甘肃省张掖市甘州区张掖育才中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份甘肃省张掖市甘州区张掖育才中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了选择题，三月份共生产产品120台，设二，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. （x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣1B. x2﹣2x＝2x2﹣1
C. ax2+bx+c＝0D. x+＝2
【答案】B
【解析】
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【详解】解：A、方程整理得：x2﹣4x+3＝x2﹣1，即4x﹣4＝0，不符合题意；
B、方程整理得：x2+2x﹣1＝0，符合题意；
C、当a＝0时，方程为bx+c＝0，不符合题意；
D、方程不是整式方程，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键.
2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A. a=1，b=3，c=2，d=4B. a=4，b=6，c=5，d=10
C. a=2，b=4，c=3，d=6D. a=2，b=4，c=6，d=8
【答案】C
【解析】
【详解】试题解析：∵1×4≠3×2，故选项A中的四条线段不成比例，
∵4×10≠6×5，故选项B中的四条线段不成比例，
∵2×6=4×3，故选项C中的四条线段成比例，
∵2×8≠4×6，故选项D中的四条线段不成比例，
故选C．
3. 已知关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+5x+m2﹣9＝0有一个解是0，则m的值为（ ）
A. ﹣3B. 3C. D. 不确定
【答案】A
【解析】
【分析】把x=0代入方程（m-3）x2+5x+m2﹣9＝0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0．
【详解】解：∵一元二次方程（m-3）x2+5x+m2-9=0有一个解是0，
∴，
解得，m=-3，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程的定义，解答本题的关键是明确题意，求出m的值，注意一元二次方程中二次项系数不等于0．
4. 已知，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】应用比例的基本性质，将各项进行变形，并注意分式的性质y≠0，这个条件.
【详解】A. 由，则x与y的比例是2:3，只是其中一特殊值，故此项错误；
B. 由，可化为，且y≠0，故此项错误；
C. ，化简为，由B项知故此项错误；
D. ，可化为，故此项正确；
故答案选D
【点睛】此题主要考查了比例的基本性质，正确运用已知变形是解题关键．
5. 关于x的方程x（x﹣2）＝2x根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】先把方程互为一般式，利用计算根的判别式△=的值，判定原方程
根的情况即可．
【详解】于x的方程x（x﹣2）＝2x化为一般式，
，
∴△=，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的根的情况问题，掌握一元二次方程的概念，会把一元二次方程化为一般是，利用根的判别式的值确定方程根的情况是解题关键．
6. 正方形具备而菱形不具备的性质是（ ）
A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直
C. 对角线相等D. 每条对角线平分一组对角
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，菱形的性质，根据正方形和菱形的性质逐项判断，即可得出结论．
【详解】解：A、对角线互相平分是正方形和菱形都具备的性质，故此选项不符合题意；
B、对角线互相垂直是正方形和菱形都具备的性质，故此选项不符合题意；
C、对角线相等是正方形具备而菱形不具备的性质，故此选项符合题意；
D、每条对角线平分一组对角是正方形和菱形都具备的性质，故此选项不符合题意；
故选：C．
7. 某厂一月份生产产品50台，计划二、三月份共生产产品120台，设二、三月份平均每月增长率为x，根据题意，可列出方程为( )
A. 50(1+x)2＝60
B. 50(1+x)2＝120
C. 50+50(1+x)+50(1+x)2＝120
D. 50(1+x)+50(1+x)2＝120
【答案】D
【解析】
【详解】设二、三月份每月的平均增长率为x，
则二月份生产机器：50（1+x），
三月份生产机器为：50（1+x）2；
又知二、三月份共生产120台；
所以，可列方程：50（1+x）+50（1+x）2=120．
故选D．
8. 若（a2+b2）（a2+b2﹣2）＝8，则a2+b2＝（ ）
A. ﹣2B. 4C. 4或﹣2D. ﹣4或2
【答案】B
【解析】
【分析】将看作一个整体，然后用换元法解方程即可．
【详解】解：设＝x，则有：
x（x﹣2）＝8
即，
解得＝﹣2，＝4；
∵，
故；
故选：B．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，关键是把看成一个整体来计算，即换元法思想，学会整体代入思想是解题的关键．
