湖北省孝感市云梦县2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份湖北省孝感市云梦县2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，测试范围等内容，欢迎下载使用。
温馨提示：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第11卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：第21-22章（人教版）．
5．本练习满分120分，练习时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、慧眼识珠，挑选唯一正确答案，你一定很棒！（每小题3分，共30分）
1. 下列一元二次方程的两个实数根之和为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系以及使用的前提条件是一元二次方程有实根，掌握一元二次方程根与系数的关系和根的判别式是解题的关键．
根据根的判别式判断一元二次方程根的情况，再根据根与系数的关系求解即可
【详解】解：A. ，，，不符合题意；
B. ，，该方程无实根，不符合题意；
C. ，，该方程有实根，且，符合题意；
D. ，，该方程无实根，不符合题意；
故选C．
2. 一元二次方程的两根分别为（ ）
A. B. C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】利用因式分解法解方程判断即可；
【详解】解：x2=2x，x2-2x=0，x（x-2）=0，解得：x=0或x=2，
故选： D．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程：将方程的右边化为零，把方程的左边分解为两个一次因式的积，令每个因式分别为零，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
3. 已知m是方程的一个根，则代数式的值等于（ ）
A. 2024B. 2022C. 2023D. 2021
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了代数式求值，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值得到，再把整体代入所求式子中求解即可．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
4. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的顶点坐标为，即可求解．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是．
故选：B．
5. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律即可得出答案．
【详解】由抛物线向右平移2个单位，得：；再向上平移2个单位，得：，所以A、C、D错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，熟练掌握平移方法是解题的关键．
6. 已知点、、都在函数的图象上，则、、的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，解题的关键是能熟记二次函数的性质．根据函数的解析式求出函数图象的对称轴是，根据函数的性质得出图象的开口向下，点离对称轴越近，函数值越大，即可得到．
【详解】解：∵，
函数图象的对称轴是，图象的开口向下，
∴点离对称轴越近，函数值越大，
∵，
∴，
故选：B．
7. 取一张长与宽之比为的矩形纸板，剪去四个边长为的小正方形（如图），并用它做一个无盖的矩形形状的包装盒．要使包装盒的容积为（纸板的厚度略去不计），问这张矩形纸板的长与宽分别为多少厘米？若设这张矩形纸板的长为厘米，则由题意可列出的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出长方体的底面积是解题关键．根据题意设这张长方形纸板的长为，宽为，进而表示出长方体的底面积，即可表示出长方体体积，进而得出等式求出答案．
【详解】解：设这张长方形纸板的长为，宽为，根据题意可得：
；
故选：D．
8. 某小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，到第三天统计得出三天共揽件662件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别求出第二天、第三天的揽件数，根据“三天共揽件662件”即可列出方程．
【详解】解：第二天的揽件数为：
第三天的揽件数为：
∵三天共揽件662件
∴
故选：D
【点睛】本题考查了一元二次方程与增长率问题．注意“三天共揽件662件”，而不是“第三天揽件662件”．
9. 已知，是抛物线上的两点，则正数（ ）
A. 2B. 4C. 8D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，根据函数图像上的点满足函数解析式列式求解即可得到答案；
【详解】解：∵，是抛物线上的两点，
∴，，
∴，，
∴，，
即：或，
解得：或，
∵取正数，
故：，
故选：C．
10. 已知，如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③方程的两个实数根为，，且，则，；④若m为任意实数，则．其中正确的有（ ）个
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子符号，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质，熟练运用数形结合思想．
首先对称性的得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后画出示意图，将代入解析式根据图象即可判断①；根据题意得到，进而可判断②；根据题意画出直线的图象，然后根据图象即可判断③；首先有对称轴得到，然后将代入解析式得到，进而得到，然后由时，y有最大值，即可判断④．
【详解】解：∵图象与轴的一个交点坐标为，开口向下，
∴当时，，故①正确；
∵抛物线开口向下，对称轴是直线，
∴，故②错误；
∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
∴开口向下，抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
如图所示，抛物线和直线有两个交点，
∵方程的两个实数根为，，且，
∴，，故③正确；
∵对称轴为直线，
∴
∴
∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，
