浙江省杭州市外国语学校2024—2025学年上学期八年级数学期中试题（解析版）-A4

这是一份浙江省杭州市外国语学校2024—2025学年上学期八年级数学期中试题（解析版）-A4，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．）
1. 第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
2. 已知，下列各式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了不等式的性质，关键是牢记性质（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据，应用不等式的性质，逐项判断即可．
【详解】解：A、不等式两边都乘以可得，故本选项不符合题意；
B、不等式两边都乘以2024可得，故本选项不符合题意；
C、不等式两边都减去2024可得，故本选项符合题意；
D、不等式两边都乘得，两边再加上2024得，故本选项不符合题意．
故选：C
3. 为说明命题“若，则”是假命题，下列反例正确的是（ ）
A ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理，有理数的大小比较、有理数的乘方法则计算，判断即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：A、若，，则，，，
，不能说明原命题是假命题，故选项不符合题意；
B、若，则，不能说明原命题是假命题，故选项不符合题意；
C、若则，，，
，说明原命题是假命题，故选项符合题意；
D、若，，则，不能说明原命题是假命题，故选项不符合题意；
故选：C．
4. 已知等腰三角形的一个角为，则它的顶角为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；分的角为顶角和底角时分情况讨论即可．
【详解】解：当的角为顶角时，即顶角为，
当的角为底角时，顶角，
综上，顶角为或，
故选：D．
5. 若点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查根据点所在的象限，求参数的范围，在数轴上表示不等式的解集，先根据第一象限内点的符号特征，列出不等式组，求出不等式组的解集，进而在数轴上表示出解集即可．
【详解】解：∵点在第一象限，
∴，解得：，
数轴表示如图：
；
故选C．
6. 在中，，，分别以点A、C为圆心，大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交于点P，连结，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等边对等角．根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，进而得出，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：在中，，，
则，
根据线段垂直平分线性质，得，
，
，
故选：C．
7. 如图，在中，，点是边上的一个动点，过点作于点，作于点，则的长为（ ）
A. 16B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，过点A作，先运用勾股定理求出，再根据三角形的面积公式即可得到，根据等腰三角形的性质进而求得的值．本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理，掌握等腰三角形底边上的高、底边上的中线相互重合是解题的关键．注意等积法的应用．
【详解】解：连接，过点A作，如图所示：
∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∵过点作于点，作于点，
∴结合图形，根据等面积法，得，
即：，
∴，
可得：，
故选：B．
8. 如图，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质、等腰三角形两底角相等的性质以及平行线的性质，根据全等三角形对应边相等可得，全等三 角形对应角相等可得，然后求出 ，再根据等腰三角形两底角相等求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出，整理即可．
【详解】解：
在中，
整理得，
故选：D．
9. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边，点为轴正半轴上一动点（），设点的坐标为，连结，以线段为边的第四象限内作等边，直线交轴于点，点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由等边三角形的性质可得AO＝OB＝AB＝1，BC＝BD＝CD，∠OBA＝∠CBD＝60°，可证△OBC≌△ABD，可得∠BAD＝∠BOC＝60°，可求∠EAO＝60°，即可求OE＝，进而可求点E坐标．
【详解】解：∵△AOB，△BCD是等边三角形，
∴AO＝OB＝AB＝1，BC＝BD＝CD，∠OBA＝∠CBD＝60°，
∴∠OBC＝∠ABD，且OB＝AB，BC＝BD，
∴△OBC≌△ABD（SAS），
∴∠BAD＝∠BOC＝60°，
∴∠EAO＝180°−∠OAB−∠BAD＝60°，
在Rt△AOE中，AO＝1，∠EAO＝60°，∠OEA=30°，
∴AE=2 AO=2，
∴OE=＝，
∴点E坐标(0，)，
故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，坐标与图形性质，灵活运用全等三角形的判定和性质是本题的关键．
10. 对实数x、y定义一种新的运算F，规定，若关于正数x的不等式组恰好有4个整数解，则n的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查新定义运算、解一元一次不等式组、由一元一次不等式组的整数解求参数，分两种情况：，，根据新定义列不等式组，求得x的取值范围，再根据不等式组整数解的个数求m的取值范围即可．
【详解】解：当时，，不合题意（舍）；
当时，则
．由，得
∵有4个整数解，
整数解为
．
故选D．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分．）
11. 已知等腰三角形的两边长分别为，则该等腰三角形的周长是______．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形性质、构成三角形的三边关系等知识，先由等腰三角形的性质分类讨论，再结合周长公式及三角形三边关系求解即可得到答案，熟记等腰三角形性质、构成三角形的三边关系等知识是解决问题的关键．
【详解】解：由等腰三角形性质，分两种情况：
当腰是时，三角形的边长为，则该等腰三角形的周长是；
当腰是时，边长为，则由构成三角形的三边关系可知三条边长不能构成三角形，此种情况不存在；
故答案为：12．
12. 若点与点关于轴对称，则的值为___________．
【答案】16
【解析】
【分析】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点．关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；先求出a、b的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵点与点关于轴对称，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：16．
13. 若不等式组的解集为3≤x≤4，则不等式ax+b＜0的解集为____．
【答案】x＞
【解析】
【详解】解：解不等式，得
解不等式得
不等式组的解集为
∵不等式组的解集为3≤x≤4，
∴不等式ax+b＜0﹣4x+6＜0，
解得．
故答案为：．
14. 如图在中，，，将绕点按逆时针方向旋转角，得到，设交AB边于，连结，若是等腰三角形，则旋转角的度数为______．
【答案】或
【解析】
【分析】此题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键，根据旋转的性质可得，根据等腰三角形的两底角相等求出，再表示出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出，然后分三种情况讨论求解．
【详解】解：∵绕C点逆时针方向旋转得到，
∴，
∴，
∴，
根据三角形的外角性质，，
是等腰三角形，分三种情况讨论，
①时，，无解，
②时，，
解得，
③时，，
解得，
综上所述，旋转角α度数为或.
