湖北省武汉市光谷实验中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学测试题（解析版）-A4

这是一份湖北省武汉市光谷实验中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学测试题（解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 一元二次方程3x2﹣2＝x化成一般形式后，二次项系数为3，它的一次项系数和常数项分别是（ ）
A. 1、2B. ﹣1、﹣2C. 3、2D. 0、﹣2
【答案】B
【解析】
【分析】方程整理为一般形式，确定出一次项系数和常数项即可．
【详解】解：方程整理得：3x2﹣x﹣2＝0，
则方程的一次项系数和常数项分别是﹣1，﹣2．
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）．
2. 下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，分别计算的值，根据，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根，进行判断．
【详解】解：A、，方程无实数根，故不符合题意；
B、，方程有两个不相等的实数根，故不符合题意；
C、原方程变形为，，方程有两个相等的实数根；故符合题意；
D、原方程变形为，，方程有两个不相等的实数根，故不符合题意；
故选： C．
3. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了配方法解方程，先移项，再等式两边同时加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式进行整理即可．
【详解】解：∵，
∴，
，
整理后得，，
故选：D．
4. 已知的两根为，，则的值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系：，直接得出结果即可．
【详解】解：∵的两根为，，
∴，
故选：B．
5. 某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共900万元，若设平均每月增长率为x，则可列方程应为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用—变化率问题，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为，本题原来的量为100，则二月份和三月份的营业额分别为和，相加即可．
【详解】解：∵一月份的营业额为100万元，
∴则二月份和三月份的营业额分别为和，
∴第一季度的营业额为
∴，
故选：D ．
6. 将抛物线向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数图象的平移，直接利用“左移加，右移减，上移加，下移减”可得答案．
【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度得到的抛物线的解析式为；
故选：A
7. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ）
A. 抛物线的开口向上B. 抛物线的顶点坐标为
C. 对称轴为直线D. 当时，y随x的增大而增大
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论．
【详解】解：A、∵，
∴抛物线的开口向下，本选项错误，
B、抛物线的顶点为，本选项正确，
C、抛物线的对称轴为：直线，本选项错误，
D、∵抛物线的开口向下且对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，本选项错误，
故选B．
8. 已知点，，都在的图像上，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数图像与性质，熟练掌握利用二次函数图像与性质比较函数值大小的方法是解决问题的关键．根据二次函数图像与性质，结合确定开口向下，确定对称轴为轴，看，，到对称轴的距离，当二次函数图像开口向下时，点离对称轴距离越近函数值越大；越远函数值越小，比较各点到对称轴的距离即可确定函数值大小．
【详解】解：∵点，，都在的图像上，
由确定开口向下，且对称轴为轴，
∴当二次函数图像开口向下时，点离对称轴距离越近函数值越大；越远函数值越小，
∵到轴的距离为；到轴的距离为；到轴的距离为；
∴，
故选：A．
9. 小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图像，如图所示，通过观察此图像，下列说法错误的是（ ）
A. 点在的图象上B. 若，则
C. 最多有三个实数根D. 当时，y随x的增大而减小
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了函数的图象与性质，依据题意，根据函数的图象逐个分析判断可以得解．解题时要熟练掌握并能通过图象分析是关键．
【详解】解：由题意，对于A，当时，，
∴点在的图象上，故A正确，不合题意；
对于B，结合图象可得 若，则，
∴B错误，符合题意；
对于C，∵函数与直线y=kx−2k=kx−2的交点如图所示，
∴函数与直线y=kx−2k=kx−2的交点最多3个．
∴方程最多有三个实数根，故C正确，不符合题意；
对于D，结合图象可得，当时，随的增大而减小，
∴D正确，不合题意．
故选：B．
10. 赵爽弦图是以我国古代数学家赵爽名字命名的．如图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．连接并延长，交边于点I．若，，四边形的面积是5，则的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图，连接，证明，可得，为的中点，可得，证明，再进一步可得，再求解，结合勾股定理可得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∵图形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，
∴为的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选：D
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，正方形的性质，三角形的面积问题，熟练的利用三角形的中线等分三角形的面积是解本题的关键．
二、填空题（共6题，每小题3分，共18分）
11. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 根据一元二次方程的定义得到且，然后解方程和不等式即可得到满足条件的的值．
【详解】解：关于的方程是一元二次方程，
且，
解得；
故答案为：．
12. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是．那么飞机着陆后滑行__________米停下（即飞机滑行的最大距离）．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了二次函数应用，正确求出二次函数顶点纵坐标是解题关键．直接利用二次函数的性质求出二次函数顶点纵坐标，即可得出答案．
【详解】解：∵，
