专题04 指数函数、对数函数和幂函数（6大易错点 典例分析 避错攻略 易错通关）-备战2025年高考数学考试易错题（新高考通用）

这是一份专题04 指数函数、对数函数和幂函数（6大易错点 典例分析 避错攻略 易错通关）-备战2025年高考数学考试易错题（新高考通用），文件包含专题04指数函数对数函数和幂函数6大易错点典例分析避错攻略举一反三易错通关-备战2025年高考数学考试易错题新高考通用解析版docx、专题04指数函数对数函数和幂函数6大易错点典例分析避错攻略举一反三易错通关-备战2025年高考数学考试易错题新高考通用原题版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共65页， 欢迎下载使用。
题型一：指数运算及指数函数
易错点01 对根式性质理解不到位出错
易错点02 忽略底数对指数函数性质的影响
题型二 对数运算及对数函数
易错点03 忽视对数式成立的条件而出错
易错点04 判断对数型复合函数的单调性忽略定义域
易错点05 利用换元法求值域遗忘范围
题型三 幂函数
易错点06 错判幂函数的性质
题型一：指数运算及指数函数
易错点01：对根式性质理解不到位出错

典例 （24-25高三·全国·专题）下列说法正确的个数是（ ）
①49的平方根为7；②；③；④．
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据根式的运算，逐一判断即可.
【详解】49的平方根是，故①错误；
，故②正确；
，故③错误；
，故④错误．
故选:A．
【易错剖析】
本题容易混淆根式的性质和分数指数幂的运算律而认为，成立而误选C.
【避错攻略】
1.根式的概念
一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且.
（1）当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次方根用符号表示.
（2）当是偶数时,正数的次方根有两个,记为,负数没有偶次方根.
（3）0的任何次方根都是0,记作.
式子叫做根式,其中,且叫做根指数,叫做被开方数.
2.根式的性质
根据次方根的意义,可以得到:
（1）.（2）当是奇数时,;当是偶数时,
3．分数指数幂的意义
易错提醒：(1)处理根式问题一定要注意分析根指数的奇偶性，因为根指数奇偶性的不同，被开方数的取值范围不同，如中当为奇数时,为偶数时,，另外根式的化简结果也不同；
分数指数幂中的不能随便约分，要注意底数取值范围的改变．
1．（2024·河南·三模）若，则化简的结果是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025高一·全国·课后作业）（ ）
A．B．
C．D．当为奇数时，；当为偶数时，
3．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．B．
C．D．
1．（23-24高一上·北京延庆·期末）的值为（ ）
A．B．C．2D．4
2．（23-24高三上·山东潍坊·期中）将写成分数指数幂的形式为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）下列运算结果中正确的是（ ）
A．B．
C． D．
4．（23-24高三上·广东中山·阶段练习）设，将表示成指数幂的形式，其结果是（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·江苏盐城·开学考试）（多选）下列选项中正确的有（ ）
A．B．若，则
C．D．
6．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）（多选）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）（多选）若代数式有意义，则 ．
8．（2023高三·全国·专题练习）（多选）的值为 ．
易错点02：忽略底数对指数函数性质的影响

典例 （2024·四川攀枝花·模拟预测）已知奇函数在上的最大值为，则（）
A．或3B．或2C．3D．2
【答案】A
【分析】根据奇偶性求得，分类讨论函数的单调性得出最大值，根据已知条件列方程求解即可．
【详解】因为是奇函数，所以，所以．
即，则，解得，
经检验符合题意，所以，
当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，
所以， ，整理得，
解得或(舍去)，所以；
当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，
所以，，整理得，
解得或(舍去)，所以，
综上，或3．
故选：A．
【易错剖析】
本题求解时容易忽略底数对指数函数单调性的影响没有对a进行讨论而漏解.
【避错攻略】
1 指数函数的概念
一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是.
【注意】学习指数函数的定义，注意一下几点
（1）定义域为：
（2）规定是因为：
①若，则（恒等于1）没有研究价值；
②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义；
③若，则中为偶数，为奇数时，无意义.
④只有当或时，即，可以是任意实数.
2底数对指数函数图像与性质的影响
（1）底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”.
①当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快.
②当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快.
（2）底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”.
在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低；
在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；
在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”；
易错提醒：当指数函数的底数含有参数时，若应用指数函数的性质，一定要讨论底数与1的大小关系.
1．（23-24高一上·湖南株洲·期末）若函数且在上的最小值与最大值的和为3，则函数在上的最大值是 .
2．已知函数（且）在区间上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．函数在区间上的最小值是，则的值是 .
1．函数y=ax−2（a>0且a≠1,−1≤x≤1）的值域是−53,1，则实数a=（ ）
A．3B．13C．3或13D．23或32
2．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知且，函数，若函数在区间上的最大值比最小值大，则a的值为（ ）
A．或2B．或2C．2或D．或
3．（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数(且)，若存在最小值，则实数的取值范围为( )
A．B．
C．D．
5．（23-24高一上·黑龙江绥化·阶段练习）已知指数函数在上的最大值与最小值之差为2，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数（且）在区间上的最大值是16，求实数的值；
7．（2024高三下·全国·专题练习）函数（a>0，且）在上的最大值为13，求实数a的值.
8．（21-22高一上·河北·阶段练习）已知函数且.
(1)若，求的值；
(2)若在上的最大值为，求的值.
9．（23-24高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数且.
(1)若，求函数的最小值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
题型二 对数运算及对数函数
易错点03：忽略对数式成立的条件而出错

