广东省深圳实验学校光明部2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

这是一份广东省深圳实验学校光明部2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷，共5页。试卷主要包含了集合，，且，则的取值范围是，下面四个结论中正确的是等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟满分：150分命题人：涂宁悦审题人：郭淇凯
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．设，向量，且，则（ ）
A．B．C．4D．3
2．已知为平面的法向量，是直线上的两点，则是直线的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
3．如图，在正三棱锥中，点为的重心，点是线段上的一点，且，记，则（ ）
A．B．
C．D．
4．集合，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别记为，则原点到直线的距离不超过1的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
7．已知不同两点在曲线上，且满足，则直线斜率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面是的中点，是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）．
9．下面四个结论中正确的是（ ）
A．若对空间中任一点，有，则四点共面
B．若，则向量的夹角是锐角
C．点关于平面对称的点的坐标是
D．已知向量满足，且，则
10．数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点距离之比是常数（，且）的点的轨迹是圆．在平面直角坐标系中，，，点满足．设点的轨迹为，则下列结论正确的是（ ）
A．轨迹的方程为
B．轨迹与圆有两条公切线
C．轨迹与圆的公共弦所在直线方程为
D．当三点不共线时，射线是的平分线
11．设是空间中两两夹角均为的三条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，若，则把有序数对叫作向量在坐标系中的坐标，则下列结论正确的是（ ）
A．若向量，向量，则
B．若向量，向量，则
C．若的最小值为，则
D．若向量，向量，向量，则二面角的余弦值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上）．
12．已知空间向量共面，则实数的值为__________．
13．设直线经过点是它的一个方向向量，是直线上任意一点，则向量与共线，根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数，使，即，所以．我们把上式称为直线的参数方程．若直线的参数方程为（为参数），则其倾斜角为__________．
14．已知为上的点，过点作圆的切线，切点为，若使得的点有8个，则的取值范围是__________．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）．
15．已知点，设．
（1）求在方向上的投影向量（用坐标表示）；
（2）求．
16．设直线的方程为
（1）求证：无论为何值，直线必过一定点；
（2）若直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于，当面积最小时，求的周长；
（3）当直线在两坐标轴上的截距均为整数且斜率为正值时，求直线的方程．
17．记的内角的对边分别为，已知，外接圆的半径为R．
（1）求外接圆的面积；
（2）圆经过，且与圆关于直线对称，圆被直线截得弦长为8，求直线的方程．
18．在如图试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，活动弹子在上移动．
（1）求证：直线平面；
（2）为何值时，的长最小？
（3）为上的点（含端点），求与平面所成角的正弦值的最大值．
19．类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为．已知曲面的方程为．如图，该曲面可视为平面中某一支曲线绕轴旋转一周所得的旋转面．
（1）请写出平面截曲面所得交线是什么曲线；
（2）已知过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上．若直线过曲面上一点，以为方向向量．
①求证：直线在曲面上；
②若直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值．