小组活动中，不小心将三阶魔方弄掉了一个角块（如图）。现在的魔方与原来相比，表面积发生了怎样的变化？（ ）
A．一样大B．减少了C．增大了D．不确定
6．（2023秋•栖霞市期末）下面各组比中，比值相等的一组是（ ）
A．和4：5B．3：2.5和6：5
C．时D．3：2.5和
二、耐心填一填。（将正确答案填在答题卡的相应位置上）
7．（2023秋•栖霞市期末） 时＝日
＝ dm3
分＝ 秒
0.78dm3＝ L＝ mL
8．（2023秋•栖霞市期末）（1）A的位置用数对表示是 。
（2）A在B的 偏 ， °方向上。
（3）从C出发向 偏 ， °方向走可以到达B。
9．（2023秋•栖霞市期末）在盒子中一共放入红、黑小球8个，如果要求任意摸1个球，摸得红色球的可能性大，那么盒中可以放 个红球。
10．（2023秋•栖霞市期末）正方体的棱长扩大到原来的3倍，表面积扩大到原来的 倍。
11．（2023秋•栖霞市期末）小芳两天喝了一桶酸奶的，她平均每天喝了这桶酸奶的 ，照这样的速度，这桶酸奶能喝 天。
12．（2023秋•栖霞市期末） ÷24＝＝＝25： ＝ （填小数）。
13．（2023秋•栖霞市期末）在横线上填上“＞”“＜”或“＝”。
4800mL 4L80mL



14．（2023秋•栖霞市期末）比42米多是 米，42米比 米多， 米比42米少。
15．（2023秋•栖霞市期末）升：500毫升化为最简整数比是 ，比值是 。
三、细心算一算。
16．（2023秋•栖霞市期末）直接写得数。
17．（2023秋•栖霞市期末）直接写得数。
18．（2023秋•栖霞市期末）脱式计算。（能简算的要简算，将解题步骤写在答题卡的相应位置上）
19．（2023秋•栖霞市期末）解方程。（将解题步骤写在答题卡的相应位置上）
四、认真画一画。（将图画在答题卡的相应位置上）
20．（2023秋•栖霞市期末）本学期，我们借助数形结合的方法探究了分数乘分数的计算方法，请先涂色，再计算。
＝
五、定心解一解。（将解题步骤写在答题卡的相应位置上）
21．（2023秋•栖霞市期末）一根铁丝长米，比另一根长米，两根铁丝共长多少米？
22．（2023秋•栖霞市期末）一列火车的速度是每小时180千米，一辆小汽车的速度是这列火车的，是一架喷气式飞机的，这架飞机每小时飞行多少千米？
23．（2023秋•栖霞市期末）如图是两座城市的月平均气温统计图。
（1）这两座城市月平均气温最接近的是 月，月平均气温相差最大的是 月。
（2）请用简短的语言概括一下这两座城市7月至11月的月平均气温变化的情况。
24．（2023秋•栖霞市期末）一个长方体形状的蓄水池，长12米，深9米，宽6米。
（1）在这个蓄水池的四周抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？
（2）这个蓄水池的蓄水量是多少立方米？
25．（2023秋•栖霞市期末）五（1）班举行元旦晚会，表演小品有18人，唱歌的人数比表演小品人数的多5人，唱歌的比跳舞的人数少。
（1）唱歌的有多少人？
（2）跳舞的有多少人？
（3）跳舞的同学中，男、女生的人数比是2：5，参加跳舞的男生有多少人？
六、潜心试一试。（直接把答案写在答题卡的相应位置上）
26．（2023秋•栖霞市期末）利用排除法，的计算结果（不化简）应是下面的（ ）
A．B．
C．D．
27．（2023秋•栖霞市期末）参加青少年冬令营的23名同学入住宾馆，宾馆有三人间和两人间（不能空床）。可以有 种不同的安排方案。
28．（2023秋•栖霞市期末）一个长方体，如果它的高增加3厘米就成为一个正方体，这是表面积比原来增加了144平方厘米，原来长方体的体积是 立方厘米。
2023-2024学年山东省烟台市栖霞市五年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、用心选一选。
1．（2023秋•栖霞市期末）以下哪种情况不需要绘制复式条形统计图（ ）
A．四年级三班一月至六月每月回收小瓶数量。
B．栖霞市去年和今年6～9月空气优良天数。
C．小芳、小明5次投篮得分统计图。
D．要统计四年级五个班男女生最喜欢的课程。
【考点】统计图的选择．
【专题】数据分析观念．
【答案】A
【分析】单式条形统计图可以清楚的看出一组数据的多少，而复式条形统计图可以清楚的看出两组或两组以上的数据的多少。据此逐一分析各项即可。
【解答】解：A．要统计四年级三班一月至六月每月回收小瓶数量，用单式条形统计图即可；
B．要统计栖霞市去年和今年6～9月空气优良天数，需用复式条形统计图；
C．要统计小芳、小明5次投篮得分统计图，需用复式条形统计图；
D．要统计四年级五个班男女生最喜欢的课程，需用复式条形统计图。
故选：A。
【点评】本题考查统计图的特征，根据实际情况选择合适的统计图。
2．（2023秋•栖霞市期末）小明在教室的位置用数对表示是（3，4），如果小强与他在同一列，则小强的位置可能是（ ）
A．（3，6）B．（4，3）C．（4，5）D．（5，4）
【考点】数对与位置．
【专题】综合题；应用意识．
【答案】A
【分析】根据用数对表示位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行，如果小强与小明在同一列，则用数对表示小强的位置时，第一个数字为3。据此解答即可。
【解答】解：A．（3，6）表示第3列第6行，与第3列第4行在同一列，符合题意；
B．（4，3）表示第4列第3行，与第3列第4行不在同一列，也不在同一行，不符合题意；
C．（4，5）表示第4列第5行，与第3列第4行不在同一列，也不在同一行，不符合题意；
D．（5，4）表示第5列第4行，与第3列第4行在同一行，不符合题意；
故选：A。
【点评】本题考查的是数对与位置的应用。
3．（2023秋•栖霞市期末）在计算时，不能直接相加，要先通分，是因为（ ）
A．分子不同B．分数单位不同
C．分数大小不同D．不确定
【考点】异分母分数加减法．
【专题】运算能力．
【答案】B
【分析】在计算异分母分数加减法时，不能直接相加，是因为分母不同（分数单位不同）；要先通分，化为同分母分数，即化为分数单位相同，再按照同分母分数加减法的计算方法进行计算即可。
【解答】解：在计算时，不能直接相加，要先通分，是因为分数单位不同。
故选：B。
【点评】解答本题需熟练掌握异分母分数加减法则，灵活解答。
4．（2023秋•栖霞市期末）下列说法正确的是（ ）
A．一个假分数的倒数一定会比这个假分数大。
B．2米的和3米的同样长。
C．男生20人，女生18人，男生与女生人数的比值是9：10。
D．物体的体积就是它的容积。
【考点】真分数、假分数和带分数；倒数的认识；比的意义；求比值和化简比；体积、容积及其单位．
【专题】分数和百分数；数据分析观念．
【答案】B
【分析】A．分子小于或等于分母的分数就是假分数，把假分数的分子和分母互换位置就是该假分数的倒数，据此判断即可；
B．根据求一个数的几分之几是多少，求这个数，用乘法进行计算，最后再进行判断即可；
C．用比的前项除以比的后项即可求出比值，比值可以是分数、小数或整数；
D．物体所占空间的大小就是该物体的体积；一个容器所能容纳物体的体积，就是该容器的容积，因为容器有厚度，所以一般容器的体积要大于容器的体积。
【解答】解：A．如是假分数，它的倒数还是，原题说法错误；
B．2×＝（米）
3×＝（米）
因此2米的和3米的同样长，原题说法正确；
C．20：18
＝10：9
＝
因此男生与女生人数的比值是，原题说法错误；
D．因为容器有厚度，所以一般容器的体积要大于容器的容积，原题说法错误。
故选：B。
【点评】本题考查求比值，明确求比值的方法是解题的关键。
5．（2023秋•栖霞市期末）王小强在魔方益智兴趣小组活动中，不小心将三阶魔方弄掉了一个角块（如图）。现在的魔方与原来相比，表面积发生了怎样的变化？（ ）
A．一样大B．减少了C．增大了D．不确定
【考点】长方体和正方体的表面积．
【专题】应用意识．
【答案】A
【分析】根据正方体的表面积的意义，从正方体的顶点上挖掉一个小正方体，因为这个小正方体原来外露3个面，挖掉这个小正方体后又外露与原来相同的3个面，所以剩下图形的表面积不变。据此解答即可。
【解答】解：由分析可知：现在的魔方与原来相比，表面积不变，一样大。
故选：A。
【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体表面积的意义及应用。
6．（2023秋•栖霞市期末）下面各组比中，比值相等的一组是（ ）
A．和4：5B．3：2.5和6：5
C．时D．3：2.5和
【考点】求比值和化简比．
【专题】运算能力．
【答案】B
【分析】用比的前项除以比的后项即可求出比值，据此求出各项的比值，再进行对比即可。
【解答】解：A、
＝
＝
＝
4：5
＝4÷5
＝
≠，比值不相等；
B、3：2.5
＝3÷2.5
＝
6：5
＝6÷5
＝
＝，比值相等；
C、
＝
＝
＝
＝
＝
＝
≠，比值不相等；
D、3：2.5
＝3÷2.5
＝
＝
＝
＝
≠，比值不相等。
故选：B。
【点评】掌握求比值的方法是解答本题的关键。
二、耐心填一填。（将正确答案填在答题卡的相应位置上）
7．（2023秋•栖霞市期末） 16 时＝日
＝ 625 dm3
分＝ 35 秒
0.78dm3＝ 0.78 L＝ 780 mL
【考点】时、分、秒及其关系、单位换算与计算；体积、容积进率及单位换算．
【专题】常见的量．
【答案】16；625；35；0.78；780。
【分析】根据1日＝24时，1m3＝1000dm3，1分＝60秒，1dm3＝1L＝1000mL，高级单位换低级单位乘进率，低级单位换高级单位除以进率，依此进行计算即可。
【解答】解：16时＝日
＝625dm3
分＝35秒
0.78dm3＝0.78L＝780mL
故答案为：16；625；35；0.78；780。
【点评】熟练掌握时间单位。体积和容积单位的换算，是解答此题的关键。