故答案为：或．
15. 如图，已知，中，，，点、分别在边、上运动，的形状大小始终保持不变．在运动的过程中，点C到点O的最大距离为_____．
【答案】14
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质，解题关键是灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定动点的几何特征．
作于，连接，如图，根据等腰三角形的性质得到，则利用勾股定理可计算出，再根据直角三角形斜边上的中线性质得到，接着根据三角形三边的关系得到（当且仅当、、共线时取等号），从而求出的最大值即可．
【详解】解：作于，连接，如图，
，，
，
在中，，
，
，
（当且仅当、、共线时取等号），
的最大值为，
即点到点的最大距离为14．
故答案为：14．
16. 如图，在中，，，平分，交于，点是上的一点，且，连交于，连，下列结论：，，，，其中正确的有______．
【答案】
【解析】
【分析】如图，设与交于点，求解，，结合，求解，可得正确；证明，求解，证明，可得正确；证明，，可得错误；证明，可得，可得正确．
【详解】解：如图，设与交于点，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴可知所在直线垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，故错误；
∵，
∴，
由上可知：，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故正确；
综上：正确，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线定义，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，勾股定理的应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
三、解答题（本大题有8个小题，共72分．）
17. 解不等式与不等式组：
（1）解不等式：．
（2）解不等式组：
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式（组）．熟练掌握解一元一次不等式（组）是解题的关键．
（1）先去分母，然后去括号、移项合并，最后系数化为1即可；
（2）分别求出两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集．
【小问1详解】
解：，
去分母得：，
去括号得：，
∴，
解得：；
【小问2详解】
解：，
由①得：，
解得：，
由②得：，
∴，
∴，
解得：，
∴不等式组的解集为：.
18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将进行平移，使点与坐标原点重合，得到，其中、分别为点、的对应点，点为内一点，经上述平移后点的对应点是点．
（1）直接写出点的坐标______，的坐标______．
（2）直接写出点的坐标是______．
（3）求的面积．
【答案】（1），；
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查的是求解网格三角形的面积，图形平移的坐标变化；
（1）由将进行平移，使点与坐标原点重合，可得平移方式为：将先向左平移4个单位，再向下平移2个单位，再进一步解答即可；
（2）由（1）中的平移方式可得答案；
（3）由长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可．
【小问1详解】
解：∵将进行平移，使点与坐标原点重合，
∴平移方式为：将先向左平移4个单位，再向下平移2个单位，
∵，，
∴，；
故答案为：，
【小问2详解】
解：∵点为内一点，经上述平移后点的对应点是点．
∴；
故答案为：
【小问3详解】
解：的面积为：
．
19. 如图，在中，．
（1）用尺规作图：作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，于，若，，求的长度．
【答案】（1）见详解 （2）的长度为
【解析】
【分析】本题考查尺规作图——角平分线，勾股定理等，熟练掌握尺规作图、勾股定理、角平分线的性质是解决问题的关键．（1）根据角平分线的尺规作图方法直接作图即可得到答案；（2）根据角平分线的性质可得，设，则，再根据勾股定理求出，即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
是的角平分线，
，
又，，
，
在中，，，，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
∴的长度为．
20. 如图，四边形中，，，连接，线段的垂直平分线交于点，交于点，垂足为点．
（1）求证：；
（2）若，求证：是等边三角形．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先证明，，，再证明即可；
（2）证明，，可得，可得，可得，证明，可得，可得为等边三角形．
【小问1详解】
证明：∵线段的垂直平分线交于点，交于点，垂足为点．
∴，，，
∵，
∴，，
∴．
【小问2详解】
证明：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，平行线的性质，掌握基础的几何图形的性质是解本题的关键．
21. 已知为整数，关于，的方程组的解满足不等式组．
（1）解关于，的方程组，并用的代数式表示出来；
（2）求整数的值．
【答案】（1）方程组的解为
（2）的整数值为
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，二元一次方程组等知识，解题关键是理解题意，用转化的思想思考问题．
（1）利用加减消元法解关于，的方程组即可；
（2）将（1）中关于，的方程组的解代入不等式组，得到关于的不等式组，解得的取值范围，再求出的整数值即可．
【小问1详解】
解：，
，得：，
解得：，
把代入①，得：，
∴方程组的解为；
【小问2详解】
解：将代入不等式组，
得：，即，
解不等式得：；
解不等式得：；
则不等式组的解集为：，
∴的整数值为．
22. 为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有两种型号的挖掘机,已知3台型和5台型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台型和7台型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台型挖掘机一小时的施工费用为300元,每台型挖掘机一小时的施工费用为180元．
(1)分别求每台型, 型挖掘机一小时挖土多少立方米?
