河北省石家庄市第四十中学2024-2025学年九年级上学期10月份数学练习（解析版）-A4

这是一份河北省石家庄市第四十中学2024-2025学年九年级上学期10月份数学练习（解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知（a≠0，b≠0），下列变形正确的是（ ）
A. B. C. 2a＝3bD. 3a＝2b
【答案】C
【解析】
【分析】根据比例的性质“两内项之积等于两外项之积”对各选项分析判断即可得．
【详解】解：A、∵，∴，∴，选项说法错误，不符合题意；
B、∵，∴，∴，选项说法错误，不符合题意；
C、∵，∴，选项说法正确，符合题意；
D、∵，∴，选项说法错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是熟记比例的性质．
2. 如图，在中，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了求角的三角函数值，勾股定理，先利用勾股定理求出，然后根据正弦的定义即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】∵，，
∴由勾股定理得：，
∴，
故选：．
3. 如图，直线l1、l2、…l6是一组等距离的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3，l6相交于点B、E、C、F．若BC＝2，则EF的长是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】根据BC//EF可得△ABC∽△AEF，根据平行线等分线段成比例定理可得，根据相似三角形的性质即可得答案．
【详解】∵直线l1、l2、…l6是一组等距离的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3，l6相交于点B、E、C、F，
∴BC//EF，，
∴△ABC∽△AEF，
∴，即，
解得：EF=5，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线等分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
4. 方程的根是（ ）
A. B.
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法．首先移项，再提取公因式，可得，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”，即可求得方程的解．
【详解】解：移项得：，
或，
，，
故选：C．
5. 若方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式即可进行解答．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，解得，
观察四个选项，选项D符合题意，
故选：D．
6. 某药品经过连续两次降价，每盒售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程应用，设该药品平均每次降价的百分率为，根据降价后的价格降价前的价格降价的百分率），则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解．
【详解】解：根据题意得：，
故选：D．
7. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解．
【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、
只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．
故选B．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理．
8. 如图2中的矩形边长分别是将图1中的矩形边长4拉长2x，边长5拉长x得到的，若两个矩形相似（不全等），则x的值是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】利用相似多边形的性质，构建方程求解即可．
【详解】由题意可知，两个矩形相似，可以得到
或，
解得或x=0，
∵两个矩形不全等，
∴x=0（舍去），
∴x=3，
故答案选：A．
【点睛】本题考查矩形的性质，相似多边形的性质等知识，解题的关键是学会利用相似多边形的性质构建方程．
9. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）
A. （20﹣x）2＝20xB. x2＝20（20﹣x）
C. x（20﹣x）＝202D. 以上都不对
【答案】A
【解析】
【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，则，即可求解．
【详解】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，
且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，
∴，
∴（20−x）2＝20x，
故选：A．
【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
10. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，按图中虚线剪下的三角形与△ABC不相似的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由相似三角形的判定依次判断可求解．
【详解】解：A、由两角对应相等，两三角形相似，可证图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故选项A不符合题意；
B、由两组对边对应成比例且夹角相等，两三角形相似，可证图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故选项B不符合题意；
C、由两角对应相等，两三角形相似，可证图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故选项C不符合题意；
D、无法证明图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定方法是本题的关键．
11. 如图，△ABC中，D是AB边上一点，∠ACD＝∠B，AD＝2，AC＝4，△ADC的面积为2，则△BCD的面积为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据∠ACD＝∠B，∠A＝∠A得出△ACD∽△ABC，再根据相似三角形的面积比是相似比的平方得出面积比，从而进一步求解即可
【详解】解：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴ ，
∵S△ACD＝2，
∴S△ABC＝8，
∴S△BCD＝S△ABC﹣S△ACD＝8﹣2＝6．
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键
12. 如图，有一块形状为Rt△ABC的斜板余料，∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，要把它加工成一个形状为▱DEFG的工件，使GF在边BC上，D、E两点分别在边AB、AC上，若点D是边AB的中点，则S▱DEFG的面积为（ ）cm2．
A. 10B. 12C. 14D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定与性质得出平行四边形DGFE的高，进而得出答案．
【详解】解：过点A作AM⊥BC，交DE于点N，
∵∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，
∴BC＝＝10（cm），
∵AB•AC＝BC•AM，
∴AM＝ ，即AM＝＝4.8（cm），
∵四边形DEFG是平行四边形，
∴DE∥BC．
又∵点D是边AB的中点，
∴DA＝BA＝3cm．
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴DE=5cm，AN＝MN＝2.4cm，
∴▱DEFG的面积为：5×2.4＝12（cm2）．
故答案是：B．
【点睛】此题主要考查了勾股定理、平行四边形的性质、相似三角形的应用，正确得出平行四边形的高是解题关键．
二、填空题
13. 若，则__________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查分式的化简，根据得到，把代入，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案：3．
14. 若是方程的两个实数根，则的值为__________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系、代数式求值，根据一元二次方程的根与系数关系得到，，进而代值求解即可．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴
，
故答案为：4．
15. 在平面直角坐标系中，A（3，﹣3），B（1，0），C（3，0），点P在y轴的正半轴上运动，若以点O、B、P为顶点的三角形与三角形ABC相似，则点P的坐标为 ____．
【答案】（0，23）或（0，32）．
【解析】
【分析】利用点A、B、C的坐标特征得到∠ACB＝90°，CB＝2，CA＝3，设P点坐标为（0，t），由∠POB＝∠ACB，推出当时，△OPB∽△CBA，即；当时，△OPB∽△CAB，即，分别求出t的值，从而得到点P的坐标.
