四川省自贡市蜀光绿盛实验学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份四川省自贡市蜀光绿盛实验学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间为120分钟，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．考试结束后，本试题卷由学生保管，只将答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题 共48分）
注意事项：必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
一、选择题（每小题4分，共48分）
1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是熟记只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程；先将各个方程移项合并同类项，再根据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】解：、，变形为：，是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意；
、，不是整式方程，故本选项不符合题意；
、，当a为0时，则不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意；
、，变形为：，不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：．
2. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
故选：．
3. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ）
A. 开口向下B. 对称轴是直线x=1
C. 当x=1时，有最大值D. 当x<1时，随的增大而减小
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，根据二次函数各项系数，顶点坐标，对称轴等知识即可求解，掌握二次函数顶点式的特点是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数，
∴该函数图象开口向下，故选项A正确，不符合题意；
对称轴是直线，故选项B正确，不符合题意；
顶点坐标为，故选项C正确，不符合题意；
当时，随的增大而增大，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
4. 一元二次方程的根的情况为（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 只有一个实数根
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用根的判别式△判断即可．
【详解】∵=
∴一元二次方程没有实数根.
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况，解题的关键是：注意在求解根的判别式△时，正负号不要弄错了．
5. 二次函数向左平移3个单位，向上平移1个单位得到函数解析式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的平移．熟练掌握二次函数的平移是解题的关键．根据左加右减，上加下减求解作答即可．
【详解】解：由题意知，二次函数向左平移3个单位，向上平移1个单位得到函数解析式是，
即，
故选：D．
6. 用公式法解方程，得到（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程．熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
，
，
∴，
故选：C．
7. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知，每个同学需赠送出(x-1)件标本，x名同学需赠送出x(x-1) 件标本，即可列出方程．
【详解】解：由题意可得，
x（x-1）=182，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程应用，审清题意、确定等量关系是解答本题的关键．
8. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A. k>－B. k>－且C. k<－D. k－且
【答案】B
【解析】
【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根必须满足（1）二次项系数不为零；（2）根的判别式，由此即可求解．
【详解】解：由题意知，k≠0，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
即．
解得：k＞，
∴k＞且k≠0．
故选B．
【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，熟记判别式与根的关系是解题的关键．
9. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A. 12B. 9C. 13D. 12或9
【答案】A
【解析】
【分析】先求出方程的解，分为两种情况：①当2为底，5为腰时，②当5为底，2为腰时，看看能否组成三角形，若能，求出三角形的周长即可．
【详解】解：因式分解可得：(x－2)(x－5)=0
解得：，
当2为底，5为腰时，则三角形的周长为2+5+5=12；
当5为底，2为腰时，则无法构成三角形，
故选：A
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解一元二次方程，三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．
10. 已知m，n是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A B. 12C. 3D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系，即可得出，，再将其代入，计算即可．本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解的定义是解决本题的关键．
【详解】解：，是关于的方程的两根，
，，．
．
故选：B
11. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较，看是否一致．
【详解】A．由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，
由直线y随x的增大而增大可知，故选项错误；
B．由抛物线开口向下可得，
由直线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，故选项错误；
C．由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，由开口向上可得，
由直线y随x的增大而减小可知，由直线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，故选项正确；
D．由抛物线开口向上可得，