8．（2023秋•栖霞市期末）（1）A的位置用数对表示是 （8，3） 。
（2）A在B的 东 偏 南 ， 20 °方向上。
（3）从C出发向 东 偏 北 ， 45 °方向走可以到达B。
【考点】数对与位置；根据方向和距离确定物体的位置．
【专题】数据分析观念．
【答案】（8，3）；东；南；20；东；北；45。
【分析】根据用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行即可解答。
【解答】解：（1）A的位置用数对表示是 （8，3）。
（2）A在B的东偏南，20°方向上。
（3）从C出发向东偏北，45°方向走可以到达B。
故答案为：（8，3）；东；南；20；东；北；45。
【点评】本题主要考查用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行。
9．（2023秋•栖霞市期末）在盒子中一共放入红、黑小球8个，如果要求任意摸1个球，摸得红色球的可能性大，那么盒中可以放 5 个红球。
【考点】可能性的大小．
【专题】数据分析观念．
【答案】5。（答案不唯一）
【分析】要想摸得红色球的可能性大，则盒子中红色球的数量应多于黑球的数量。据此解答即可。
【解答】解：8÷2+1
＝4+1
＝5（个）
在盒子中一共放入红、黑小球8个，如果要求任意摸1个球，摸得红色球的可能性大，那么盒中可以放5个红球。（答案不唯一）
故答案为：5。（答案不唯一）
【点评】本题考查可能性大小的判断，解题关键是理解并掌握影响可能性大小的因素，理解哪种颜色的球多，摸到哪种球的可能性就大。
10．（2023秋•栖霞市期末）正方体的棱长扩大到原来的3倍，表面积扩大到原来的 9 倍。
【考点】长方体和正方体的表面积．
【专题】立体图形的认识与计算；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，正方体的棱长扩大到原来的3倍，表面积就扩大到原来的（3×3）倍。据此判断。
【解答】解：3×3＝9
所以，正方体的棱长扩大到原来的3倍，表面积扩大到原来的9倍。
故答案为：9。
【点评】此题主要考查正方体表面积公式的灵活运用，并应用到了积的变化规律。
11．（2023秋•栖霞市期末）小芳两天喝了一桶酸奶的，她平均每天喝了这桶酸奶的 ，照这样的速度，这桶酸奶能喝 6 天。
【考点】分数除法应用题．
【专题】综合填空题；应用意识．
【答案】，6。
【分析】用两天喝的分率除以2，求出平均每天喝了这桶酸奶的几分之几。将这桶酸奶看作单位“1”，用单位“1”除以每天喝的分率，求出能喝几天。
【解答】解：÷2
＝×
＝
1÷＝1×6＝6（天）
答：她平均每天喝了这桶酸奶的，照这样的速度，这桶酸奶能喝6天。
故答案为：，6。
【点评】本题考查了分数除法，正确列式，并有一定计算能力是解题的关键。
12．（2023秋•栖霞市期末） 15 ÷24＝＝＝25： 40 ＝ 0.625 （填小数）。
【考点】比与分数、除法的关系．
【专题】数感．
【答案】15；48；40；0.625。
【分析】根据分数与除法的关系＝5÷8，再根据商不变的性质被除数、除数都乘3就是15÷24；根据分数的基本性质，的分子、分母都乘6就是；根据比与分数的关系＝5：8，再根据比的性质比的前、后项都乘5就是25：40；5÷8＝0.625。
【解答】解：15÷24＝＝＝25：40＝0.625
故答案为：15；48；40；0.625。
【点评】此题主要是考查小数、分数、除法、比之间的关系及转化。利用它们之间的关系和性质进行转化即可。
13．（2023秋•栖霞市期末）在横线上填上“＞”“＜”或“＝”。
4800mL ＞ 4L80mL
＝
＞
＜
【考点】体积、容积进率及单位换算；积的变化规律．
【专题】综合判断题；运算能力．
【答案】＞；＝；＞；＜。
【分析】（1）根据1L＝1000mL，高级单位换低级单位乘进率，据此把4800mL和4L80mL统一单位，再进行比较即可；
（2）根据分数乘除法的计算方法，分别求出和的结果，再进行比较即可；
（3）一个数（0除外）乘大于1的数，结果比原来的数大；一个数（0除外）乘小于1的数，结果比原来的数小；据此比较大小。
（4）一个数（0除外）乘小于1的数，结果比原来的数小；一个数（0除外）加上一个非0的数结果比原来的数大。据此解答即可。
【解答】解：因为4L＝4000mL，4000mL+80mL＝4080mL，4L80mL＝4080mL，所以4800mL＞4L80mL
因为，，所以＝
因为＞，＜，所以＞
因为＜，＞，所以＜
故答案为：＞；＝；＞；＜。
【点评】本题考查了积的变化规律的应用以及容积单位之间的大小比较。
14．（2023秋•栖霞市期末）比42米多是 49 米，42米比 36 米多， 35 米比42米少。
【考点】分数除法；分数乘法．
【专题】运算能力．
【答案】49；36；35。
【分析】求比一个数多（或少）几分之几的数是多少，用“这个数×（1±几分之几）”；
已知一个数比另一个数多几分之几，求另一个数，用“这个数÷（1+几分之几）”。
【解答】解：42×（1+）
＝42×
＝49（米）
42÷（1+）
＝42÷
＝36（米）
42×（1﹣）
＝42×
＝35（米）
答：比42米多是49米，42米比36米多，35米比42米少。
故答案为：49；36；35。
【点评】熟练掌握分数乘除法的意义是解答本题的关键。
15．（2023秋•栖霞市期末）升：500毫升化为最简整数比是 6：5 ，比值是 。
【考点】求比值和化简比．
【专题】运算能力．
【答案】6：5；。
【分析】根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变，据此化简比即可；用比的前项除以比的后项即可求出比值。
【解答】解：升：500毫升
＝600毫升：500毫升
＝600：500
＝（600÷100）：（500÷100）
＝6：5
6：5
＝6÷5
＝
则升：500毫升化为最简整数比是6：5，比值是。
故答案为：6：5；。
【点评】此题考查化简比和求比值的方法，要注意区分：化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数；而求比值的结果是一个数，可以是整数、小数或分数。
三、细心算一算。
16．（2023秋•栖霞市期末）直接写得数。
【考点】分数除法；分数的加法和减法；分数乘法．
【专题】运算能力．
【答案】；；10；0；；；；1；；；7；0。
【分析】根据分数加减乘除法以及四则混合运算的顺序，直接进行口算即可。
【解答】解：
【点评】本题考查了简单的计算，计算时要细心，注意平时积累经验，提高计算的水平。
17．（2023秋•栖霞市期末）直接写得数。
【考点】分数的四则混合运算．
【专题】运算能力．
【答案】；；0；；；；；11；；；1；1。
【分析】根据分数、小数加减乘除法以及四则混合运算的顺序，直接进行口算即可。
【解答】解：
【点评】本题考查了简单的计算，计算时要细心，注意平时积累经验，提高计算的水平。
18．（2023秋•栖霞市期末）脱式计算。（能简算的要简算，将解题步骤写在答题卡的相应位置上）
【考点】分数的四则混合运算；运算定律与简便运算．
【专题】运算能力．
【答案】；；13；。
【分析】（1）运用减法的性质，把原式化为，依此进行计算即可；
（2）先算小括号里面的乘法，再算减法，最后算括号外面的乘法即可；
（3）化除法为乘法，把原式化为，再运用乘法分配律化为，依此进行计算即可；
（4）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，然后再算括号外面除法，最后算括号外面的乘法即可。
【解答】解：（1）
＝
＝
＝
（2）
＝
＝
＝
（3）
＝
＝
＝1×13
＝13
（4）
＝
＝
＝
＝
＝
【点评】本题考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算。
19．（2023秋•栖霞市期末）解方程。（将解题步骤写在答题卡的相应位置上）
【考点】分数方程求解．
【专题】运算能力．
【答案】；；。
【分析】，根据等式的性质1，将方程左右两边同时加上即可；
，根据等式的性质2，将方程左右两边同时乘即可；
，先将左边合并为，再根据等式的性质2，将方程左右两边同时除以即可。
【解答】解：
【点评】本题考查了方程的解法，解题过程要利用等式的性质，注意等号要对齐。
四、认真画一画。（将图画在答题卡的相应位置上）
20．（2023秋•栖霞市期末）本学期，我们借助数形结合的方法探究了分数乘分数的计算方法，请先涂色，再计算。
＝
【考点】分数乘法．
【专题】运算能力．
【答案】
。
【分析】把大长方形看作单位“1”，先平均分成6份，涂其中的5份；再把这5份平均分成3份，涂其中的2份，据此作图并计算即可。
【解答】解：
故答案为：。
【点评】本题考查了分数乘分数的计算，突出了对算理的理解。
五、定心解一解。（将解题步骤写在答题卡的相应位置上）
21．（2023秋•栖霞市期末）一根铁丝长米，比另一根长米，两根铁丝共长多少米？
【考点】分数加减法应用题．
【专题】应用题；运算能力．
【答案】米。
【分析】一根铁丝长米，比另一根长米，运用分数减法可得到另一根铁丝的长度，再将两根铁丝相加即可得出答案。
【解答】解：﹣+
＝+
＝（米）
答：两根铁丝共长米。
【点评】本题主要考查的是分数加减法的实际运用，解题的关键是熟练运用分数加减混合运算，进而得出答案。
22．（2023秋•栖霞市期末）一列火车的速度是每小时180千米，一辆小汽车的速度是这列火车的，是一架喷气式飞机的，这架飞机每小时飞行多少千米？
【考点】分数四则复合应用题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】960千米。
