广东省佛山市南海区灯湖中学2024-—2025学年八年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省佛山市南海区灯湖中学2024-—2025学年八年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列实数中，属于无理数是（ ）
A. B. C. 3.14D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义求出D选项的值，再根据无理数的定义选择即可．
【详解】解：A、是分数属有理数不是无理数，故此选项不符合题意；
B、是无理数，故此选项符合题意；
C、3.14是有限小数属有理数不是无理数，故此选项不符合题意；
D、整数属有理数不是无理数，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2. 下列式子正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据立方根性质，算术平方根和平方根的定义即可求解．
【详解】解：A、，本选项符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：A.
【点睛】本题主要考查了立方根的性质，算术平方根和平方根，掌握定义是解题的关键．
3. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式的概念，二次根式的性质化简，根据最简二次根式的概念“被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；分母不能有二次根式”，由此即可求解．
【详解】解：A、，原选项不是最简二次根式，不符合题意；
B、，原选项不是最简二次根式，不符合题意；
C、，原选项不是最简二次根式，不符合题意；
D、，原选项是最简二次根式，符合题意；
故选：D ．
4. 下列各数的比较中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了实数的大小比较．注意：两个负数，绝对值大的反而小．
根据两个负数，绝对值大反而小进行比较．
【详解】解：、由于，因此，故本选项错误；
B、由于因此，故本选项错误；
C、由于因此，故本选项正确；
D、由于因此，故本选项错误．
故选：C．
5. 下列表述中能确定准确位置的是（ ）
A. 教室从左到右第3列B. 文博演出中心第10排
C. 北偏东D. 东经，北纬
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了有序数对表示位置，根据位置的确定需要两个条件对各选项分析判断即可得解，理解位置的确定需要两个条件是解题的关键．
【详解】解：A、教室从左到右第3列，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；
B、文博演出中心第10排，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；
C、北偏东，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；
D、东经，北纬，能确定位置，故本选项符合题意．
故选：D．
6. 在平面直角坐标系中，第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，平行于x轴，，则点Q的坐标是（ ）
A. 或B.
C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于x轴的直线上各点的纵坐标相等是解题的关键．先根据题意得出P点坐标，根据平行于x轴设出Q点的坐标，进而可得出结论．
【详解】解：∵第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，
∴P，
∵平行于x轴，
∴设，
∵，
∴，
∴或，
∴Q或．
故选：A．
7. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据倒数的意义进行判断即可．
【详解】∵，
∴的倒数是．
故选：B．
【点睛】一个数的倒数，就是1除以这个数，0没有倒数．解题的关键是知晓倒数的定义．
8. “出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创建的，我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”其中四边形、、均为正方形．若，，则（ ）
A. B. 14C. 6D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理的应用，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握以上知识点．
根据正方形的性质得到，，，然后证明出，得到，然后求出，由得到，然后在中利用勾股定理得到，然后利用完全平方公式的变形求出，进而求解即可．
【详解】解：∵四边形、、均为正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
9. 正方体的棱长为2，的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为（ ）
A. B. C. 5D. 2＋
【答案】A
【解析】
【分析】把此正方体的点所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于2，另一条直角边长等于3，利用勾股定理可求得．
【详解】解：如图1所示，将正方体展开，连接，

根据两点之间线段最短，．
如图2所示，将正方体展开，连接，
根据两点之间线段最短，；
∴一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
10. 如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（ ）
A. 47B. 62C. 79D. 98
【答案】C
【解析】
【分析】依据每列数的规律，即可得到，进而得出的值.
【详解】解：由题可得：……
当