典例 （24-25高三上·山西太原·期中）已知函数（，）的图象经过点，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】由题意建立方程，结合对数运算可得参数的值，根据对数函数的性质，建立不等式组，可得答案.
【详解】由题意可得，则，解得，
由函数在上单调递减，
则，可得，解得，
故答案为：.
【易错剖析】
本题在求解过程中容易忽略对数式成立的条件，漏掉这一隐含条件而出错.
【避错攻略】
1．对数的定义
一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．
2．常用对数与自然对数
通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为.在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为底的对数称为自然对数，并记为.
3．指数与对数的互化
当时，.
4．对数的性质
（1）；（2）；（3）零和负数没有对数．
5．对数运算性质
如果，且，那么：
；
；
．
【注意】对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．
易错提醒：基于对数式，其中对应的参数各自有其成立的条件，分别为底数a>0且a≠1,真数N>0，在解决对数问题时，一定要充分考虑对应的隐含条件或限制条件,避免出现遗漏或多解.
1．（24-25高一上·广东广州·期中）（1）已知，求的值；
2．（24-25高三上·北京·阶段练习）若，则实数x的取值范围是 ．
3．（24-25高三上·湖北武汉·期中）若：，：，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
1．（2025·广东·模拟预测）若，则（ ）
A．3B．4C．9D．16
2．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·广东广州·模拟预测）若，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）设函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高三上·湖北·期中）若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25高三上·上海闵行·期中）设，若，则实数的取值范围是 ．
8．（23-24高三下·上海·阶段练习）方程的解是 .
9．（24-25高三上·河南·期中）已知函数为奇函数.
(1)求a的值；
(2)求满足的x的取值范围.
易错点04：判断对数型复合函数的单调性忽略定义域

典例（24-25高三上·辽宁大连·期中）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得.
【详解】函数，令，即，解得或，
所以的定义域为，
又在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，
所以的单调递增区间为.
故选：C
【易错剖析】
本题求解时容易错解中忽视了函数f(x)的定义域，因为单调区间是定义域的子集，在解函
数问题时，一定要树立“定义域优先”的意识.
【避错攻略】
1.复合型函数单调性规律
若函数在内单调，在内单调，且集合.
(1)若是增函数，是增(减)函数，则是增(减)函数
(2)若是减函数，是增(减)函数，则是减(增)函数
2.复合型函数单调性判断步骤
第一步：求函数的定义域
第二步：令内函数为，画出其图像，从而确定其函数的单调性
第三步：画出外函数的图象并确定其单调性
第四步：利用结论同增异减判断.
易错提醒：在处理对数复合函数的单调性问题时，一定要注意两个易错点：（1）注意分析对数底数对单调性的影响；（2）树立定义域优先的思想.
1．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·山东德州·期中）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高三上·江苏泰州·期中）函数的单调递增区间为 ．
1．（24-25高三上·北京房山·期中）已知函数，下列说法错误的是（ ）
A．的定义域为B．的图象关于轴对称
C．的图象关于原点对称D．在上单调递增
2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2024·广东佛山·模拟预测）函数的单调增区间为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·江苏常州·期中）已知函数（，且）.，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·海南·模拟预测）已知且，若函数与在上的单调性相同，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高三上·重庆·阶段练习）（多选）关于函数，以下说法正确的是（ ）
A．为奇函数
B．为偶函数
C．在区间单调递增
D．在区间单调递减
7．（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围为 .
8．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数.
(1)证明：是周期函数；
(2)求的单调递增区间.
9．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数，且.
(1)若，求函数的单调递增区间；
(2)若函数的最小值为，求的值.
易错点05：求解指对复合函数值域忽略新元范围