【分析】根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即用180乘即可求出小汽车的速度；再根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，即用小汽车的速度除以即可求出这架飞机每小时飞行多少千米。
【解答】解：180×÷
＝80÷
＝80×12
＝960（千米）
答：这架飞机每小时飞行960千米。
【点评】解决本题的关键是找出题中数量关系。
23．（2023秋•栖霞市期末）如图是两座城市的月平均气温统计图。
（1）这两座城市月平均气温最接近的是 7 月，月平均气温相差最大的是 11 月。
（2）请用简短的语言概括一下这两座城市7月至11月的月平均气温变化的情况。
【考点】从统计图表中获取信息．
【答案】（1）7，11，（2）从7月到11月份随着气温的降低，两个城市的温差越来越大。（答案不唯一）
【分析】（1）比较温差用减法计算。这两座城市月平均气温最接近的是7月，月平均气温相差最大的是11月。
（2）从7月到11月份随着气温的降低，两个城市的温差越来越大。
【解答】解：（1）这两座城市月平均气温最接近的是7月，月平均气温相差最大的是11月。
（2）从7月到11月份随着气温的降低，两个城市的温差越来越大。（答案不唯一）
故答案为：7，11。
【点评】本题考查了学生从统计图中获取信息的意识。
24．（2023秋•栖霞市期末）一个长方体形状的蓄水池，长12米，深9米，宽6米。
（1）在这个蓄水池的四周抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？
（2）这个蓄水池的蓄水量是多少立方米？
【考点】长方体、正方体表面积与体积计算的应用．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】（1）324平方米；
（2）648立方米。
【分析】（1）抹水泥的面积就是长方体的侧面积，根据长方体的侧面积＝底面周长×高，据此进行计算即可；
（2）根据长方体的容积公式：V＝abh，据此代入数值进行计算即可。
【解答】解：（1）（12+6）×2×9
＝18×2×9
＝36×9
＝324（平方米）
答：抹水泥的面积是324平方米。
（2）12×6×9
＝72×9
＝648（立方米）
答：这个蓄水池的蓄水量是648立方米。
【点评】本题考查的是长方体侧面积和体积公式的应用。
25．（2023秋•栖霞市期末）五（1）班举行元旦晚会，表演小品有18人，唱歌的人数比表演小品人数的多5人，唱歌的比跳舞的人数少。
（1）唱歌的有多少人？
（2）跳舞的有多少人？
（3）跳舞的同学中，男、女生的人数比是2：5，参加跳舞的男生有多少人？
【考点】比的应用；分数四则复合应用题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】（1）14人；（2）21人；（3）6人。
【分析】（1）已知表演小品有18人，唱歌的人数比表演小品人数的多5人，把表演小品的人数看作单位“1”，先根据“求一个数的几分之几是多少”，用表演小品的人数乘，再加上5人，即是唱歌的人数。
（2）已知表演唱歌比跳舞的人数少，把跳舞的人数看作单位“1”，则表演唱歌的人数是跳舞的（1﹣），单位“1”未知，用表演唱歌的人数除以（1﹣），求出跳舞的人数。
（3）已知跳舞的男、女生的人数比是2：5，把男生人数看作2份，女生人数看作5份，一共是（2+5）份，用跳舞的总人数除以总份数，求出一份数，再用一份数乘男生的份数，即可求出跳舞的男生人数。
【解答】解：（1）18×+5
＝9+5
＝14（人）
答：唱歌的有14人。
（2）14÷（1﹣）
＝14÷
＝21（人）
答：跳舞的有21人。
（3）一份数：
21÷（2+5）
＝21÷7
＝3（人）
男生：3×2＝6（人）
答：参加跳舞的男生有6人。
【点评】本题考查分数乘除法的应用以及按比分配问题，找出单位“1”，单位“1”已知，根据分数乘法的意义列式计算；单位“1”未知，根据分数除法的意义列式计算。把比看作份数，根据按比分配问题的解题方法，求出一份数是解题的关键。
六、潜心试一试。（直接把答案写在答题卡的相应位置上）
26．（2023秋•栖霞市期末）利用排除法，的计算结果（不化简）应是下面的（ ）
A．B．
C．D．
【考点】分数的巧算．
【专题】运算能力．
【答案】A
【分析】分母个位上：7×9＝63，个位为3，所以B和D选项可以直接排除；另外，两个分数都是真分数，所以，积也应该是真分数，所以，C选项错误；据此解答。
【解答】解：分母个位上：7×9＝63，个位为3，所以B和D选项可以直接排除；
根据两个分数的特点：两个真分数相乘的积一定是真分数，所以选项C错误的。
故选：A。
【点评】本题主要考查分数的巧算，关键根据真分数相乘的积的规律来做题。
27．（2023秋•栖霞市期末）参加青少年冬令营的23名同学入住宾馆，宾馆有三人间和两人间（不能空床）。可以有 4 种不同的安排方案。
【考点】筛选与枚举；不定方程的分析求解．
【专题】压轴题；应用意识．
【答案】4。
【分析】三人间能住3人，两人间能住2人，可以只租一种房间，也可以两种房间都租，但要每个房间都住满。用列表的方法把不同的租房方案一一列举出来即可。
【解答】解：如图：
则可以租7间三人间和1间两人间；或者租5间三人间和4间两人间；或者租3间三人间和7间两人间；或者租1间三人间和10间两人间，共有4种不同的安排方案。
故答案为：4。
【点评】解答本题关键掌握按顺序列举。
28．（2023秋•栖霞市期末）一个长方体，如果它的高增加3厘米就成为一个正方体，这是表面积比原来增加了144平方厘米，原来长方体的体积是 1296 立方厘米。
【考点】长方体和正方体的体积．
【专题】综合填空题；应用意识．
【答案】1296。
【分析】由题意可知，如果它的高增加3厘米就成为一个正方体，这是表面积比原来增加了一个高为3厘米的长方体的侧面积，根据长方体的侧面积＝底面周长×高，据此求出底面正方形的周长，再根据正方形的周长公式：C＝4a，正方形的面积公式：S＝a2，长方体的体积公式：V＝abh，据此代入数值进行计算即可。
【解答】解：长方体原来的长：144÷3÷4
＝48÷4
＝12（厘米）
12×12×（12﹣3）
＝144×9
＝1296（立方厘米）
答：原来长方体的体积是1296立方厘米。
故答案为：1296。
【点评】本题考查长方体的体积，明确该长方体的底面是正方形是解题的关键。
考点卡片
1．真分数、假分数和带分数
真分数、假分数和带分数
1、将假分数化为带分数：分母不变，分子除以分母所得整数为带分数左边整数部分，余数作分子．
2、将带分数化为假分数：分母不变，用整数部分与分母的乘积再加原分子的和作为分子．
3、将带分数化为整数：被除数÷除数＝，除得尽的为整数．
2．倒数的认识
【知识点解释】＜BR＞若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．＜BR＞＜BR＞【解题思路点拨】＜BR＞求倒数的方法：求一个分数的倒数，例如，我们只需把这个分数的分子和分母交换位置，即得的倒数为．＜BR＞求一个整数的倒数，只需把这个整数看成是分母为1的分数，然后再按求分数倒数的方法即可得到，如3的倒数为．＜BR＞求一个小数的倒数，可以先把小数化成分数，然后分子和分母调换位置．＜BR＞＜BR＞【注意事项】＜BR＞0没有倒数．＜BR＞＜BR＞【命题方向】＜BR＞常考题型：＜BR＞例1：0.3的倒数是
＜DIV class＝quizPutTag cntentEditable＝true＞＜/DIV＞．＜BR＞分析：根据倒数的定义求解．＜BR＞解：0.3＝的倒数是．＜BR＞故答案为：．＜BR＞点评：此题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．＜BR＞例2：一个数除以等于的倒数，求这个数．＜BR＞分析：根据题意，的倒数是1÷，再乘上即可．＜BR＞解：1÷×，＜BR＞＝×，＜BR＞＝；＜BR＞答：这个数是．＜BR＞点评：根据题意，先求出的倒数，再根据被除数＝商×除数，列式解答．
3．运算定律与简便运算
【知识点归纳】
1、加法运算：
①加法交换律：两个加数交换位置，和不变．如a+b＝b+a
②加法结合律：先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．如：a+b+c＝a+（b+c）
2、乘法运算：
①乘法交换律：两个因数交换位置，积不变．如a×b＝b×a．
②乘法结合律：先乘前两个数，或先乘后两个数，积不变．如a×b×c＝a×（b×c）
③乘法分配律：两个数的和，乘以一个数，可以拆开来算，积不变．如a×（b+c）＝ab+ac
④乘法分配律的逆运算：一个数乘另一个数的积加它本身乘另一个数的积，可以把另外两个数加起来再乘这个数．如ac+bc
＝（a+b）×c
3、除法运算：
①除法性质：一个数连续除以两个数，可以先把后两个数相乘，再相除．如a÷b÷c＝a÷（b×c）
②商不变规律：被除数和除数同时乘上或除以相同的数（0除外）它们的商不变．如a÷b＝（an）÷（bn）＝（a÷n）÷（b÷n） （n≠0 b≠0）
4、减法运算：
减法性质：一个数连续减去两个数，可以用这个数减去两个数的和．如a﹣b﹣c＝a﹣（b+c）
【命题方向】
常考题型：
例1：0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法的（ ）
A、交换律 B、结合律 C、分配律
分析：乘法分配律的概念为：两个数的和乘另一个数，等于把这个数分别同两个加数相乘，再把两个积相加，得数不变，用字母表示：（a+b） c＝ac+ac．据此可知，0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法分配律．
解：根据乘法分配律的概念可知，
