广东省广州市天省实验学校2024~2025学年上学期10月月考八年级数学试卷（解析版）-A4

这是一份广东省广州市天省实验学校2024~2025学年上学期10月月考八年级数学试卷（解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了 图中的两个三角形全等，则等于， 如图，已知平分，于点，等内容，欢迎下载使用。
1. 第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，下列巴黎奥运会的项目图标中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转．据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故该选项是错误的；
B、不是轴对称图形，故该选项是错误的；
C、是轴对称图形，故该选项是正确的；
D、不是轴对称图形，故该选项是错误的；
故选：C．
2. 下列各组图形中，是的高的图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念即可得到答案．
【详解】解：根据三角形高的定义可知，只有选项B中的线段BD是△ABC的高，
故选：B．
【点睛】考查了三角形的高的概念，掌握高的作法是解题的关键．
3. 图中的两个三角形全等，则等于( )

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】解；∵两个三角形全等，
∴是边a和边c的夹角，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和三角形的内角和，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
4. 三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）
A. 三条高线交点B. 三条中线的交点
C. 三条角平分线的交点D. 三边垂直平分线的交点
【答案】C
【解析】
分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
【详解】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，
根据角平分线的性质，集贸市场应建在、、的角平分线的交点处．
故选：C．
5. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是，
故选：A．
6. 等腰三角形中，，，线段的垂直平分线交于，连接，则的周长等于（ ）

A. 26B. 20C. 16D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后求出的周长，再代入计算即可求解．
【详解】解：垂直平分，
，
的周长，
又，，
的周长．
故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题关键．
7. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出即可．
【详解】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故选：D
8. 如图，是ΔABC的一个外角，，，则的度数为（ ）
A. 70°B. 72°C. 60°D. 50°
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据等边对等角得到度数，再根据平角定义即可求出的度数．
【详解】解：，，
，
又∵，
∴．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，解决此题的关键是求出的度数．
9. 若一个等腰三角形的一条边是另一条边的k倍，我们把这样的等腰三角形叫做“k倍边等腰三角形”．如果一个等腰三角形是“4倍边等腰三角形”，且周长为18cm，则该等腰三角形底边长为（ ）
A. 12cmB. 12cm或2cmC. 2cmD. 4cm或12cm
【答案】C
【解析】
【分析】分两种情况讨论，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长，再根据三角形三边关系即可求解．
【详解】解：设底边长为xcm，腰长为4xcm，
根据题意得：4x+4x+x=18，
解得：x=2，
则三边长为：2，8，8，能组成三角形；
设腰长为ycm，底边长为4ycm，
根据题意得：4y+y+y=18，
解得：y=3，
则三边长为：3，3，12，不能组成三角形；
∴该等腰三角形底边长为2cm，
故选：C．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解．
10. 如图，已知平分，于点，.有下列结论：①；②；③；④.其中正确结论的个数是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点作，证得，根据线段间的关系即可求解判断.
【详解】如图，过点作，易知，.
∴.
∴，故①正确；
在四边形ABCD中，∠DAB+∠BCD=180°，
∵BC=CD,
∴∠CBD=（180°-∠BCD）=∠DAB，
∵∠CAB=∠DAB,
∴
∴②正确；
，故③正确；
，故④正确.
【点睛】此题主要考查角平分线的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11. 八边形的外角和为_____________．
【答案】360
【解析】
【分析】根据多边形的外角和等于即可得．
【详解】解：因为多边形的外角和等于，
所以八边形的外角和为，
故答案为：360．
【点睛】本题考查了多边形的外角和，熟记多边形的外角和等于是解题关键．
12. 正方形的对称轴的条数为________．
【答案】4
【解析】
【详解】正方形有4条对称轴．
故答案是:4．
13. 如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠C＝70°，则∠B＝_____°．
【答案】35．
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ADC=70，再根据三角形外角的性质和等腰三角形可求∠B的度数．
【详解】∵AC=AD，∠C=70，
∴∠ADC=∠C=70，
∵AD=DB，
∴∠B=∠BAD，
∴∠B=∠ADC=35．
故答案为：35．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
14. 如图，在中，，，则边上的中线的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】延长至，使，由证明，得出，在中，由三角形的三边关系求出的取值范围，即可得出的取值范围．
【详解】解：延长至，使，连接，如图所示
是边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
，即，
；
故答案为．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．
15. 如图，中，．在上截取，作的平分线与相交于点P，连接．若的面积为，则的面积为_________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可得出，即得出和是等底同高的三角形，和是等底同高的三角形，即可推出，即可求出答案．
【详解】解：∵是的角平分线，
∴，
∴和是等底同高的三角形，和是等底同高的三角形，
∴．
∵，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质．掌握等腰三角形“三线合一”是解答本题的关键．
16. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则△APC周长的最小值为_____．
【答案】7
【解析】
【分析】△APC周长，因为AC＝3，所以求出AP+CP的最小值即可求出△APC周长的最小值，根据题意知点关于直线EF的对称点为点B，故当点P与点E重合时，AP+CP的值最小，即可得到结论．
【详解】∵直线EF垂直平分AB，
∴A，B关于直线EF对称，
设直线EF交BC于E，
∴当P和E重合时，AP+CP的值最小，最小值等于BC的长，
∴△APC周长的最小值，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用、垂直平分线的性质、三角形周长，解答本题的关键是准确找出P的位置．
三、解答题（共8题，共72分）
17. 如图，已知，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】利用“边角边”证明△ABC和△AED全等，根据全等三角形对应角相等可得∠B＝∠E．
【详解】.证明：∵，
∴，即．
在和中，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握是三角形全等的判定方法是解题的关键．
18. 如图，中，，．
（1）尺规作图：作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若，直接写出的面积为： ．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线、角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据角平分线的作法即可完成作图；
（2）作于，由角平分线的性质定理得出，再由三角形面积公式计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：如图，角平分线即为所作，
；
【小问2详解】
解：如图，作于，
，
∵平分，，
∴，
∴．
19. 如图，在直角坐标系中，．
（1）在图中作出关于轴对称的图形；
（2）写出点的坐标；
（3）求的面积．
【答案】（1）详见解析
（2）；
（3）
【解析】
【分析】本题考查了作图-对称性变换．掌握轴对称的性质是解决问题的关键．
（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出的坐标，然后描点即可；
（2）根据点的位置写出坐标即可；
（3）用一个矩形的面积减去三个三角形的面积计算的面积．
【小问1详解】
解：如图，为所作；
；
【小问2详解】
解：点坐标为；
【小问3详解】
解：的面积．
20. 如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，交BC于点E，DE∥AB交AC于点D．
(1)求证AD=ED；
(2)若AC=AB，DE=3，求AC的长．