由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，故选项错误；
故选：C．
【点睛】此题考查了一次函数和二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握一次函数和二次函数的图象和性质．
12. 二次函数y=-（x-1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值2n，则m+n的值等于（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得m＜0，n＞0，则y的最小值为2m为负数，最大值为2n为正数．
最大值为2n分两种情况：①结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，求出n=2.5，结合图象最小值只能由x=m时求出；②结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，图象最大值只能由x=n求出，最小值只能由x=m求出．
【详解】二次函数y=-（x-1）2+5的大致图象如下：
．
①当m＜0≤x≤n＜1时，当x=m时，y取最小值，即2m=-（m-1）2+5，
解得：m=-2，m=2(舍去)．
当x=n时，y取最大值，即2n=-（n-1）2+5，
解得：n=2或n=-2（均不合题意，舍去）；
②当m＜0≤x≤1≤n时，当x=m时，y取最小值，即2m=-（m-1）2+5，
解得：m=-2．
当x=1时，y取最大值，即2n=-（1-1）2+5，
解得：n=2.5，
或x=n时，y取最小值，x=1时，y取最大值，
2m=-（n-1）2+5，n=2.5，
∴m=，
∵m＜0，
∴此种情形不合题意，
所以m+n=-2+2.5=0.5．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据函数解析式求出对称轴解析式是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题 共102分）
二、填空题（本答题共6小题，每小题4分，满分24分）
13. 把方程化为一般形式是____．
【答案】
【解析】
【分析】一元二次方程的一般形式是：(，，是常数且)，通过移项变换即可得到答案．
【详解】解：由得：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，正确移项是解题关键．
14. 已知函数，当__________时，它是二次函数．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的定义列出关于m的方程，求出m的值即可．
【详解】解：∵y=（m-1）x m2+1是二次函数，
∴m2+1=2，
∴m=-1或m=1（舍去）．
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，关键是根据定义列出方程，在解题时要注意m-1≠0．
15. 若一元二次方程的两个实数根为a，b，则的值为_______．
【答案】5
【解析】
【分析】先根据根与系数的关系得到然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据题意得
故答案为：
【点睛】本题考查了根与系数的关系．解题的关键在于熟练掌握根与系数的关系，若是一元二次方程的两根时，则
16. 如图所示，在宽为米、长为米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地，若耕地面积需要平方米，设修建的路宽为米，根据题意，可列方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】可以用平移的知识假设把路移动边上，那么余下耕地部分的长和宽可表示出来，设路宽为xm，根据面积可列出方程．
【详解】设路宽为xm，那么余下耕地的长为（30-x），宽为（20-x），
根据面积可列出方程．
（30-x）（20-x）=551．
故答案为（30-x）（20-x）=551．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是余下耕地的长和宽表示出来，然后根据面积可列出方程．
17. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为直线，
而离直线的距离最远，点离直线最近，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
18. 二次函数的图象如图，点位于坐标原点，点、、、…、在y轴的正半轴上，点、、、…、在二次函数位于第一象限的图象上．若、、、…、都为等边三角形，则的边长为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与特殊的三角形综合，等边三角形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握二次函数与特殊的三角形综合，等边三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
如图，分别过、、作轴的垂线，垂足为，设，均大于0，由、、是等边三角形，可得，，，即，将代入得，可求满足要求的解为，即；同理可求；；进而可得的边长为．
【详解】解：如图，分别过、、作轴的垂线，垂足为，设，均大于0，
∵、、是等边三角形，
∴，，，
∴，
将代入得，
解得，或（舍去），
∴；
∴，
将代入得，
解得，或，
∴；
∴，
将代入得，
解得，或（舍去），
∴；
……
∴的边长为，
故答案为：．
三、解答题（本答题共7个题，共78分．）
19. 解方程：
（1）用直接开平方法：；
（2）用配方法：；
（3）用公式法：；
（4）用因式分解法：．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键；
（1）把4移到右边，再直接开平方求解即可；
（2）把3移到右边，再对左边配完全平方，再直接开平方求解即可；
（3）先求判别式，再根据求根公式求解即可；
（4）把移到左边，再因式分解，可得到两个一元一次方程，解方程即可．
【小问1详解】
解：，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：，
，
，
；
【小问4详解】
解：，
，
或，
．
20. 已知关于的方程．
（1）若该方程的一个根为，求的值及该方程的另一根．
（2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【答案】（1），；
（2）证明见详解；
【解析】
【分析】（1）将方程的根代入求解即可得到的值，再结合根与系数关系直接求解即可得到另一个根；
（2）计算判别式结合完全平方公式即可得到证明；
【小问1详解】
解：∵方程的一个根为，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：由题意可得，
，
∵，
∴，
∴不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
【点睛】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系及一元二次方程根与判别式的关系，解题的关键是熟练掌握，判别式大于0一元二次方程有两个不相等的实数根．
21. 已知二次函数y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx﹣2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A（﹣1，﹣1），