【详解】∵B（1，0）、A（3，﹣3）、C（3，0），
∴∠ACB＝90°，CB＝2，CA＝3，
设P点坐标为（0，t），
∵∠POB＝∠ACB＝90°，
∴当时，△OPB∽△CBA，即，解得t＝±，此时P点坐标为（0，），
当时，△OPB∽△CAB，即，解得t＝±，此时P点坐标为（0，），
综上所述，若以O、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，则点P的坐标为（0，）或（0，）．
故答案为（0，）或（0，）．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，根据比例线段列出方程是解题的关键.
16. 如图，正方形的边长为6，连接两点分别在的延长线上，且满足．
（1）当平分时，的数量关系为__________．
（2）当不平分时，__________．
【答案】 ①. ②. 72
【解析】
【分析】（1）证明，利用全等三角形的对应边相等可得结论；
（2）证明，利用相似三角形的对应边成比例可得结论．
【详解】解：（1）∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，又，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
又正方形的边长为6，
∴，
∴，
故答案为：72．
【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、勾股定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．
三、解答题
17. （1）用适当的方法解方程：；
（2）计算：．
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程、含特殊角的三角函数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）将特殊角的三角函数值代入，进而求解即可．
【详解】解：（1）原方程化为，
则或，
∴，；
（2）
．
18. 如图是小明解一元二次方程的过程．
（1）在小明的解题过程中，从第______步开始出现错误，出现错误的原因：______；
（2）请写出正确的解答过程．
【答案】（1）三，配方错误
（2）见详解
【解析】
【分析】（1）根据完全平方公式即可求解；
（2）在小明同学的第三步开始，左右两边同时加，根据完全平方公式配方，然后直接开方解方程即可求解，
本题主要考查配方法，直接开方法解一元二次方程，掌握完全公式的配方法解方程是解题的关键．
【小问1详解】
解：第三步中，的一次项系数是，根据完全平方公式可知常数项应该是，即左右两边同时加即可，
∴第三步出错，
故答案为：三，配方错误，
【小问2详解】
解：
二次系数化为，
移项，
配方，，即
直接开方，
∴原方程的解为：，．
19. 如图在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是O(0，0)，A(2，4)，B(6，0).
(1)以原点O为位似中心，在点O的异侧画出△OAB的位似图形△OA1B1，使它与△OAB的相似比是1：2.
(2)写出点A1、B1的坐标.
(3)若△OAB关于点O的位似图形△OA2B2中，点A的对应点A2的坐标为(﹣3，﹣6)，则△OA2B2与△OAB的相似比为______.
【答案】(1)见解析；(2)A1(﹣1，﹣2)，B1(﹣3，0)；(3)3：2.
【解析】
【分析】(1)由以原点O为位似中心，在点O的异侧画出△OAB的位似图形△OA1B1，使它与△OAB的相似比是1：2，可求得各对应点的坐标，继而画出位似图形；
(2)由(1)，可求得点A1、B1的坐标；
(3)根据位似图形的性质，即可求得△OA2B2与△OAB的相似比.
【详解】解：(1)如图：
(2)A1(﹣1，﹣2)，B1(﹣3，0)；
(3)∵A(2，4)，点A的对应点A2的坐标为(﹣3，﹣6)，
∴△OA2B2与△OAB的相似比为：3：2.
故答案为：3：2.
【点睛】此题主要考查位似，解题的关键是熟知位似得性质及作图方法.
