四川省自贡市蜀光中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份四川省自贡市蜀光中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 圆，圆，则圆与圆的位置关系为（ ）
A. 相交B. 相离C. 内切D. 外切
【答案】D
【解析】
【分析】
求出两圆圆心以及半径，再由圆心距与两圆半径的关系确定位置关系.
【详解】由题意圆的圆心，半径，圆的圆心，半径
，即两圆外切
故选：D
2. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系即可得倾斜角．
【详解】设直线的倾斜角为，
因为该直线的斜率为，所以，所以，
故选：A
3. 从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率即可.
【详解】记2名男生为，2名女生为，
任意选出两人的样本空间，共6个样本点，
恰好一男一女生的事件，共4个样本点，
所以选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是.
故选：A
4. 椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆标准方程的形式，求出，根据，解出的值即可.
【详解】椭圆的焦点在y轴上，∴，可得，.∵长轴长是短轴长的2倍，∴，解得
故选：D.
5. 已知直线，双曲线，则（ ）
A. 直线与双曲线有且只有一个公共点
B. 直线与双曲线的左支有两个公共点
C. 直线与双曲线的右支有两个公共点
D. 直线与双曲线的左右两支各有一个公共点
【答案】C
【解析】
【分析】发现点在双曲线右顶点的右边，联立直线与双曲线方程并画出图形即可得到答案.
【详解】在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象如图所示：
由图可知直线过点，它在双曲线的右顶点的右边，
联立直线与双曲线方程得，解得或，
则直线与双曲线的右支有两个公共点.
故选：C.
6. 已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出直线、的斜率后可求直线的斜率的范围.
【详解】
，而，
故直线的取值范围为，
故选：A.
7. 倾斜角为的直线经过双曲线的左焦点，交双曲线于两点，线段的垂直平分线过右焦点，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由垂直平分线性质定理可得，运用解直角三角形知识和双曲线的定义，求得，结合勾股定理，可得a，c的关系，进而得到a，b的关系，即可得到所求双曲线的渐近线方程．
【详解】解：如图为线段AB的垂直平分线，
可得，
且，
可得，，
由双曲线的定义可得，，
即有，
即有，，
，
由，可得，
可得，即，
，则渐近线方程为．
故选A．
【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，渐近线方程的求法，考查垂直平分线的性质和解直角三角形，注意运用双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．
8. 已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用直线过定点及两直线位置关系先确定的轨迹，令，可求出点坐标，根据两点之间线段最短可求解.
【详解】直线过定点，
直线过定点，
且直线与直线垂直，所以点的轨迹是以为直径的圆，
故圆心是，半径为则点的方程是
令，因为，
所以，
则
所以，可得点
则.

二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用空间基底的定义以及空间向量共面定理依次判断可得结论.
【详解】由于是空间的一个基底，所以不共面，
对于A，向量分别与共线，所以不共面，能构成空间一个基底；
对于B，不存在实数满足，因此不共面，能构成空间一个基底；
对于C，由于，因此这三个向量是共面的，不能构成基底.
对于D，不存在实数满足，因此不共面，能构成空间一个基底.
故选：ABD
10. 如图，已知点，是以OD为直径的圆上的一段圆弧，是以BC为直径的圆上的一段圆弧，是以OA为直径的圆上的一段圆弧，三段圆弧构成曲线，则（ ）

A. 曲线与轴围成的面积等于
B. 与的公切线的方程为
C. 所在圆与所在圆的相交弦所在直线的方程为
D. 所在圆截直线所得弦的弦长为
【答案】BC
【解析】
【分析】由题知曲线与轴围成的图形是一个半圆，一个矩形和两个四分之一圆，故此可写出各段圆弧所在圆的方程，然后根据圆的相关性质判断各选项即可.
【详解】对于A，，，所在圆的方程分别为，，，曲线与轴围成的图形为一个半圆、一个矩形和两个圆，
其面积为，故A错误；
对于B，设与的公切线方程为（，），则，
所以，，所以与的公切线的方程为，
即，故B正确；
对于C，由及两式相减得，
即公共弦所在直线方程，故C正确；
对于D，所在圆的方程为，圆心为，
圆心到直线的距离为，
则所求弦长为，故D错误.
故选：BC.
11. 已知椭圆：（），，分别为其左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，点在椭圆内部，则以下说法正确的是（ ）
A. 离心率的取值范围为
B. 不存在点，使得
C. 当时，的最大值为
D. 的最小值为1
【答案】ABC
【解析】
【分析】A：根据点在椭圆内部可得，从而可得的取值范围，从而可求离心率的取值范围；B：根据相反向量的概念即可求解；C：求出c和，利用椭圆定义将化为，数形结合即可得到答案；D：利用可得，利用基本不等式即可求解.
【详解】对于A，由已知可得，，所以，
则，故A正确；
对于B，由可知，点为原点，显然原点不在椭圆上，故B正确；
对于C，由已知，，所以，．
又，则．
根据椭圆定义可得，
所以，
由图可知，，