0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法分配律．
故选：C．
点评：本题利用具体的算式考查了学生对于乘法分配律的理解．
例2：125×25×32＝（125×8）×（25×4），这里运用了（ ）
A、乘法交换律 B、乘法结合律 C、乘法交换律和乘法结合律
分析：在125×25×32＝（125×8）×（25×4）中，是把32看作8×4，然后用乘法交换律变成125×8×25×4，再运用乘法结合律计算，即（125×8）×（25×4）．
解：125×25×32＝（125×8）×（25×4），运用了乘法交换律和乘法结合律．
故选：C．
点评：此题重点考查了学生对乘法交换律和结合律的掌握与运用情况．
4．异分母分数加减法
【知识点归纳】
异分母分数加减法：
1、先通分，转化为同分母的分数
2、然后按照同分母分数加、减法进行计算。
3、计算的结果，能约分的要约成最简分数。
【方法总结】
在数学上，把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
通分时，我们一般选择异分母的最小公倍数作为同分母进行通分。
【常考题型】
+的和是（ ）。
答案：
（ ）比少。
答案：
5．分数的加法和减法
【知识点归纳】
分数加减法与整数加减法意义相同，是把两个数合并成一个数的运算．
法则：
①同分母分数相加（减），分子进行相加（减）得数作分子，分母不变
②异分母分数相加（减），必须先通分，然后，按照同分母分数相加（减）的法则进行运算．
③带分数相加（减），先把整数部分和分数部分分别相加（减），然后，再把所得的数合并起来．注意带分数相减时，如果被减数的分数部分小于减数的分数部分，就要从被减数的整数部分里拿出1（在连减时，也有需要拿出2的情况），化成假分数，与原来被减数的分数部分加在一起．
分数加法的运算定律：
①加法交换律：两个分数相加，交换加数的位置，它们的和不变．
②加法结合律：三个（或三个以上）分数相加，先把前两个分数加起来，再与第三个分数相加，或者先把后两个分数加起来，再与第一个分数相加，它们的和不变．
分数减法的运算性质：与整数减法性质一样．
【命题方向】
常考题型：
例1：6千克减少千克后是 5 千克，6千克减少它的后是 4 千克．
分析：（1）第一个千克是一个具体的数量，直接列减法算式即可求出；
（2）第一个是把6千克看做单位“1”，减少的是6千克的，由此列式解决问题．
解：（1）6﹣＝5（千克）；
（2）6﹣6×＝6﹣2＝4（千克）．
故答案为：5，4．
点评：解答此题的关键是正确区分两个分数的区别：第一个分数是一个具体的数量，第二个分数表示是某一个数量的几分之几，由此灵活选择合理算法解答即可．
例2：修路队修一条公路，第一周修了km，第二周修了km，第三周比前两周修的总和少km，第三周修了多少km？
分析：第三周比前两周修的总和少km，两周修的总和为：（+）km，那么第三周修了：（+）﹣
解：（+）﹣，
＝﹣+，
＝+，
＝+
＝1（km）
答：第三周修了1km．
点评：此题重点考查学生对分数加减法的计算能力，同时注意计算的灵活性．
6．分数乘法
【知识点归纳】
分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算．
乘积是1的两个数叫做互为倒数．
分数乘法法则：
（1）分数乘以整数或整数乘以分数：由于任何整数（0除外）都可以化成分母是1的假分数，分数乘以整数或整数乘以分数，都可以转化成分数乘以分数的形式．因此，在计算中，是用分数的分子和整数相乘的积作为分子，分母不变．在乘的过程中，如果有可以约分的数，可以先约分，这样，可以使计算的数字缩小，从而使计算变得简便．
（2）分数乘以分数：用分子相乘的积作为分子，用分母相乘的积作为分母．为了使计算简便，在计算的过程中，能够约分的，要约分．
（3）带分数乘法：先把带分数化成假分数，然后再乘．结果是假分数时，要把假分数化成带分数或整数．
分数乘法的运算定律：
（1）交换律：两个分数相乘，交换分数的位置，它们的积不变．
（2）结合律：三个分数相乘，先把前两个分数相乘，再乘以第三个分数，或者先把后两个分数相乘，再乘以第一个分数，它们的积不变．
（3）乘法分配律：两个分数的和与一个分数相乘所得的积，等于每一个加数分别与这个分数相乘所得的积的和．
【命题方向】
常考题型：
例1：甲数的等于乙数的，那么甲数（ ）乙数．（甲数乙数不为0）
A、大于 B、小于 C、等于
分析：甲数的等于乙数的．首先把甲数看作‘单位1’乙数是甲数的．
解：把甲数看作‘单位1’，平均分成5份乙数就相当于甲数的．
故选：A．
点评：此题主要考查分数大小的比较．
例2：一个数乘分数的积一定比原来这个数小． × ．
分析：本题的说法是错误的：（1）当这个数为零时，积总为零．（2）假分数≥1，当分数为假分数时，积≥这个数．真分数＜1，只有当个分数为真分数时，且是一个不为零的数乘以这个真分数，积才一定比原来这个数小．
解答：解：只有当个分数为真分数时，且是一个不为零的数乘以这个真分数，积才一定比原来这个数小．
故答案为：×．
点评：本题从这个数是否为零、真分数、假分数三个方面进行分析．
7．分数除法
【知识点归纳】
分数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算．
分数除法法则：
（1）分数除以整数：分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数．
（2）一个数除以分数：一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数．
（3）带分数除法：在分数除法中，如果出现带分数时，不论这个带分数是被除数还是除数，都要先把带分数化成假分数，然后，按照分数除以分数的法则计算．
分数除法的运算性质：与整数除法的运算性质相同
（1）一个数除以几个数的积，等于这个数依次除以积的每个因数．
（2）两个数的积除以一个数，等于用除数先除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘．
（3）一个数除以两个数的商，等于这个数先乘以商中的除数，再除以商中的被除数；或者用这个数先除以商中的被除数，再乘以商中的除数．
（4）两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数．
（5）两个数的和除以一个数，等于用除数分别去除这两个数，再把所得的商加起来．
【命题方向】
常考题型：
例1：甲数的是18，乙数的是18，甲数（ ）乙数．
分析：甲数的是18用除法求出甲数，乙数的是18用除法求出乙数；然后比较大小．
解：18÷，
＝18×，
＝27；
18÷，
＝18×，
＝24；
27＞24；
所以甲数＞乙数；
故选：A．
点评：此题考查了基本的分数除法的运用：已知一个数的几分之几是多少求这个数用除法解答．
例2：一个数（0除外）除以，这个数就（ ）
A、扩大6倍 B、增加6倍 C、缩小6倍
分析：除以一个数等于乘这个数的倒数，由此解决．
解：设这个数为a，则：
a＝6a，a不为0，6a就相当于把a扩大了6倍．
故选：A．
点评：本题运用了分数除法的计算方法来求解，注意扩大6倍和增加6倍的区别．
8．分数的四则混合运算
【知识点归纳】
1、整数的运算定律同样适用于分数乘法中的简便计算，需要关注的是，根据数的特征正确运用运算定律，切勿随心所欲进行所谓的“简便计算”。
2、分数乘法简便计算的本质，是利用运算定律创造条件“约分”，使计算简便。
【方法总结】
1、分数混合运算的运算顺序与整数混合运算的运算顺序完全相同，都是先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里的。
①如果是同一级运算，按照从左到右的顺序依次计算。
②如果是分数连乘，可先进行约分，再进行计算；
③如果是分数乘除混合运算时，要先把除法转换成乘法，然后按乘法运算。
【常考题型】
妈妈买来一袋大米，吃了，还剩35千克，这袋大米重多少千克？
答案：35÷（1﹣）＝50（千克）
水果店今天共卖出香蕉48千克，下午卖出的香蕉是上午的，上午卖出香蕉多少千克？
答案：48×＝27（千克）
9．时、分、秒及其关系、单位换算与计算
【知识点归纳】
两个日期或时刻之间的间隔叫时间．
时、分、秒相邻两个单位进率是60，
1小时＝60分＝3600秒，
1分＝60秒．
单位换算：大单位换小单位乘以它们之间的进制，小单位换大单位除以它们之间的进制．
【命题方向】
常考题型：
例1：3.3小时是（ ）
A、3小时30分 B、3小时18分 C、3小时3分
分析：1小时＝60分，据此即可求解．
解：3.3小时＝3+0.3小时，
0.3×60＝18（分），
所以3.3小时＝3小时18分；
故选：B．
点评：此题主要考查时间单位间的换算．
例2：三个人在同一段路上赛跑，甲用0.2分，乙用分，丙用13秒．（ ）的速度最快．
A、甲 B、乙 C、丙
分析：先把时间都换算成秒数，再比较谁最快，因为路程相等，谁用的时间最少谁就最快．
解：甲的时间是：0.2分＝12秒，
乙的时间是：分＝14秒，
丙的时间是：13秒，
在12秒、14秒、13秒三个时间中，12秒最少，即甲的速度最快．
故选：A．
点评：此题关键是把时间统一单位，明确同样的路程，用的时间最少的是速度最快的．
10．分数方程求解
【知识点归纳】
解方程的步骤
（1）去分母。
当方程中存在分数，对方程中的两侧都乘以分数的分母，使分式化为整式，便于计算。
（2）去括号。
在去方程中的括号时，若括号前面是“+”，括号内不变符号；若括号前是“﹣”，去掉括号后，括号内变号。
（3）移项。
通过移项，将方程中的含未知数的项都移动到一侧，将整数移动到另一侧。
（4）合并同类项。
对含有相同未知数的次数相同的项的系数相加，合并同类项。
（5）系数化为1.