9. 为了估计某地区梅花鹿的数量，先捕捉20只梅花鹿做上标记，然后放走，待有标记的梅花鹿完全混合于鹿群后，第二次捕捉100只梅花鹿，发现其中5只有标记．估计这个地区的梅花鹿的数量约有（ ）只．
A. 200B. 300C. 400D. 500
【答案】C
【解析】
【分析】设这个地区的梅花鹿的数量约有x只，根据做标记的梅花鹿熟练所占比例等于捕捉100只梅花鹿中有标记的只数所占比例列出方程，解之即可．
【详解】解：设这个地区的梅花鹿的数量约有x只，
根据题意，得：，
解得，
经检验：是分式方程的解，
所以这个地区的梅花鹿的数量约400只．
故选：C．
【解答】本题考查了用样本去估计总体，分式方程等知识，理解用样本估计总体，并据此列出方程是解题关键．
10. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上的一点，AE⊥EF，则下列结论正确的是（ ）
A. ∠BAE＝30°B. △ABE≌△AEFC. CE2＝AB•CFD. CF＝CD
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，分析图形易得∠BAE＝∠CEF，又由∠B＝∠C＝90°可得△ABE∽△ECF；进而可得关于AB、BE、EC、CF的比例关系式，进而化简可得答案．
【详解】∵∠BAE＋∠BEA＝90°，∠BEA＋∠CEF＝90°；
∴∠BAE＝∠CEF，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECF，
∴AB：BE＝EC：CF，
∵E是BC的中点，
∴ BE＝CE，
∴AB：CE＝EC：CF，
即CE2＝AB•CF，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定及性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定定理是关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11. 已知，且3a－2b＋c＝9，则2a＋4b－3c＝________．
【答案】14
【解析】
【详解】令(k≠0)，则a＝5k，b＝7k，c＝8k，由3a－2b＋c＝9得15k－14k＋8k＝9，∴k＝1，∴2a＋4b－3c＝10k＋28k－24k＝14．
12. 一元二次方程﹣x2＝x的解是_____．
【答案】x1=0，x2=-1．
【解析】
【分析】先移项得到x2+x=0，再把方程左边分解得到x（x+1）=0，原方程转化为x=0或x+1=0，然后解一次方程即可．
【详解】解：∵x2+x=0，
∴x（x+1）=0，
∴x=0或x+1=0，
∴x1=0，x2=-1．
故答案为：x1=0，x2=-1．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．
13. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长是_____．
【答案】7
【解析】
【分析】先利用因式分解法解x2﹣4x+3=0得到x1=3，x2=1，然后分类讨论：当三角形的腰为3，底为1时，易得三角形的周长；当三角形的腰为1，底为3时不符合三角形三边的关系，舍去．
【详解】x2﹣4x+3=0，（x﹣3）（x﹣1）=0，x﹣3=0或x﹣1=0，所以x1=3，x2=1．
①当三角形的腰为3，底为1时，三角形的周长为3+3+1=7；
②当三角形的腰为1，底为3时不符合三角形三边的关系，舍去．
所以三角形的周长为7．
故答案为7．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值都为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．
14. 如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，设人行通道的宽度为xm，则可列方程为_____．
【答案】（30﹣3x）（24﹣2x）＝480．
【解析】
【分析】设人行通道的宽度为xm，则两块矩形绿地可合成长为（30-3x）m、宽为（24-2x）m的大矩形，根据矩形的面积公式结合绿地的面积为480m2，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：设人行通道的宽度为xm，则两块矩形绿地可合成长为（30﹣3x）m、宽为（24﹣2x）m的大矩形，
根据题意得：（30﹣3x）（24﹣2x）＝480．
故答案为（30﹣3x）（24﹣2x）＝480．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
15. 一个不透明的布袋中装有分别标着数字1，2，3，4的四张卡片，现从袋中随机摸出两张卡片，则这两张卡片上的数字之和大于5的概率为_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意先画出树状图，求出所有出现的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】根据题意画树状图如下：
共有12种情况，两张卡片上的数字之和大于5的有4种，
则这两张卡片上的数字之和大于5的概率为；
故答案为.
【点睛】此题考查列表法与树状图法，解题关键在于题意画树状图.
16. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边，上的动点，P是线段的中点，，，G，H为垂足，连接．若，，，则的最小值是______．
【答案】7.5
【解析】
【分析】连接、、，由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后证四边形是矩形，得，当A、P、C三点共线时，即可求解．
【详解】连接、、，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵P是线段的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
当A、P、C三点共线时，
，
∴的最小值是7.5，
故答案为：7.5．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，求出的最小值是解题的关键．
三、解答题
17. 解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．
（1）先移项然后用直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）用公式法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：，
移项得：，
开平方得：，
解得：，；
【小问2详解】
解：，
∵，，，
∴，
∴，
∴，．
18. 已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根是2．求方程的另一个根及k的值．
【答案】k的值是1，方程的另一个根是﹣3．
【解析】
【分析】先将2代入一元二次方程中可把k的值求出来，再根据根与系数的关系求出另一根.
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根是x1＝2，
∴22+2k﹣6＝0，
解得k＝1．
又∵x1•x2＝﹣6，即2x2＝﹣6，
∴x2＝﹣3．
综上所述，k的值是1，方程的另一个根是﹣3．
【点睛】本题主要考查了方程的根以及一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键.
19. 如图，∠B＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）如果AC＝6，AD＝4，求DB的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）5
【解析】
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明．
（2）利用相似三角形的性质求出AB即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，
∴△ABC∽△ACD．
（2）解：∵△ABC∽△ACD，
∴，
∴，
∴AB=9，
∴BD=AB-AD=9-4=5．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20. 如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF//AB交AC于F
（1）求证：AE=DF，
（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）平行四边形AEDF为菱形；理由详见解析
【解析】
【分析】（1）利用AAS推出△ADE≌△DAF，再根据全等三角形的对应边相等得出AE=DF；
（2）先根据已知中的两组平行线，可证四边形DEFA是▱，再利用AD是角平分线，结合AE∥DF，易证∠DAF=∠FDA，利用等角对等边，可得AE=DF，从而可证▱AEDF实菱形．
【详解】（1）∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF，
同理∠DAE=∠FDA，
∵AD=DA，
∴△ADE≌△DAF，
∴AE=DF；
（2）若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴∠DAF=∠FDA．
∴AF=DF．
∴平行四边形AEDF为菱形．
考点：1.全等三角形的判定与性质；2.菱形的判定．
21. 已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根为，且，求m的值．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式：
（1）由方程有实数根，可得，可解得m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系得，根据，即可得关于m的方程，解出m的值即可．
【小问1详解】
解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，即，
解得：，
∴m的取值范围是；
【小问2详解】
解：∵该方程的两个实数根为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：．
22. 2019年甘肃在国际知名旅游指南《孤独星球》亚洲最佳旅游地排名第一，截至2020年1月，甘肃省已有五家国家5A级旅游景区，分别A：嘉峪关文物景区；B：平凉崆峒山风景名胜区；C：天水麦积山景区；D：敦煌鸣沙月牙泉景区：E：张掖七彩舟霞景区，张帆同学与父母计划在暑假期间从中选择部分景区游玩．
（1）张帆一家选择E：张掖七彩丹霞景区的概率是多少？
（2）若张帆一家选择了E：张掖七彩丹霞景区，他们再从，，，四个景区中任选两个景区去旅游，求选，两个景区的概率（要求画树状图或列表求概率）．
【答案】(1) ；(2)
【解析】
【分析】(1) 张帆一家共有5种可能的选择方式，由此即可出选择景区E的概率为；
(2) 画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出选到A，D两个景区的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】解：(1)由题意可知：张帆一家共有5种可能的选择方式，
故选择张掖七彩丹霞景区的概率为，
故答案．
(2)由题意知，画出树状图如下：

共有12种等可能的结果数，其中选到A，C两个景区的结果数为2，
∴所以选到A，C两个景区的概率=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法求事件的概率，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A的结果数m，然后利用概率公式计，即可求出事件A的概率．
23. 商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3000元？
【答案】（1）2x；（60﹣x）；
（2）每件商品降价30元时，商场日盈利可达到3000元．
【解析】
【分析】（1）每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，可得：销售量为：2x件，每件商品盈利为：（60-x）元；
（2）根据等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=3000，把相关数值代入计算得到合适的解即可．
【详解】解：（1）由题意，可得商场日销售量增加2x件，每件商品盈利（60﹣x）元．
故答案为2x；（60﹣x）；
（2）由题意得：（60﹣x）（40+2x）＝3000，
化简得：x2﹣40x+300＝0，
解得x1＝10，x2＝30．
∵该商场为了尽快减少库存，
∴x＝10舍去，
∴x＝30．
答：每件商品降价30元时，商场日盈利可达到3000元．
【点睛】本题考查了一元二次方程与实际销售问题，解题的关键是找到数量关系，列出方程，解方程.