典例 （24-25高三上·河南焦作·阶段练习）若函数，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对数的单调性可得，再根据二次函数的性质以及指数函数的性质即可求解.
【详解】函数在上单调递增，
又，，故，
令，
而函数在上单调递增，则，
所以函数的值域为.
故选：D.
【易错剖析】
本题在换元后容易因忽略新元的取值范围而出错.
【避错攻略】
1.指数型复合函数值域的求法
（1）形如（，且）的函数求值域
借助换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围
（2）形如（，且）的函数求值域
借助换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。
2.对数型复合函数值域的求法
（1）形如（，且）的函数求值域
借助换元法：令，先求出的值域，再利用在上的单调性，再求出的值域。
（2）形如（，且）的函数的值域
借助换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。
易错提醒：再用换元法求指数、对数型复合函数的值域、最值问题时，一定要注意新元的范围，以免因范围变大而出错.
1．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．定义域为R
B．值域为
C．在上单调递增
D．在上单调递减
2．（2024·上海·模拟预测）函数的最小值为 .
3．（22-23高一下·青海西宁·开学考试）若函数的值域为，则a的取值范围是 .
1．（23-24高二下·浙江·期末）已知函数的定义域为集合，值域为集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·山西·阶段练习）已知，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·吉林长春·模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数单调递增
B．函数值域为
C．函数的图象关于对称
D．函数的图象关于对称
4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，的最小值是 .
5．（23-24高一上·广东茂名·期中）函数的值域是 ．
6．（24-25高三上·重庆涪陵·开学考试）函数的值域为 ．
7．（23-24高一上·浙江湖州·期末）设函数，，则函数的值域是 ．
8．（23-24高三上·黑龙江绥化·阶段练习）当时，函数的值域为 .
9．（24-25高三上·山西晋城·阶段练习）已知函数满足．
(1)求的解析式；
(2)若，求的值域；
(3)讨论的定义域．
题型三 幂函数
易错点06：错判幂函数的性质

典例 （24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（ ）
A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数
B．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数
C．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数
D．时，幂函数在上是增函数
【答案】ABD
【分析】对于ABC：根据幂函数的性质结合奇偶性的定义直接判断即可；对于D：根据幂函数的性质直接判断即可.
【详解】对于选项A：若m，n是奇数时，则，
此时的定义域为R，且，
所以幂函数是奇函数，故A正确；
对于选项B：若m是奇数，n是偶数时，则，
此时的定义域为R，且，
所以幂函数是偶函数，故B正确；
对于选项C：m是偶数，n是奇数时，则，
此时的定义域为，不关与原点对称，
所以幂函数不具有奇偶性，故C错误；
对于选项D：时，由幂函数性质可知：在上是增函数，故D正确；
故选：ABD.
【易错剖析】
对于幂函数，整数m,n取不同的值，对幂函数的单调性、奇偶性、定义域以及图像分布都有影响，这一点在判断幂函数的性质时是一个容易出错的知识点，要在复习中高度重视..
【避错攻略】
1.幂函数的概念、解析式、定义域、值域
幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．
解析式：y＝xa＝
【注意】定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；
2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数．
当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：
1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数．
2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数．
而只有a为正数，0才进入函数的值域．
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的．
2.幂函数的性质
所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）．
（1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、图象都通过点（1，1）（0，0）；
b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；
c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右；
d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数．
（2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、图象都通过点（1，1）；
b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上；
c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．
（3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线．
易错提醒：幂函数有关的问题，一定要注意幂指数对函数定义域的影响，这也是这类问题的高频错点，另外还要注意平常说的指数符号对应的单调性是相对第一象限而言.
1．（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）已知幂函数过点，若，则实数a的取值范围是 .
2．（2024·北京延庆·一模）已知函数在区间上单调递减，则的一个取值为 ．
3．（2025高三上·全国·专题练习）如图所示是函数（m、且互质）的图象，则（ ）
A．m，n是奇数且B．m是偶数，n是奇数，且
C．m是偶数，n是奇数，且D．m，n是偶数，且
1．（24-25高三上·上海·期中）下列函数在区间上为增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高三上·江苏淮安·期中）已知幂函数的图象与轴无交点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·天津·模拟预测）下列图象中，不可能成为函数的图象的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高一上·浙江·期中）幂函数（）的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）（多选）下列关于幂函数的说法正确的有（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．为偶函数D．不等式的解集为
7．（23-24高一上·上海浦东新·期中）不等式的解集为 ．
8．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知幂函数在上单调递减，则的值为 .
9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，且该函数的图象经过点.
(1)确定m的值；
(2)求满足条件的实数a的取值范围.
10．（22-23高二下·江苏苏州·阶段练习）已知幂函数（）在定义域上不单调．
(1)试问：函数是否具有奇偶性？请说明理由；
(2)若，求实数的取值范围．分数指数幂
正分数指数幂
规定
负分数指数幂
规定
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义