合并同类项后，将等式两侧都除以含有未知数的次数最高的项的系数。当方程为一元一次方程时，系数化为1后即可得到方程的解。
【命题方向】
常考题型
解方程。
①x−4/5x+6＝16
②64x＝2.4/0.9
答案：①x＝50；②x＝24。
11．比的意义
【知识点归纳】
两个数相除，也叫两个数的比．
【命题方向】
常考题型：
例1：男生人数比女生人数多，男生人数与女生人数的比是（ ）
A、1：4 B、5：7 C、5：4 D、4：5
分析：男生人数比女生人数多，把女生人数看作单位“1”，则男生人数是女生人数的（1+），由此即可求出男生与女生的人数的比，据此选择即可．
解：（1+）：1，
＝：1，
＝5：4；
故选：C．
点评：解答本题关键是：判断出单位“1”，求出男生人数是女生人数的几分之几，进而根据比的意义解答即可．
例1：甲数是乙数的，乙数是丙数的，甲、乙、丙三数的比是（ ）
A、4：5：8 B、4：5：6 C、8：12：15 D、12：8：15
分析：根据题干分析可得，设甲数是2x，乙数是3x，则丙数就是3x÷＝x，由此即可写出甲乙丙三个数的比是2x：3x：x，根据比的性质，即可得出最简比．
解：设甲数是2x，乙数是3x，则丙数就是3x÷＝x，
所以甲乙丙三个数的比是2x：3x：x＝8：12：15，
故选：C．
点评：此题考查比的意义，关键是根据甲乙丙的关系，分别用含有x的式子表示出这三个数，再利用比的性质化简比．
12．比与分数、除法的关系
【知识点归纳】
1．联系：比的前项相当于分数的分子、除法中的被除数；比号相当于分数的分数线、除法中的除号；比的后项相当于分数的分母、除法中的除数；比值相当于分数的分数值、除法中的商．
2．区别：比是一种关系，分数是一种数，除法是一种运算．
【命题方向】
常考题型：
例：＝16÷ 20 ＝ 8 ：10＝ 80 %＝ 八 成．
分析：根据比与分数、除法之间的关系，并利用商不变的规律、比的基本性质等知识即可得答案．
解：＝4÷5＝16÷20，
＝4：5＝8：10，
＝0.8＝80%＝八成，
故答案为：＝16÷20＝8：10＝80%＝八成
点评：此题主要考查商不变的规律、比的基本性质等知识．
13．求比值和化简比
【知识点归纳】
1．求两个数的比值，就是用比的前项除以比的后项，它的结果是一个数值，这个数值可以是整数，也可以是小数或分数．
2．求比值和化简比的方法：把两个数的比化成最简单的整数比．
（1）整数比化简方法：把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数．
（2）分数比化简方法：把比的前项和后项同时乘它们的分母的最小公倍数，变成整数比，再进行化简；利用求比值的方法也可化简分数比，但结果必须写成比的形式．
（3）小数比化简方法：先把比的前项和后项的小数点同时向右移动相同位数，完成整数比，再进行化简．
【命题方向】
常考题型：
例：甲数除以乙数的商是3.2，乙数与甲数的最简整数比是（ ）
A、16：5 B、5：16 C、3：2 D、2：3
分析：根据甲数除以乙数的商是3.2，可以认为乙数是1份的数，甲数是3.2份的数，进一步写出比并化简比．
解：乙数：甲数＝1：3.2＝10：32＝5：16．
故选：B．
点评：解决此题关键是根据题意先写出比，再进一步化简比．
14．比的应用
【知识点归纳】
1．按比例分配问题的解题方法：
（1）把比看作分得的份数，用先求出每一份的方法来解答．解题步骤：
a．求出总份数；
b．求出每一份是多少；
c．求出各部分相应的具体数量．
（2）转化成份数乘法来解答．解题步骤：
a．先根据比求出总份数；
b．再求出各部分量占总量的几分之几；
c．求出各部分的数量．
2．按比例分配问题常用解题方法的应用：
（1）已知一个数量的各部分的比和其中某一部分的量，求另外几个部分量；
（2）已知两个量或几个量的比和其中两个量的差，求总量．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个三角形与一个平行四边形的面积和底部都相等，这个三角形与平行四边形高的比是（ ）
A、2：1 B、1：2 C、1：1 D、3：1
分析：根据三角形和平行四边形的面积公式可得：三角形的高＝面积×2÷底；平行四边形的高＝面积÷底，由此即可进行比较，解答问题．
解：三角形的高＝面积×2÷底，
平行四边形的高＝面积÷底，
当三角形和平行四边形的面积和底分别相等时，三角形的高是平行四边形的高的2倍．
所以这个三角形与平行四边形高的比是2：1．
故选：A．
点评：考查了平行四边形的面积和三角形的面积公式，解题的关键是知道底相等、面积也相等的三角形和平行四边形中三角形的高是平行四边形的高的2倍．
例2：甲、乙两人各走一段路，他们的速度比是3：4，路程比是8：3，那么他们所需时间比是（ ）
A、2：1 B、32：9 C、1：2 D、4：3
分析：根据题意，把乙的速度看作1，那么甲的速度就为；把甲的路程看作1，那么乙的路程就为；根据时间＝路程÷速度，可得甲用的时间为1÷＝，乙用的时间为÷1＝；进而写出甲和乙所需的时间比，再把比化成最简比即可．
解：把乙的速度看作1，那么甲的速度就为，
把甲的路程看做1，那么乙的路程就为，
甲用的时间为：1÷＝，
乙用的时间为：÷1＝，
甲乙用的时间比：：＝（×24）：（×24）＝32：9；
答：甲乙所需的时间比是32：9．
故选：B．
点评：关键是把速度和路程设出来，然后根据时间＝路程÷速度，先求得各自用的时间，再写出所用的时间比并化简比．
15．分数加减法应用题
【知识点归纳】
分数加减法与整数加减法的意义完全相同，在应用题中的关系也有很多相同的地方．分数加减法应用题的难点在于有时候分数表示与单位1相对应的分率．判断的标准是看有没有单位，注意单位1．
【命题方向】
常考题型：
例1：李明计划三天读完一本120页的书，第一天看了全书的，第二天看了全书的30%，剩下的第三天看完，第三天看了全书的（ ）
A、70% B、30% C、 D、10%
分析：把这本书的总页数120看作单位“1”，因为前两天所看的页数对应的标准量都是120页，剩下的页数第三天看完，所以，第三天看的页数应是标准量的（1﹣﹣30%）＝30%．
解：1﹣﹣30%，
＝1﹣40%﹣30，
＝30%；
答：第三天看了全书的30%．
故选：B．
点评：解答此题的关键是确定标准量，即单位“1”．
例2：电视机厂四月上旬完成计划的，中旬完成计划的，下旬完成计划的．这个月完成计划的情况是（ ）
A、正好完成 B、超额完成 C、没有完成
分析：把计划的量看作单位“1”，把上旬完成计划的，中旬完成计划的，下旬完成计划的，加在一起，再与单位“1”进行比较即可．
解：++，
＝++，
＝，
＝1；
1＞1，
所以是超额完成．
故选：B．
点评：本题运用异分母分数的计算法则进行解答即可．
16．分数除法应用题
【知识点归纳】
求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）是多少．
特征：已知一个数和另一个数，求一个数是另一个数的几分之几或百分之几．“一个数”是比较量，“另一个数”是标准量．求分率或百分率，也就是求它们的倍数关系．
解题关键：从问题入手，搞清是把谁看做标准的数也就是把谁看做了单位“1”，谁知单位“1”的量比较，谁就作为被除数．
甲是乙的几分之几（或百分之几）：甲是比较量，乙是标准量，用甲除以乙．
甲比乙多（或少）几分之几（或百分之几）：甲减乙比乙多（或少）几分之几（或百分之几）．
关系式：（甲数﹣乙数）÷乙数，或（甲数﹣乙数）÷甲数．
特征：已知一个实际数量和它相对应的分率，求单位“1”的量．
解题关键：准确判断单位“1”的量，把单位“1”的量看成x，根据分数乘法的意义列方程，或者根据分数除法的意义列算式，但必须找准和分率相对应的已知实际数量．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个长方形长5厘米，宽3厘米，表示（ ）几分之几．
A、长比宽多 B、长比宽少 C、宽比长少 D，宽比长多
分析：据题意5﹣3表示宽比长少的数量，除以5表示宽比长少的数量占长的几分之几．
解：表示宽比长少的占长的几分之几．
故选：C．
点评：此题考查分数应用题的基本类型：一个数比另一个多（或）几分之几的数，多的（或少的）除以另一个数．
例2：弟弟身高120厘米，比哥哥矮，计算哥哥身高的正确式子（ ）
A、120×（1+） B、120÷（1+） C、120×（1﹣） D、120÷（1﹣）
分析：根据题意“弟弟身高120厘米，比哥哥矮”把哥哥的身高看作单位“1”，哥哥的身高是未知的，用除法计算，数量120除以对应分率（1﹣），据此解答即可．
解：哥哥的身高：120÷（1﹣）．
故选：D．
点评：此题考查分数除法应用题，关键找准单位“1”，单位“1”是未知的，用除法计算，数量除以对应分率．