(2)若不同数量的型和型挖掘机共12台同时施工4小时,至少完成1080立方米的挖土量,且总费用不超过12960元．问施工时有哪几种调配方案,并指出哪种调配方案的施工费用最低,最低费用是多少元?
【答案】（1）每台型挖掘机一小时挖土30立方米,每台型挖据机一小时挖土15立方米；
（2）共有三种调配方案．方案一: 型挖据机7台,型挖掘机5台；方案二: 型挖掘机8台,型挖掘机4台；方案三: 型挖掘机9台,型挖掘机3台．当A型挖掘机7台, 型挖掘机5台的施工费用最低,最低费用为12000元．
【解析】
【详解】分析：（1）根据题意列出方程组即可；
（2）利用总费用不超过12960元求出方案数量，再利用一次函数增减性求出最低费用．
详解：(1)设每台型,型挖掘机一小时分别挖土立方米和立方米,根据题意,得
解得
所以,每台型挖掘机一小时挖土30立方米,每台型挖据机一小时挖土15立方米．
(2)设型挖掘机有台,总费用为元,则型挖据机有台．根据题意,得
，
因为，解得，
又因为,解得,所以．
所以,共有三种调配方案．
方案一:当时, ,即型挖据机7台,型挖掘机5台；
方案二:当时, ,即型挖掘机8台,型挖掘机4台；
方案三:当时, ,即型挖掘机9台,型挖掘机3台．
,由一次函数的性质可知,随的减小而减小,
当时，，
此时型挖掘机7台, 型挖掘机5台的施工费用最低,最低费用为12000元．
点睛：本题考查了二元一次方程组和一次函数增减性，解答时先根据题意确定自变量取值范围，再应用一次函数性质解答问题．
23. 如图，在平面直角坐标系中，，，满足．点是轴上的动点且在点左侧，连结BD，以BD为边作，使，，连结，交BD于点．
（1）求点的坐标；
（2）如图1，若，求点的坐标；
（3）如图2，试问动点在运动过程中，几何量的数值是否发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由．
【答案】（1）A−4,0，
（2）
（3）不变，是定值，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由非负数的性质可得，，再解方程可得答案；
（2）如图，过作于，证明，可得，，，从而可得答案；
（3）如图，过作于，证明，可得，，证明，可得是等腰直角三角形，可得，从而可得结论．
【小问1详解】
解：∵，
∴，，
解得：，，
∴A−4,0，．
【小问2详解】
解：如图，过作于，
∴，
∵A−4,0，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：不变，，理由如下：
如图，过作于，
∴，
∵A−4,0，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴即的值不变．
【点睛】本题考查的是非负数的性质，二元一次方程组的解法，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，坐标与图形，作出合适的辅助线是解本题的关键．
24. 如图，在等腰直角三角形中，，，点在边上，作于点，连接、．
（1）如图1，若平分，求证：垂直平分．
（2）如图2，点是的中点，直线交于点，连接，
①求证：是等腰直角三角形．
②若，，求的长度．
【答案】（1）证明见解析
（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）利用角平分线的性质证明，再证明，可得，结合垂直平分线的判定可得结论；
（2）①证明，，，，可得，，，结合三角形的外角的性质证明，可得结论；
②如图，过作，且，连接，，证明，可得，，证明，可得，再利用勾股定理可得答案．
【小问1详解】
证明：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是垂直平分线；
【小问2详解】
证明：①∵，，
∴，
∵，，点是的中点，
∴，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形．
②如图，过作，且，连接，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的直线的性质，化为最简二次根式，线段的垂直平分线的判定，作出合适的辅助线是解本题的关键．