所以
当且仅当，，三点共线时，取得等号．
故的最大值为，故C正确；
对于D，因，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立．
所以，的最小值为，故D错误．
故选：ABC
【点睛】本题考查点和椭圆为位置关系，考查椭圆定义和基本不等式在计算最值问题里面的应用.
三、填空题: 本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算和数量积的坐标表示即可求解.
【详解】,
则，
故答案为：
13. 在平面直角坐标系中，已知点点的轨迹为.则的方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据双曲线的定义待定系数法求解即可，由于是双曲线的一支，注意横坐标的范围.
【详解】由题，点M的轨迹是为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，
故可设C的方程为，
由题：，解得：,
故C的方程为.
故答案为：．
14. 已知椭圆：，，为其左、右焦点，为椭圆上任一点，的重心为G，I是内心，且有（其中为实数），椭圆的离心率_____________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】设，求出重心的坐标，利用中面积等积法可求出的关系，即可得椭圆离心率.
【详解】设为重心，点坐标为，
∵，∴IG∥x轴或 IG两点重合， ∴I的纵坐标为，
在中，，
，
又∵I为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标 即知内切圆半径，
内心I把分为三个底分别为的三边，高为内切圆半径的小三角形，
，
即，，
∴椭圆C的离心率
故答案为:
【点睛】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切.
（1）求圆的方程；
（2）经过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据题意设圆心，结合所过点、与直线相切列方程求参数，即可得圆心和半径，进而写出圆的方程；
（2）由题意直线l与圆C的距离，讨论直线斜率，并设直线方程，应用点到直线的距离公式求参数，可得直线方程．
【小问1详解】
由题意，设圆心，半径，
∵圆M经过点，∴，
∵圆M与直线相切，
∴圆心到直线的距离，
∴，化简，解得，
则圆心，半径，
所以圆M的方程为．
【小问2详解】
由题意，圆心到直线的距离，
若直线的斜率不存在，其方程为，显然符合题意；
若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离由，解得，
则直线的方程为，即，
综上，直线的方程为或．
16. 某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试．已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中a的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
（2）现学校准备利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团．
①求应从和学生中分别抽取的学生人数；
②从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件“至少有1人测试成绩位于区间”，求事件A的概率．
【答案】（1），
（2）①5人，2人；②.
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和等于1列方程，可得实数的值，进而求平均数；
（2）①根据频率分布直方图得和的面积之比，进而根据比例抽样即可；
②列出7人中随机抽取2人的21种情况，确定至少有1人测试成绩位于区间有11种，即可得解.
【小问1详解】
由频率分布直方图，得，解得；
所以估算这40名学生测试成绩的平均数为
；
【小问2详解】
①由图可得和90,100这两组的频率之比为，
故应从学生中抽取的学生人数为（人），
应从学生中抽取的学生人数为（人）；
②设从中抽取的5人为，从学生中抽取的2人为1，2，
则这个试验的样本空间
，则；
又，则，
故.
17. 已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为.
（1）求的方程；
（2）若直线交双曲线于两点，是坐标原点，若是弦的中点，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用焦点到渐近线的距离求出，结合渐近线方程即可求出双曲线方程；
（2）利用点差法求出直线的斜率，然后联立直线与双曲线的方程，求出弦长AB和点到直线的距离，即可求出的面积.
【小问1详解】
由双曲线的一条渐近线方程为，所以，
故到渐近线的距离，
所以，又，所以，
故的方程为.
【小问2详解】
设点Ax1,y1,Bx2,y2，因为是弦的中点，则
由于，所以两式相减得，
所以，即直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
联立消去并整理，得，
所以，且，
所以.
点到直线的距离为，
所以的面积为.

18. 如图，在四棱锥中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PA=AD=CD=2，BC=3.E为PD的中点，点F在PC上，且.
（1）求证:CD平面PAD;
（2）求二面角的余弦值;
（3）设点G在线段PB上，且直线AG在平面AEF内，求的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）证明PACD，ADCD，证明CD平面PAD；
（2）以A为原点建立空间直角坐标系，写出平面AEF的法向量，计算二面角的余弦；
（3）设，用表示，由与垂直，建立方程，解出.
【小问1详解】
因为PA平面ABCD，CD平面ABCD，
所以PACD，又因为ADCD，PAAD=A，PA，AD平面PAD，
所以CD平面PAD；
【小问2详解】
过点A作AD的垂线交BC于点M，
因为PA平面ABCD，AM，AD平面ABCD，
所以PAAM，PAAD，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
因为E为PD的中点，所以，
所以，，，
所以，，
设平面AEF的法向量为，则
，即，取，
又因为平面PAD的一个法向量为，
所以，
由题知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
【小问3详解】
因为点G在PB上，设，，，，
由得，
即，所以，
由（2）知，平面AEF的法向量为，
因为直线AG在平面AEF内，，得，
综上，的值为.
19. 已知椭圆的两个焦点分别为，其离心率为，过点且平行于的直线与椭圆交于，且.
（1）求椭圆方程；
（2）过点且相互垂直的两条直线分别与椭圆交于.
①若直线斜率存在，过点向直线引垂线，垂足为，求证：直线过定点，并求出定点坐标；
②求四边形面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）①证明见解析，；②
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到椭圆方程；
（2）①联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，先表示出直线的斜率，然后表示出直线的方程，即可得到定点坐标；②由椭圆的弦长公式代入计算，结合基本不等式，即可得到四边形面积的取值范围.
【小问1详解】
由已知得：，
在方程中，令，则，故
所以，故椭圆的方程为：.
【小问2详解】
设，当直线斜率存在时，设
由得：，故，
①由已知，所以直线的斜率为
则直线的方程为：，即：
注意到：由韦达定理有：
，
所以:
故直线的方程为：，所以直线过定点，
②当斜率存在且斜率，
则
同理以替代得:
，
因为：，当且仅当时，即时，等号成立，