17．分数四则复合应用题
【命题方向】
常考题型：
例：一瓶油千克，先倒出它的，然后再加千克．现在瓶内的油比原来（ ）
A、增加 B、减少 C、不变
分析：一瓶油千克，先倒出它的，还剩×（1﹣）＝（千克），再加千克，这时油重（+）千克，计算即可．
解：现在油重：
×（1﹣）+，
＝×+，
＝+，
＝（千克）；
原来油重：
＝（千克）；
因为＞．
所以增多了．
答：现在瓶内的油比原来增多．
故选：A．
点评：解答此题应分清两个“”的区别，第一个“”表示分率，第二个“”表示数量，在列式时不要混淆．
18．体积、容积及其单位
【知识点归纳】
体积，或称容量、容积，几何学专业术语，是物件占有多少空间的量．
体积的国际单位制是立方米．
常用的单位：立方米、立方分米、立方厘米、立方毫米．
【命题方向】
常考题型：
例1：要求水桶能装水多少升，就是求水桶的（ ）
A、表面积 B、体积 C、容积
分析：体积和容积是两个不同的概念，意义不同：容积是指容器所能容纳物体的体积，箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，叫做它们的容积或容量；物体所占的空间的大小叫做体积．测量方法不同：计算物体的体积要从物体外面去测量，例如求木箱的体积就要从外面量出它的长、宽、高的长度；计算容积或容量，由于容器有一定的厚度，要从容器里面去测量，例如求木箱的容积或容量，要从内部测量出长、宽、高的长度．计算单位不同：计算物体的体积，一定要用体积单位，常用的体积单位有：立方米、立方分米、立方厘米等．计算容积一般用容积单位，如升和毫升，但有时候还与体积单位通用．
解：要求水桶能装水多少升，就是求水桶的容积；
故选：C．
点评：正确区分体积和容积的意义，是解决此题的关键．
例2：盛满沙子的沙坑，（ ）的体积就是沙坑的容积．
A、沙子 B、沙坑
分析：根据容积的定义直接选择，容积是指容器所能容纳物体的多少，沙坑的容积就是指沙坑所能容纳沙子的多少即沙子的体积．
解：沙坑的容积是指沙坑所能容纳沙子的多少，沙坑的容积即是沙子的体积．
故选：A．
点评：此题考查容积的定义，是指容器所能容纳物体的多少．
19．体积、容积进率及单位换算
【知识点归纳】
体积单位：
1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米
1立方分米＝1000立方厘米，
容积单位：
1升＝1000毫升
1升＝1立方分米＝1000立方厘米
1毫升＝1立方厘米
单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率．
【命题方向】
常考题型：
例1：3升+200毫升＝（ ）毫升．
A、2003 B、320 C、3200
分析：把3升200毫升换算为毫升，先把3升换算为毫升，用3乘进率1000，然后加上200；据此解答．
解：3升+200毫升＝3200毫升；
故选：C．
点评：解决本题关键是要熟记单位间的进率，知道如果是高级单位的名数转化成低级单位的名数，就乘单位间的进率；反之，就除以进率来解决．
例2：750毫升＝ 0.75 升
7.65立方米＝ 7650 立方分米
8.09立方分米＝ 8 升 90 毫升．
分析：（1）把750毫升换算成升数，用750除以进率1000得0.75升；
（2）把7.65立方米换算成立方分米数，用7.65乘进率1000得7650立方分米；
（3）把8.09立方分米换算成复名数，整数部分就是8立方分米，也就是8升，把0.09立方分米换算成毫升数，用0.09乘进率1000得90毫升．
解：（1）750毫升＝0.75升；
（2）7.65立方米＝7650立方分米；
（3）8.09立方分米＝8升90毫升．
故答案为：0.75，7650，8，90．
点评：此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率；把低级单位的名数换算成高级单位的名数，就除以单位间的进率．
20．长方体和正方体的表面积
【知识点归纳】
长方体表面积：六个面积之和．
公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体表面积：六个正方形面积之和．
公式：S＝6a2．（a表示棱长）
【命题方向】
常考题型：
例1：如果一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，那么它的表面积就扩大到原来的（ ）倍．
A、2 B、4 C、6 D、8
分析：正方体的表面积＝棱长×棱长×6，设原来的棱长为a，则扩大后的棱长为2a，分别代入正方体的表面积公式，即可求得面积扩大了多少．
解：设原来的棱长为a，则扩大后的棱长为2a，
原正方体的表面积＝a×a×6＝6a2，
新正方体的表面积＝2a×2a×6＝24a2，
所以24a2÷6a2＝4倍，
故选：B．
点评：此题主要考查正方体表面积的计算方法．
例2：两个表面积都是24平方厘米的正方体，拼成一个长方体．这个长方体的表面积是（ ）平方厘米．
A、48 B、44 C、40 D、16
分析：两个表面积都是24平方厘米的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积就比原来两个正方体减少了2个面，那么长方体的表面积等于正方体10个面的面积，所以先求出正方体一个面的面积，然后即可求出长方体的表面积．
解：24÷6＝4（平方厘米），
4×10＝40（平方厘米）；
答：长方体的表面积是40平方厘米．
故选：C．
点评：此题解答关键是理解两个正方体拼成长方体后，表面积会减少2个面，由此即可解决问题．
21．长方体和正方体的体积
【知识点归纳】
长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长）
【命题方向】
常考题型：
例1：一个正方体的棱长扩大3倍，体积扩大（ ）倍．
A、3 B、9 C、27
分析：正方体的体积等于棱长的立方，它的棱长扩大几倍，则它的体积扩大棱长扩大倍数的立方倍，据此规律可得．
解：正方体的棱长扩大3倍，它的体积则扩大33＝27倍．
故选：C．
点评：此题考查正方体的体积及其棱长变化引起体积的变化．
例2：一只长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米．如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？
分析：根据题意知用水的体积加铁块的体积，再减去玻璃缸的容积，就是溢出水的体积．据此解答．
解：8×6×2.8+4×4×4﹣8×6×4，
＝134.4+64﹣192，
＝6.4（立方分米），
＝6.4（升）．
答：向缸里的水溢出6.4升．
点评：本题的关键是让学生理解：溢出水的体积＝水的体积+铁块的体积﹣玻璃缸的容积，这一数量关系．
22．长方体、正方体表面积与体积计算的应用
【知识点归纳】
（1）长方体：
底面是矩形的直平行六面体，叫做长方体．
长方体的性质：六个面都是长方形，（有时有两个面是正方形）；相对的面面积相等；12条棱相对的4条棱长相等；8个顶点；相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫长、宽、高；两个面相交的边叫做棱；三条棱相交的点叫做顶点．
长方体的表面积：等于它的六个面的面积之和．
如果长方体的长、宽、高、表面积分别用a、b、h、S表示，那么：S表＝2（ab+ah+bh）
长方体的体积：等于长乘以宽再乘以高．
如果把长方体的长、宽、高、体积分别用a、b、h、V表示，那么：V＝abh
（2）正方体：
长宽高都相等的长方体，叫做正方体．
正方体的性质：六个面都是正方形；六个面的面积相等；有12条棱，棱长都相等；有8个顶点；正方体可以看做特殊的长方体．
正方体的表面积：六个面积之和．
如果正方体的棱长、表面积分别用a、S表示，那么：S表＝6a2
正方体的体积：棱长乘以棱长再乘以棱长．
如果把正方体的棱长、体积分别用a、V表示，那么：V＝a3
【命题方向】
常考题型：
例1：棱长是4厘米的正方体的表面积是 96 平方厘米，体积是 64 立方厘米，可以截成棱长是2厘米的正方体 8 个．
分析：①根据正方体的表面积和体积公式即可求得其表面积和体积②抓住正方题分割前后的体积不变，即可得出小正方体的个数．
解：4×4×6＝96（平方厘米），
4×4×4＝64（立方厘米），
2×2×2＝8（立方厘米），
64÷8＝8（个）；
答：棱长是4厘米的正方体的表面积是96平方厘米，体积是64立方厘米，可以截成棱长是2厘米的正方体8个．
故答案为：96；64；8．
点评：此题考查了正方体表面积和体积公式的灵活应用，以及正方体分割的方法．
例2：学校要粉刷新教室．已知教室的长是8米，宽6米，高是3米，扣除门窗的面积11.4平方米，如果每平方米需要花4元涂料费，粉刷这个教室需要花费多少元？
