广东省汕头市潮阳实验学校2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省汕头市潮阳实验学校2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了 如图，给出下列四组条件等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 把一根的铁丝按下面选项长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了能够构成三角形的条件．根据在组成三角形的三条边中，任意一边大于其他两边之差，任意一边小于其他两边之和，即可求得结果，掌握组成三角形的条件是解题的关键．
【详解】解：A、，故不能组成三角形，该选项不符合题意；
B、，故不能组成三角形，该选项不符合题意；
C、，故不能组成三角形，该选项不符合题意；
D、，故能组成三角形，该选项符合题意；
故选：D．
2. 如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是（ ）

A. 两点之间的线段最短B. 长方形的四个角都是直角
C. 长方形是轴对称图形D. 三角形有稳定性
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形具有稳定性在实际生活中的应用．根据三角形具有稳定性解答．
【详解】解：用木条固定长方形门框，使其不变形的根据是三角形具有稳定性．
故选：D．
3. 如图，给出下列四组条件：①，，；②， ，；③，，；④，，．其中，能使的条件共有（ ）
A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．根据全等三角形判定的条件，可得答案．
【详解】解：①，，，可利用判定全等；
②， ，，可利用判定全等；
③，，，可利用判定全等；
④，，，属于，不能判定全等；
∴能判定的条件有3组，
故选：C．
4. 如图所示，在中，，为的平分线，，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、角平分线的定义，由角平分线的定义得出，再由角平分线的性质定理即可得出，再证明即可得出，即可得解．
【详解】解：∵为的平分线，
∴，
∵，，
∴，
在和，
，
∴
∴，
∴．
故选：A．
5. 如图，在中，点为边上一点，连接，取的中点，连接，．若的面积为，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了根据三角形的中线求三角形的面积，由点P为的中点，可得， ，于是得到结论．
【详解】解：∵点P是的中点，
，，
∵，
,
故选：C．
6. 如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
延长至，使，连接．由证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解．
【详解】解：延长至，使，连接．
则，
∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
即，
，
故选：A．
7. 如图，在中，是角平分线，，垂足为，点在点的左侧，，，则的度数为（ ）
A. B. 30°C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线，直角三角形两锐角互余，由三角形内角和定理可得，进而由三角形角平分线的定义可得，又由直角三角形两锐角互余可得，最后根据角的和差关系即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
8. 如图，，是中点，平分，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作于，根据平行线性质求出，根据角平分线的判定定理得到，计算即可．
【详解】解：作于，
，
，
又，
，
平分，，，
，
是的中点，
，
，
又，，
，
故选：A．
【点睛】本题考查的是角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
9. 如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，三角形的内角和定理， 直角三角形的性质，设，根据角平分线的定义得，，由三角形的外角定理得，则，同时，由此得，则，进而得，，然后再根据可得的度数，熟练掌握三角形的外角定理和三角形的内角和定理是解题的关键．
【详解】解：设，
∵平分，
∴，，
∵是的外角，
∴，
∵平分，
∴
∵是的外角，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
10. 如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，，则；③当时，；④若，，则．其中正确的个数是（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解与的关系，进而判定①；过O点作于P，由角平分线的性质可求解，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在AB上取一点H，使，证得，得到，再证得，得到，进而判定③正确；作于N，于M，根据三角形的面积可证得④正确．
【详解】解：∵和的平分线相交于点O，
∴，，
∴，故①错误；
过O点作于P，

∵平分，，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，分别是与的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，在AB上取一点H，使，

∵是的角平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故③正确；
作于N，于M，

∵和的平分线相交于点O，
∴点O在的平分线上，
∴，
∵，
∴，故④正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质定理，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得，得到，是解决问题的关键．
二．填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11. 过边形的一个顶点可以画出10条对角线，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了多边形的性质，解方程，由过边形的一个顶点可以画出条对角线，根据题意得，然后解方程即可，熟练掌握性质，灵活解方程是解题的关键．
【详解】解：由题意得，
解得：，
故答案为：．
12. 如图，在中，点、分别在边、上，如果，那么的大小为____________．
【答案】##度
【解析】
【分析】先根据三角形内角和定理得到，再根据平角的定义得到，由此求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，邻补角互补，熟知三角形内角和为是解题的关键．
13. 如图，，则的度数是____．
【答案】70
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握这性质是关键．根据三角形全等的性质，得出，然后求出即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
14. 如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数为_______．
【答案】540°
【解析】
【分析】由图知∠A＋∠B＋∠C＋∠1＝360°，∠2＋∠3＋∠F＋∠G＝360°，根据∠3＝∠D＋∠E，∠1＋∠2＝180°可得∠A＋∠B＋∠C＋∠1＋∠2＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝720°，即可得出答案．
【详解】解：如图，
四边形ABCN中，∠A＋∠B＋∠C＋∠1＝360°，
四边形MNGF中，∠2＋∠3＋∠F＋∠G＝360°，
∵∠3＝∠D＋∠E，∠1＋∠2＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠1＋∠2＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝720°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝540°．
故答案是：540°．
【点睛】本题主要考查多边形的内角与外角，解题的关键是掌握四边形的内角和与三角形的外角的性质．
15. 在中，，，点D是边上一点，过点D将折叠，使点C落在下方的点处，折痕DE与交于点E，当AB与的一边平行时，的度数为___________．