（1）求二次函数和一次函数解析式．
（2）求△OAB的面积．

【答案】（1）一次函数表达式为y＝﹣x﹣2，二次函数表达式为y＝﹣x2，（2）3
【解析】
【分析】（1）利用点A的坐标可求出直线与抛物线的解析式；
（2）求出点G的坐标及点B的坐标，利用S△OAB＝OG•|A的横坐标|+OG•点B的横坐标求解即可．
【详解】解：（1）∵一次函数y＝kx﹣2的图象相过点A（﹣1，﹣1），
∴﹣1＝﹣k﹣2，解得k＝﹣1，
∴一次函数表达式为y＝﹣x﹣2，
∵y＝ax2过点A（﹣1，﹣1），
∴﹣1＝a×1，解得a＝﹣1，
∴二次函数表达式为y＝﹣x2，
（2）在y＝﹣x﹣2中，令x＝0，得y＝﹣2，
∴G（0，﹣2），
由一次函数与二次函数联立可得，
解得或
∴点B的坐标为（2，-4）
∴S△OAB＝OG•|A的横坐标|+OG•点B的横坐标＝×2×1+×2×2＝1+2＝3．
【点睛】此题考查是二次函数和一次函数的综合题型，掌握利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、联立方程求二次函数和一次函数的交点坐标是解决此题的关键．
22. 已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x12+x22＝8﹣3x1x2，求m的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（2）利用根与系数的关系可得出x1+x2＝2m﹣2，x1•x2＝m2，结合x12+x22＝8﹣3x1x2即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．
【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．
∴Δ＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4m2＝4﹣8m≥0，
解得：．
（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0的两个根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝2m﹣2，x1•x2＝m2，
∵x12+x22＝8﹣3x1x2，
∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝8﹣3x1x2，即5m2﹣8m﹣4＝0，
解得：m1＝，m2＝2（舍去），
∴实数m的值为．
【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的知识是解题的关键．
23. 某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？
【答案】（1）两次下降的百分率为10%
（2）每件商品应降价2.5元
【解析】
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，为两次降价的百分率，40降至32.4就是方程的平衡条件，列出方程求解即可．
（2）设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，有销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．
【小问1详解】
解：设每次降价的百分率为x．
，
即：，
x＝10%或190%（190%不符合题意，舍去），
答：两次下降的百分率为10%；
【小问2详解】
解：设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，
由题意，得（40－30－y）（4×2y+48）＝510，
化简得：，
解得：，，
∵有利于减少库存，
∴y＝2.5．
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.5元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．
24. 阅读材料：
为了解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1看作一个整体，设x2﹣1＝y，那么原方程可化为y2﹣5y+4＝0①，解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2﹣1＝1，∴x2＝2．∴；
当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5．∴．
故原方程的解为，，，．
解答问题：
（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想；
（2）请利用以上知识解方程：（x2+x）2﹣5（x2+x）+4＝0；
（3）请利用以上知识解方程：x4﹣3x2﹣4＝0．
【答案】（1）换元；（2），，，；（3），．
【解析】
【分析】（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的；
（2）设，原方程可化为关于y的方程，求出方程的解得到y的值，即可确定出x的值；
（3）设，原方程可化为关于y的方程，求出方程的解得到y的值，同时考虑，即可确定x的值．
【详解】（1）换元
解：（2）设，
则原方程化为：，
，
解得，，
①当，即时，解得；
②当，即时，解得．
综上所述，原方程的解为：，，，；
（3）设，
原方程化为：，
解得：，，
∵，
∴，
当时，，解得，，
原方程的解为：，．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的解法，理解题意，结合所学一元二次方程解法是解题关键．
25. 平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；
（2）在抛物线对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，请说明理由；
（3）如图，点M是直线上的一个动点，连接，是否存在点M使最小，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，；
（2）存在，，，，；
（3）存在点M使最小，
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数综合运用，待定系数法求解析式，勾股定理，轴对称的性质求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）将代入函数解析式，求出解析式，即可求出点A，C的坐标；
（2）设，根据勾股定理分情况进行讨论，列出方程求解即可；
（3）作点关于的对称点，连接交于点，连接，求出直线的解析式，直线的解析式，联立方程即可．
【小问1详解】
解：将代入，
即，
解得，
，
令，，
令，，
解得，
；
【小问2详解】
解：存在点P，使是直角三角形，
，对称轴为直线，
设，
，
，
，
，
①当时，，
，
解得；
②当，，
，
解得；
③当，，
，
解得或，
综上所述，或或或；
【小问3详解】
解：存在
作点关于的对称点，连接交于点，连接，
由对称性可知，，
，
当三点共线时，有最小值，
，
，
，
由对称性可知，，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
设直线解析式为，
，
解得，
故直线解析式为，
联立方程组，
解得．