分析：由题意可知：需要粉刷的面积为教室四面墙壁和天花板的面积，利用长方体的表面积减去地面的面积和门窗面积即可；需要粉刷的面积乘每平方米花的钱数，就是粉刷这个教室需要的花费．
解：需要粉刷的面积：
（8×6+6×3+3×8）×2﹣8×6﹣11.4，
＝（48+18+24）×2﹣48﹣11.4，
＝90×2﹣59.4，
＝180﹣59.4，
＝120.6（平方米）；
需要的花费：120.6×4＝482.4（元）；
答：粉刷这个教室需要花费482.4元．
点评：此题主要考查长方体的表面积的计算方法的实际应用，关键是弄清楚：需要粉刷的面积由哪几部分组成．
23．数对与位置
【知识点归纳】
1．数对的意义：用有顺序的两个数表示出一个确定的位置就是数对．
2．用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行．
3．给出物体在平面图上的数对，就可以确定物体所在的位置了．
【命题方向】
常考题型：
例：如图：如果将△ABC向左平移2格，则顶点A′的位置用数对表示为（ ）
A、（5，1）B、（1，1）C、（7，1）D、（3，3）
分析：将△ABC向左平移2格，顶点A′的位置如下图，即在第1列，第1行，由此得出A′的位置．
解：
因为，A′在第1列，第一行，
所以，用数对表示是（1，1），
故选：B．
点评：此题考查了数对的写法，即先看在第几列，这个数就是数对中的第一个数；再看在第几行，这个数就是数对中的第二个数．
24．根据方向和距离确定物体的位置
【知识点归纳】
1．确定观察点，建立方向标；
2．用量角器确定物体方向；
3．用刻度尺根据物体方向距离确定其位置；
4．找出物体具体位置，标上名称．
【命题方向】
常考题型：
例：（1）以灯塔为观测点，A岛在 东 偏 北 60° 的方向上，距离是 4 千米．
（2）以灯塔为观测点，货轮在 西 偏 南 40° 的方向上，距离是 2 千米
（3）客轮在灯塔西偏北35°的方向上，距离是3千米．请画出客轮的位置．
分析：（1）由图意可知：以灯塔为观测点，A岛在东偏北60°的方向上，又因图上距离1厘米表示实际距离1千米，而A岛与灯塔的图上距离为4厘米，于是就可以求出A岛与灯塔的实际距离．
（2）以灯塔为观测点，货轮在西偏南40°的方向上，又因图上距离1厘米表示实际距离1千米，而货轮与灯塔的图上距离为2厘米，于是就可以求出货轮与灯塔的实际距离．
（3）因为图上距离1厘米表示实际距离1千米，而客轮与灯塔的实际距离是3千米，于是可以求出客轮与灯塔的图上距离，再据“客轮在灯塔西偏北35°的方向上”即可在图上标出客轮的位置．
解：（1）以灯塔为观测点，A岛在东偏北60°的方向上，
又因图上距离1厘米表示实际距离1千米，
所以A岛与灯塔的实际距离为：
4×1＝4（千米）；
（2）以灯塔为观测点，货轮在西偏南40°的方向上，
又因图上距离1厘米表示实际距离1千米，
所以货轮与灯塔的实际距离为：
2×1＝2（千米）；
（3）因为图上距离1厘米表示实际距离1千米，
而客轮与灯塔的实际距离是3千米，
所以客轮与灯塔的图上距离为：
3÷1＝3（厘米）；
于是标注客轮的位置如下图所示：
．
故答案为：4
点评：此题主要考查依据方向（角度）和距离判定物体位置的方法以及线段比例尺的意义．
25．统计图的选择
【知识点归纳】
理解三种统计图各自的特点，并能根据不同问题选择适当的统计图描述数据．
（1）条形统计图的特点：
条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．
（2）折线统计图的特点：
折线统计图能清楚地反映事物的变化情况．
（3）扇形统计图的特点：
扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比．
注意：1．这三种统计图最后都要写标题．
2．条形统计图、折线统计图都会出现复式统计图，需用不同种类的条形和折线来表示，如﹣﹣与﹣﹣﹣﹣等．
3．制作统计图的目的．
尽可能清楚、有效地描述数据，以利于对数据作出正确的分析，以便进行合理地做出决策．
4．统计图与统计表的区别
统计表所反映的数据准确、易找，但不易看出数据之间的关系或变化情况，而统计图能很直观地表示出变化的情况，但往往不能看出准确的数据．
【命题方向】
常考题型：
例1：三洋电视机厂为了能清楚地表示出上半年月产量的多少与增减变化的情况，应绘制（ ）
A、条形统计图 B、折线统计图 C、扇形统计图
【分析】根据题意，即能表示数量的多少，又能表示数量的增减变化情况，根据折线统计图的特点和作用，即可做出判断．
解：折线统计图不仅表示数量的多少，而且表示数量的增减变化情况，由此，三洋电视机厂为了能清楚地表示出上半年月产量的多少与增减变化的情况，应绘制折线统计图．
故选B．
【点评】此题考查的目的是理解和掌握折线统计图的特点和作用，并且能够根据其特点和作用解决有关的实际问题．
26．从统计图表中获取信息
【知识点归纳】
图象信息题是指由图形、图象（表）及易懂的文字说明来提供问题情景的一类问题，它是近几年所展示的一种新的题型．这类问题题型多样，取材广泛，形式灵活，突出对考生收集、整理和加工信息能力的考查．是近几年中考的热点．解图象信息题的关键是“识图”和“用图”．解这类题的一般步骤是：
（1）观察图象，获取有效信息；
（2）对已获信息进行加工、整理，理清各变量之间的关系；
（3）选择适当的数学工具，通过建模解决问题．
【命题方向】
常考题型：
例1：在一个圆形花坛内种了三种花（如图所示），用条形统计图表示各种花的占地面积是（ ）
A、 B、 C、 D、
【分析】有扇形统计图可知：
水仙占25%，丁香占25%，而菊花占50%，即水仙的数量与丁香的数量相等，菊花的数量是水仙的2倍．
解：由图可知：水仙的数量与丁香的数量相等，菊花的数量是水仙的2倍；
在条形统计图上，有2根直条相等，另一根是这两根的2倍；
只有D选项符合这一形状．
故选：D．
【点评】本题关键是先读懂扇形统计图，找出各个量之间的关系，再把这一关系在条形统计图上表示出来．
27．可能性的大小
【知识点归纳】
事件的概率的表示方法：一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可记为P（A）＝P．必然事件的概率为1．
【命题方向】
常考题型：
例1：从如图所示盒子里摸出一个球，有 两 种结果，摸到 白 球的可能性大，摸到 黑 球的可能性小．
【分析】（1）右边盒子里只有白球和黑球，所以摸球的结果只有两种情况；
（3）白球3个，黑球1个，3＞1，所以摸到白球可能性大，黑球的可能性小．
解：（1）因为盒子里只有白球和黑球，
所以摸球的结果只有两种情况．
（2）因为白球3个，黑球1个，
所以3＞1，
所以摸到白球可能性大，黑球的可能性小．
故答案为：两，白，黑．
【点评】此题考查可能性的大小，数量多的摸到的可能性就大，根据日常生活经验判断．
28．分数的巧算
【知识点归纳】
分数运算符合的定律．
（1）乘法交换律 a×b＝b×a
（2）乘法结合律 a×（b×c）＝（a×b）×c
（3）乘法分配律 a×（b+c）＝a×b+a×c；a×（b﹣c）＝a×b﹣a×c
（4）逆用乘法分配律 a×b+a×c＝a×（b+c）；a×b﹣a×c＝a×（b﹣c）
（5）互为倒数的两个数乘积为1．
除法的几个重要法则
（1）商不变性质
被除数和除数乘以（或除以）同一个非零的数，商不变，即
a÷b＝（a×n）÷（b×n） （n≠0）
a÷b＝（a÷m）÷（b÷m） （m≠0）
（2）当n个数都除以同一个数后再加减时，可以将它们先加减之后再除以这个数；反之也成立（也可称为除法分配律）．如：
（a±b）÷c＝a÷c±b÷c； a÷c±b÷c＝（a±b）÷c．
【命题方向】
常考题型：
例1：（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×…×（1+）×（1﹣）等于 ．
分析：此题如果按部就班地进行计算，计算量可想而知，所以要寻求巧算的方法，此题可利用乘法结合律进行简算．
解：（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×…×（1+）×（1﹣），
＝[（1+）×（1+）×…×（1+）]×[（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）]，
＝[××…×]×[××…×]，
＝×，
＝．
故答案为：．
点评：此题考查了学生乘法结合律的知识，以及巧算的能力．
例2：的值是多少．（ ）
A、 B、 C、 D、
分析：通过观察，每个分数的分母中的两个因数相差3，分子都是3，于是可把每个分数都可以拆成两个分数相减的形式，然后通过加减相抵消的方法，求得结果．
解：，