故选：C
【点睛】本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 计算：____________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是求解一个数的算术平方根，掌握算术平方根的含义是解本题的关键．
【详解】解：，
故答案为：
12. 写出一个小于的正无理数__________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的估算，准确计算是解题的关键．根据无理数估算的方法求解即可．
【详解】解：∵，
∴
∴．
∴写出一个小于的正无理数为．
故答案为：（答案不唯一）．
13. 在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为0,1，点B的坐标为．则点C的坐标为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平面直角坐标系，在坐标系中确定点的坐标，根据点A，B的坐标可确定原点的位置，再作平面直角坐标系即可，从而可确定点C的坐标．
【详解】解：建立平面直角坐标系如图所示：
，
故答案为：．
14. 如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为②．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的面积是_____．
【答案】4．
【解析】
【分析】根据勾股定理可得两条直角边的平方和等于斜边的平方，即第①个正方形的面积＝第②个正方形面积的两倍；同理，第③个正方形面积是第②个正方形面积的一半，依此类推即可解答．
【详解】解：第①个正方形的面积为16，
由分析可知：第②个正方形的面积为8，
第③个正方形的面积为4，
故答案为：4．
【点睛】本题是图形类的变化规律题，考查了勾股定理与面积的关系及等腰直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
15. 如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．
【答案】10
【解析】
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】两棵树的高度差为8m-2m=6m，间距为8m
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离m．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
先根据除法法则运算，再化简二次根式，最后算根据加减法法则运算即可；
【详解】解：原式
．
17. 小明放风筝时不小心将风筝落在了4．8m高的墙头上，他请爸爸帮他取．爸爸搬来梯子，将梯子稳定摆放（梯子底端离墙的距离约为梯子长度的），此时梯子顶端正好达到墙头，爸爸问小明梯子的长度有没有5m？你能帮助小明一起算吗？
【答案】梯子的长度有5m，理由见详解
【解析】
【分析】设梯子的长度为x（m），根据勾股定理，列出关于x的方程，进而即可求解．
【详解】设梯子的长度为x（m），
根据题意得：(x)2+4.82=x2，解得：x=或x=-（舍去），
∵＞5，
∴梯子的长度有5m．
【点睛】本题主要考查勾股定理和一元二次方程的实际应用，根据勾股定理，列出方程是解题的关键．
18. 如图，一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，由于种种原因，由C到A的路现在已经不通了，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．是不是从村庄C到河边的最近路，请通过计算加以说明．

【答案】是，说明见解析
【解析】
【分析】此题考查勾股定理的逆定理的应用、垂线段最短，熟练掌握勾股逆定理是解决本题的关键．根据勾股定理的逆定理验证为直角三角形，进而得到，再根据点到直线的距离垂线段最短即可解答．
【详解】解：是，理由如下：
在中，∵，
即，
∴为直角三角形，且，
∴，
由点到直线的距离垂线段最短可知，是从村庄到河边的最近路．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 如图，已知点A表示的数为，点A向右运动2个单位长度到达点B，点C表示的数为．
（1）在数轴上画出点A；
（2）点B表示的数为 ，其绝对值为 ．
（3）看图比较大小： （填“>”、“=”或“<”），所以点B在点C ．（填左侧或右侧）
【答案】（1）见详解 （2），
（3），右侧
【解析】
【分析】该题主要考查了勾股定理，无理数以及无理数大小比较等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据题意作边长为1的正方形，对角线即为，以O点为圆心，为半径作圆即可．
（2）根据数轴上的平移规律和绝对值定义求解即可．
（3）根据图象即可求解．
【小问1详解】
解：数轴上画出点A如图：
作边长为1的正方形，对角线即为，以O点为圆心，为半径作圆即可．
【小问2详解】
解：点B表示的数为，
∵，∴，
∴．
【小问3详解】
解：根据图象可得：，
∴，
所以点B在点C右侧，
故答案为：，右侧．
20. 如图，小明为了测得学校旗杆的高度，他先将旗绳拉直，绳尾端正好落在地面C点，此时，C点到杆底B点距离，他又将旗绳拉直到杆底部B点，此时，绳子多出一截，量得多出部分长度为．
（1）请你帮他计算出旗杆的高度．
（2）如果想要更加准确计算学校旗杆高度，请你给小明提出一条可行的建议（写出一条即可）．
【答案】（1）旗杆的高度为米
（2）见解析
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理的实际应用，从实际问题中整理出直角三角形模型是解题的关键．
（1）根据题意列出已知条件，再根据勾股定理求得旗杆的高度；
（2）根据题意求解即可．
【小问1详解】
解：设旗杆的高度为米，则，
在中，由勾股定理可得：
∴，
整理得：，
解得：，
答：旗杆的高度为米；
【小问2详解】
解：建议：测量的时候每个数据多测量几遍，求其平均数．（答案不唯一）．
21. 如图，等边三角形的边长为6．
（1）求边上的高；
（2）建立适当的直角坐标系，并写出各点的坐标．
【答案】（1）
（2）建立直角坐标系见解析，，，
【解析】
【分析】本题主要考查等边三角形的性质和勾股定理的运用，建立适当的平面直角坐标系是解题的关键．
（1）过点C作交于点D，首先求出，，然后利用三线合得到，然后利用含角直角三角形的性质得到，然后利用勾股定理求解即可；
（2）以所在直线为横轴， 中点为原点建立坐标系，利用等边三角形的性质就可求出各顶点坐标．
【小问1详解】
解：如图所示，过点C作交于点D，
∵等边三角形的边长为6，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴边上的高为；
【小问2详解】
解：如图所示，以所在的直线轴，以边上的高所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，
∵ 等边的边长为6，
∴，
∴ 点、的坐标分别为，，
∴，
∴点的坐标为．
五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分．
22. 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，图1中的2个全等的直角三角形可以拼成不同的图形，用来证明勾股定理．

