天津市滨海新区塘沽紫云中学教育集团校2024-2025学年高二上学期11月期中检测数学试题

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本试卷分第Ⅰ卷(选择题) 和第Ⅱ卷(非选择题) 两部分，满分120分，考试时间100分钟.
答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上，将考号填、涂准确； 答卷时，考生务必将选择题答案涂在答题卡上，非选择题答在答题纸上，答在试卷上无效.
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷 选择题 (共40分)
一. 选择题：(每小题4分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。)
1.直线 3x+3y−1=0的倾斜角是( )
A. π6 B. π3 c. 5π6 D. 2π3
2.抛物线 y=4x²的焦点坐标是( )
A. (0,1) B.0116 C.1160 D. (1,0)
3.设a∈R,则“a=1”是“直线l₁: ax+2y−1=0直线l₂:x+(a+1)y+3=0平行”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.在四棱柱ABCD−AB₁C₁D₁中，设 AB=a,AD=b,AA1=c,DF=13DB,AE=12AD1,
则 EF=( )
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A.13a+76b+12c B.23a+56b+12c
C.13a+16b−12c D.23a−16b−12c
5.已知双曲线 C:x2a2−y2=1（a>1)的焦距为4，则C的渐近线方程为( )
A.y=±3x B.y=±33x
C.y=±2x D. y=±x
6.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列{an}满足 a₁=0,
an+1=an+n+1,n为奇数，an+n,n为偶数则 a₄+a₅= ( )
A. 12 B. 28 C.20 D. 30
7.若两平行直线x+2y+m=0(m>0)与2x−ny−6=0之间的距离是 5, 则m+n= ( )
A. −12 B. 2 C. 0 D. −2
8.设椭圆C₁的离心率为 513，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线∁2上的点到椭圆 C₁的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线∁2的标准方程为( )
A.x2132−y252=1 B.x282−y262=1 C.x242−y232=1 D.x242−y282=1
9.已知A为抛物线C:y²=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，
则p=( )
A.6 B. 3 C. 2 D. 9
10.若直线l: kx−y+3k=0与曲线C :1−x2=y−1有两个不同的交点，则实数 k 的取值范围是( )
A. 12,34] B.12 34 C.0 34 D.0 34
高二数学 第 2 页 共 4页第Ⅱ卷 非选择题(80分)
二. 填空题: (每小题5分, 共40分)
11.过两条直线l₁:x+2y−4=0, l₂:2x−y−3=0的交点，且与直线x+3y+1=0垂直的直线的方程为 .
12.已知a₁, a₂, a₃, a₄成等差数列, 且a₁, a₄为方程: 2x²−5x+2=0的两根，则 a₂+a₃= .
13.已知 a=2−12,b=45−1,设 c=x1y,若 a−b∥c,则x= .y= .
14.过点P(−1,4)作圆 x−1²+y−2²=4的切线，切线方程为 .
15.在空间直角坐标系O−xyz中, A(1,2,−1), B(1,1,2), C(0,1,3),则异面直线OA与BC所成角的余弦值为 .
16.在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界.从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列.若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为 尺.
17.已知圆 C₁:x²+y²=4与圆 C₂:x²+y²−8x+6y+m=0外切, m= ;若点 Px₀y₀为圆C₂上一点，则 x02+y02的最小值为 .
18.已知双曲线 x2a2−y2b2=1,（a>0,b>0)的左右焦点分别为 F₁−c 0,F₂c 0过F₁的直线l与圆 C:x−12c2+y2=c24相切，与双曲线在第一象限交于一点M，且有 MF₂⊥x轴，则直线l的斜率
是 ，双曲线的离心率是 .
高二数学 第 3 页 共 4页三. 解答题：本大题共3小题，共40分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
19. (本小题满分12分)
已知圆心为C的圆经过点A(−1, 1)和B(−2,−2), 且圆心在直线 l:x+y−1=0上, 求:
(Ⅰ) 求圆心为C的圆的标准方程；
(Ⅱ) 设点P在圆C上, 点Q在直线x−y+5=0上, 求|PQ|的最小值;
(Ⅲ) 若过点(0，5)的直线被圆C所截得弦长为8，求该直线的方程.
20. (本小题满分14分)
如图，在直三棱柱 ABC−A₁B₁C₁中， AC⊥BC,AC=BC=2,CC₁=3,F为 B₁C₁的中点, 点D,E分别在棱AA₁和棱CC₁上, 且AD =1,CE =2.
(Ⅰ) 求证：A₁F//平面BDE；
(Ⅱ) 求平面ACC₁A₁与平面BDE夹角的余弦值;
(Ⅲ) 求点A₁到平面BDE的距离.
21. (本小题满分14分)
设椭圆 x2a2+y2b2=1的上顶点为A，左焦点为F，已知椭圆的离心率 32,|AF|=2.
(Ⅰ) 求椭圆方程；
(Ⅱ) 设过点A且斜率k的直线l与椭圆交于点 B(B异于点A)，与直线y=−1交于点M，点关B于y轴的对称点为E，直线ME与y轴交于点N，若AAMN的面积为 22,求直线l的方程.
高二数学 第 4 页 共 4页