20. 如图，点是平行四边形的边延长线上一点，与相交于点．

（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．
（1）根据平行四边形的性质得到，，然后根据相似三角形的判定证得结论；
（2）证明得到求解即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
21. 某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用米长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设米．
（1）若花园的面积为平方米，求x的值；
（2）若在直角墙角内点处有一棵桂花树，且与墙，的距离分别是米，米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积能否为平方米？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）x的值为或
（2）不能，理由见解析
【解析】
【分析】由矩形面积公式得出方程，解方程即可；
根据题意可得方程，求出x的值，然后再根据处这棵树是否被围在花园内进行分析即可．
【小问1详解】
解：米，
米，
由题意得：，
解得：，，
∴x的值为或；
【小问2详解】
解：花园的面积不能为米，理由如下：
由题意得：，
解得：，
当时，，
即当米，米米，这棵树没有被围花园内，
将这棵树围在矩形花园内含边界，不考虑树的粗细，则花园的面积不能为米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22. 商场销售某种拖把，已知这种拖把的进价为80元/套，售价为120元/套，商场每天可销售20套、国庆假期临近，该商场决定采取适当的降价措施，经调查：这种拖把的售价每降价1元，平均每天可多售出2套，设这种拖把每套降价x元．
（1）降价后每套拖把盈利______元，平均每天可销售______套（用含x的代数式表示）；
（2）为扩大销售量，尽快减少库存，当每套拖把降价多少元时，该商场销售这种拖把平均每天能盈利1242元？
（3）该商场销售这种拖把平均每天的盈利能否达到1400元？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1），
（2）每套拖把降价17元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1242元；
（3）不能，理由见解析
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
（1）设每套拖把降价x元，根据题意列出代数式即可；
（2）设每套拖把降价x元，则每套的销售利润为元，平均每天的销售量为套，根据题意列出一元二次方程求解即可；
（3）设每套拖把降价y元，则每套的销售利润为元，平均每天的销售量为套，根据题意列出一元二次方程，然后依据判别式求解即可.
【小问1详解】
解：设每套拖把降价x元，则每天销售量增加套，即每天销售套，
每套拖把盈利元．
故答案为：，；
【小问2详解】
解：设每套拖把降价x元，则每套的销售利润为元，平均每天的销售量为套，
依题意得：，
整理得：，
解得：．
又∵需要尽快减少库存，
∴．
答：每套拖把降价17元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1242元；
【小问3详解】
解：商家不能达到平均每天盈利1400元，理由如下：
设每套拖把降价y元，则每套的销售利润为元，平均每天的销售量为套，
依题意得：，
整理得：．
∵，
∴此方程无实数解，
即不可能每天盈利1400元．
23. 【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律．
【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上．
（1）求的长；
（2）求点到地面的高度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的应用，理解题意，利用相似三角形的性质求解是解答的关键．
（1）证明，利用相似三角形的性质求解即可；
（2）证明，利用相似三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得，经检验，符合题意；
【小问2详解】
解：由题意，，，
∴，
∴，即，
∴．
24. 如图（1）矩形中，．将绕点从处开始按顺时针方向旋转，交（或）于点，交边（或）于点，当旋转至处时，旋转随即停止．
（1）特殊情形：如图（2），发现当过点时，也恰好过点，此时，__________（填：“”或“”）
（2）类比探究：如图（3）在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）拓展延伸：设面积为，试确定关于的函数关系式；当时，求出所对应的t的值．
【答案】（1）
（2）在旋转过程中，的值为定值．理由见解析
（3）当点在上时，，当时，；当点在上时，；当时，
【解析】
【分析】本题考查矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，利用相似三角形的性质求解以及分类讨论是解答的关键．
（1）根据矩形的性质和等角的余角相等得到，，然后根据相似三角形的判定可得结论；
（2）当点在上时，过点作，垂足为，同（1）方法可证得到，证明四边形是矩形得到，进而可得，当点在上时，同理可求解；
（3）当点上时，由（2）得，由题意可得，，，，进而得到，当时解一元二次方程即可求解，当点在上时，同理可求解．
【小问1详解】
解：矩形中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
【小问2详解】
解：在旋转过程中，的值为定值．理由：
当点在上时，如图，过点作，垂足为，
类比（1）可得：，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴；
当点在上时，点在边上，如图，过E作于Q，
，
则四边形是矩形，
∴，
同理可证明，
∴，
综上，在旋转过程中，的值为定值；
【小问3详解】
解：当点在上时，点在边上，
由（2）知，
∴，
又∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴
，
即，
当时，，
解得：，（不合题意，舍去），
∴；
当点上时，点在边上，如图，
则，，，且，
∴，
由（2）知，
∴，则，
∴,
∴
，
即，
当时，，
解得：，（不合题意，舍去），
∴，
综上，当点在上时，，当时，；当点在上时，；当时，．
解：二次项系数化为1，得，……第一步
移项，得，……第二步
配方，得，即，……第三步
由此可得，……第四步
所以，.……第五步