（1）如图2，，，求证，并用此图验证勾股定理；
（2）若图1中，，图3中方格纸中的小正方形的边长为1，请你用两种不同的方式将图1中两个全等的直角三角形放入图3的两个五边形中，并涂上阴影，则图3（1）中空白部分的面积为 ，图3（2）中空白部分的面积为 ，从而得到 ；（用a，b，c表示）
（3）用（2）中4个全等的直角三角形拼成如图4中的形状，求这个图形外围轮廓（实线）的周长．
【答案】（1）证明见解析
（2），，
（3）20
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的证明和应用，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键．
（1）根据得到，然后等量代换得到，求出，即证明出；连接，设，，，得到，然后代入整理求解即可；
（2）根据题意画出图形，然后表示出图（1）中空白面积和图（2）中空白面积，进而求解即可；
（3）首先根据勾股定理求出，然后由，得到，然后证明出，证明出，得到，设，则，根据勾股定理求出，得到，进而求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示，连接，

∵，
∴设，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图所示，

∵，，
∴图（1）中空白面积；
图（2）中空白面积．
∴；
【小问3详解】
解：如图所示，

∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴中，，
∴，
解得，
∴，
同理可得，，
∴这个图形外围轮廓（实线）的周长．
23. 如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）在坐标系中描出，并求边上的高；
（2）以为直角边，作，使其面积为，则点E的坐标为
（3）若点D在线段上，且，点Q在x轴上且，求点Q的坐标；
【答案】（1）画图见解析，边上的高为；
（2），，，
（3）点Q的坐标为或．
【解析】
【分析】此题考查了坐标与图形，勾股定理，三角形面积公式，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）首先画出，然后利用勾股定理求出，然后利用网格求出，然后根据三角形面积公式得到，进而求解即可；
（2）设边上的高为x，根据三角形面积公式求出，得到的另一条直角边长为，然后根据网格的特点求解即可；
（3）首先根据题意得到，求出，设，则，根据题意得到，然后代入求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，
设边上的高为h，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴边上的高为；
【小问2详解】
解：∵为直角边，作，使其面积为，
∴设边上的高为x，
∴，即，
∴，
∴的另一条直角边长为，
∵，
∴如图所示，
由网格特点得，当为直角边时，，；
当为直角边时，，；
综上所述，点E的坐标为，，，；
【小问3详解】
解：∵，点D在线段上，且，
∵点Q在x轴上，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，则，
∴，
∴解得或，