【答案】(1)证明见解析；(2)6.
【解析】
【分析】（1）由AE是∠BAC的角平分线可得∠DAE=∠BAE，由DE∥AB，可得∠DEA=∠EAB，则∠DEA=∠DAE，可得结论．
（2）根据等腰三角形三线合一可得AE⊥BC，可证∠C=∠CED则CD=DE，即可求AC的长．
【详解】证明：(1)∵AE是∠BAC的角平分线
∴∠DAE=∠BAE，
∵DE∥AB
∴∠DEA=∠EAB，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE-；
(2)∵AB=AC，AE是∠BAC的角平分线
∴AE⊥BC
∴∠C+∠CAE=90°，∠CED+∠DEA=90°，
∵∠CAE=∠DEA，
∴∠C=∠CED，
∴DE=CD，
∴AD=DE=CD=3，
∴AC=6.
故答案为(1)证明见解析；(2)6.
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，关键是利用这些性质解决问题．
21. 某同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点B在上，点A和D分别与木墙的顶端重合．

（1）求证：；
（2）求两堵木墙之间的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）两堵木墙之间的距离为50
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的应用．
（1）根据题意可得，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可；
（2）利用全等三角形的性质进行解答．
【小问1详解】
由题意得：，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
由题意得：，
∵，
∴
∴，
答：两堵木墙之间距离为50．
22. 如图，中，，的外角平分线交于点，交的延长线于，交的延长线于，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，垂线的定义，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
过点作于，根据角平分线的性质定理得到，进而可证得，于是可得，同理可得，于是可得出结论．
【详解】证明：如图，过点作于，
是的平分线，
，，
，
，
又，
，
，
同理，，
．
23. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，两垂直平分线交的边于点，，，，连接，，．
（1）若，求的度数；
（2）求证：平分；
（3）若，则的度数为______．（用含的代数式表示）
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得，根据等角对等边得出，根据三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理，即可求解；
（2）过点作的垂线，垂足分别为点，根据角平分线的性质与判定即可得证；
（3）先由三角形内角和定理得到，则，再推出，，据此根据三角形内角和定理可得答案．
【小问1详解】
解：分别为的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
证明：过点作的垂线，垂足分别为点，

，
，
又，
，
，
，
同理，
平分．
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，角平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质以及角平分的性质与判定是解题的关键．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，满足：．
（1）求的面积；
（2）如图1，为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角，，连接，求直线与轴交点的坐标；
（3）如图2，点为轴正半轴上一点，且，，平分，点是射线上一动点，点是线段上一动点，试求的最小值（图1与图2中点坐标相同）．
【答案】（1）18 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据非负数的性质求得A，B的坐标，再根据三角形的面积公式即可求解；
（2）过点E作轴于G，证明得出，设，则，得出E点的坐标为，求得的解析式为，令，即可求得点F的坐标；
（3）如图：过点O作于G，交于M，作于N，连接．根据角平分线的性质定理可得，即，进而得到当O、M、G三点共线且时，的值最小，且最小值为；再根据勾股定理求得，最后运用等面积法求得的长即可
【小问1详解】
解：∵，
∴，解得：，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图所示，过点E作轴于G，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∴E点的坐标为，
∵，
设直线的解析式为：，
代入点A和点E的坐标得：
，解得：，
∴的解析式为，
∴当时，，
∴与y轴的交点F坐标为；
【小问3详解】
解：如图：过点O作于G，交于M，作于N，连接，
∵平分，
∴，
∴，
∴当O、M、G三点共线且时，的值最小，且最小值为，
∵，，
∴，
∴，即，解得：，
∴的最小值为．