广东省河源市龙川县2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省河源市龙川县2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题．，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 25的平方根是（ ）
A. ±5B. 5C. –5D. 625
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：∵（±5）2=25，
∴25的平方根是±5．
故选A．
考点：平方根．
2. 一个直角三角形一直角边长为，另一直角边长为，则斜边长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直角三角形中勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”的计算即可求解．
【详解】解：直角三角形一直角边长为，另一直角边长为，
∴斜边长为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握直角三角形中勾股定理的计算方法，二次根式的运算是解题的关键．
3. 下列各组数中是勾股数的是（ ）
A. 5，12，13B. 1，1，C. 2，2，3D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股数．熟练掌握勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义：三个正整数，满足两个数的平方和等于第三个数的平方，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，5，12，13是勾股数，符合题意；
B、2不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
C、，2，2，3不是勾股数，不符合题意；
D、不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
故选：A．
4. 在实数，，，，，，（3与1之间依次增加一个0）中，无理数的个数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查无理数的判断，根据无限不循环的小数叫无理数直接逐个判断即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，，，是有理数，
，，（3与1之间依次增加一个0）是无理数，共有3个，
故选：A．
5. 在中，，，的对边分别是，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐项判断即得答案．
【详解】A、，
，故不是直角三角形；
B、，且，
，故为直角三角形；
C、，故设
，故为直角三角形；
D、，故为直角三角形．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握这两个基本知识点是解题的关键．
6. 下列说法不正确的是（ ）
A. 的平方根是B. 0.2的算术平方根是
C. 是81的一个平方根D. 的立方根是
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了立方根的定义，算术平方根的定义，平方根的定义，理解平方根的概念是解题的关键．根据立方根、算术平方根的定义及平方根的定义即可解答．
【详解】解：A、∵，，
∴的平方根是，故选项A正确，但不符合题意；
B、∵，
∴0.2的算术平方根不是，故选项B错误，符合题意；
C、∵，
∴是的一个平方根，故选项C正确，但不符合题意；
D、∵，
∴，故选项D正确，但不符合题意；
故选：B．
7. 如图所示，三个大小不一的正方形拼合在一起，其中两个正方形的面积为144，225，那么正方形A的面积是（ ）
A. 225B. 144C. 81D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得出∆EFG为直角三角形，然后利用勾股定理即可得出结果．
【详解】解：如图所示，∆EFG为直角三角形，
∴，
∴正方形A的面积为81，
故选：C．
【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意是解题关键．
8. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义逐项分析即可．
【详解】解：A、=，故不最简二次根式；
B、=，故不是最简二次根式；
C、是最简二次根式；
D、，故不是最简二次根式；
故选C．
【点睛】本题考查了最简二次根式的知识，由题意根据最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
9. 实数在数轴上的位置如图，那么化简的结果是（ ）

A. B. bC. D. a
【答案】C
【解析】
【分析】由实数a、b在数轴上的位置确定a、b的符号以及绝对值的大小，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：由实数a、b在数轴上的位置可知，，且，
∴，
∴原式
，
故选：C．
【点睛】本题考查实数与数轴，二次根式的性质与化简，理解数轴表示数的方法，掌握二次根式的性质是正确解答的前提．
10. 如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（ ）
A. 15 dmB. 17 dmC. 20 dmD. 25 dm
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理求解出最短路程即可．
详解】最短路径
故答案为：B．
【点睛】本题考查了利用勾股定理求最短路程的问题，掌握勾股定理是解题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
11. 的算术平方根是________；-64的立方根是_______．
【答案】 ①. 2 ②. -4
【解析】
【分析】直接根据算术平方根及立方根进行求解即可．
【详解】解：因为，所以4的算术平方根是2；因为，所以-64的立方根是-4；
故答案为2；-4．
【点睛】本题主要考查算术平方根及立方根，熟练掌握算术平方根及立方根是解题的关键．
12. 比较大小：3______（填“”、“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查的是实数的大小比较，无理数的估算．先将估算的大小，即可比较大小即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
13. 计算：_________．
【答案】3
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的乘法，根据二次根式乘法法则计算即可．
【详解】解：
故答案为：3
14. 如下图，作一个以数轴的原点为圆心，长方形对角线为半径的圆弧，交数轴于点A，则点A表示的数是____________．