【答案】或
【解析】
【分析】需要分两种情况讨论：①当时；②当时．可先求得的度数，然后求得的度数，利用三角形内角和，即可求得答案．
【详解】解：①当时．
由轴对称图形的性质可知
，．
，
．
．
．
．
．
．
②当时．
由轴对称图形的性质可知
，．
，
．
．
．
．
．
综上所述，的度数为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、轴对称图形的性质、多边形内角和等．牢记平行线的性质、轴对称图形的性质、多边形内角和公式，并根据题意分类讨论是解题的关键．
三．解答题（一）（共3小题，每小题7分，满分21分）
16. 已知一个多边形的边数为，若这个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的倍多30°，求的值．
【答案】的值为．
【解析】
【分析】本题考查了多边形的外角和，内角与外角之间的关系，根据这个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的倍多，设多边形的相邻的外角为，由题意得，求出，再根据多边形的边数“每一个外角”即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：设多边形的相邻的外角为，
由题意得，
解得：，
∴，
∴的值为．
17. 如图，已知，，，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是通过得出．
根据可得，再根据即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴．
18. 如图，点D在的边上，且．
（1）作的平分线，交于点E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，但不必写出作法）；
（2）在（1）的条件下，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，三角形外角性质，基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
（1）利用基本作图：作已知角的平分线作法，作的平分线即可；
（2）先根据角平分线的定义得到，再利用三角形外角性质得，利用，则，然后根据平行线的判定方法可判定．
【小问1详解】
解：如图，DE为所作；
【小问2详解】
解：平分，
，
而，
即，
，
，
．
四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，满分27分）
19. 综合实践：如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的B点（AB与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案．

