广东省佛山市南海区华南师范大学附属中学南海实验高级中学2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省佛山市南海区华南师范大学附属中学南海实验高级中学2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题（解析版）-A4，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先解一元二次不等式与分式不等式求出集合、，再根据并集的定义计算可得.
【详解】由，即，解得，
所以，
由，即，等价于，解得，
所以，
所以.
故选：D
2. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得，即可得到结果.
【详解】因为，，即，
又，所以.
故选：A
3. “是函数且）图象经过第三象限”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数的图象特征，结合与0的关系，即可分别求解充分性和必要性，进而根据充要条件的定义求解.
【详解】解：对于函数且），
当时，，结合指数函数的图象特征，可知的图象经过第一、三、四象限，所以充分性成立；
对于函数且），当时，且单调递减，此时它不经过第三象限，
当时，为增函数且，经过第三象限，故符合题意，必要性成立，
综上所述，“”是“函数且）的图象经过第三象限”的充要条件．
故选：C．
4. 已知点在幂函数的图象上，则（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】直接由幂函数定义列方程组即可求解.
【详解】由题意.
故选：C.
5. 函数（）的图象大致为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由奇偶性排除选项；由,可排除选项,从而可得结果.
【详解】因为，
所以函数是偶函数，函数图象关于轴对称，可排除选项；
因为,可排除选项,故选A.
【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
6. 为了衡量星星的明暗程度，公元前二世纪古希腊天文学家喜帕恰斯提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮.1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知小熊座的“北极星”与大熊座的“玉衡”的星等分别为和，且当较小时，，则“玉衡”与“北极星”的亮度之比大约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】理解题意，把已知数据代入公式计算即可.
【详解】由题意，可得，
.
故选：B.
7. 已知函数在上是单调的函数，则实数a的取值范围是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，按函数为增函数和减函数两种情况讨论，分别求出的取值范围，综合可得答案．
【详解】因为在上是单调的，
当时，，不满足条件；
当时，若在上单调递增，则，解得，
当时，若在上单调递减，则，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：B.
8. 已知函数且的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】函数的图象恒过定点，进而可得，结合基本不等式和指数的运算性质进而得到答案．
【详解】当时，，
故函数的图象恒过定点，
由点在直线上，则,
故，
当且仅当等号成立,故的最小值是.
故选：B
二、多选题
9. 下列函数中为奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据奇函数的定义判断即可.
【详解】解：对于A：定义域为，且，故为奇函数，故A正确；
对于B：定义域为，且，故为奇函数，故B正确；
对于C：定义域为，但是，故为偶函数，故C错误；
对于D：定义域为，且，故为奇函数，故D正确；
故选：ABD
10. 下列命题，其中正确的命题是（ ）
A. 函数的最大值为
B. 若，则的值为
C. 函数的减区间是
D. 已知在上是增函数，若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，利用指数函数单调性即可求得；对于B，运用指对数互化和换底公式，以及对数运算性质可得；
对于C,利用复合函数单调性即可判断；对于D，利用函数单调性的应用即可推得.
详解】对于A，因，
因函数为减函数，故得，即A正确；
对于B，由，可得
则，故B正确；
对于C，由，可得，解得，
即函数的定义域为，
设，显然该函数在上单调递增，在上单调递减，
而在定义域上为增函数，
故函数的减区间为，即C错误；
对于D，因在上是增函数，由可得，则，
因，则，故得，即D正确.
故选：ABD .
11. 已知定义在上的函数同时满足以下三个条件：①；②；③在区间上单调递增，则下列关于的表述中，正确的是（ ）
A. B. 恰有三个零点
C. 在上单调递增D. 存在最大值和最小值
【答案】ABC
【解析】
【分析】选项A，利用条件，赋值即可得出结果；再利用定义法证明在上单调递增，即可判断出选项C的正误，结合条件及奇函数的性质得出函数在区间上单调递增，在区间上单调递增，即可判断出选项D的正误，再根据条件得到，，，结合函数的单调性，即可判断出选项B的正误.
【详解】对于选项A，因为，取，得到，
即，所以选项A正确，
对于选项C，任取，且，则，且，
则，
又在区间上单调递增，且为奇函数，所以在区间上也单调递增，
所以，得到，即，所以在上单调递增，故选项C正确，
对于选项B，因为定义在上奇函数，所以，又，所以，故或或是的根，
结合选项C、由奇函数的性质及条件知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递增，故选项B正确，
对于选项D，因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递增，故函数不存在最大值和最小值，所以选项D错误，
故选：ABC.