当（秒）时，s将取到最大值，
即飞机着陆后40秒停下．
此时，
故答案为：
13. 若等式成立，则k的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式，求一个数的平方根，根据完全平方公式得到，则，据此可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 若关于x的方程有实数根，则m的取值范围为：__________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程和一元二次方程的根的判别式，利用分类讨论的思想分析问题是解题关键．分当时和当两种情况讨论求解即可．
【详解】解：当，即时，此时关于的方程为，
解得，方程有实数根；
当，即时，此时关于的方程若有实数根，
则有，
解得．
综上所述，当时，关于的方程有实数根．
故答案：．
15. 如图，在等边中，，交的平分线于点D，点E为上一点，点F为上一点，，连接，，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】过点D作，取，连接，，过点作于点M，过点作，交的延长线于点N，延长交于点H，证明，得出，说明，得出当、、三点共线时，最小，即最小，且最小值为，利用勾股定理，矩形的判定和性质，求出结果即可．
【详解】解：过点D作，取，连接，，过点作于点M，过点作，交的延长线于点N，延长交于点H，如图所示：
∵为等边三角形，
∴，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当、、三点共线时，最小，即最小，且最小值为，
∵，
∴，
根据勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
根据勾股定理得：，
∵，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，负值舍去，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关三角形的判定，证明．
16. 已知二次函数的图象如图，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数）其中正确的结论有：__________（填序号）．
【答案】②④⑤
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与各项系数符号的关系，根据二次函数的图象判断式子的符号，熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的方法解题，是解此题的关键．
由抛物线的开口方向可以得出，由抛物线与轴的交点可以判断，由抛物线的对称轴可以判断，再根据抛物线与轴的交点情况以及抛物线的顶点进行推理即可得到答案．
【详解】解：①二次函数的图象开口方向向下，与轴交于正半轴，对称轴为直线，
，
，
，故①错误，不符合题意；
②二次函数的图象与轴的右侧交点在的右边，图象开口方向向下，
当时，，
，故②正确，符合题意；
③二次函数的图象与轴的交点在的右边，图象开口方向向下，
当时，，
，则，
故③错误，不符合题意；
④ ∵，
，
由③得：，
，
，故④正确，符合题意；
⑤二次函数的图象的对称轴为直线，
当时，取最大值，最大值为，
当时，，
，故⑤正确，符合题意；
综上所述：正确的结论有：②④⑤，
故答案为：②④⑤．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17. 解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），．
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程之配方法，解题关键是掌握配方法的步骤．对于，根据配方法，先两边同除以a得，后移项可得，再方程两边同时加上的平方，可得，然后即可得，再直接开平方即可．
（1）先将常数项移到右边，再两边同时加，左边配成完全平方式，再写成乘方形式，直接开平方即可求解；
（2）先将常数项移到右边，再两边同时加，左边配成完全平方式，再写成乘方形式，直接开平方即可求解．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
，
，．
【小问2详解】
，
，
，
，
，
，．
18. 如图，抛物线与y轴交于点．
（1）m的值为__________；
（2）当x满足__________时，y的值随x值的增大而减小；
（3）当x满足__________时，抛物线在x轴上方；
（4）当时，x的取值范围是__________．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）或．
【解析】
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，对称轴，与x轴的交点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，注意进行数形结合．
（1）把点0,3代入抛物线的关系式，求出m的值即可；
（2）根据二次函数图象的性质，求出对称轴，即可得出答案；
（3）先求出抛物线与x轴的两个交点，结合函数图象即可得出答案；
（4）结合函数图象可知，当时，函数图象在直线的下方（包括交点），求解当时，，，再结合函数图象可得答案．
【小问1详解】
解：把点代入抛物线的关系式得：．
【小问2详解】
解：把代入得：
，
对称轴为直线，
∵，
∴当时y值随x值的增大而减小；
【小问3详解】
解：根据解析（1）可知，抛物线的关系式为：，
把代入得：，
解得：，，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：，，
∴结合函数图象可知，当时，抛物线在x轴上方；
【小问4详解】
解：结合函数图像可知，当时，
∴ 函数图象在直线的下方（包括交点），
∴当时，
解得：，．
∴当时，或．
19. 关于x的方程．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；
（2）若，是方程的两根，且，求a的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，解题的关键：①正确掌握一元二次方程根的判别式，②正确掌握一元二次方程根与系数的关系．
（1）根据“有两个不相等的实数根”，结合一元二次方程根的判别式，得到关于a的一元一次不等式，解之即可，
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得：，，结合，再进一步解答即可．
【小问1详解】
解：∵有两个不相等的实数根，
∴，
整理得：，
解得：，
即a的取值范围为：；
【小问2详解】
解：根据题意得：
，，
∵，
∴，
∴，
整理，得．
解得，．
∵当时，结合（1）可得：
故a的值是．
20. 如图，中，∠，，，点P从B点出发以每秒的速度向C点运动，同时Q从C点出发以相同的速度向A点运动，当其中一个点到达目的地时另一点自动停止运动，设运动时间为

（1）用含t的代数式表示、的长，并直接写出t的取值范围；
（2）多长时间后的面积为？
（3）多长时间后P点、Q点的距离为52？
【答案】（1），，
（2）或时，的面积为
（3）秒
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.注意分类思想的运用.