根据题意完成下列两个问题：
（1）请你根据题意帮助小明同学将测量方案示意图补充完整；
（2）你认为小明制定的方案正确吗？若正确，求出凉亭与游艇之间的距离．
【答案】（1）见解析 （2）小明的方案是正确的，凉亭与游艇之间的距离为米
【解析】
【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是从实际问题中抽象出全等三角形的图形.
（1）根据题意可知，小明的方案中蕴含着一对全等三角形， 即，将图形补充完整即可；
（2）由题意可知米, 与 是对顶角, 由“”可判定则 米，说明小明的方案是正确的.
【小问1详解】
将测量方案示意图补充完整如图所示：
【小问2详解】
小明的方案是正确的，理由:如图,由题意可知，米, 米,米,
，
在和中,
，
，
米，
∴小明的方案是正确的，这时凉亭与游艇之间的距离为米.
20. 如图，四边形中，，连接对角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若．求证：
（1）；
（2）；
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（）由，得，再证明，根据全等三角形的性质得，最后由角度和差即可求证；
（）连接，由“”可证可得，最后通过线段和差即可求证；
本题考查了全等三角形的判定和性质，线段和差，角度和差，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
【小问1详解】
证明： ∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：如图，连接，
由（）得：，
∴，
和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
21. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图、图），即“一线三等角”模型和“字”模型．
【问题发现】如图，已知，中，，，一直线过顶点，过，分别作其垂线，垂足分别，．易证；
（1）如图，若改变直线的位置，其余条件与前面相同，请直接写出，，之间的数量关系_________；
【问题提出】
（2）在（）的条件下，若，，则的面积为____________．
（3）如图，正方形中，，，求的面积．
【答案】（）；（）；（）的面积为．
【解析】
【分析】（）根据垂直的定义和余角的性质得到 ，证明，根据全等三角形的性质和线段和差即可求解；
（）由（）得，，设，则，求出，，最后用面积公式即可求解；
（）过作，交延长线于点，由四边形是正方形得，，根据同角的余角相等得，证明，根据全等三角形的性质得，最后用面积公式即可求解；
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
【详解】解：（）∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
即，
故答案为：；
（）由（）知：，，
设，则，
∴，
解得：，
∴，，
∴的面积为，
故答案：；
（）如图，过作，交延长线于点，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴的面积为．
五．解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22. 如图，在直角坐标系中，OC OD，OC OD ，DC 的延长线交 y 轴正半轴上点 B ，过点C 作CA  BD 交 x 轴负半轴于点A ．
（1）如图1，求证：OAOB
（2）如图1，连AD，作OM ∥AC交AD于点M，求证： BC  2OM
（3）如图2，点E为OC 的延长线上一点，连DE，过点D作DFDE且DF DE ，连CF 交 DO 的延长线于点G 若OG 4，求CE 的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CE=OT=8．
【解析】
【分析】（1）由OC⊥OD，CA⊥BD知∠COD=∠BCA=∠AOB=90°，从而得∠AOC=∠BOD，∠OBD=∠OAC，结合OC=OD证△AOC≌△BOD可得答案；
（2）作AN∥OD，交OM延长线于点N，先证△BOC≌△OAN得BC=ON，AN=OC=OD，再证△AMN≌△DMO得OM=MN=ON，从而得证；
（3）作FT⊥DG，交DG延长线于点T，先证△FTD≌△DOE得FT=OD=OC，DT=OE，再证△FTG≌△COG得OT=2OG=8，根据OE=DT，OC=OD可得CE=OT．
【详解】解：（1）∵OC⊥OD，CA⊥BD，
∴∠COD=∠BCA=∠AOB=90°，
∴∠BOC+∠COE=90°, ∠DOE+∠COE=90°,
∴∠BOC=∠DOE,
∴∠AOC=∠BOD，
同理可证∠OBD=∠OAC，
在△AOC和△BOD中，
∵，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴OA=OB；
（2）如图1，过点A作AN∥OD，交OM延长线于点N，
则∠OAN+∠AOD=180°，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOD+∠BOC=180°，
∴∠OAN=∠BOC，
又∵OM∥AC，
∴∠AON=∠CAO，
由（1）知∠CAO=∠OBC，
∴∠AON=∠OBC，
又∵OA=OB，
∴△BOC≌△OAN（ASA），
∴BC=ON，AN=OC=OD，
∵AN∥OD，
∴∠MAN=∠MDO，∠MNA=∠MOD，
∴△AMN≌△DMO（ASA），
∴OM=MN=ON，即ON=2OM，
∴BC=2OM；
（3）如图2，过点F作FT⊥DG，交DG延长线于点T，
则∠FTD=∠DOE=90°，
∴∠ODE+∠OED=90°，
又∵DE⊥DF，
∴∠ODE+∠FDT=90°，
∴∠OED=∠TDF，
∵DE=DF，
∴△FTD≌△DOE（AAS），
∴FT=OD，DT=OE，
∵OD=OC，
∴FT=OC，
∵∠FTG=∠COG=90°，∠FGT=∠CGO，
∴△FTG≌△COG（AAS），
∴OT=2OG=8，
∵OE=DT，OC=OD，
∴CE=OT=8．
【点睛】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线为判定三角形的全等创造条件等知识点．
23. 【初步认识】
（1）如图1，平分，平分外角，若，则____．
【变式探究】
（2）已知为四边形，为边延长线上一点，如图2，，，和的平分线交于点，则______．
【继续探索】
（3）已知为四边形，为边延长线上一点，如图3，，，且，和的平分线交于点，求与、之间的数量关系，并说明理由；
【终极挑战】
（4）如果将（3）中的条件改为，再分别作和的平分线，且两平分线所在的直线交于点，那么与、又有怎样的数量关系？请直接写出结论．（不用说明理由）
【答案】（1）40；（2）25；（3），理由见解析；（4）
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是：
（1）利用角平分线定义和三角形外交的性质可探究出，即可求解；
（2）延长、相交于G，先求出的度数，然后同（1）得出，即可求解；
（3）类似（2）探究即可；
（4）延长，相交于G，延长，先求出，再判断平分，平分，然后同（1）得出，即可求解．
【详解】解：∵平分，平分外角，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：40；
（2）延长、相交于G，
∵，，
∴，，
∴，
同（1）可证，
∴，
故答案为：25；
（3）
理由：延长、相交于G，
∵，，
∴，，
∴，
由（2）知，
∴；
（4）
理由：延长，相交于G，延长，
∵，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴平分，
同理平分，
同（1）可证，
课题
测凉亭与游艇之间的距离
测量工具
皮尺等
测量方案示意图（不完整）
测量步骤
①小明沿堤岸走到电线杆C旁（直线与堤岸平行）
②再往前走相同的距离，到达D点；
③他到达D点后向左转90度直行，当自己、电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点E处．
测量数据
米，米，米