24. 如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且∠ACB＝∠ABE．
（1）求证：AE2＝EF•BE；
（2）若AE＝2，EF＝1，CF＝4，求AB的长．
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）利用平行四边形的性质得到AD∥BC，则∠DAC＝∠ACB，然后证明△EAF∽△EBA，则利用相似三角形的性质得到结论；
（2）先利用AE2＝EF•BE计算出BE＝4，则BF＝3，再由AE∥BC，利用平行线分线段成比例定理计算出AF＝，然后利用△EAF∽△EBA，根据相似比求出AB的长．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠ABE，
∴∠DAC＝∠ABE，
∵∠EAF＝∠EBA，∠AEF＝∠BEA，
∴△EAF∽△EBA，
∴EA：EB＝EF：EA，
∴AE2＝EF•BE；
（2）∵AE2＝EF•BE，
∴BE＝＝4，
∴BF＝BE﹣EF＝4﹣1＝3，
∵AE∥BC，
∴＝，即＝，解得AF＝，
∵△EAF∽△EBA，
∴＝，即＝，
∴AB＝．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．也考查了平行四边形的性质．
25. 菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元．
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．
【答案】（1）20%；（2）小华选择方案一购买更优惠．
【解析】
【分析】（1）设出平均每次下调的百分率，根据从5元下调到3.2列出一元二次方程求解即可；
（2）根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果．
【详解】（1）设平均每次下调百分率为x．
由题意，得5（1﹣x）2=3.2．
解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8（不符合题意），
符合题目要求的是x1=0.2=20%．
答：平均每次下调的百分率是20%．
（2）小华选择方案一购买更优惠．
理由：方案一所需费用：3.2×0.9×5000=14400（元），
方案二所需费用为：3.2×5000﹣200×5=15000（元）．
∵14400＜15000，
∴小华选择方案一购买更优惠．
26. 如图，在中，，，，点P从点A开始，沿AB边以的速度向点B运动；点Q从点B开始，沿BC边以的速度向点C运动，当点P运动到点B时，运动停止，如果P，Q分别从A，B两点同时出发．
（1）几秒后的面积等于？
（2）几秒后以P，B，Q为顶点的三角形与相似？
【答案】（1）2秒或4秒；（2）秒或3秒
【解析】
【分析】（1）设t秒后△PBQ的面积等于8cm2，此时，AP=t，BP=6-t，BQ=2t，再由三角形的面积公式即可得出结论；
（2）设x秒后以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，此时，AP=x，BP=6-x，BQ=2x，再分△BPQ∽△BAC与△BPQ∽△BCA两种情况进行讨论即可．
【详解】解：设t秒后的面积等于，
此时，，，，
，
即，即，
解得：，．
秒或4秒后，的面积等于；
设x秒后以P，B，Q为顶点的三角形与相似，
此时，，，，
若∽，则，即，解得；
若∽，则，即，解得．
综上所述，秒或3秒后，以P，B，Q为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
27. 【模型建立】
（1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【答案】（1），理由见详解，（2），理由见详解，（3），理由见详解
【解析】
【分析】（1）直接证明，即可证明；
（2）过E点作于点M，过E点作于点N，先证明，可得，结合等腰直角三角形的性质可得：， ，即有，，进而可得，即可证；
（3）过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，先证明，再结合等腰直角三角形的性质，即可证明．
【详解】（1），理由如下：
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2），理由如下：
过E点作于点M，过E点作于点N，如图，
∵四边形是正方形，是正方形的对角线，
∴，平分，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，，
∴四边形是正方形，
∴是正方形对角线，，
∴， ，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
即有；
（3），理由如下，
过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵在正方形中，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
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