（1）根据题意即可得到结论；
（2）根据题意列方程即可得到结论；
（3）根据勾股定理解方程即可得到结论.
【小问1详解】
解：；
；
的取值范围为：；
【小问2详解】
设秒后,的面积为
根据题意得，
解得：，
答: 经过或时，的面积为；
【小问3详解】
设秒后点、点的距离为，
根据题意得，，
解得： 或 (不合题意舍去)，
答：秒后点、点距离为 ．
21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫敬格点图中A，C都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
（1）在图1中，点B是格点，点D是与网格线的交点，先画格点E，使于点A，且，再连，在上画点F，使；
（2）在图2中，点G为格线上的非格点，先画线段中点，再画线段，使，且．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理、矩形的性质等知识，充分利用网格的特点是作图的关键．
（1）利用网格的特点和把线段逆时针旋转作出线段，再取格点K，连接、，设交格线与点Q，连接，交于点F，则；
（2）利用网格的特点作网格线的中点J、K，作直线交于点H，则点H即为线段中点，取的中点O，连接交格线于点P，连接，则即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示，
【小问2详解】
如图所示，点H和即为所求，

22. 如图，用长为米的篱笆围成一个矩形菜地，菜地一边靠墙，与墙平行的边上开一个宽度为2米的门；
（1）设，矩形的面积为y，写出y关于x的解析式．（可不写x的取值范围）
（2）若墙长度为米，围成的菜地面积为平方米，求出矩形菜地的长和宽．
（3）若墙的长度足够长，在与墙平行的边上开一个宽度为米的门，围成的菜地面积为平米，请直接写出m的取值范围是__________．
【答案】（1）；
（2）矩形菜地的长和宽都为10米．
（3）
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，二次函数的应用，一元二次方程根的判别式的应用；
（1）设，可得，再利用面积公式列函数关系式即可；
（2）当面积为，代入（1）的函数解析式建立方程求解即可；
（3）设，可得：，再结合一元二次方程根的判别式求解可得答案．
【小问1详解】
解：根据题意得，；
小问2详解】
解：当时，即，
整理得：，
解得：，，
∵墙长15米，
当时，，不符合题意，
当时，，符合题意，
∴矩形菜地的长和宽都为10米．
【小问3详解】
解：设，
由题意可得：，
整理得：，
由方程有解可得：，
解得：，（舍去），
∵，
∴．
23. 已知如图，点D是外一点，，．
（1）如图（1），若，，求证：；
（2）如图（2），若，，，，求证：；
（3）如图（3），若，，，，则__________．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）通过证明，即可求证；
（2）延长交于，连接，通过证明，即可求证；
（3）过在的上方作，，连接，，利用前面的结论以及勾股定理建立方程求解即可．
【小问1详解】
证明：，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
【小问2详解】
证明：延长交于，连接，如下图：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：过在的上方作，，连接，，如下图：
则，
设，交于点，，交于点，
由（1）可得，则，，
∵，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
由勾股定理可得：，，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，一元二次方程的解法，正确作出辅助线是解题的关键．
24. 已知抛物线与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点．
（1）求点A、B的坐标；
（2）点P是第四象限抛物线上一点，线段与线段相交于点M，若点M为线段的三等分点，求点P的坐标；
（3）将抛物线向上平移个单位，交线段于点M，N，若，直接写出m的值．
【答案】（1）、
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）把代入解析式可得：，可得：，可得抛物线的表达式为：，令，则，再进一步解答即可；
（2）如图，点为线段的三等分点，过作，，垂足分别为，证明，可得，同理可得：，求解直线的解析式为，直线的解析式为：，再进一步可得答案；
（3）设平移后的抛物线为：，求解直线为：， 设点的坐标分别为：x1,y1，x2,y2，可得，，，证明，可得，由勾股定理求解，，，可得，而，再建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：把代入解析式可得：，
∴，
解得：，
故抛物线的表达式为：，
令，则
解得：或，
故点A、B的坐标分别为：、；
【小问2详解】
解：如图，点为线段的三等分点，过作，，垂足分别为，
∴，
∴，
∴，而，
∴，，，
∴，
同理可得：，
设直线的解析式为：，
∴，解得：，
∴直线为，
令，
解得：，，
∴，
∵，，
同理可得：直线的解析式为：，
令，
解得：，，
∴，
综上：或．
【小问3详解】
解：设平移后的抛物线为：，
∵，，
∴，
同理可得：直线为：，
∴，
∴，
设点的坐标分别为：x1,y1，x2,y2，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，而，
∴，
∴，
解得：，（不符合题意舍去），
综上：．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法以及根与系数的关系，二次函数与一次函数的交点坐标，本题难度很大，计算量也大，选择合适的方法解题是关键．