【点睛】关键点晴：本题的关键在于，根据条件，利用定义法证明在上单调递增，再利用条件及奇函数的性质得到函数在区间上单调递增，在区间上单调递增，即可解决问题.
三、填空题
12. 函数的定义域为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】利用二次根式与零指数幂的意义计算即可.
【详解】由题意可知函数解析式有意义需，解之得.
故答案为：
13. 函数是定义在上的偶函数，且当时，，那么______.
【答案】3
【解析】
【分析】根据偶函数的性质以及对数函数求解.
【详解】,
,
又因为函数是定义在上的偶函数，
所以，
故答案为：3.
14. 已知函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的最大值是________.
【答案】
【解析】
【分析】作出函数的图象，解方程，数形结合可得出实数的取值范围，即可得解.
【详解】因为函数的定义域为，满足，
当时，，
当时，，则
，
当时，，则
，
当时，，则
，
因为对任意，都有，
当时，令，解得或，如下图所示：
由图可知，，故实数的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，解题的关键就是求出函数的解析式，由此作出函数的图象，利用数形结合思想求解.
四、解答题
15. 求值.
(1)且;
(2)
【答案】(1)1；
(2)；
【解析】
【分析】(1)运用对数公式计算即可；
(2)运用指数运算的公式计算即可.
【详解】(1)
(2)
【点睛】本题考查了指数、对数运算公式,熟练掌握公式是解题的关键,考查了数学运算能力.
16. 已知集合，．
（1）若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）成立的一个必要条件是，则，求解即可；
（2）由，则或，求解即可.
【小问1详解】
因为集合，．
若成立的一个必要条件是，所以，
则，所以，
故实数的取值范围.
【小问2详解】
若，则或，
所以或，
故实数的取值范围.
17. 2023年初，某品牌手机公司上市了一款新型大众智能手机．通过市场分析，生产此款手机每年需投入固定成本800万元，每生产x（千部）手机，需另投入成本万元，且已知此款手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
（1）求年利润（万元）关于年产量x（千部）的表达式；
（2）2023年年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）2023年年产量为120（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是13000万元.
【解析】
【分析】（1）根据分和求解；
（2）根据（1）的结果，分和，分别利用二次函数和基本不等式求解.
【小问1详解】
解：当时，，
当时，，
所以
【小问2详解】
若，，
当时，万元；
若，，当且仅当时取等号，
即时，万元，
因为，
所以2023年年产量为120（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是13000万元.
18. 已知函数为奇函数．
（1）求的值；
（2）判断并证明的单调性；
（3）若存在实数，使得成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）函数在R上单调递减，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据定义域为R且为奇函数，所以，即可求解.
（2）利用函数单调性的定义法即可证明求解.
（3）由（2）中结果及奇函数性质可得，从而可得，结合二次函数性质即可求解.
【小问1详解】
由函数为奇函数，其定义域为R，所以，
即，解得，此时，
满足，即为奇函数，
故的值为.
【小问2详解】
在R上单调递减，证明如下：
由（1）知，
，且，则，
因为，所以，，，
所以，即函数在R上单调递减.
【小问3详解】
由，则，
又因为为奇函数，所以，
又由（2）知函数在R上单调递减，
所以，因为存在实数，使得成立，
所以，解得.
所以的取值范围为.
19. 若函数在区间上的值域恰为，则称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数，当时，.
（1）求解析式；
（2）若关于的方程在上恰有两个不相等的根，求的取值范围；
（3）求函数在定义域内的所有“倒域区间”.
【答案】（1）
（2）
（3）和
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质，取相反数，利用已知的函数解析式，整理可得答案；
（2）整理方程，构造函数，结合二次函数的性质，可得答案；
（3）根据题目中的新定义，利用分类讨论，结合函数的单调性，建立方程，可得答案.
【小问1详解】
当时，则，
由奇函数的定义可得，
所以.
【小问2详解】
方程即，设，
由题意知，解得.
【小问3详解】
因为在区间上的值域恰为，
其中且，所以，则，
所以或.
①当时，因为函数在上单调递增，在上单调递减，
故当时，，则，所以，所以，
则，解得，
所以在内的“倒域区间”为；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
故当时，，所以，所以，所以，
则，解得，
所以在内的“倒域区间”为.
综上所述，函数在定义域内的“倒域区间”为和.