【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理计算长方形对角线的长，再由点A的位置，确定点A的符号，即可得出点A的坐标．
【详解】解：长方形对角线的长：=，
∴OA=，
∵点A在原点左侧，
∴A点表示的数是：，
故答案为．
【点睛】本题考查实数与数轴的关系和勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
15. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．
【答案】5或
【解析】
【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论．
【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时，
第三边的长为：；
②长为3、4的边都是直角边时，
第三边的长为：；
∴第三边的长为：或5，
故答案为：或5．
16. 在直线上依次摆着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是，则______．
【答案】-2
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质、勾股定理，解答此题的关键是注意发现两个小正方形的面积和正好是之间的正方形的面积．运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．
【详解】解：观察发现，
，，
，，
，
在与中，
，
，
，
，
，即，
同理．
则．
故答案为：-2．
三、计算题．
17. 计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式的乘法运算及加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）利用平方差公式展开括号，计算二次根式的乘法，再合并即可；
（2）把各二次根式化简为最简二次根式，再计算二次根式乘法，再合并即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
18. 已知3x+1的算术平方根是4，x+2y的立方根是﹣1．
（1）求x、y的值；
（2）求2x﹣5y的平方根．
【答案】（1）x=5、y=-3；（2）±5
【解析】
【分析】（1）根据平方根和立方根的定义知3x+1=16、x+2y=-1，据此求解可得；
（2）将x、y的值代入2x-5y，再根据平方根的定义计算可得．
【详解】解：（1）根据题意知：
3x+1=16、x+2y=-1，
则x=5、y=-3；
（2）∵2x-5y=10+15=25，
则2x-5y的平方根为±5．
【点睛】本题主要考查平方根、立方根，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义．
四、解答题
19. 已知a，b，c满足．
（1）求a，b，c的值；
（2）试问：以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由．
【答案】（1），，
（2）能构成三角形，周长为：
【解析】
【分析】本题考查了非负数的性质，三角形三边关系，无理数的估算，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
（1）根据非负数的性质可求出a、b、c的值；
（2）先估算出，根据三角形三边关系，再把三角形三边相加即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得：，，，
解得：，，．
【小问2详解】
解：，
，
、、能构成三角形，
此时三角形的周长为．
20. 如图，一根旗杆在离地面处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部处，旗杆在折断之前有多高？

【答案】旗杆在折断之前有24米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理，计算旗杆的折断部分是15米，则折断前旗杆的高度是米．
【详解】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12米，旗杆离地面9米折断，且旗杆与地面是垂直的，
∴折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．
根据勾股定理，折断部分的旗杆为：米，
∴旗杆折断之前高度为米．
答：旗杆在折断之前有24米．
21. 如图，把一块直角三角形ABC（其中）土地划出一个三角形ADC后，测得米，米，米，米．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求图中阴影部分土地的面积．
【答案】（1）见解析 （2）24平方米
【解析】
【分析】（1）直角三角形ABC中，利用勾股定理解出AC=5，再利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形；
（2）由，结合三角形面积公式解答．
【小问1详解】
解：直角三角形ABC中，
，，
，
，
，
，
是直角三角形；
【小问2详解】
（平方米）．
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理的实际应用，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
22. 一架云梯长，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端离墙．
（1）这个梯子顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在中，利用勾股定理可求出AB的长度，此题得解；
（2）在中，利用勾股定理可求出的长度，用其减去的长度即可得出结论．
【小问1详解】
解：在中，，，，
∴=24()．
答：这个梯子的顶端距地面．
【小问2详解】
在中，，，
∴，
∴．
答：如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底部在水平方向滑动了．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键：
23. 小宇手里有一张直角三角形纸片，他无意中将直角边AC折叠了一下，恰好使落斜边上，（如图）小宇经过测量得知两直角边，．
（1） ； ； ；
（2）设为，则可用表示为_______；
（3）利用以上结论求出的长．
【答案】（1）10，6，4
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题属于三角形综合题，考查了勾股定理，翻折变换等知识，解题的关键是掌握翻折变换的性质，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
（1）利用勾股定理求出，再利用翻折变换的性质求出，可得结论；
（2）利用线段的和差定义求解；
（3）在中，利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
，，，
，
由翻折的性质可知，，
．
故答案为：10，6，4；
【小问2详解】
，，
．
故答案为：；
【小问3详解】
由翻折的性质可知，，，
在中，，
，
，
．
24. 观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例1： ，
例2： ，，
利用以上结论解答以下问题：（不必证明）
（1） ； ；
（2）利用上面的结论，求下列式子的值．（有过程）

【答案】（1）； （2）9
【解析】
【分析】本题考查了分母有理化：涉及二次根式的性质化简、平方差公式的运用：
（1）根据例1的过程，仿写即可作答．
（2）逐个化简，得，，， ，……，然后进行合并同类二次根式，即可作答．
【小问1详解】
解：∵
∴；
∴；
【小问2详解】
解：∵，，，，……，
∴
.
25. 综合与实践
问题情境
在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动.
操作发现
“毕达哥拉斯”小组的同学想到借助正方形网格解决问题.如图1是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C、A，他们借助此图求出了△ABC的面积.

（1）在图1中，所画△ABC的三边长分别是AB= ，BC= ，AC= ； △ABC的面积为 .
实践探究
（2）在图2所示的正方形网格中画出△DEF（顶点都在格点上），使DE=，DF=， EF=，并写出△DEF的面积.
继续探究
“秦九韶”小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料： 已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积，对此问题中外数学家曾经进行过深入研究.古希腊的几何学家海伦(Hern，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式：
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202 ~1261），给出了著名的秦九韶公式：

（3）一个三角形的三边长依次为，，，请你从上述材料中选用适当的公式 求这个三角形的面积.（写出计算过程）
【答案】（1），，，；（2）图见解析；△DEF的面积为4；（3）.
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理计算△ABC的三边长；利用△ABC所在正方形的面积减去周围直角三角形的面积可求其面积；
（2）仿照“毕达哥拉斯”小组的方法利用勾股定理在正方形网格中画出△DEF，并利用割补法求其面积即可；
（3）利用秦九韶公式，代入求值即可.
【详解】解：（1），，，
△ABC的面积＝，
故答案为，，，；
（2）△DEF如图所示，
△DEF的面积＝；
（3）将，，代入秦九韶公式，
得
.
【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用以及二次根式的运算，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．