∴
∴
∴
∴
∵抛物线开口向下，对称轴为
∴当时，y有最大值
∴若为任意实数，，故④正确．
综上可知，正确的有①③④，
故选C．
二、耐心填一填：你一定行！（每小题3分，共15分）
11. 关于x的方程有实数根，则k的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元二次方程根的判别式，当时，原方程为一元一次方程，解方程可知有实数根；当时， 原方程为一元二次方程，利用根的判别式求解即可．
【详解】解：当时，原方程为，解得，此时方程有实数根；
当时，则，
解得，
综上所述，，
故答案：．
12. 关于x的一元二次方程的两个根为，，且，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系可得出，，结合即可求出的值，再将其代入中求出m值即可．
【详解】解：∵方程有两个实数根，
∴，，
∵，
∴，即，
∴．
∴，
将代入，得：．
故答案为：2．
13. 二次函数与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的解为_____．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查抛物线与坐标轴的交点问题，根据抛物线的对称轴，确定抛物线与轴的两个交点的坐标，交点的横坐标就是方程的解．
【详解】二次函数的对称轴是
关于的对称点为
一元二次方程的解为，
故答案为，．
14. 加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：）满足函数表达式，则最佳加工时间为________．
【答案】3.75
【解析】
【分析】根据二次函数的对称轴公式直接计算即可．
【详解】解：∵的对称轴为（min），
故：最佳加工时间为3.75min，
故答案为：3.75．
【点睛】此题主要考查了二次函数性质的应用，涉及求顶点坐标、对称轴方程等，记住抛物线顶点公式是解题关键．
15. 已知：如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作正方形ABCD．则正方形的边长A B的最小值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据正方形的性质得到AB=AC，再将抛物线解析式整理成顶点式形式，当正方形的边长AB的最小时，即AC的值最小．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=90°
∴AC=
∴AB=AC，
∵y=x2-4x+6
=（x-2）2+2，
∴当x=2时，AC有最小值2，
即正方形的边长AB的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，将抛物线解析式整理成顶点式形式求解更简便．
第Ⅱ卷
三、解答题（本题共9小题，共75分．）
16. 选择最佳方法解下列关于x的方程：
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
（1）整理成一般式后用因式分解法求解即可；
（2）移项后用因式分解法求解即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
或，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴．
17. 先化简，再求值：，其中x是方程的解．
【答案】，
【解析】
【分析】先对分式通分、因式分解、约分化简，化成最简分式，后代入求值．
本题考查了分式的化简求值，求代数式的值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．
【详解】解：
，
∵x是方程的解，
故，
原式．
18. 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料．
（1）当长度是多少时，矩形花园的面积为；
（2）能否围成矩形花园面积为，为什么？
【答案】（1）米
（2）不能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设，则，根据矩形花园的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合围墙最长可利用，即可确定结论；
（2）设，则，根据矩形花园的面积为，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出该方程无实数根，进而可得出不能围成面积为的矩形花园．
【小问1详解】
解：设，则，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：当长度是时，矩形花园的面积为．
【小问2详解】
不能，理由如下：
设，则，
依题意得：，
整理得：．
，
该方程无实数根，
不能围成面积为的矩形花园．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当时，方程无实数根”．
19. 已知的两边AB、AD的长是关于的方程的两个实数根．
（1）当为何值时，是菱形？
（2）若，求的值．
【答案】（1）；
（2）无解
【解析】
【分析】（1）由邻边相等的平行四边形为菱形，得出根的判别式等于0，求出m的值，再代入原方程求解验证即可；
（2）根据根与系数的关系结合题意列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可．
【小问1详解】
解：∵四边形为平行四边形，
∴当时，是菱形，
∵、的长是关于的方程的两个实数根，
，即，
解得：，，
当时，化为，解得，不符合题意，舍去，
当时，化为，解得，符合题意，
∴当时，是菱形；
【小问2详解】
解：∵、的长是关于的方程的两个实数根，
，，即，
∴根据两数相乘，同号得正，异号得负可得或，
∴或，
∵AB，AD为线段长，
∴，
解得，
∴，
∵，
，即，
解得：（舍去），（舍去），
∴无解．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，一元二次方程根的判别式，菱形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定和根的判别式是解题的关键．
20. 已知二次函数和一次函数的图象如图所示．
（1）抛物线的顶点坐标为______；
（2）当______时，随x增大而增大；
（3）根据图象，直接写出当时，的取值范围是______．
（4）当时，的取值范围是______．
【答案】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解析】
【分析】本题主要是考查了二次函数的性质以及一次函数求解解析式，利用“数形结合”的思想求解不等式的解集，是求解该类题目的关键，需要重点掌握好．
（1）观察图象即可得解；