＝（﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣），
＝﹣，
＝；
故选：B．
点评：解答此题，应注意观察分数的特点，根据特点，对分数进行拆分，达到简算的目的．
【题方法点拨】
分数巧算就是熟能生巧的过程，综合运用乘法分配律，分数化小数，小数化分数以及带分数化假分数、带分数拆分等方法达到巧算的目的．
1、把同分母的分数凑成整数．
a．先去括号；b．利用交换律把同分母分数凑在一起；c．利用减法性质把同分母分数凑在一起．
2、分数乘法中，利用乘法交换律，交换数的位置，以达到约分的目的；利用乘法结合律，以达到约分的目的，从而简算．
3、分数混合运算中有除法，先将除法转化为乘法，然后再利用乘法的分配律的方法来计算以达到凑整的目的．
4、懂得拆分．
29．积的变化规律
【知识点归纳】
积的变化规律：
（1）如果一个因数乘或除以一个数，另一个因数不变，那么，它们的积也乘或除以同一个数．
（2）如果一个因数乘或除以一个数，另一个因数除以或乘同一个数，那么，它们的积不变．
【命题方向】
常考题型：
例：a×b的一个因数乘10，另一个因数也乘10，得到的积等于（ ）
A、原来的积乘10 B、原来的积乘20 C、原来的积乘100
分析：根据积的变比规律：一个因数乘10，另一个因数也乘10，原来的积就乘10×10．据此进行选择即可．
解：a×b的一个因数乘10，另一个因数也乘10，得到的积等于原来的积乘100．
故选：C．
点评：此题考查积的变化规律的运用：一个因数乘（或除以）10，另一个因数也乘（或除以）10，原来的积就乘（或除以）100．
30．不定方程的分析求解
【知识点归纳】
1．不定方程的定义：不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组．
2．一般是求解一次不定方程：关于ax+by＝c的不定方程，（a，b）为a，b的最大公约数，如果有整数特解（x0，y0），则该方程所有整数解为：x＝x0﹣kb÷（a，b），y＝y0+ka÷（a，b），k为整数．
例如：37x+107y＝25的一组整数特解为（﹣8，3），（37，107）＝1
则其所有整数解：x＝﹣8﹣107k
y＝3+37k．
【命题方向】
经典题型：
例1：某电视台在黄金时段的2分钟广告时间内，计划播长度为15秒和30秒的两种广告．15秒的广告每播一次收费0.6万元，30秒的广告每播一次收费1万元．若要求每种广告播放不少于两次，则电视台在播放时收益最大的播放方式是（ ）
A、15秒的广告播放4次，30秒的广告播放2次
B、15秒的广告播放2次，30秒的广告播放4次
C、15秒的广告播放2次，30秒的广告播放3次
D、15秒的广告播放3次，30秒的广告播放2次
分析：本题中的等量关系：15秒×次数+30×次数＝2×60，根据这个等量关系列出方程，然后再根据“要求每种广告播放不少于2次，则电视台在播放时收益最大”这个要求分析解的情况．
解：设15秒的广告播x次，30秒的广告播y次．
则15x+30y＝120，
因为每种广告播放不少于2次，
所以x＝2，y＝3，或x＝4，y＝2；
当x＝2，y＝3时，
收益为：2×0.6+3×1＝4.2（万元）；
当x＝4，y＝2时，
收益为4×0.6+1×2＝4.4（万元），
所以电视台在播放时收益最大的播放方式是：15秒的广告播放4次，30秒的广告播放2次．
故选：A．
点评：解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，合理分析得出结论．
例2：有19人到旅馆住宿，住3人间和2人间（每个房间不能有空床位），有多少种不同的安排？
答：一共有 3 种不同的安排．
分析：此题可以设有x间3人房间，y间2人房间，根据总人数19人即可列出含有x、y的二元一次方程，解得这个方程的整数解即可解决问题．
解：设有x间3人房间，y间2人房间，根据题意可得方程：
3x+2y＝19，
方程可以变形为：y＝，
因为x、y是整数，那么要保证y的值是整数，19﹣3x的值必须是偶数，
这里x的取值只能取奇数，因为奇数×奇数＝奇数，且奇数﹣奇数＝偶数，这样19﹣3x才能被2整除；
当x＝1时，y＝8；
当x＝3时，y＝5；
当x＝5时，y＝2，
答：综上所述，19人到旅馆住宿，住3人间和2人间（每个房间不能有空床位），有3种不同的安排．
故答案为：3．
点评：此题考查了利用不定方程的整数解解决实际问题的方法的灵活应用，这里要注意解方程时，要考虑x的取值情况，这是求不定方程的整数解常用的解题方法．
31．筛选与枚举
【知识点归纳】
通过把符合要求的一一列举出来，从而得到答案，这种解答问题的方法叫做“枚举法”，通常也称为“穷举法”，在解答很多有趣的数学问题时，经常用到这种方法．
【命题方向】
经典题型：
例1：现有1克，2克及5克砝码各四枚，如果用它们来组合成23克，问有多少个不同的组合方法？
分析：首先分析出如果5克的砝码有4枚，5×4＝20（克），23﹣20＝3（克），可分为1克、2克的砝码各有1枚以及3枚1克的砝码两种情况；然后逐一根据5克砝码的枚数确定符合情况的1克、2克砝码的枚数，所有满足的情况数相加即可．
解：如果5克的砝码有4枚，5×4＝20（克），23﹣20＝3（克），可分为1克、2克的砝码各有1枚以及有3枚1克的砝码两种情况．
如果5克的砝码有3枚，5×3＝15（克），23﹣15＝8（克），可分为以下几种情况：
①有4枚2克的砝码；②有3枚2克的砝码和2枚1克的砝码；③有2枚2克的砝码和4枚1克的砝码．
所以5克的砝码有3枚时，共有3种情况．
如果5克的砝码有2枚，5×2＝10（克），23﹣10＝13（克），13÷2＝6…1，即2克的砝码至少也需要6个，还得再加上1枚1克的砝码，所以没有符合的情况．
如果5克的砝码有1枚，5×1＝5（克），23﹣5＝18（克），18÷2＝9，即2克的砝码至少也需要9个，所以没有符合的情况．
综上所述，共有5个不同的组合方法．
答：共有5个不同的组合方法．
点评：此题考查了学生排列组合方面的知识以及学生的分析推理能力，注意1克，2克及5克砝码各四枚是本题的一个突破点，可以减少很多种情况的分析．
例2：商场出售一种运动鞋每双售价60元，为了促销，商场规定：买一双的按原价，买两双的每双减价5元，买3双的每双减价10元．结果有85人共买了155双这种运动鞋（每人不超过3双）销售收入8390元．这85人中买1双、2双、3双运动鞋的各有多少人？
分析：解答此题可以分情况分析讨论：若85人都买3双，则需要买85×3＝255（双），比实际多买：255﹣155＝100（双），把其中的50人调整为各买1双，即当35人各买3双，50人各买1双时符合，85人买155双的条件这时销售收入为35×3×（60﹣10）+50×60＝8250（元）；将1人3双和1人1双调为2人2双，做这样调整买鞋的人数和双数都保持不变，但销售收入增加8390﹣8250＝140元，2×2×（60﹣5）﹣[1×3×（60﹣10）+1×1×60]＝10（元），增加140元需调整140÷10＝14（次），所以买3双鞋的有：35﹣14＝21（人），据此即可解答．
解：若85人都买3双，一共买鞋：85×3＝255（双），
比实际多买：255﹣155＝100（双），
把其中的50人调整为各买1双，即当35人各买3双，50人各买1双时符合85人买155双的条件这时销售收入为：
35×3×（60﹣10）+50×60＝8250（元）
将1人3双和1人1双调为2人2双，做这样调整买鞋的人数和双数都保持不变，但销售收入增加
2×2×（60﹣5）﹣[1×3×（60﹣10）+1×1×60]＝10（元）．
增加140元需调整140÷10＝14（次）．
所以买3双鞋的有：35﹣14＝21（人），
买1双鞋的有：50﹣14＝36（人），
买2双鞋的有：2×14＝28，
答：买1双的36人．2双的28人，3双的21人．
点评：此题是较复杂的推理问题，要弄清题意，分情况分析推理．

1﹣＝
＝
×18＝
＝
﹣1＝
+＝
×＝
＝
﹣＝
2﹣＝
3÷＝
××0＝
＝
÷6＝
0.75﹣＝
＝
÷＝
﹣＝
÷＝
＝
﹣＝
+＝
2﹣﹣＝
24××＝
1﹣＝
＝
×18＝
＝
﹣1＝
+＝
×＝
＝
﹣＝
2﹣＝
3÷＝
××0＝
1﹣＝
＝
×18＝10
＝0
﹣1＝
+＝
×＝
＝1
﹣＝
2﹣＝
3÷＝7
××0＝0
＝
÷6＝
0.75﹣＝
＝
÷＝
﹣＝
÷＝
＝
﹣＝
+＝
2﹣﹣＝
24××＝
＝
÷6＝
0.75﹣＝0
＝
÷＝
﹣＝
÷＝
＝11
﹣＝
+＝
2﹣﹣＝1
24××＝1
租房方案
三人间
两人间
居住人数
①
8
0
24
②
7
1
23
③
6
3
24
④
5
4
23
⑤
4
6
24
⑥
3
7
23
⑦
2
9
24
⑧
1
10
23
⑨
0
12
24
3人间/间
2人间/间