（2）观察图象，利用数形相结合即可得解；
（3）结合图象可得，时，当x=1时，有最大值，当时，最小值，从而即可得解；
（4），即是二次函数的图象在一次函数的图象上方求解即可．
【小问1详解】
解：由图象可知，抛物线的顶点坐标为1,4，
故答案为：1,4；
【小问2详解】
解：由图可知，当时，随增大而增大，
故答案为：；
小问3详解】
解：结合图象可得，时，当x=1时，有最大值，当时，最小值，
∴当时，的取值范围是，
故答案为：；
【小问4详解】
解：时，即是二次函数的图象在一次函数的图象上方，
∵的横坐标为，的横坐标为，
∴，
故答案为：．
21. 如图，抛物线交x轴于A、B两点，与y轴交于点C．点在抛物线上．
（1）求四边形的面积；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得的值最大，若存在，试求出点P的坐标．
【答案】（1）9 （2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，求一次函数的解析式，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
（1）分别求得抛物线与轴和轴的交点，从而得出的值，进一步得出结果；
（2）连接，则，过当三点共线时最大，据此求出直线与对称轴的交点坐标即可得到答案，进一步得出结果．
【小问1详解】
解：如图，连接，
当时，，
，
由得，，
，
当时，，
，
∴
；
【小问2详解】
解：如图，
抛物线的对称轴为：直线，
连接，
根据抛物线对称性可得：，
则，
故当三点共线，的值最大，最大值即为的长，
设直线的解析式为：，
，
，
，
当时，，
．
22. 法国数学家韦达在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究．定义：
倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
方根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”．
（1）请你判断：方程是 （填“倍根方程”或“方根方程”）；
（2）若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值；
（3）根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？
【答案】（1）倍根方程
（2）8 （3）2，4或
【解析】
【分析】本题主要考查了阅读理解类题目，一元二次方程根与系数的关系的应用，
（1）根据方程的解，判断是否是倍根方程；
（2）设方程的两个根是，根据定义可知，再根据根与系数的关系求出答案；
（3）设方程的两个根是，根据题意可知或，列出方程求出解即可．
【小问1详解】
解方程，
．
∵，
∴方程是“倍根方程”；
故答案为：“倍根方程”；
【小问2详解】
解：设方程是“倍根方程”，
∴．
∵，
∴，
解得，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：设一元二次方程的两个实数根分别是．
∵这个方程即是“倍根方程”又是“方根方程”，
当，即，
解得或（舍），
∴；
当，
即，
解得或（舍），
∴．
∴这个方程的根是2，4或，．
23. 某市农副产品销售公司的某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图像是如图2所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元（毛利润销售额生产费用）
（1）求出y与x以及z与x之间的函数关系式；
（2）求w与x之间的函数关系式；
（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过490万元，求今年可获得最大毛利润．
【答案】（1），
（2）
（3）今年最多可获得毛利润万元
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是正确求出一次函数和二次函数的解析式．
（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据毛利润销售额生产费用求出解析式即可；
（3）首先求出的取值范围，再由二次函数的性质即可得出答案．
【小问1详解】
解：图①可得函数经过点，
设抛物线的解析式为，
将点代入得：，
解得：，
故y与x之间的关系式为，
图②可得：函数经过点，，
设，则，
解得：，
故z与x之间的关系式为；
【小问2详解】
解：，
∴w与x之间的函数关系式为；
【小问3详解】
解：令，得，
解得：（负值舍去），
由图象可知，当时，
，
∵，
∴当时，w随x增大而增大，
∵，
∴当时，w有最大值，
答：今年最多可获得毛利润万元．
24. 综合与探究
如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，且，E是线段上的一个动点，过点E作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点D、F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点E横坐标为m，当m为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少；
（3）点P是直线上的一个动点，若使三角形是等腰三角形，求出点P的坐标．
【答案】（1）；
（2）当时，有最大值，且最大值为4．
（3）点P的坐标为或或或．
【解析】
【分析】（1）根据，，运用待定系数法即可求解；
（2）根据，，求出直线的解析式，根据点的横坐标为，可用含的式子表示点的坐标，由此可得的长关于的二次函数，根据最值的计算方法即可求解；
（3）根据题意可求出的长，根据等腰三角形的性质，分类讨论：当、和时，分别列式计算即可求解．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，
∴，
∵，
∴，则，
把，代入二次函数解析式得，
，
解得，，
∴二次函数解析式为；
【小问2详解】
解：由（1）可知，二次函数解析式为，且，，
∴设直线所在直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵点E的横坐标为m，直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点D、F，
∴点D、F的横坐标为m，
∴，，
∴，
∴当时，有最大值，且最大值为4；
【小问3详解】
解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且，
∴令时，，则，，
∴，且，
在，，，，
设，分三种情况：
当时，即，
∴，
解得，
∴或；
当时，即，
∴，
解得(舍去)，，
∴，
当时，即，
∴，
解得，
，
综上，点P的坐标为或或或．